Informator matury podstawowej z matematyki, sierpień 2021

Krótki opis zadań ze stron arkusza, w kolejności stron.

• Strona 12: Zadanie 1: Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia 2021: (1 - 1/2022) - (1 - 2022/2021) * 1/2021 jest równa. Odpowiedzi: A) 0, B) 1, C) 2021, D) 2023. Wymaganie ogólne: Sprawność rachunkowa. Wymaganie szczegółowe: Liczby rzeczywiste, wykonuje działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną. Rozwiązanie D.
• Strona 13: Zadanie 2: Dana jest nierówność |x - 3| ≥ 5. Na którym rysunku prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb spełniających powyższą nierówność? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odpowiedzi A, B, C, D przedstawiają różne zakresy na osi liczbowej od -2 do 8. Rozwiązanie: A.
• Strona 14: Zadanie 3: Oprocentowanie lokaty w banku wynosi 3% rocznie. Po 10 latach oszczędzania, kwota na lokacie będzie większa od początkowej o: A) 30%, B) 34%, C) 36%, D) 43%. Wybierz właściwą odpowiedź. Wymagania ogólne: sprawność rachunkowa, interpretowanie reprezentacji. Wymagania szczegółowe: wykorzystanie potęgowania w obliczaniu procentów składanych. Zasady oceniania: 1 pkt za poprawną odpowiedź. Rozwiązanie: B.
• Strona 15: Zadanie 4: Dane są liczby x i y, takie że iloraz x/y jest równy (1+√5)/2. Oblicz wartość wyrażenia (x+y)/x. Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku. Strona zawiera także wymagania ogólne i szczegółowe dotyczące sprawności rachunkowej oraz wyrażeń algebraicznych, a także zasady oceniania dla tego zadania.
• Strona 17: Zadanie 5: dane są liczby \( a = \sqrt{5} - 2 \) oraz \( b = \sqrt{5} + 2 \). Oblicz wartość wyrażenia \( \frac{a \cdot b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} \) dla podanych \( a \) i \( b \). Wymagania ogólne i szczegółowe dotyczą sprawności rachunkowej i liczb rzeczywistych. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawną metodę i wynik 1, 1 pkt za przekształcenie wyrażenia lub wykazanie odwrotności liczb, 0 pkt za niepoprawną metodę. Przykładowe rozwiązanie pokazuje przekształcenie i obliczenia.
• Strona 18: Sposób 2: Rozważania dotyczące wzajemnej odwrotności liczb a i b, z wyprowadzeniem zależności matematycznych. Zadanie 6: Dana jest liczba x = a - (√3 - √2)², gdzie a należy do zbioru liczb rzeczywistych. Zaznacz dwie odpowiedzi, dla których liczba x jest wymierna. Opcje: A) a = 5, B) a = -√3 + √2, C) a = (√2 - √3)² + 0,3, D) a = 6, E) a = -2√6 + 12,5, F) a = (√2 - √3)² - 2√6, G) a = -√6.
• Strona 20: Zadanie 7: Rozwiąż równanie \((4x + 1)(x - 5) = 0\) oraz \((2x - 10)(x + 3) = 0\). Wymaganie ogólne: Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: Rozwiązywanie równań wymiernych postaci \(\frac{V(x)}{W(x)} = 0\). Zasady oceniania: 2 pkt za poprawną metodę i wynik \(x = -\frac{1}{4}\), 1 pkt za poprawne rozwiązanie lub wyznaczenie dziedziny, 0 pkt za niepoprawną metodę.
• Strona 22: Zadanie 8: Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. 1. Pensja pana X jest wyższa od pensji pana Y: A) o 40%, B) o 90%, C) o 150%, D) o 275%. 2. Pensja pana Y jest niższa od pensji pana X: E) o 60%, F) o 73%, G) o 90%, H) o 150%. Wymagania: sprawność rachunkowa, liczby rzeczywiste. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawne dokończenie dwóch zdań. Rozwiązanie: 1.C 2.E.
• Strona 23: Zadanie 9: Na wykresie przedstawiono zależność log K(t), gdzie K(t) jest liczbą bakterii w próbce po czasie t wyrażonym w godzinach. Uzupełnij zdanie: Gdy upłynęły dokładnie trzy godziny od chwili t=0, liczba K bakterii była równa A) 3, B) 100, C) 1000, D) 10000. Wykres funkcji liniowej log K na układzie współrzędnych z osiami t i log K.
• Strona 24: Zadanie 10: dokończ zdanie, zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba log₂[(√2)²·(√2)⁴·(√2)⁸¹] jest równa A) √2, B) 7, C) 14, D) 2⁷. Wymagania ogólne: sprawność rachunkowa, wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych. Wymagania szczegółowe: działania na liczbach rzeczywistych, stosowanie związku logarytmowania z potęgowaniem. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi. Rozwiązanie: B.
• Strona 25: Zadanie 11: Rozważmy liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki: \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) oraz \(a^3 + b^3 = (a + b)^3\). Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{a}{b}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) spełniających powyższe warunki. Wymagania ogólne i szczegółowe dotyczące sprawności rachunkowej oraz wyrażeń algebraicznych i równań. Zasady oceniania: 3 pkt za poprawną metodę i wynik \(\frac{a}{b} = -1\).
• Strona 27: Zadanie 12: dane jest wyrażenie \( W(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right) \). Oceń prawdziwość zdań: 1. Wartość wyrażenia \( W(x) \) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \( x \neq 1 \). 2. Wyrażenie \( W(x) \) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \( \frac{2x}{x^2-1} \). Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Odpowiedzi: FP.
• Strona 28: Zadanie 13: Rozwiąż równanie \((x - 1)^4 - 5(x - 1)^2 + 6 = 0\). Wymaganie ogólne: Rozumowanie i argumentacja, dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii. Wymaganie szczegółowe: Rozwiązywanie równań wielomianowych, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego. Zasady oceniania: 3 pkt za poprawną metodę i rozwiązanie, 2 pkt za częściowe rozwiązanie, 1 pkt za podstawienie i przekształcenie, 0 pkt za błędną metodę. Przykładowe rozwiązanie: podstawienie \(z = (x - 1)^2\), równanie \(z^2 - 5z + 6 = 0\).
• Strona 30: Zadanie 14: Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 20n² + 30n + 7 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2. Wymaganie ogólne: Rozumowanie i argumentacja, przeprowadzanie rozumowań, podawanie argumentów uzasadniających poprawność. Wymaganie szczegółowe: Przeprowadzanie dowodów dotyczących podzielności liczb całkowitych. Zasady oceniania: 2 pkt za pełny dowód, 1 pkt za przekształcenie, 0 pkt za niepoprawną metodę. Przykładowe pełne rozwiązanie: Krok 1: Przekształcenie wyrażenia, Krok 2: Wykazanie, że 4n² + 6n + 1 jest liczbą całkowitą.
• Strona 31: Zadanie 15: Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne a i b takie, że obie są niepodzielne przez 3. Udowodnij, że liczba a³ + b³ jest podzielna przez 9. Wymaganie ogólne: Rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe: liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, stosowanie wzorów skróconego mnożenia. Zasady oceniania: 3 pkt za pełny dowód, 2 pkt za zapisanie a³ + b³, 1 pkt za zapisanie liczb a i b w postaci a=3k+1, b=3k+2. Przykładowe pełne rozwiązanie: Krok 1 dowodu.
• Strona 32: Zadanie 16: Dany jest wielomian W(x) = 3x³ + mx² + 3x - 2, gdzie m jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać w postaci iloczynowej W(x) = (x + 2)Q(x), gdzie Q(x) jest pewnym trójmianem kwadratowym. Wyznacz wielomian Q(x) oraz oblicz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu W(x).
• Strona 37: Zadanie 17: Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = x³ - b - 5√2 dla każdej liczby rzeczywistej x. Miejscem zerowym funkcji f jest x = √2 + 1. Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Współczynnik b we wzorze funkcji f jest równy: A) b = 1, B) b = 7, C) b = 1 - 3√2, D) b = 3 - 3√2. Rozwiązanie: B. Wymagania ogólne: Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Sprawność rachunkowa. Wymaganie szczegółowe: Oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym. Zasady oceniania: 1 pkt - odpowiedź poprawna, 0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
• Strona 38: Zadanie 18: Funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = 3x² + bx - 5, gdzie współczynnik b jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera. Dokonaj wyboru: A) dwa rzeczywiste miejsca zerowe, B) jedno rzeczywiste miejsce zerowe, C) brak rzeczywistych miejsc zerowych. Uzasadnienia: 1) b² + 60 > 0, 2) b² + 60 = 0, 3) b² + 60 < 0. Wymagania ogólne i szczegółowe dotyczące równań i funkcji. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną. Rozwiązanie A1.
• Strona 39: Zadanie 19: Dana jest funkcja y=f(x), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) na rysunku. Funkcja określona dla x ∈ [-5, 8]. Zadanie 19.1: Zapisz zbiór rozwiązań nierówności f(x) > 2. Zadanie 19.2: Zapisz maksymalny przedział, w którym funkcja f jest malejąca. Wykres przedstawia funkcję z punktami przecięcia osi i przedziałami monotoniczności.
• Strona 40: Zadanie 19.3: Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdanie było prawdziwe. Największa wartość funkcji f jest równa liczbie 6, a najmniejsza wartość funkcji f jest równa liczbie -6. Wymaganie szczegółowe: odczytanie z wykresu funkcji największych i najmniejszych wartości funkcji w danym przedziale domkniętym.
• Strona 41: Zadanie 20: Dana jest funkcja \( y = f(x) \), której wykres przedstawiono w układzie współrzędnych. Funkcje \( g \) i \( h \) są określone jako \( y = g(x) = f(x+2) \) oraz \( y = h(x) = f(-x) \). Na rysunkach A–F przedstawiono wykresy różnych funkcji. Przyporządkuj wykresy funkcji \( y = g(x) \) i \( y = h(x) \) do odpowiednich rysunków. Wpisz odpowiedzi w tabeli obok symboli funkcji.
• Strona 42: Wymaganie ogólne: Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: Funkcje, zadanie 12: Na podstawie wykresu funkcji y=f(x) szkicuje wykresy funkcji y=f(x-a), y=f(x)+b, y=-f(x), y=f(-x). Zasady oceniania: 2 pkt za prawidłowe przyporządkowanie wykresów dla obu funkcji, 1 pkt za jedną funkcję. Pełne rozwiązanie: Zadanie 20.1: y=g(x), rysunek D. Zadanie 20.2: y=h(x), rysunek B.
• Strona 43: Zadanie 21: Wzór funkcji kwadratowej można zapisać w postaci ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej. Zadanie 21.1: Dana jest funkcja kwadratowa y=f(x), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y). Dokończ zdanie, zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych, jeżeli wiadomo, że jeden ze wzorów podanych w odpowiedziach A–D to wzór funkcji f. Opcje: A) y=-(x+5)²-6, B) y=-(x+5)²+6, C) y=-(x-5)²-6, D) y=-(x-5)²+6. Wymagania: interpretacja współczynników, wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej. Rozwiązanie: B.
• Strona 44: Zadanie 21.2: Do wykresu funkcji kwadratowej \( y = g(x) \) należy punkt \( P = (2, -6) \). Oś symetrii wykresu to prosta \( x = 3 \), a jednym z miejsc zerowych jest \( x_1 = 1 \). Wyznacz i zapisz wzór funkcji \( y = g(x) \) w postaci iloczynowej. Wymagania: interpretacja współczynników i wyznaczenie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie wykresu. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawną metodę i zapis, 1 pkt za zapisanie wzoru, 0 pkt za błędną metodę.
• Strona 46: Zadanie 22: Na podstawie zasad dynamiki udowodnij, że tor rzutu piłki jest fragmentem paraboli. Koszykarz rzuca z odległości 7,01 m, środek piłki w punkcie (0, 2,50). Równanie paraboli: y = -0,174x² + 1,3x + 2,5. Rysunek przedstawia tor piłki i kosz. Zadanie 22.1: Dokończ zdanie. Obręcz kosza znajduje się na wysokości: A) 3,04 m, B) 3,06 m, C) 3,80 m, D) 4,93 m.
• Strona 47: Zadanie 22.2: Oblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego rzutu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku. Strona zawiera także wymagania ogólne dotyczące wykorzystania i interpretowania reprezentacji oraz informacji, a także zasady oceniania z punktacją 1 pkt za odpowiedź poprawną i 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.
• Strona 49: Zadanie 22.3: w rzucie piłka przelatuje przez obręcz kosza i upada na parkiet. Promień piłki wynosi 0,12 m. Oblicz współrzędną x punktu środka piłki w momencie dotknięcia parkietu, zaokrąglając do drugiego miejsca po przecinku. Wymagania ogólne i szczegółowe dotyczą interpretacji i wykorzystania funkcji kwadratowej. Zasady oceniania: 3 pkt za poprawną metodę i wynik 8,99 m. Przykładowe rozwiązanie: układ równań y = -0,174x² + 1,3x + 2,5 i y = 0,12.
• Strona 50: Zadanie 23: Dany jest ciąg (aₙ) określony wzorem rekurencyjnym: a₁ = -2, aₙ₊₁ = n * aₙ + 4 dla n ≥ 1. Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu (aₙ). Wymagania ogólne: wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, sprawność rachunkowa. Wymagania szczegółowe: oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawne obliczenie wyrazów i sumy, 1 pkt za poprawne obliczenie wyrazów, 0 pkt za niepoprawną metodę.
• Strona 51: Zadanie 24: Dany jest ciąg (an) określony wzorem ogólnym: an = 4n - 9 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Wykazać, że ciąg (an) jest arytmetyczny. Przykładowe pełne rozwiązanie: Obliczono cztery kolejne wyrazy ciągu, stosując wzór rekurencyjny, oraz sumę czterech początkowych wyrazów. Wymagania ogólne i szczegółowe dotyczące wykorzystania reprezentacji i argumentacji. Zasady oceniania: 2 pkt za pełne rozumowanie uzasadniające, że ciąg jest arytmetyczny.
• Strona 53: Zadanie 25: dokończ zdanie, zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3. Ciąg (an) określony wzorem an = n² - n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 jest: A) rosnący, B) malejący, C) stały. Uzasadnienia: 1) różnica an+1 - an jest liczbą ujemną, 2) różnica an+1 - an jest równa zero, 3) różnica an+1 - an jest liczbą dodatnią. Wymagania ogólne i szczegółowe dotyczące wykorzystania reprezentacji i argumentacji.
• Strona 54: Zadanie 26: Funkcja f określona wzorem f(x)=1/x dla x≠0. Oblicz wartość m, dla której liczby f(m), f(1), f(2) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wymagania: obliczanie wartości funkcji, sprawdzanie ciągu geometrycznego. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawną metodę i wynik m=1/2, 1 pkt za częściowe rozwiązanie, 0 pkt za błędne.
• Strona 56: Zadanie 27: czas połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego opisuje wzór \(N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\), gdzie \(N_0\) to liczba jąder w chwili początkowej \(t_0 = 0\). Zadanie 27.1: na rysunkach 1-4 przedstawiono wykresy różnych zależności. Dokonaj wyboru: wykres zależności wykładniczej \(N(t)\) przedstawiono na A) rysunku 1, B) rysunku 2, C) rysunku 3, D) rysunku 4.
• Strona 57: Zadanie 27.2: Czas połowicznego rozpadu węgla 14C to około 5700 lat. Naukowcy oszacowali, że masa izotopu węgla 14C w znalezisku archeologicznym stanowi 1/16 masy tego izotopu z czasów życia organizmu. Oblicz, ile lat ma znalezisko, podaj wynik z dokładnością do stu lat. Obok zadania zdjęcie znaleziska archeologicznego z kośćmi.
• Strona 60: Zadanie 28: powierzchnia magazynowa składa się z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem, ogrodzonych płotem. Całkowita długość płotu wynosi 580 metrów, z bramami wjazdowymi o szerokości 10 m każda. Oblicz wymiary x i y każdej działki, aby maksymalizować całkowite pole powierzchni magazynowej. Rysunek przedstawia układ dwóch prostokątów z wymiarami x i y oraz bramami.
• Strona 63: Zadanie 29: Dany jest kąt α o mierze, że sin α = 4/5 oraz 90° < α < 180°. Oceń prawdziwość zdań: 1. Dla kąta α spełnione jest równanie: cos α = -3/5. 2. Dla kąta α spełnione jest równanie: tg α = 3/4. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, F – jeśli fałszywe. Wymagania: wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych i wzorów. Rozwiązanie: PF.
• Strona 64: Zadanie 30: W trójkącie ABC dane są długości boków |AB| = 12, |BC| = 8 oraz miara kąta |∠ABC| = 60°. Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka A. Wymagania: stosowanie twierdzenia sinusów i cosinusów, obliczanie kątów i długości boków. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawne równanie z twierdzenia cosinusów i obliczenie długości środkowej |AD| = 4√7.
• Strona 66: Zadanie 31: Wierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r. Środek S tego okręgu leży na boku AB trójkąta. Długości boków |AB| = 3r oraz |AC| = √3r. Oblicz miary wszystkich kątów trójkąta ABC. Rysunek przedstawia trójkąt ABC wpisany w okrąg z zaznaczonymi punktami A, B, C i środkiem S.
• Strona 67: Zasady oceniania punktują poprawne obliczenia miar kątów w trójkątach ABC, DBC, ASC, ADC, BSC. Przykładowe pełne rozwiązania zawierają analizę zależności między odcinkami i kątami. Zadanie 1: Kąt ∠ACD jest kątem wpisanym opartym na średnicy, więc ∠ACD = 90°, trójkąt ADC jest prostokątny. Zadanie 2: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia |CD|, gdzie |CD| = r. Ilustracja przedstawia trójkąt ADC z bokami 2r, r, √3r, z ∠CAD = 30° i ∠ADC = 60°.
• Strona 68: Zadanie 4: Zauważmy, że |DB| = |DC| = r, więc trójkąt DBC jest równoramienny. Z tego wynika, że ∠CDB = 120°, ∠DBC = 30°, ∠BCD = 30°. Z omówionych kroków wynika, że kąty w trójkącie ABC mają miary: ∠CAB = 30°, ∠ABC = 30°, ∠BCA = 120°. Sposób 2: Kąt ∠ACD jest kątem wpisanym opartym na średnicy, więc ∠ACD = 90°. Zauważmy, że cos ∠CAD = √3/2, stąd ∠CAD = 30°, ∠ADC = 60°. Rysunki przedstawiają trójkąty w okręgu z zaznaczonymi kątami i odcinkami.
• Strona 69: Zadanie 3: Trójkąt SDC jest równoramienny, gdzie |SC| = |SD| = r, kąt ∠DCS = ∠SDC = 60°, zatem ∠CSD = 60°, co oznacza, że trójkąt SDC jest równoboczny. Zadanie 4: Trójkąt ASC jest równoramienny, |SA| = |SC| = r, trójkąt DBC jest równoramienny, |DB| = |DC| = r. Kąty: ∠ASC = 120°, ∠SAC = ∠SCA = 30°, ∠CDB = 120°, ∠DBC = ∠BCD = 30°. Kąty w trójkącie ABC: ∠CAB = ∠ABC = 30°, ∠BCA = 120°.
• Strona 70: Zadanie 32: Dane są okrąg o środku S oraz prosta k styczna do okręgu w punkcie A. Odcinek AB jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą k a cięciwą AB jest równa 50°. Punkt C leży na okręgu. Kąt ∠BCA jest ostry. Na rysunku przedstawiono okrąg z punktami A, B, C i prostą k. Dokonaj zdania. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ∠BCA jest równa: A) 100°, B) 80°, C) 50°, D) 40°.
• Strona 71: Zadanie 33: Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=5, |BC|=√21, |AC|=4. Dwusieczna kąta ∠CAB przecina bok BC w punkcie D. Dokończ zdanie, zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Długość odcinka BD jest równa: A) |BD|=1/2√21, B) |BD|=5/9√21, C) |BD|=4/5√21. Uzasadnienia: 1) |AB|/|AC|=|BC|/|BD|, 2) |BD|=|DC|, 3) |AB|/|AC|=|BD|/|DC|. Rysunek trójkąta ABC z punktami D, A, B, C.
• Strona 72: Zadanie 34: Dany jest trójkąt ABC. Na boku AB wybrano punkt D, taki, że |AD| = 1/4 |AB|, a na boku BC punkt E, że |BE| = 1/5 |BC|. Pole trójkąta ABC wynosi 20. Oblicz pole trójkąta DBE. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z zaznaczonymi punktami D i E na bokach AB i BC.
• Strona 75: Zadanie 1: Zapiszemy wzór na pole trójkąta ABC, wykorzystując dane zadania: \( P_{ABC} = \frac{1}{2} |AB| \cdot |BC| \cdot \sin \beta \), gdzie \( 20 = \frac{1}{2} |AB| \cdot |BC| \cdot \sin \beta \), stąd \( |AB| \cdot |BC| \cdot \sin \beta = 40 \). Zadanie 2: Zapiszemy wzór na pole trójkąta DBE, wykorzystując warunek zadania: \( P_{DBE} = \frac{1}{2} |DB| \cdot |BE| \cdot \sin \beta \), gdzie \( P_{DBE} = \frac{3}{40} |AB| \cdot |BC| \cdot \sin \beta \). Zadanie 3: Do otrzymanego wzoru na pole trójkąta DBE podstawimy wynik z punktu 1: \( P_{DBE} = \frac{3}{40} \cdot 40 = 3 \). Na rysunku przedstawiono trójkąt ABC z zaznaczonym kątem \(\beta\).
• Strona 76: Sposób 3. Zadanie 1: Zapisz wzór na pole trójkąta ABC, wykorzystując dane: P_ABC = 1/2 * |AB| * h_C, gdzie 20 = 1/2 * |AB| * h_C, stąd |AB| * h_C = 40. Zadanie 2: Zapisz wzór na pole trójkąta DBE, wykorzystując warunek: P_DBE = 1/2 * |DB| * h_E, stąd P_DBE = 3/8 * |AB| * h_E. Zadanie 3: Trójkąty C1BC i E1BE są podobne, stąd h_E/h_C = 1/5. Zadanie 4: Podstaw do wzoru na pole trójkąta DBE wynik z punktu 1 i 3, otrzymując P_DBE = 3. Na rysunku trójkąty ABC i DBE z wysokościami h_C i h_E.
• Strona 77: Zadanie 35: Na podstawie twierdzenia Pitagorasa udowodnij ogólniejszą własność. Rozważ trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy wierzchołku A. Bok CA, AB, BC jest podstawą trójkątów podobnych CAW₁, ABW₂, CBW₃. Trójkąty te mają odpowiednie kąty o równych miarach. Pola trójkątów CAW₁, ABW₂, CBW₃ oznacz jako P₁, P₂, P₃. Udowodnij, że P₃ = P₁ + P₂. Diagram z trójkątem i siatka do rozwiązania.
• Strona 79: Zadanie 1: Wysokości trzech trójkątów CAW₁, ABW₂, CBW₃ oznaczone jako h₁, h₂, h₃, zapisz wzory na pola P₁, P₂, P₃. Zadanie 2: Zapisz związki z podobieństwa trójkątów, wyznacz h₂ i h₃. Zadanie 3: Zapisz wzory na pola trójkątów z zależności. Zadanie 4: Oblicz sumę P₁ + P₂. Zadanie 5: Użyj twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC. Zadanie 6: Wykaż, że P₁ + P₂ = P₃, kończąc dowód.
• Strona 81: Zadanie 36: Dany jest prostokąt ABCD, w którym |AD|=2. Kąt BDA ma miarę α, taką, że tg α=2. Przekątna BD i prosta przechodząca przez wierzchołek C prostopadła do BD przecinają się w punkcie E. Oblicz długość odcinka |CE|. Rysunek przedstawia prostokąt z zaznaczonymi punktami A, B, C, D i E oraz kątem α.
• Strona 83: Zadanie 1: Zastosuj oznaczenia: ∠BDA=α, ∠ABD=β. W trójkącie prostokątnym ABD: α+β=90°. Zadanie 2: Wyodrębnij trójkąty prostokątne ABD, BCE, ECD. Wykaż podobieństwo trójkątów. Zadanie 3: Z podobieństwa trójkątów wynika: |AB|/|AD|=|EC|/|EB|=|DE|/|EC|=2. Zadanie 4: Zastosuj twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta ECD: x²+(2x)²=4², stąd x=|EC|=4√5/5. Na rysunkach trójkąty prostokątne z oznaczeniami kątów i boków.
• Strona 84: Zadanie 37: Trzy punkty A, B i D leżą na okręgu o środku S. Odcinek BD jest średnicą okręgu. Styczne k i l do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie C. Wykazać, że trójkąty ACB i ASD są podobne. Rysunek przedstawia okrąg z punktami A, B, D oraz styczne k i l. Wymagania ogólne i szczegółowe dotyczące rozumowania i argumentacji oraz planimetrii.
• Strona 87: Zadanie 3: Rozważamy czworokąt ACBS. Miara kąta ∠BSA oznaczona jako γ. Obliczono γ = 180° - α. Zadanie 4: Kąt ∠ASD przyległy do kąta ∠BSA, obliczono |∠ASD| = α. Zadanie 5: Trójkąt ASD równoramienny, obliczono |∠SDA| = |∠DAS| = 90° - α/2 = β. Zadanie 6: Trójkąty ACB i ASD podobne na mocy cechy: kąt, kąt, kąt. Diagramy przedstawiają okrąg wpisany i kąty w czworokącie.
• Strona 88: Zadanie 38: Dany jest trójkąt ABC o bokach długości: |AB| = 4, |BC| = 5, |AC| = 6. Na tym trójkącie opisano okrąg o środku w punkcie S i promieniu R. Oblicz promień R okręgu opisanego na trójkącie ABC. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z wpisanym okręgiem, gdzie |AB| = 4, |BC| = 5, |AC| = 6, a okrąg ma środek w punkcie S.
• Strona 90: Zadanie 39: Proste k i l przecinają się w punkcie A. Proste m, n i s są równoległe i przecinają k i l w punktach B, C, D, E, F, G. Dane: |BC|=30, |CD|=20, |GF|=21. Oblicz długość odcinka FE. Rysunek przedstawia układ prostych i punktów. Zastosowanie twierdzenia Talesa. Wymagania: dostrzeganie regularności, stosowanie twierdzeń geometrycznych. Wynik: |FE|=14.
• Strona 91: Zadanie 40: Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dany jest okrąg O określony równaniem: (x−2)² + (y+3)² = 16. Zadanie 40.1: Dokończ zdania. 1. Środek S okręgu O ma współrzędne: A) S = (2, −3), B) S = (−2, −3), C) S = (−2, 3), D) S = (−2, 3). 2. Promień r okręgu O jest równy: E) r = 16, F) r = 4, G) r = 5. Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymaganie szczegółowe: IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.
• Strona 92: Zadanie 40.2: Oblicz współrzędne x punktów przecięcia okręgu O z osią Ox. Wymagania ogólne: wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wymagania szczegółowe: rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych, posługiwanie się równaniem okręgu. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawne zapisanie równania i rozwiązanie, 1 pkt za wykorzystanie informacji o przecięciu osi Ox. Przykładowe rozwiązanie zawiera równania okręgu i osi Ox.
• Strona 93: Zadanie 41: Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dane są okrąg O o środku w punkcie S = (3, -4) i prosta k o równaniu 2x - y - 11 = 0. Okrąg O jest styczny do prostej k w punkcie P. Zadanie 41.1: Wyznacz i zapisz równanie okręgu O.
• Strona 94: Przykładowe pełne rozwiązanie. Rysunek przedstawia okrąg O styczny do prostej k, z punktem styczności P i środkiem S. 1. Zauważmy, że odległość punktu S od prostej k jest równa promieniowi okręgu O. Obliczono promień r jako \(\frac{\sqrt{5}}{5}\). 2. Zapisano równanie okręgu: \((x-3)^2 + (y+4)^2 = \frac{1}{5}\). Zadanie 41.2: Oblicz współrzędne punktu P, w którym okrąg O jest styczny do prostej k.
• Strona 96: Zadanie 2: Wyznacz równanie prostej \( k_\perp \) prostopadłej do \( k \) i przechodzącej przez punkt \( S \). Dana jest prosta \( k: y = 2x - 11 \). Prosta \( k_\perp \) ma równanie \( y = -\frac{1}{2}x + b \). Punkt \( S = (3, -4) \) należy do prostej \( k_\perp \), stąd \( b = -\frac{5}{2} \), więc \( k_\perp: y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2} \). Zadanie 3: Rozwiąż układ równań \( y = 2x - 11 \) i \( y = -\frac{1}{2}x - \frac{5}{2} \), rozwiązanie \( P = \left(\frac{17}{5}, -\frac{21}{5}\right) \). Rysunek: okrąg z prostymi \( k \) i \( k_\perp \).
• Strona 98: Zadanie 42: Na płaszczyźnie kartezjańskiej dane są punkty A=(1,2) i B=(3,7). Punkty A₀ i B₀ są obrazami punktów A i B w symetrii środkowej względem punktu O=(0,0). Uzupełnij zdanie, zaznaczając właściwą odpowiedź. Współczynnik kierunkowy prostej przez punkty A₀ i B₀ to: A) 5/2, B) -5/2, C) 2/5, D) -2/5. Wymagania i zasady oceniania są podane poniżej. Rozwiązanie: A.
• Strona 99: Zadanie 43: Dany jest prostopadłościan ABCDEFGH, w którym prostokąty ABCD i EFGH są podstawami. Odcinek BH jest przekątną tego prostopadłościanu. Zadanie 43.1: Na którym rysunku prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt α pomiędzy przekątną BH prostopadłościanu a jego ścianą boczną ADHE? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych: A) α = ∠BHD, B) α = ∠BHE, C) α = ∠BHA, D) α = ∠BHK.
• Strona 100: Zadanie 43.2: W prostopadłościanie ABCDEFGH dane są: tg β = 9/7, |BG| = 2√130, |BH| = 2√194. Odcinek BH jest przekątną prostopadłościanu, BG jest przekątną ściany bocznej BCGF, β to miara kąta ∠GBC. Na rysunku przedstawiono prostopadłościan z zaznaczonymi odcinkami i kątem β. Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu ABCDEFGH.
• Strona 102: Przykładowe pełne rozwiązanie zadania dotyczącego prostopadłościanu. Wprowadzenie oznaczeń dla odcinków a, b, c, d, e. Zadanie 1: wyznaczenie zależności między b a c w trójkącie BCG, tg β = 9/7, c = (9/7)b. Zadanie 2: zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCG, b² + c² = e², b = 14, c = 18. Zadanie 3: trójkąt BGH prostokątny, obliczenie a, a = 16. Zadanie 4: obliczenie pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu, Pc = 1528. Rysunek prostopadłościanu z oznaczeniami odcinków.
• Strona 103: Zadanie 44: dane są dwa prostopadłościany podobne: B₁ oraz B₂. Objętość prostopadłościanu B₁ jest równa V, a objętość prostopadłościanu B₂ jest równa 27V. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu B₁ jest równe P. Polecenie: dokończ zdanie, zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Opcje odpowiedzi: A) 27P, B) 9P, C) 3√3P. Uzasadnienia: 1) stosunkowi objętości, 2) pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku objętości, 3) kwadratowi stosunku długości odcinków.
• Strona 104: Zadanie 45: Hania zaprojektowała czapeczkę w kształcie powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy d = 20 cm, wysokości H = 25 cm i tworzącej l. Rysunek 1 przedstawia wycinek koła o promieniu l i środku S. Rysunek 2 pokazuje stożek z podstawą o średnicy d. Zadanie 45.1: Dokończ zdanie. Kąt rozwarcia stożka, którego powierzchnią boczną jest czapeczka, ma miarę: A) 44°, B) 136°, C) 22°, D) 68°.
• Strona 105: Zadanie 45.2: Oblicz miarę kąta ∠BSA wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka opisanego we wstępie do zadania. Miara kąta ∠BSA podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.
• Strona 107: Zadanie 1: Wyprowadzenie wzoru na miarę kąta α w wycinku koła, wzór α = (r/l) * 360°. Zadanie 2: Wyrażenie l poprzez H i d na podstawie twierdzenia Pitagorasa, l = √(H² + (d/2)²). Zadanie 3: Zapisanie wzoru na miarę kąta α i obliczenie, α = 134°. Sposób 2: Wyprowadzenie wzoru końcowego na symbolach danych, α = (r/l) * 360°, krok 2 i 3 jak w sposobie 1.
• Strona 108: Zadanie 46: pojedynczy znak w piśmie Braille’a to kombinacja od 1 do 6 wypukłych punktów w dwóch kolumnach po trzy miejsca. Przykład napisu "matury" w Braille’u z czarnymi kropkami jako wypukłościami i białymi jako ich brak. Polecenie: oblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a. Wymagania ogólne i szczegółowe dotyczące interpretacji informacji i kombinatoryki. Zasady oceniania z punktacją za poprawną metodę i wynik 63.
• Strona 111: Zadanie 47: Andrzej ma w szafie 4 koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; 3 pary spodni: niebieskie, czarne i szare; oraz 5 par butów: czarne, szare, zielone, czerwone i niebieskie. Zadanie 47.1: Dokończ zdanie. Liczba wszystkich możliwych, różnych zestawów ubrania, jakie może wybrać Andrzej, jest równa A) 12 B) 72 C) 60 D) 720. Rozwiązanie C.
• Strona 112: Zadanie 47.2: Oblicz, na ile sposobów można wybrać taki zestaw, w którym dokładnie jeden element ubioru będzie niebieski. Wymagania ogólne i szczegółowe dotyczą wykorzystania reprezentacji i kombinatoryki. Zasady oceniania: 3 pkt za prawidłowe zastosowanie reguły mnożenia i dodawania, 2 pkt za częściowe zastosowanie reguł, 1 pkt za rozpisanie zestawów lub częściowe obliczenia, 0 pkt za niepoprawne rozwiązanie.
• Strona 113: Przykładowe pełne rozwiązanie przedstawia schematy zestawów ubrań z jednym niebieskim elementem. Zadanie 1: Niebieska koszula, spodnie czarne lub szare (2 możliwości), buty czarne, szare, zielone, czerwone (4 możliwości). Zestawów: 2 * 4 = 8. Zadanie 2: Niebieskie spodnie, koszule czerwona, żółta, zielona (3 możliwości), buty jak w zadaniu 1. Zestawów: 3 * 4 = 12. Zadanie 3: Niebieskie buty, koszule jak w zadaniu 2, spodnie czarne lub szare (2 możliwości). Zestawów: 3 * 2 = 6. Zadanie 4: Suma zestawów: 8 + 12 + 6 = 26.
• Strona 114: Zadanie 48: spośród wszystkich czterocyfrowych liczb całkowitych dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana liczba będzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie jedna cyfra 3. Wymagania ogólne obejmują wykorzystanie reprezentacji i argumentację. Wymagania szczegółowe dotyczą kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. Zasady oceniania opisują poprawną metodę obliczeń i wynik.
• Strona 118: Zadanie 49: Paweł i Grzegorz grają w grę losową z użyciem sześciennej kostki. Jeśli wypadnie liczba oczek mniejsza od 4, Grzegorz daje Pawłowi 10 żetonów. Jeśli wypadnie 6, Paweł daje Grzegorzowi x żetonów. W pozostałych przypadkach nikt nie zyskuje ani nie traci żetonów. Oblicz ustaloną przez Pawła i Grzegorza liczbę x żetonów, tak aby wartość oczekiwana zysku Pawła była równa wartości oczekiwanej zysku Grzegorza.
• Strona 119: Zadanie 1: Określenie zdarzeń i ich prawdopodobieństw dla wymiany żetonów w grze. Zdarzenie A: liczba oczek mniejsza od 4, A={1,2,3}, P(A)=1/2. Zdarzenie B: liczba oczek równa 6, B={6}, P(B)=1/6. Zdarzenie C: liczba oczek równa 4 lub 5, C={4,5}, P(C)=1/3. Zadanie 2: Zyski Pawła przy zdarzeniach A, B, C: Z_P(A)=+10 żetonów, Z_P(B)=-x żetonów, Z_P(C)=0 żetonów. Prawdopodobieństwa zysków odpowiadają prawdopodobieństwom zdarzeń.
• Strona 120: Zadanie 3: oblicz wartość oczekiwaną zysku z gry Pawła, korzystając ze wzoru IE_ZP = ZP(A) * P(ZP(A)) + ZP(B) * P(ZP(B)) + ZP(C) * P(ZP(C)), gdzie IE_ZP = 5 - x/6. Zadanie 4: analogicznie zapisz wyrażenie na wartość oczekiwaną zysku z gry Grzegorza, zyski ZG(A) = -10, ZG(B) = +x, ZG(C) = 0, IE_ZG = -5 + x/6. Zadanie 5: zgodnie z warunkiem, wartości oczekiwane zysków są równe, IE_ZP = IE_ZG, co daje x = 30 żetonów.
• Strona 122: Zadanie 50: wykres słupkowy przedstawia rozkład miesięcznych zarobków pracowników firmy F; oś pozioma: wynagrodzenie w tys. zł, oś pionowa: liczba osób. Zadanie 50.1: dokończ zdanie, zaznacz odpowiedź A, B lub C oraz uzasadnienie 1, 2 lub 3; dominanta zarobków: A) 10 tys. zł, B) 4,5 tys. zł, C) 4 tys. zł; uzasadnienia: 1) najwięcej osób, 2) największa wartość, 3) największy iloczyn. Wymagania: interpretacja danych, znajdowanie dominanty.
• Strona 123: Zadanie 50.2: Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Mediana miesięcznych zarobków w firmie F jest ............... tys. zł. Wymagania ogólne: interpretowanie informacji przedstawionych w tekście, wykresach, diagramach, tabelach. Wymagania szczegółowe: rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, znajdowanie mediany. Zasady oceniania: 1 pkt za rozwiązanie poprawne. Rozwiązanie: Mediana zarobków w firmie F to 4,5 tys. zł.
• Strona 124: Zadanie 50.3: Oblicz, jaki procent liczby wszystkich pracowników firmy F stanowią osoby zarabiające 5,5 tys. zł lub mniej. Wymagania ogólne: interpretowanie informacji w formie tekstu, wykresów, tabel. Wymagania szczegółowe: stosowanie skali centylowej. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawną metodę i wynik 87%. Przykładowe rozwiązanie: suma osób zarabiających 5,5 tys. zł lub mniej to 65, co stanowi 87% z 75 pracowników.
• Strona 125: Zadanie 50.4: oblicz średnią miesięcznego wynagrodzenia netto wszystkich pracowników firmy F. Wynik podaj bez zaokrąglania. Strona zawiera tabelę do wypełnienia oraz szczegółowe wymagania dotyczące interpretacji i operowania informacjami matematycznymi. Przykładowe rozwiązanie pokazuje obliczenia średniej arytmetycznej z podanych danych, wynik to 4,48 tys. zł.
• Strona 128: Zadanie 1: dokończ zdanie, zaznacz prawidłową odpowiedź. Wartość wyrażenia 2021: (1 - 1/2022) - (1 - 2022/2021) * 1/2021 jest równa. A) 0, B) 1, C) 2021, D) 2023. Rozwiązanie D. Zadanie 3: klient wpłacił na lokatę, oprocentowanie 3% rocznie, po 10 latach kwota większa o: A) 30%, B) 34%, C) 36%, D) 43%. Rozwiązanie B.
• Strona 129: Zadanie 19: Dana jest funkcja y=f(x). Wykres funkcji przedstawiono w układzie współrzędnych, x ∈ [-5, 8]. Zadanie 19.1: Zapisz zbiór argumentów, dla których f(x) > 2. Pełne rozwiązanie: [-5, -1) ∪ (7, 8]. Zadanie 19.2: Zapisz przedział, w którym funkcja f jest malejąca. Pełne rozwiązanie: [-3, 3]. Zadanie 19.3: Uzupełnij zdanie o największej i najmniejszej wartości funkcji f.
• Strona 130: Zadanie 22: Koszykarz rzucił piłkę do kosza, której tor ruchu opisuje równanie paraboli y = -0,174x² + 1,3x + 2,5. Środek piłki w chwili początkowej był w punkcie (0, 2,5), a kosz znajduje się w odległości 7,01 m na osi x. Rzut był celny, a piłka przeszła przez środek obręczy kosza. Na rysunku przedstawiono tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.
• Strona 131: Zadanie 22.1: Dokończ zdanie. Zaznacz prawidłową odpowiedź. Obręcz kosza jest na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do 0,01 m) A) 3,04 m, B) 3,06 m, C) 3,8 m, D) 4,93 m. Rozwiązanie: B. Zadanie 22.2: Oblicz wysokość maksymalną, na jakiej będzie środek piłki podczas opisanego rzutu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku. Zasady oceniania: 2 pkt za poprawną metodę i wynik 4,93 m.
• Strona 132: Przykładowe pełne rozwiązania. Sposób 1: Obliczanie maksymalnej wysokości środka piłki przy użyciu wzoru na wierzchołek paraboli. Sposób 2: Przekształcenie funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej i obliczenie maksymalnej wysokości. Zadanie 22.3: Oblicz współrzędną x punktu środka piłki w momencie, gdy piłka dotknęła podłogi. Promień piłki wynosi 0,12 m. Zapisz wynik z zaokrągleniem do drugiego miejsca po przecinku.
• Strona 134: Zadanie 28: Powierzchnia magazynowa będzie na dwóch prostokątnych działkach z wspólnym bokiem. Całość ogrodzona płotem z dwiema bramami wjazdowymi po 10 m. Łączna długość płotu to 580 m. Oblicz wymiary x i y działek, aby pole powierzchni było największe. Rysunek przedstawia dwa prostokąty z wymiarami y, y, x oraz bramy 10 m. Zasady oceniania: 4 pkt za poprawne obliczenie x=100 m, y=75 m.
• Strona 136: Zadanie 30: W trójkącie ABC dane są długości boków |AB| = 12, |BC| = 8 oraz miara kąta |∠ABC| = 60°. Na rysunku przedstawiono trójkąt ABC z zaznaczoną środkową AD. Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka A.
• Strona 139: Zadanie 45: Hania zrobiła czapeczkę w kształcie powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy d = 20 cm, wysokości H = 25 cm i tworzącej l. Rysunek 1: wycinek koła o promieniu l i środku S. Rysunek 2: stożek z oznaczeniami l, H, d. Zadanie 45.1: Dokończ zdanie. Kąt rozwarcia stożka, którego powierzchnią boczną jest czapeczka, ma miarę (w zaokrągleniu do 1°). A) 44°, B) 136°, C) 22°, D) 68°. Skorzystaj z tablic wartości funkcji trygonometrycznych.
• Strona 140: Zadanie 45.2: Oblicz miarę kąta ∠BSA wycinka koła (rysunek 1), z którego powstała czapeczka. Kąt ∠BSA podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia. Rysunek przedstawia wycinek koła z oznaczeniami: SAB - długość łuku, PABS - pole wycinka, r - promień, α - miara kąta, β - połowa miary kąta rozwarcia stożka. Obok stożek z oznaczeniami: S - wierzchołek, l - tworząca, H - wysokość, r - promień podstawy.
• Strona 142: Zadanie 46: Pojedynczy znak w piśmie Braille’a jest kombinacją od 1 do 6 wypukłych punktów w dwóch kolumnach po trzy miejsca w każdej. Przykład napisu: "matury" w piśmie Braille’a. Oblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a. Zasady oceniania: 2 pkt za prawidłową metodę i wynik 63; 1 pkt za wzór na liczbę znaków bez warunku zadania; 0 pkt za błędną metodę. Przykładowe rozwiązanie: zastosowanie zasady mnożenia.
• Strona 144: Zadanie 1: Zbiór A1 zawiera elementy {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}, gdzie |A1| = 6. Zadanie 2: Zbiór A2 zawiera pary {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)}, gdzie |A2| = 15. Zadanie 3: Zbiór A3 zawiera trójki {(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,2,6), (1,3,4), (1,3,5), (1,3,6), (1,4,5), (1,4,6), (1,5,6), (2,3,4), (2,3,5), (2,3,6), (2,4,5), (2,4,6), (2,5,6), (3,4,5), (3,4,6), (3,5,6), (4,5,6)}, gdzie |A3| = 20. Zadanie 4: Zauważenie dotyczące przyporządkowania znaków w piśmie Braille’a z różną liczbą punktów wypukłych. Podano wzory |A4| = |A2| = 15, |A5| = |A1| = 6, |A6| = 1. Wszystkich znaków w piśmie Braille’a jest 63.
• Strona 145: Zadanie 49: Paweł i Grzegorz grają w grę losową z kostką sześcienną. Gdy wypadnie 1, 2 lub 3, Grzegorz daje Pawłowi 10 żetonów. Gdy wypadnie 6, Paweł daje Grzegorzowi x żetonów. W pozostałych przypadkach nikt nie dostaje żetonów. Oblicz liczbę x, aby wartość oczekiwana zysku Pawła była równa wartości oczekiwanej zysku Grzegorza. Zasady oceniania i przykładowe rozwiązania podane poniżej.
• Strona 146: Zadanie 1: Określenie zdarzeń i ich prawdopodobieństw przy wymianie żetonów w grze. Zdarzenie A: wypadło 1, 2 lub 3 oczka, P(A) = 1/2. Zdarzenie B: wypadło 6 oczek, P(B) = 1/6. Zdarzenie C: wypadło 4 lub 5 oczek, P(C) = 2/6. Zadanie 2: Zyski Pawła przy zdarzeniach A, B, C: Z_P(A) = +10 żetonów, Z_P(B) = -x żetonów, Z_P(C) = 0 żetonów. Prawdopodobieństwa zysków: P(Z_P(A)) = 1/2, P(Z_P(B)) = 1/6, P(Z_P(C)) = 2/6.
• Strona 147: Zadanie 3: Oblicz wartość oczekiwaną zysku z gry Pawła, korzystając ze wzoru: \(E_{Z_P} = Z_P(A) \cdot P(Z_P(A)) + Z_P(B) \cdot P(Z_P(B)) + Z_P(C) \cdot P(Z_P(C))\). Wynik: \(E_{Z_P} = 5 - \frac{x}{6}\). Zadanie 4: Zapisz wyrażenie na wartość oczekiwaną zysku z gry Grzegorza, zyski: \(Z_G(A) = -10\), \(Z_G(B) = +x\), \(Z_G(C) = 0\). Wynik: \(E_{Z_G} = -5 + \frac{x}{6}\). Zadanie 5: Wartości oczekiwane zysków Pawła i Grzegorza są równe, wyznacz \(x\): \(x = 30\) żetonów.
• Strona 7: Zmiana formuły arkusza zwiększa maksymalną liczbę punktów z 50 do 46. Anulowane lub zmodyfikowane zadania z powodu niezgodności z wymaganiami: Zadanie 11 (s. 25-26), Zadanie 13 (s. 28-29), Zadanie 15 (s. 31-32), Zadanie 16 (s. 32-36), Zadanie 17 (s. 37), Zadanie 23 (s. 50-51), Zadanie 35 (s. 77-80), Zadanie 37 (s. 84-87), Zadanie 38 (s. 88-89), Zadanie 40.2 (s. 92-93), Zadanie 41 (s. 93-97), Zadanie 43.2 (s. 100-102), Zadanie 45 (s. 104-107), Zadanie 49 (s. 118-121), Zadanie 45 (s. 139-141), Zadanie 49 (s. 145-147).