Matura podstawowa z matematyki | Sierpień 2024

Zadanie 1

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(2024 : \Big(1 - \frac{1}{2025} \Big) - \Big(1 - \frac{2025}{2024} \Big) : \frac{1}{2024}\ \) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2024\)

D. \(2026\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Pensja pana \(X\) jest o \(50\%\) wyższa od średniej krajowej, a pensja pana \(Y\) jest o \(40\%\) niższa od średniej krajowej.

Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A–D oraz odpowiedź spośród E–H.

\(1.\) Pensja pana \(X\) jest wyższa od pensji pana \(Y\)

Wybierz odpowiedź:

A. o \(40\%\) pensji pana \(Y\).

B. o \(90\%\) pensji pana \(Y\).

C. o \(150\%\) pensji pana \(Y\).

D. o \(275\%\) pensji pana \(Y\).

\(2.\) Pensja pana \(Y\) jest niższa od pensji pana \(X\)

Wybierz odpowiedź:

E. o \(60\%\) pensji pana \(X\).

F. o \(73\%\) pensji pana \(X\).

G. o \(90\%\) pensji pana \(X\).

H. o \(150\%\) pensji pana \(X\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \((3n + 5)^2 + 11n^2 - 18\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że \(a < b\) oraz obie są niepodzielne przez \(3\).

Udowodnij, że liczba \(a^2 + 11ab + b^2\) jest podzielna przez \(9\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\) liczba \(n(n^2 + 3n + 2)\) jest podzielna przez \(6\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\frac{\sqrt[3]{250} + \sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250} - \sqrt[3]{54}}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\sqrt[3]{\frac{76}{49}}\)

B. \((-1)\)

C. \(4\)

D. \(4\sqrt[3]{2}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Udowodnij, że liczba \(3^{45} + 9^{22} + 27^{14}\) jest podzielna przez \(37\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(|\sqrt{5} − 1| − 3|2 − \sqrt{5}|\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-7)\)

B. \(5 - 4\sqrt{5}\)

C. \(4\sqrt{5} - 7\)

D. \(5 - 2\sqrt{5}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi \(3\%\) w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Po \(10\) latach oszczędzania w tym banku (i bez wypłacania kapitału ani odsetek w tym okresie) kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na samym początku o (w zaokrągleniu do \(1\%\))

Wybierz odpowiedź:

A. \(30\%\)

B. \(34\%\)

C. \(36\%\)

D. \(43\%\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Na wykresie przedstawiono zależność \(\log K(t)\), gdzie \(K(t)\) jest liczbą bakterii w próbce po czasie \(t\) wyrażonym w godzinach, jaki upłynął od chwili \(t = 0\) rozpoczęcia obserwacji.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Gdy upłynęły dokładnie trzy godziny od chwili \(t = 0\), liczba \(K\) bakterii była równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(3\)

B. \(100\)

C. \(1000\)

D. \(10000\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_2 \Big[(\sqrt{2})^2 \cdot (\sqrt{2})^4 \cdot (\sqrt{2})^8 \Big]\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\sqrt{2}\)

B. \(7\)

C. \(14\)

D. \(2^7\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Dane są liczby \(a = \log_2(3\sqrt{5} + \sqrt{13})\) oraz \(b = \log_2(3\sqrt{5} − \sqrt{13})\).

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(a + b\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\log_245\)

B. \(\log_230\)

C. \(4\)

D. \(5\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Dane są dwie liczby \(x\) i \(y\), takie że iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\).

Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{x + y}{x}\).

Wynik podaj w postaci \(\frac{a + \sqrt{b}}{c}\), gdzie \(a\), \(b\), \(c\) są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Dane są liczby \(a = \sqrt{5} - 2\) oraz \(b = \sqrt{5} + 2\).

Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{a \cdot b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}\) dla podanych \(a\) i \(b\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Dana jest liczba \(x = a - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2\), gdzie \(a\) należy do zbioru liczb rzeczywistych. W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}\) są niewymierne.

Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe.

Liczba \(x\) jest wymierna dla

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Dane jest wyrażenie \(W(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 4} \cdot \frac{x - 2}{x}\).

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Prawda

Fałsz

Jeżeli wartość wyrażenia \(W(x)\) jest okreslona, to \(W(x) = \frac{2x}{x + 2}\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Dana jest nierówność

\(\frac{2x - 1}{2} - \frac{x + 2}{3} \ge \frac{1}{6}\)

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wybierz odpowiedź:

A.

Kliknij, aby powiększyć

B.

Kliknij, aby powiększyć

C.

Kliknij, aby powiększyć

D.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Dane jest równanie

\(\frac{2}{2x + 1} = \frac{x - 1}{x + 2}\)

Wyznacz dziedzinę tego równania. Rozwiąż to równanie.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Rozwiąż nierówność

\((3x - 4)(x - 1) < x\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Rozważmy takie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki:

\(a \ne 0\), \(b \ne 0\ \) oraz \(\ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + 3ab + b^2)\).

Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{a}{b}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\), spełniających powyższe warunki.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układ równań \(\begin{cases} x + 2y = 1\\ -4x -8y = -4 \end{cases}\)

Wybierz odpowiedź:

A. nie ma rozwiązań.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania.

D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Funkcja \(y = f(x)\) jest określona za pomocą tabeli

Kliknij, aby powiększyć

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja \(f\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Prawda

Fałsz

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(f\) jest symetryczny względem osi \(Oy\).

Prawda

Fałsz

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(3\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresy funkcji liniowych \(f(x) = (2m + 7)x + 5\) oraz \(g(x) = 3x\) nie mają punktów wspólnych dla

Wybierz odpowiedź:

A. \(m = -2\)

B. \(m = -1\)

C. \(m = 1\)

D. \(m = 2\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem:

\(f(x) = \begin{cases} 2x - 6 &\text{dla } x \le 2 \\ x - 4 &\text{dla } x > 2 \end{cases}\)

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba

Wybierz odpowiedź:

A. \((-6)\)

B. \((-4)\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x) = x^2 − b − 2\sqrt{2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest \(x = \sqrt{2} + 1\).

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \((-3)\)

B. \(3\)

C. \(3 - \sqrt{2}\)

D. \(3 - 2\sqrt{2}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = 3x^2 + 2x + m\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Współczynnik \(m\) jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie \(1.\), \(2.\) albo \(3.\)

Funkcja \(f\)

Wybierz odpowiedź:

A. ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe,

B. ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe,

C. nie ma rzeczywistych miejsc zerowych,

ponieważ

Wybierz odpowiedź:

1. \(4 - 12m > 0\)

2. \(4 - 12m = 0\)

3. \(4 - 12m < 0\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

Wykres funkcji \(y = f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Zapisz zbiór rozwiązań nierówności \(f(x) > 2\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Wykres funkcji \(y = f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale

Wybierz odpowiedź:

A. \([-5, -3]\)

B. \([3, 8]\)

C. \([0, 6]\)

D. \([-3, 3]\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Wykres funkcji \(y = f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach tak, aby zdania były prawdziwe.

\(1.\) Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(......\) .

\(2.\) Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \([6, 8]\) jest równa \(......\) .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\(f(x) = \begin{cases} x + 4, &\text{dla } x \in [-8, 0] \\ 4, &\text{dla } x \in (0, 4] \\ -2x + 12, &\text{dla } x \in (4, 6) \end{cases}\)

Wykres funkcji \(y = f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach tak, aby zdania były prawdziwe.

\(1.\) Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(.........\) . \(2.\) Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(.........\) . \(3.\) Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział \(.........\) . \(4.\) Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x) = 4\) jest przedział \(.........\) .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

Dana jest funkcja kwadratowa \(y = f(x)\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych, jeżeli wiadomo, że jeden ze wzorów podanych w odpowiedziach A–D to wzór funkcji \(f\).

Funkcja kwadratowa \(y = f(x)\) jest określona wzorem

Wybierz odpowiedź:

A. \(y = −(x + 5)^2 − 6\)

B. \(y = −(x + 5)^2 + 6\)

C. \(y = −(x - 5)^2 − 6\)

D. \(y = −(x - 5)^2 + 6\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Do wykresu pewnej funkcji kwadratowej \(y = g(x)\) należy punkt o współrzędnych \((2, −6)\). Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu \(x = 3\), a jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest \(x_1 = 1\).

Wyznacz wzór funkcji \(g\) w postaci iloczynowej.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem ruchu rzuconej piłki – przy pominięciu oporów powietrza – jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości \(x_k = 7.01\) m, licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej. Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie \(x_0 = 0\), \(y_0 = 2.50\) m. Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:

\(y = −0.174x^2 + 1.3x + 2.5\)

Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obręcz kosza znajduje się na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do \(0.01\) m)

Wybierz odpowiedź:

A. \(3.04\) m

B. \(3.06\) m

C. \(3.80\) m

D. \(4.93\) m

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 35

Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem ruchu rzuconej piłki – przy pominięciu oporów powietrza – jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości \(x_k = 7.01\) m, licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej. Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie \(x_0 = 0\), \(y_0 = 2.50\) m. Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:

\(y = −0.174x^2 + 1.3x + 2.5\)

Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego rzutu. Wynik zapisz w metrach w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 36

Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem ruchu rzuconej piłki – przy pominięciu oporów powietrza – jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości \(x_k = 7.01\) m, licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej. Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie \(x_0 = 0\), \(y_0 = 2.50\) m. Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:

\(y = −0.174x^2 + 1.3x + 2.5\)

Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.

Kliknij, aby powiększyć

W opisanym rzucie piłka przeleciała swobodnie przez obręcz kosza i upadła na parkiet. Przyjmij, że obręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody. Promień piłki jest równy \(0.12\) m.

Oblicz współrzędną \(x\) środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu. Wynik zapisz w metrach w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 37

Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę – tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder \(N(t)\) izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie \(t\), licząc od chwili \(t_0 = 0\), wyraża się zależnością wykładniczą:

\(N(t) = N_o \cdot \big(\frac{1}{2}\big)^{\frac{t}{T}}\)

gdzie \(N_0\) jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej \(t_0 = 0\).

Na poniższych rysunkach \(1.–4.\) przedstawiono wykresy zależności, z których dokładnie jeden poprawnie ilustruje \(N(t)\).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykres zależności wykładniczej \(N(t)\) – opisanej we wstępie do zadania – przedstawiono na

Wybierz odpowiedź:

A. rysunku \(1\).

B. rysunku \(2\).

C. rysunku \(3\).

D. rysunku \(4\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 38

Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę – tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder \(N(t)\) izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie \(t\), licząc od chwili \(t_0 = 0\), wyraża się zależnością wykładniczą:

\(N(t) = N_o \cdot \big(\frac{1}{2}\big)^{\frac{t}{T}}\)

gdzie \(N_0\) jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej \(t_0 = 0\).

Czas połowicznego rozpadu węgla \(^{14}\textrm{C}\) to około 5700 lat. Naukowcy oszacowali za pomocą datowania radiowęglowego, że masa izotopu węgla \(^{14}\textrm{C}\) w pewnym organicznym znalezisku archeologicznym stanowi \(\frac{1}{16}\) masy tego izotopu, jaka utrzymywała się podczas życia organizmu.

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do stu lat.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 39

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem rekurencyjnym:

\(\begin{cases} a_1 = -2 \\ a_{n + 1} = n\cdot a_n + 4 \end{cases}\ \) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\)

Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 40

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem ogólnym \(a_n = 4n − 9\) dla każdej liczby naturalnej \(𝑛 \ge 1\).

Wykaż, że ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 41

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie \(1\)., \(2\). albo \(3\).

Ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = n^2 - n\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\) jest

Wybierz odpowiedź:

A. rosnący,

B. malejący,

C. stały,

ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\)

Wybierz odpowiedź:

1. różnica \(a_{n + 1} − a_n\) jest liczbą ujemną.

2. różnica \(a_{n + 1} − a_n\) jest równa zero.

3. różnica \(a_{n + 1} − a_n\) jest liczbą dodatnią.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 42

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 0\).

Oblicz wartość \(m\), dla której liczby \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\) są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 43

Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości \(10\) m (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie \(580\) metrów, przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu.

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz wymiary \(x\) oraz \(y\) każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 44

Dany jest kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\) oraz \(90\degree < \alpha < 180\degree\).

Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dla kąta o mierze \(\alpha\) spełnione jest równanie: \(\cos\alpha = -\frac{3}{5}\).

Prawda

Fałsz

Dla kąta o mierze \(\alpha\) spełnione jest równanie: \(|\tg\alpha| = \frac{3}{4}\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 45

W trójkącie \(ABC\) dane są długości dwóch boków \(|AB| = 12\), \(|BC| = 8\) oraz miara kąta \(|\measuredangle ABC| = 60\degree\).

Oblicz długość środkowej tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka \(A\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 46

Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej). Długości boków \(AB\) i \(AC\) są równe odpowiednio \(|AB| = 3r\) oraz \(|AC| = \sqrt{3}r\).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta \(ABC\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 47

Punkt \(S\) jest środkiem ciężkości trójkąta \(ABC\). Długość odcinka \(SA\) jest równa \(10\).

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka \(A\) do boku \(BC\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(10\)

B. \(15\)

C. \(20\)

D. \(30\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 48

Dane są okrąg o środku \(S\) oraz prosta \(k\) styczna do okręgu w punkcie \(A\). Odcinek \(AB\) jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą \(k\) a cięciwą \(AB\) jest równa \(50\degree\). Punkt \(C\) leży na okręgu. Kąt wpisany \(BCA\) jest ostry. Sytuację przedstawia rysunek poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta wpisanego \(BCA\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(100\degree\)

B. \(80\degree\)

C. \(50\degree\)

D. \(40\degree\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 49

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\) o bokach \(|AC| = 12\), \(|BC| = 5\), \(|AB| = 13\). Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość \(x\) punktu \(P\) od przeciwprostokątnej \(AB\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(\frac{5}{2}\)

D. \(\frac{20}{13}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 50

Dany jest trójkąt \(ABC\). Na boku \(AB\) tego trójkąta wybrano punkt \(D\), taki, że \(|AD| = \frac{1}{4}|AB|\), a na boku \(BC\) wybrano taki punkt \(E\), że \(|BE| = \frac{1}{5}|BC|\) (zobacz rysunek poniżej). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(20\).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz pole trójkąta \(DBE\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 51

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie.

Rozważmy trójkąt prostokątny \(ABC\) o kącie prostym przy wierzchołku \(A\). Niech każdy z boków tego trójkąta: \(CA\), \(AB\), \(BC\) będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: \(CAW_1\), \(ABW_2\), \(BCW_3\). Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach: \(W_1\), \(W_2\), \(W_3\).

Kliknij, aby powiększyć

Pola trójkątów: \(CAW_1\), \(ABW_2\), \(BCW_3\) oznaczymy odpowiednio jako \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\).

Udowodnij, że

\(P_3 = P_1 + P_2\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 52

Dany jest prostokąt \(ABCD\), w którym \(|AD| = 2\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(\alpha\), taką, że \(\tg \alpha = 2\). Przekątna \(BD\) i prosta przechodząca przez wierzchołek \(C\) prostopadła do \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz długość odcinka \(CE\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 53

Trzy różne punkty \(A\), \(B\) i \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu. Styczne \(k\) i \(l\) do tego okręgu, odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\), przecinają się w punkcie \(C\) (zobacz rysunek poniżej).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że trójkąty \(ACB\) i \(ASD\) są podobne.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 54

Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości: \(|AB| = 4\), \(|BC| = 5\), \(|AC| = 6\).

Oblicz sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta \(ABC\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 55

Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(A\). Proste \(m\), \(n\) i \(s\) są wzajemnie równoległe i przecinają obie proste \(k\) i \(l\) w punktach \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\) (zobacz rysunek poniżej), w taki sposób, że: \(|BC| = 30\), \(|CD| = 20\), \(|GF| = 21\).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz długość odcinka \(FE\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 56

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) określony równaniem:

\((x − 2)^2 + (y + 3)^2 = 16\)

Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A–C oraz odpowiedź spośród D–F.

\(1\). Środek \(S\) okręgu \(\mathcal{O}\) ma współrzędne

Wybierz odpowiedź:

A. \(S = (2, −3)\)

B. \(S = (-2, −3)\)

C. \(S = (-2, 3)\)

\(2\). Promień \(r\) okręgu \(\mathcal{O}\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

D. \(r = 16\)

E. \(r = 4\)

F. \(r = 5\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 57

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dane są punkty \(A = (1, 2)\) oraz \(B = (3, 7)\). Punkty \(A_O\) oraz \(B_O\) są odpowiednio obrazami punktów \(A\) i \(B\) w symetrii środkowej o środku w punkcie \(O = (0, 0)\).

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(A_O\) i \(B_O\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{5}{2}\)

B. \(\big(-\frac{5}{2}\big)\)

C. \(\frac{2}{5}\)

D. \(\big(-\frac{2}{5}\big)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 58

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest trapez \(ABCD\), w którym boki \(AB\) i \(CD\) są równoległe oraz \(C = (3, 15)\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) tego trapezu leżą na prostej o równaniu \(3x − y + 10 = 0\).

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Bok \(CD\) tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu

Wybierz odpowiedź:

A. \(y = 3x + 15\)

B. \(y = 3x + 6\)

C. \(y = \frac{5}{3}x + 10\)

D. \(y = -\frac{1}{3}x + 16\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 59

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), punkty \(A = (−1, −5)\), \(B = (2, −7)\), \(C = (6, 9)\) i \(D = (−2, 9)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\).

Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta \(ABCD\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 60

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S = \big(\frac{11}{2}, \frac{17}{2}\big)\). Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y = x − 2\), a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y = 3x − 6\).

Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 61

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A = (2, 8)\) oraz \(B = (10, 2)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABP\), w którym \(|AP| = |BP|\). Wierzchołek \(P\) leży na osi \(Ox\) układu współrzędnych.

Oblicz współrzędne punktu \(P\) oraz długość odcinka \(AP\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 62

Dany jest prostopadłościan \(ABCDEFGH\), w którym prostokąty \(ABCD\) i \(EFGH\) są jego podstawami. Odcinek \(BH\) jest przekątną tego prostopadłościanu.

Kliknij, aby powiększyć

Na którym rysunku prawidłowo oznaczono i podpisano kąt \(\alpha\) pomiędzy przekątną \(BH\) prostopadłościanu a jego ścianą boczną \(ADHE\)? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wybierz odpowiedź:

A.

Kliknij, aby powiększyć

B.

Kliknij, aby powiększyć

C.

Kliknij, aby powiększyć

D.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 63

Dany jest prostopadłościan \(ABCDEFGH\), w którym prostokąty \(ABCD\) i \(EFGH\) są jego podstawami. Odcinek \(BH\) jest przekątną tego prostopadłościanu.

Kliknij, aby powiększyć

W prostopadłościanie \(ABCDEFGH\) dane są:

\(\tg\beta = \frac{9}{7}\) \(|BG| = 2\sqrt{130}\) \(|BH| = 2\sqrt{194}\)

gdzie odcinek \(BH\) jest przekątną prostopadłościanu, odcinek \(BG\) jest przekątną ściany bocznej \(BCGF\), \(\beta\) jest miarą kąta \(GBC\). Sytuację ilustruje rysunek poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(ABCDEFGH\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 64

Dane są dwa prostopadłościany podobne: \(\mathcal{B}_1\) oraz \(\mathcal{B}_2\). Objętość prostopadłościanu \(\mathcal{B}_1\) jest równa \(V\), a objętość prostopadłościanu \(\mathcal{B}_2\) jest równa \(27V\). Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(\mathcal{B}_1\) jest równe \(P\).

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie \(1\)., \(2\). albo \(3\).

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(\mathcal{B}_2\) jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(27P\),

B. \(9P\),

C. \(3\sqrt{3}P\),

ponieważ stosunek pól powierzchni całkowitych prostopadłościanów podobnych jest równy

Wybierz odpowiedź:

1. stosunkowi objętości tych prostopadłościanów.

2. pierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku objętości tych prostopadłościanów.

3. kwadratowi stosunku długości odcinków odpowiadających w obu prostopadłościanach.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 65

Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy \(d = 20\) cm, wysokości \(H = 25\) cm i tworzącej \(l\).

Kliknij, aby powiększyć

Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę płaską \(ABS\) o kształcie wycinka koła o promieniu \(l\) i środku \(S\) (zobacz rysunek \(1.\)). Następnie wycięła tę figurę z kartonu, odpowiednio ją wymodelowała i skleiła odcinek \(SB\) z odcinkiem \(SA\) (zobacz rysunek \(2.\)).

Do obliczeń przyjmij, że rzeczywiste figury są idealne.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt rozwarcia stożka, którego powierzchnią boczną jest czapeczka, ma miarę (w zaokrągleniu do \(1\degree\))

Wybierz odpowiedź:

A. \(44\degree\)

B. \(136\degree\)

C. \(134\degree\)

D. \(68\degree\)

Wskazówka: skorzystaj z tablic wartości funkcji trygonometrycznych.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 66

Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy \(d = 20\) cm, wysokości \(H = 25\) cm i tworzącej \(l\).

Kliknij, aby powiększyć

Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę płaską \(ABS\) o kształcie wycinka koła o promieniu \(l\) i środku \(S\) (zobacz rysunek \(1.\)). Następnie wycięła tę figurę z kartonu, odpowiednio ją wymodelowała i skleiła odcinek \(SB\) z odcinkiem \(SA\) (zobacz rysunek \(2.\)).

Do obliczeń przyjmij, że rzeczywiste figury są idealne.

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz miarę kąta \(BSA\) wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka opisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta \(BSA\) podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 67

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30\degree\), a krawędź podstawy ma długość równą \(6\sqrt{3}\).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 68

Pole powierzchni bocznej walca jest równe \(16\pi\), a promień jego podstawy ma długość \(2\).

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego walca jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(16\)

B. \(32\)

C. \(16\pi\)

D. \(32\pi\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 69

Pojedynczy znak w piśmie Braille’a dla niewidomych jest kombinacją od \(1\) do \(6\) wypukłych punktów, które mogą zajmować miejsca ułożone w dwóch kolumnach po trzy miejsca w każdej kolumnie. Poniżej podano przykład napisu w piśmie Braille’a. Czarne kropki w znaku oznaczają wypukłości, a białe kropki oznaczają brak wypukłości. Pojedynczy znak w piśmie Braille’a musi zawierać co najmniej jeden punkt wypukły.

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz, ile różnych pojedynczych znaków można zapisać w piśmie Braille’a.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 70

Andrzej ma w szafie \(4\) koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; \(3\) pary spodni: niebieskie, czarne i szare; oraz \(5\) par butów: czarne, szare, zielone, czerwone i niebieskie.

Andrzej wybiera z szafy zestaw ubrania: jedną koszulę, jedną parę spodni i jedną parę butów. Zestawy ubrania wybierane przez Andrzeja określimy jako różne, gdy będą różniły się kolorem chociaż jednego rodzaju elementu ubioru w zestawie.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich możliwych, różnych zestawów ubrania, jakie może wybrać Andrzej, jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(12\)

B. \(72\)

C. \(60\)

D. \(720\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 71

Andrzej ma w szafie \(4\) koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; \(3\) pary spodni: niebieskie, czarne i szare; oraz \(5\) par butów: czarne, szare, zielone, czerwone i niebieskie.

Andrzej wybiera z szafy zestaw ubrania: jedną koszulę, jedną parę spodni i jedną parę butów. Zestawy ubrania wybierane przez Andrzeja określimy jako różne, gdy będą różniły się kolorem chociaż jednego rodzaju elementu ubioru w zestawie.

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz, na ile sposobów można wybrać taki zestaw, w którym dokładnie jeden element ubioru będzie niebieski.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 72

Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba będzie parzysta, a w jej zapisie dziesiętnym wystąpią dokładnie jedna cyfra \(2\) i dokładnie jedna cyfra \(3\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 73

Na wykresie słupkowym poniżej podano rozkład miesięcznych zarobków wszystkich pracowników w pewnej firmie \(\mathcal{F}\). Na osi poziomej podano – wyrażone w tysiącach złotych – miesięczne wynagrodzenie netto pracowników firmy \(\mathcal{F}\), a na osi pionowej przedstawiono liczbę osób, która osiąga podane zarobki.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie \(1\)., \(2\). albo \(3\).

Dominantą miesięcznych zarobków w firmie \(\mathcal{F}\) jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(10\) tys. zł,

B. \(4.5\) tys. zł,

C. \(4\) tys. zł,

ponieważ

Wybierz odpowiedź:

1. tę wartość zarobków osiąga najwięcej osób w firmie \(\mathcal{F}\).

2. ta wartość zarobków jest największa w firmie \(\mathcal{F}\).

3. iloczyn tej wartości zarobków i liczby osób z takimi zarobkami jest największy w firmie \(\mathcal{F}\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 74

Na wykresie słupkowym poniżej podano rozkład miesięcznych zarobków wszystkich pracowników w pewnej firmie \(\mathcal{F}\). Na osi poziomej podano – wyrażone w tysiącach złotych – miesięczne wynagrodzenie netto pracowników firmy \(\mathcal{F}\), a na osi pionowej przedstawiono liczbę osób, która osiąga podane zarobki.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Medianą miesięcznych zarobków w firmie \(\mathcal{F}\) jest \(.........\) tys. zł.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 75

Na wykresie słupkowym poniżej podano rozkład miesięcznych zarobków wszystkich pracowników w pewnej firmie \(\mathcal{F}\). Na osi poziomej podano – wyrażone w tysiącach złotych – miesięczne wynagrodzenie netto pracowników firmy \(\mathcal{F}\), a na osi pionowej przedstawiono liczbę osób, która osiąga podane zarobki.

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz średnią miesięcznego wynagrodzenia netto wszystkich pracowników firmy \(\mathcal{F}\). Wynik podaj bez zaokrąglania.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 76

Na wykresie słupkowym poniżej podano rozkład miesięcznych zarobków wszystkich pracowników w pewnej firmie \(\mathcal{F}\). Na osi poziomej podano – wyrażone w tysiącach złotych – miesięczne wynagrodzenie netto pracowników firmy \(\mathcal{F}\), a na osi pionowej przedstawiono liczbę osób, która osiąga podane zarobki.

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz, jaki procent liczby wszystkich pracowników firmy \(\mathcal{F}\) stanowi liczba osób zarabiających \(5.5\) tys. zł lub mniej. Wynik podaj w zaokrąglaniu do \(1\%\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 77

Ze zbioru sześciu liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że pierwsza wylosowana liczba będzie większa od drugiej wylosowanej liczby.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Informator

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie