Informator

Informator • CKE • wrzesień 2013 • formuła 2015

Informator matura podstawowa z matematyki. Poznaj strukturę egzaminu, rodzaje zadań i kryteria oceniania.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 1: Strona tytułowa informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015, wydanego przez Centralną Komisję Egzaminacyjną i Okręgowe Komisje Egzaminacyjne. Brak zadań do rozwiązania.

Przepraszam, ale nie mogę pomóc w analizie tej strony, ponieważ nie zawiera ona treści zadań matematycznych.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 4: Strona zawiera dane kontaktowe do Centralnej Komisji Egzaminacyjnej oraz Okręgowych Komisji Egzaminacyjnych w Gdańsku, Jaworznie, Krakowie, Łomży, Łodzi, Poznaniu, Warszawie i Wrocławiu. Podano adresy, numery telefonów oraz adresy e-mail do poszczególnych komisji. Brak zadań matematycznych na tej stronie.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 6: Zadanie 6: na rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny ABC, gdzie |AB|=6 cm, |BC|=8 cm, oblicz długość przeciwprostokątnej |AC|. Zadanie 7: wykres funkcji liniowej y=2x-3, znajdź współrzędne punktu przecięcia z osią OX. Zadanie 8: tabela z danymi przedstawia wyniki pomiarów temperatury, oblicz średnią arytmetyczną. Zadanie 9: ciąg dalszy zadania 5, oblicz pole prostokąta o bokach 4 cm i 7 cm.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 7: Strona zawiera wstęp do informatora o egzaminie maturalnym z matematyki na rok szkolny 2014/2015. Opisano podział na sześć części, obejmujących informacje o egzaminie, zasady oceniania, przykłady zadań otwartych i przykładowe zadania na poziomie podstawowym i rozszerzonym. Wskazano, że zadania w informatorze nie wyczerpują wszystkich typów zadań egzaminacyjnych i nie ilustrują wszystkich wymagań z matematyki.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 8: Strona zawiera tekst informacyjny dotyczący zasad obowiązujących na egzaminie maturalnym w roku szkolnym 2014/2015. Opisuje przepisy zawarte w rozporządzeniach Ministra Edukacji Narodowej z dnia 30 kwietnia 2007 r. oraz z 25 kwietnia 2013 r. Wspomina o dostępności Informatora na stronie internetowej Centralnej Komisji Egzaminacyjnej. Nie zawiera zadań matematycznych ani elementów graficznych.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 9: Opis egzaminu maturalnego z matematyki. Tekst omawia rolę matematyki na egzaminie maturalnym, podział wymagań na szczegółowe i ogólne oraz różnice między poziomem podstawowym a rozszerzonym. Wspomniane jest znaczenie zadań sprawdzających znajomość algorytmów i umiejętność posługiwania się nimi w kontekście praktycznym. Przykład zastosowania twierdzenia Pitagorasa do obliczeń geometrycznych. Strona nie zawiera konkretnych zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 10: Strona zawiera opis arkusza egzaminacyjnego dla poziomu podstawowego i rozszerzonego. Opisuje trzy grupy zadań: I grupa - zadania zamknięte z czterema odpowiedziami, punktowane w skali 0-1; II grupa - zadania otwarte krótkiej odpowiedzi, punktowane w skali 0-2; III grupa - zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi, punktowane w skali 0-4, 0-5 lub 0-6. Podobny podział dla poziomu rozszerzonego, z różnicą w punktacji III grupy (0-5, 0-6 lub 0-7).

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 11: Strona zawiera opis podstawowych zasad oceniania rozwiązań zadań otwartych. Omówiono punktację za zadania krótkiej odpowiedzi oraz zadania rozszerzonej odpowiedzi, w tym pokonanie zasadniczych trudności zadania. Wymieniono kategorie rozwiązań: brak istotnego postępu (0 pkt), istotny postęp bez pokonania trudności (1 pkt), pokonanie trudności bezbłędnie (2 pkt), rozwiązanie bezbłędne (3 pkt).

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 12: Strona zawiera opis punktacji za zadania otwarte. Wymienione są kryteria przyznawania punktów od 0 do 4 dla zadań na 4 punkty oraz od 0 do 5 dla zadań na 5 punktów. Opisane są sytuacje, w których rozwiązanie nie ma istotnego postępu, dokonano istotnego postępu, pokonano trudności z błędami, kontynuowano błędnie lub rozwiązano bezbłędnie.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 13: Przykładowy sposób przydziału punktów w zadaniu za 6 punktów: 1. brak istotnego postępu - 0 pkt, 2. niewielki postęp - 1 pkt, 3. istotny postęp bez pokonania trudności - 2 pkt, 4. błędy w pokonywaniu trudności - 3 pkt, 5. błędne pokonanie trudności - 4 pkt, 6. usterki w rozwiązaniu - 5 pkt, 7. bezbłędne rozwiązanie - 6 pkt. Celem jest zilustrowanie oceniania zadań otwartych z przykładami i uwagami.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 14: Zadanie I (0–3): Dany jest ostrokątny trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Na bokach, na zewnątrz trójkąta ABC, zbudowano kwadraty ABDE, BCFG i ACHJ. Wykazać, że pola trójkątów AHE i BEG są równe. Rozwiązanie: Omówienie czterech sposobów rozwiązania. Sposób I (trygonometryczny): Przyjęto oznaczenia: |AB|=|AE|=a, |AC|=|BC|=|BG|=b, kąty BAC i ABC równe α. Obliczenia pól za pomocą a, b i α. Wzory: P_AHE = 1/2 * |AE| * |AH| * sin∠EAH, P_BEG = 1/2 * |BE| * |BG| * sin∠EBG. Długości: |AH|=b√2, |BE|=a√2.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 15: Zadanie dotyczy dowodu równości kątów w trójkącie równoramiennym i ostrokątnym ABC, gdzie α > 45°. Obliczenia obejmują kąty EAH i EBG, z równości |∠EAH| = 225° - α = |∠EBG|. Obliczono pola trójkątów P_AHE i P_BEG za pomocą wzoru na pole trójkąta. Komentarz wyjaśnia kroki rozwiązania, w tym obliczenie długości boków i wykazanie równości kątów. Omówiono możliwe błędy, takie jak pominięcie współczynnika 1/2, i uznano rozwiązanie za niedokończone.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 16: Schemat oceniania zadania dotyczącego wykazania równości pól trójkątów. Istotny postęp: obliczenie długości boków AH i BE za pomocą boków AB i AC lub wykazanie równości kątów. Pokonanie zasadniczych trudności: obliczenie długości boków AH i BE oraz wykazanie równości kątów. Rozwiązanie pełne: wykazanie, że pola obu trójkątów są równe. Uwagi dotyczą obliczeń w trójkącie AHE, w tym wzory na długość boku AH i pole trójkąta.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 17: Opis sposobu II (stosunek pól) z wykorzystaniem własności trójkątów. Dane są trójkąty ABC i DEF, gdzie ∠A = ∠D. Proporcja pól trójkątów P_ABC/P_DEF = (|AB|·|AC|)/(|DE|·|DF|). Wzory na pola: P_ABC = 1/2·|AB|·|AC|·sin A, P_DEF = 1/2·|DE|·|DF|·sin D. Dowód geometryczny bez trygonometrii. Rysunek: trójkąty ABC, DEF, oraz wielokąt HJFG z trójkątami AHE i BEG, pokazujący równość kątów ∠EAH = ∠EBG. Proporcja pól P_AHE/P_BEG = 1, co dowodzi równości pól P_AHE = P_BEG.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 18: Kontynuacja rozwiązania zadania dotyczącego obliczeń długości odcinków AH i BE oraz wykazania równości kątów ∠EAH i ∠EBG. Opisano sposób rozwiązania z wykorzystaniem twierdzenia o stosunku pól. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania zawiera istotne kroki: obliczenie długości boków AH i BE, pokonanie trudności poprzez wykazanie równości kątów oraz pełne rozwiązanie z użyciem wzoru trygonometrycznego. Uwagi dotyczące rozwiązań niekompletnych.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 19: Sposób III (geometria analityczna) opisuje rozwiązanie zadania poprzez umieszczenie figur geometrycznych w układzie współrzędnych. Wykres przedstawia trójkąt równoramienny ABC w układzie współrzędnych z punktami A=(-a,0), B=(a,0), C=(0,h), gdzie a>0 i h>0. Trójkąt jest ostrokątny, co oznacza, że a<h. Zadanie polega na obliczeniu współrzędnych punktów E=(-a,-2a), G i H oraz pól trójkątów AHE i BEG.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 20: W zadaniu opisano obrót wektora [x, y] o 90° zgodnie z ruchem wskazówek zegara, co daje wektor [y, -x]. Podano wektory CA=[-a, -h], CH=[-h, a], BC=[-a, h], BG=[h, a], oraz współrzędne punktów G=(a+h, a), H=(-h, a+h). Wyznaczono równanie prostej AC: y=(h/a)x+h oraz prostopadłej przez C: y=(-a/h)x+h. Obliczono pola trójkątów AHE i BEG za pomocą wzoru na pole trójkąta z współrzędnymi.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 21: Strona zawiera uwagi dotyczące obliczania pól trójkątów oraz schemat oceniania III sposobu rozwiązania. Istotny postęp: umieszczenie trójkąta ABC w układzie współrzędnych i podanie współrzędnych wierzchołków. Pokonanie zasadniczych trudności: obliczenie współrzędnych punktów E, G i H. Rozwiązanie pełne: obliczenie pól trójkątów AHE i BEG oraz zauważenie, że te pola są równe. Uwagi dotyczące potencjalnych błędów przy wyznaczaniu współrzędnych i obliczaniu pól.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 22: Sposób IV (bezpośrednie obliczenie pól) opisuje konstrukcję w trójkącie ABC z wysokością CK. Punkt L jest rzutem prostokątnym punktu H na prostą KC, a punkt P rzutem punktu G na prostą AB. Rysunek przedstawia trójkąty CLH i BPG przystające do trójkątów AKC i BKC. Wzory i oznaczenia: |CH|=|AC|=|BC|=|BG|, kąty α=|∠BAC|=|∠ABC|, a=|AK|=|BK|, h=|CK|. Obliczenia dotyczą pola trójkąta EAH i podobieństwa trójkątów EAO i GPO.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 23: Strona zawiera fragment rozwiązania zadania dotyczącego dowodu geometrycznego. Wzory matematyczne: |BO|=|AO|-|AB|=2/3(2a+h)-2a=2/3(h-a) oraz P_EBG=P_EBO+P_GBO=1/2|BO|·|AE|+1/2|BO|·|GP|=1/2·2/3(h-a)·(2a+a)=a(h-a). Opis schematu oceniania IV sposobu rozwiązania, istotny postęp, pokonanie zasadniczych trudności oraz rozwiązanie pełne. Uwagi dotyczące błędów i niedokończonych rozwiązań.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 24: Zadanie II (0-5): Ile jest nieparzystych liczb naturalnych trzycyfrowych, w których co najmniej jedna cyfra jest dziewiątką? Rozwiązanie: Omówienie 6 sposobów rozwiązania tego zadania. Sposób I (umieszczenie dziewiątki): Opis błędnego rozumowania przy liczeniu wielokrotnym tych samych liczb. Przykłady umieszczania dziewiątki na różnych pozycjach i obliczenia liczby takich liczb. W sumie daje to 185 liczb. Analiza, które liczby zostały policzone wielokrotnie, i poprawa błędnego rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 25: Fragment zadania dotyczącego obliczeń z liczbami wielokrotnie liczonymi. Opisano sposób oceny rozwiązania: postęp niewielki (1 pkt), istotny postęp (2 pkt), pokonanie zasadniczych trudności (4 pkt), rozwiązanie pełne (5 pkt). Przykładowe obliczenia: 50 + 45 + 90 - 21 - 2 = 162.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 26: Sposób II (pierwsza dziewiątka) opisuje podział liczb na trzy grupy według pozycji dziewiątki. Pierwsza grupa: 50 liczb z dziewiątką na pierwszym miejscu. Druga grupa: 40 liczb z dziewiątką na drugim miejscu. Trzecia grupa: 72 liczby z dziewiątką na trzecim miejscu. Łącznie 162 liczby. Komentarz o metodzie i schemat oceniania: postęp niewielki (1 pkt), istotny postęp (2 pkt), pokonanie trudności (4 pkt), rozwiązanie pełne (5 pkt).

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 27: Opis sposobu III rozwiązania zadania dotyczącego liczby dziewiątek. Obliczenia pokazują, że istnieje 140 liczb z jedną dziewiątką i 21 liczb z dwiema dziewiątkami. W sumie daje to 162 liczby. Opisano sposób rozmieszczenia dziewiątek na różnych pozycjach w liczbie. Schemat oceniania obejmuje istotny postęp i pokonanie zasadniczych trudności z punktacją za poprawne obliczenia.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 28: Rozwiązanie pełne: podanie pełnej odpowiedzi dotyczącej liczby trzycyfrowych liczb nieparzystych, które nie zawierają cyfry 9. Sposób IV (uzupełnianie): obliczenia dotyczące liczby trzycyfrowych liczb nieparzystych, z uwzględnieniem różnych metod rozumowania. Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania: opis postępu niewielkiego, istotnego postępu, pokonania zasadniczych trudności oraz rozwiązania pełnego, z punktacją od 1 do 5 punktów.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 29: Opis zasady włączeń i wyłączeń, gdzie zbiory A, B, C to liczby nieparzyste z dziewiątką na różnych miejscach. Dane: |A|=50, |B|=45, |C|=90, |A∩B|=5, |A∩C|=10, |B∩C|=9, |A∩B∩C|=1. Obliczenia: |A∪B∪C|=162. Schemat oceniania: postęp niewielki (1 pkt), większy (2 pkt), istotny (3 pkt), pokonanie trudności (4 pkt), rozwiązanie pełne (5 pkt). Uwaga dotycząca punktacji za poprawne definiowanie zbiorów i wzorów.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 30: Opis sposobu VI, który polega na wypisywaniu liczb trzycyfrowych w kolejności rosnącej, z wykluczeniem liczb parzystych oraz liczb zawierających cyfrę dziewięć. Podano przykładowy wynik z liczbami od 109 do 999, zorganizowanymi w kolumnach. W pierwszych 16 wierszach znajduje się 9 liczb, a w jednym wierszu 5 liczb. W kolejnych 10 wierszach po 5 liczb. Łącznie wypisano 162 liczby.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 31: Strona zawiera opis metody rozwiązywania zadania dotyczącego wypisywania liczb zaczynających się od różnych cyfr. Wskazano, że dla każdej cyfry od 1 do 8 istnieje 9 liczb postaci c09, c19, ..., c89, a dla cyfr 9 istnieje 5 liczb postaci c91, ..., c99. Łącznie daje to 162 liczby. Komentarz omawia różne strategie rozwiązywania, w tym poprawne i błędne podejścia, oraz schemat oceniania VI sposobu rozwiązania, przyznający punkty za istotny postęp w zadaniu.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 32: Strona zawiera wyjaśnienia dotyczące błędów w metodzie rozwiązywania zadania z liczbami. Opisano, jak zdający może pomylić się, licząc liczby zaczynające się od cyfry 1 i 9, oraz jak błędnie obliczyć sumę liczb. Przykłady błędnych obliczeń to 8·15+50=170, 8·14+100=192 i 8·15+100=220. Podano również, ile punktów można otrzymać za różne poziomy błędów.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 33: Zadanie III (0–3): Wykazać, że jeżeli x > 0, to x² + 16/x ≥ 12. Rozwiązanie: Omówiono 4 sposoby rozwiązania tego zadania. Sposób I (pierwsza pochodna): Zdefiniowano funkcję f(x) = x² + 16/x dla x ∈ (0,+∞). Obliczono pochodną f'(x) = 2x - 16/x² = (2(x-2)(x²+2x+4))/x². Stwierdzono, że funkcja f jest malejąca w przedziale (0,2) i rosnąca w przedziale ⟨2,+∞⟩, co dowodzi, że f(x) ≥ 12. Schemat oceniania I sposobu: Określenie funkcji i obliczenie pochodnej.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 34: Zadanie: Obliczenie miejsca zerowego pochodnej i wyznaczenie przedziałów, w których pochodna ma stały znak. f'(x)=0 dla x=2, f'(x)<0 dla x∈(0,2), f'(x)>0 dla x∈(2,+∞). Stwierdzenie, że funkcja f jest malejąca w (0,2) i rosnąca w (2,+∞). Obliczenie f(2)=12 i zapisanie wniosku f(x)≥12. Uwagi dotyczące obliczeń i przykłady błędów w obliczaniu pochodnej.

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 35: Sposób II (przekształcenia równoważne) przedstawia nierówność $x^2 + \frac{16}{x} \geq 12$ i jej przekształcenia. Zapisano równania: $x^2 - 4x + 4 + \frac{16}{x} + 4x - 16 \geq 0$, $(x-2)^2 + \frac{4}{x} + (x-2)^2 \geq 0$, $(x-2)^2 \left(1 + \frac{4}{x}\right) \geq 0$. Jeżeli $x > 0$, lewa strona nierówności jest nieujemna. Schemat oceniania: istotny postęp - 1 pkt, pokonanie trudności - 2 pkt, rozwiązanie pełne - 4 pkt.$

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 36: Sposób III (funkcja wymierna) opisuje zapisanie nierówności $x^2 + \frac{16}{x} \geq 12$ jako równoważnej $ \frac{x^3 - 12x + 16}{x} \geq 0 $. Przy założeniu $x > 0$, nierówność jest równoważna $x^3 - 12x + 16 \geq 0$. Określenie wielomianu $W(x) = x^3 - 12x + 16$. Podział wielomianu przez dwumian $x - 2$ daje iloraz $x^2 + 2x - 8$. Wielomian zapisany jako iloczyn $(x - 2)^2(x + 4)$. Dowód kończy się stwierdzeniem, że dla $x > 0$, $W(x) \geq 0$. Schemat oceniania III sposobu rozwiązania podaje kryteria punktacji za istotny postęp, pokonanie trudności i pełne rozwiązanie.$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 37: Sposób IV: zastosowanie nierówności dla średniej arytmetycznej i geometrycznej. Wyjaśnienie procesu rozwiązywania nierówności x² + 8/x + 8/x ≥ 3√(x² * 8/x * 8/x) = 12. Zastosowanie nierówności dla średniej arytmetycznej i geometrycznej dla a = x², b = 8/x, c = 8/x. Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania z punktacją za poszczególne etapy: zapisanie nierówności, pokonanie trudności, rozwiązanie pełne.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 38: Zadanie IV (0–7): Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach wycięto kwadratowe naroża, tworząc prostopadłościenne pudełko. Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość pudełka jest największa. Oblicz tę objętość. Rysunek przedstawia arkusz z zaznaczonymi liniami cięcia. Rozwiązanie zawiera wzór na objętość V=(80−2x)(50−2x)x oraz obliczenia pochodnej funkcji f(x)=x³−65x²+1000x.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 39: Kontynuacja zadania dotyczącego funkcji V(x) = 4f(x) dla x ∈ (0,25) z ekstremum w punkcie x = 10, gdzie V = (80-20)·(50-20)·10 = 18000 cm². Schemat oceniania: Pierwszy etap (3 pkt) obejmuje wybór zmiennej, zdefiniowanie funkcji, określenie dziedziny. Drugi etap (3 pkt) obejmuje wyznaczenie pochodnej f'(x) = 3x² - 130x + 1000, obliczenie miejsc zerowych x₁ = 10, x₂ = 33⅓, uzasadnienie ekstremum. Trzeci etap (1 pkt) to obliczenie największej objętości. Komentarz o możliwych błędach.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 40: Zadanie 5: Błędne określenie monotoniczności funkcji oraz jej ekstremów. Zadanie 6: Brak uzasadnienia, błędne lub niepełne uzasadnienie, że funkcja V w punkcie x=10 przyjmuje maksimum lokalne. Zadanie 7: Nieobliczenie lub błędne obliczenie największej objętości pudełka. Schemat oceniania pokazuje, jak w poszczególnych sytuacjach ocenić rozwiązanie zadania.

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 41: Zadanie 1: liczba $ \frac{8}{3^3} \cdot \sqrt[3]{9^2} $ jest równa, wybierz spośród A) $3^3$, B) $\frac{32}{3^9}$, C) $3^4$, D) $3^5$. Rozwiązanie C. Zadanie 2: liczba $\log 24$ jest równa, wybierz spośród A) $2\log 2 + \log 20$, B) $\log 6 + 2\log 2$, C) $2\log 6 - \log 12$, D) $\log 30 - \log 6$. Rozwiązanie B. Zadanie 3: rozwiązaniem równania $\frac{x-3}{2-x} = \frac{1}{2}$ jest liczba, wybierz spośród A) $-\frac{4}{3}$, B) $-\frac{3}{4}$, C) $\frac{3}{8}$, D) $\frac{8}{3}$. Rozwiązanie B.$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 42: Zadanie 4: Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie x² - 5x + 6 = 0 jest? A) -6, B) -3, C) -2, D) -1. Zadanie 5: Zbiorem rozwiązań nierówności x² ≥ 5 jest? A) (-∞, -√5) ∪ (√5, +∞), B) (-∞, -√5) ∪ (√5, +∞), C) (√5, +∞), D) (5, +∞). Zadanie 6: Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (2 - m)x + 1. Wynika stąd, że m =? A) 0, B) 1, C) 2, D) 3.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 43: Zadanie 7: Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x). Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji y=f(x+1). Do wyboru są cztery wykresy oznaczone literami A, B, C, D. Każdy wykres przedstawia funkcję liniową przesuniętą wzdłuż osi x.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 44: Zadanie 8: wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y=x²-4x+1. Opcje: A) x=-4, B) x=-2, C) x=2, D) x=4. Zadanie 9: prosta o równaniu y=a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej f(x)=x²-2x+1. Wynika stąd, że a=3, a=0, a=-1, a=-3.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 45: Zadanie 10: Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f(x)=x²-4x+3 w przedziale ⟨0,3⟩? A) -7 B) -4 C) -3 D) -2. Rozwiązanie C. Zadanie 11: Które z równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu y=4x+5? A) y=-4x+3 B) y=-1/4x+3 C) y=1/4x+3 D) y=4x+3. Rozwiązanie B. Zadanie 12: Punkty A=(-1,3) i C=(7,9) są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta ABCD. Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy A) 10 B) 6√2 C) 5 D) 3√2. Rozwiązanie B.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 46: Strona zawiera jedynie napis "Rozwiązanie C" bez dodatkowych zadań, treści czy elementów graficznych.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 47: Zadanie 13: Dane są długości boków |BC|=5 i |AC|=3 trójkąta prostokątnego ABC o kącie ostrym β. Oblicz sin β wybierając z: A) 3/5, B) 4/5, C) 3/√34, D) 5/√34. Zadanie 14: Kąt α jest ostry i sin α=1/4. Oblicz cos α wybierając z: A) <3/4, B) 3/4, C) √13/4, D) √13/4.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 48: Zadanie 15: Kąt α jest ostry i tg α = 1/2. Jaki warunek spełnia kąt α? A) α < 30°, B) α = 30°, C) α = 60°, D) α > 60°. Rozwiązanie A. Zadanie 16: Kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 180°. Jaka jest miara kąta środkowego? A) 60°, B) 90°, C) 120°, D) 135°. Rozwiązanie C. Zadanie 17: Ciąg (an) jest określony wzorem an = (-3)^n * (9 - n^2) dla n ≥ 1. Wynika stąd, że A) a3 = -81, B) a3 = -27, C) a3 = 0, D) a3 > 0. Rozwiązanie C.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 49: Zadanie 18: liczby x-1, 4 i 8 są wyrazami ciągu arytmetycznego, liczba x jest równa: A) 3, B) 1, C) -1, D) -7. Rozwiązanie B. Zadanie 19: liczby 8, 4 i x+1 są wyrazami ciągu geometrycznego, liczba x jest równa: A) -3, B) -1,5, C) 1, D) 15. Rozwiązanie A. Zadanie 20: wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 6 lub 10 jest: A) 25, B) 24, C) 21, D) 20. Rozwiązanie C.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 50: Zadanie 21: Liczba wszystkich sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa. A) 25 B) 20 C) 15 D) 12. Rozwiązanie B. Zadanie 22: Rozwiąż równanie (2-3x)/(1-2x) = 1/2. Lewa strona równania jest określona dla x ≠ 1/2. Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i przekształceniach otrzymujemy x = 5/8 jako rozwiązanie równania.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 51: Zadanie 23: Rozwiąż nierówność x² + 6x - 7 < 0. Wymagania: rozwiązywanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą. Zadanie 24: Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f(x) = x² - 6x + 1 w przedziale (0,1). Wymagania: wyznaczanie wartości najmniejszej i największej funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 52: Zadanie 25: O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2 oraz że do wykresu tej funkcji należy punkt P=(-2,3). Wyznacz wzór funkcji f. Rozwiązanie: Funkcja f jest liniowa, wzór f(x)=ax+b. Z warunku f(1)=2 wynika 2=a+b. Punkt P należy do wykresu, więc 3=(-2)a+b. Rozwiązując układ równań, otrzymujemy a=-1/3, b=7/3, więc f(x)=-1/3x+7/3. Zadanie 26: Napisz równanie prostej równoległej do prostej y=2x-11 i przechodzącej przez punkt P=(1,2). Rozwiązanie: Szukamy prostej y=2x+b. Ponieważ przechodzi przez P=(1,2), mamy 2=2*1+b, więc b=0. Prosta ma równanie y=2x.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 53: Zadanie 27: Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty A=(-2,-1), B=(6,1), C=(7,10). Zadanie 28: W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę α. Oblicz sinα·cosα.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 54: Zadanie 29: Kąt α jest ostry i sin α = 1/4. Oblicz 3 + 2tg²α. Zadanie 30: Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (an) określony wzorem an = n² - 2n - 24 dla n ≥ 1?

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 55: Zadanie 31: Liczby 2, x-3, 8 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x. Zadanie 32: Wyrazami ciągu arytmetycznego (an) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Ponadto a3=12. Oblicz a15.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 56: Zadanie 33: Dany prostokąt o bokach a i b. Zmniejszamy długość boku a o 10% i zwiększamy długość boku b o 20%. Wyznacz stosunek a/b, jeśli otrzymany prostokąt ma taki sam obwód jak wyjściowy. Zadanie 34: Udowodnij, że jeśli x, y są liczbami rzeczywistymi, to x² + y² ≥ 2xy.

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 57: Zadanie 35: Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu liczby oczek równego 5. Zadanie 36: W ciągu arytmetycznym $a_n$ dane są wyrazy: $a_3 = 4$, $a_6 = 19$. Ile wyrazów tego ciągu należy do przedziału (0, 200)?$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 58: Zadanie 37: Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, gdzie kąt ACB=90°, |AC|=5, |BC|=12, zbudowano kwadrat ACDE. Punkt H leży na prostej AB, kąt EHA=90°. Oblicz pole trójkąta HAE. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z kwadratem ACDE i punktem H na prostej AB. Obliczenia pokazują podobieństwo trójkątów EAH i ABC oraz wzory na pole trójkąta EAH.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 59: Zadanie 38: Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne tak, że |AD|=|CD| oraz |AB|=|BD|. Udowodnij, że |∠ADC|=5⋅|∠ACD|. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z punktami D i oznaczeniami kątów α i β. Rozwiązanie I i II zawierają dowód z użyciem równań kątowych i właściwości trójkątów równoramiennych.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 60: Zadanie 39: oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy. Rysunek przedstawia sześcian z zaznaczoną przekątną i kątem α. Zadanie 40: w graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości d jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że sin α = 0,2. Wyznacz objętość tego graniastosłupa.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 61: Rozwiązanie I: Obliczenia dotyczące trójkąta BDH, w którym sin α = h/d, h = 1/5 d. Z twierdzenia Pitagorasa: |BD|² = d² - h² = 24/25 d². Pole podstawy graniastosłupa P_ABCD = 12/25 d², objętość V = 12/125 d³. Rozwiązanie II: sin α = h/d, h = 0,2 d, cos α = a√2/d, V = 0,096d³. Zadanie 41: Oblicz, ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych z jedną cyfrą nieparzystą i trzema parzystymi. Wymagania: użycie strategii i reguł kombinatoryki.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 62: Rozwiązanie do zadania z cyframi parzystymi i nieparzystymi, obliczenia dotyczące liczby spełniających warunki. Zadanie 42: z pojemnika z pięcioma losami, dwa wygrywające i trzy puste, losujemy dwa razy bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający, wynik jako ułamek nieskracalny. Wymagania ogólne i szczegółowe dotyczące modelowania matematycznego i obliczania prawdopodobieństwa.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 63: Zadanie: Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu dwóch losów, wśród których co najmniej jeden jest wygrywający. Tabela przedstawia zdarzenia elementarne z krzyżykami oznaczającymi sprzyjające zdarzenia. Rozwiązanie I: Obliczenia pokazują, że prawdopodobieństwo wynosi 7/10. Rozwiązanie II: Ilustracja drzewa decyzyjnego z gałęziami oznaczającymi losy wygrywające i puste oraz prawdopodobieństwami na odcinkach.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 64: Zadanie 43: Wykazać, że prawdziwa jest nierówność √(2^50+1) + √(2^50-1) < 2^26. Wymagania ogólne: rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe: użycie wzorów skróconego mnożenia. Rozwiązanie I: przekształcenie nierówności przez podniesienie do kwadratu, uzyskanie nierówności 2^100 - 1 < 2^100. Rozwiązanie II: oznaczenie a = √(2^50+1), b = √(2^50-1), dowód przez wzory skróconego mnożenia, uzyskanie a + b < √(2^52) = 2^26.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 65: Zadanie 44: W roku 2015 na uroczystości urodzinowej ktoś spytał jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: jeśli swój wiek sprzed 27 lat pomnożę przez swój wiek za 15 lat, to otrzymam rok swojego urodzenia. Oblicz, ile lat ma ten jubilat. Rozwiązanie: Oznaczamy przez x obecny wiek jubilata. Równanie: (x-27)(x+15)=2015-x. Po uporządkowaniu: x²-11x-2420=0. Rozwiązania: x=55, x=-44. Jubilat w 2015 roku obchodzi 55. urodziny.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 66: Zadanie 1: Funkcja określona wzorem f(x)=|x-3|-4 dla wszystkich liczb rzeczywistych. Pytanie: ile miejsc zerowych ma funkcja? A) brak miejsc zerowych, B) jedno miejsce zerowe, C) dwa miejsca zerowe, D) więcej niż dwa miejsca zerowe. Rozwiązanie: C. Zadanie 2: Niech m=log₂₁ 7. Wykazać, że log₇ 27 = 3(1-m)/m. Wymagania: rozumowanie i argumentacja, stosowanie definicji logarytmu i wzorów na logarytmy.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 67: Rozwiązanie (I sposób): dowód z wykorzystaniem logarytmów, pokazujący, że log_7 27 = log_7 21 - log_7 7. Rozwiązanie (II sposób): alternatywny dowód z logarytmami, pokazujący, że 3(1-m)/m = log_7 27. Zadanie 3: oblicz najmniejszą liczbę naturalną n spełniającą nierówność (2n-10)/(3n+1) ≤ 1/30. Wymagania ogólne i szczegółowe dotyczące rozwiązywania wyrażeń wymiernych oraz nierówności. Rozwiązanie nierówności z przekształceniem.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 68: Zadanie 4: równanie x²+48x+2=0 ma dwa rozwiązania x₁, x₂. Liczba 1/x₁² + 1/x₂² jest liczbą całkowitą dodatnią. Znajdź tę liczbę. Zakoduj cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku. Zadanie 5: wielomian W(x)=x⁴+2x³−5x²−6px+9 jest podzielny przez dwumian x−1. Oblicz p. Zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 69: Zadanie 6: wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k(k+1)(k+9)(k²+1) jest podzielna przez 5. Wymagania ogólne: rozumowanie i argumentacja. Rozwiązanie: iloczyn jest podzielny przez 5, jeśli co najmniej jeden z czynników jest podzielny przez 5. Przykłady dla k=5l, k=5l+1, k=5l+2, k=5l+3, k=5l+4, gdzie l jest liczbą całkowitą, pokazują, że każdy przypadek spełnia warunek podzielności przez 5.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 70: Zadanie 7: Udowodnij, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 1, to ab ≤ 1/4. Rozwiązanie I sposób: Korzystamy z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną, √ab ≤ (a+b)/2 = 1/2, czyli ab ≤ 1/4. Rozwiązanie II sposób: Z założenia b = 1 - a, przekształcamy nierówność ab ≤ 1/4, otrzymując (a - 1/2)² ≥ 0. Rozwiązanie III sposób: Oznaczamy a = 1/2 + x, b = 1/2 - x, wtedy ab = (1/4 - x²) ≤ 1/4. To kończy dowód.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 71: Zadanie 8: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f określona wzorem f(x)=(m²-1)x²-2(1-m)x+2 przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej. Rozważ dwa przypadki: gdy m²-1=0, funkcja jest liniowa; gdy m²-1≠0, funkcja jest kwadratowa. Podano warunki dla m, w tym m²-1>0 i Δ<0, oraz szczegółowe równania do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 72: Zadanie 9: Granica lim x→−3 (−5x)/(x+3) jest równa: A) −∞, B) 0, C) 6, D) +∞. Rozwiązanie: A. Zadanie 10: Oblicz lim n→∞ (−2n³+3n)/(1−4n)³. Zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 73: Rozwiązanie przykładowego zadania z poziomu rozszerzonego. Obliczanie granicy ciągu: $\lim_{n \to \infty} \frac{-2n^3 + 3n}{(1-4n)^3} = \frac{1}{32} = 0,03125$. Zadanie 11: Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $ (a_n) $ o wyrazach dodatnich taki, że $ a_1 = \frac{3}{4} $, $ a_3 = \frac{1}{3} $. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Wyznaczenie ilorazu $ q = \frac{2}{3} $ i sumy $ S = \frac{9}{4} $.$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 74: Zadanie 12: dana jest funkcja f(x) = (2x⁴ + 15) / (6 - x²), oblicz wartość pochodnej w punkcie x = 1, zakoduj cyfry wyniku. Zadanie 13: dana jest funkcja f(x) = 4x³ - 2x + 1, uzasadnij, że prosta o równaniu 10x - y + 9 = 0 jest styczna do wykresu funkcji f.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 75: Rozwiązanie: zapisujemy równanie prostej w postaci kierunkowej y=10x+9. Wyznaczamy pochodną funkcji f: f'(x)=12x²-2. Obliczamy wartość funkcji w punktach x=-1 i x=1. Zadanie 14: rozpatrujemy ostrosłupy prawidłowe trójkątne, gdzie suma promienia okręgu opisanego i wysokości wynosi 24. Wyznacz promień okręgu opisanego o największej objętości i oblicz objętość. Rysunek: ostrosłup z oznaczeniami x=|AO|=|BO|=|CO| i h=|SO|.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 76: Zadanie: Wyznacz wysokość AD w trójkącie ABC, gdzie |AD| = |AB| * √3 / 2. Oblicz promień x okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa, x = 2 * |AB| * √3 / 3. Wyznacz pole podstawy ostrosłupa P = 3x²√3 / 4. Oblicz objętość ostrosłupa V = √3/4 * (-x³ + 24x²) i określ, dla jakiego x w przedziale 0 < x < 24 funkcja V przyjmuje wartość największą. Rozważ funkcję f(x) = -x³ + 24x², wyznacz pochodną f'(x) = -3x² + 48x, znajdź miejsca zerowe i określ monotoniczność. Objętość ostrosłupa przy x = 16 wynosi 512√3.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 77: Zadanie 15: Rozważamy prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku AB, gdzie A=(-1,4) i B=(1,4), a pozostałe dwa na paraboli y=2x²+2. Wyznacz wymiary prostokąta o największym polu i oblicz to pole. Rysunek przedstawia parabolę y=2x²+2 oraz odcinek AB w układzie współrzędnych.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 78: Zadanie 1: wykres funkcji kwadratowej y=2x²+2 z zaznaczonymi punktami A, B, C, D, E, F. Punkty E i F leżą na prostej y=4. Wyznacz długości boków CD i DE prostokąta CDEF oraz pole prostokąta CDEF. Rozważ funkcję f(x)=-4x³+4x, oblicz pochodną f'(x)=-12x²+4 i miejsca zerowe pochodnej x₁=√3/3, x₂=-√3/3. Określ znaki f'(x) w przedziałach.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 79: Zadanie 16: Rozpatrujemy trapezy równoramienne, w których krótsza podstawa i ramiona mają długość 5. Oblicz długość dłuższej podstawy trapezu o największym polu oraz to pole. Wzór na pole: P = (2.5 + 2x)/2 * h, gdzie h = √(25 - x²), x to połowa różnicy długości podstaw. Rysunek przedstawia trapez z podstawą 5, ramionami 5 i wysokością h.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 80: Zadanie: Pole trapezu opisane wzorem P(x)=(5+x)√(25-x²). Oblicz, dla jakiego x spełniającego 0<x<5 funkcja P(x)=√(-x⁴-10x²+250x+625) przyjmuje wartość największą. Wyznacz pochodną f'(x)=-4x³-30x²+250, miejsca zerowe x₁=-5, x₂=5/2. Funkcja malejąca w (5/2,+∞) i rosnąca w (-∞,-5) oraz (-5,5/2). Największe pole trapezu dla x=5/2 wynosi 75√3/4, przy dłuższej podstawie 10.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 81: Zadanie 17: Dany jest trójkąt ABC i prosta k styczna w punkcie A do okręgu opisanego na tym trójkącie. Prosta BC przecina prostą k w punkcie P. Długości odcinków AC, BC i PB wynoszą odpowiednio 9, 12 i 17. Oblicz długość odcinka AB. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Na rysunku przedstawiono trójkąt z okręgiem opisanym i zaznaczonymi odcinkami.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 82: Zadanie: Na rysunku przedstawiono okrąg z punktem S, trójkąty APB i CPA są podobne. Oznaczono |AB|=x, |PA|=y. Dane: |BC|=9, |SC|=12, |PB|=17. Wyznaczono proporcje: |PA|/|PC| = |PB|/|PA|, y/26 = 17/y, y²=17·26. Obliczono y=√(17·26). Z podobieństwa trójkątów: |AB|/|PA| = |CA|/|PC|, x/y = 12/26. Wyliczono x = 9,7032. Kodowanie cyfr: 9, 7, 0.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 83: Rozwiązanie II sposobu zadania dotyczącego podobieństwa trójkątów APB i CPA. Na rysunku okrąg z punktami A, B, C, P oraz cięciwą AB. Dane: |AB|=12, |BC|=9, |BP|=17, |AP|=x, |PC|=y. Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą wynika, że kąty PAB i ACB są równe. Obliczenia: y²=17·26, y=√(17·26), x/y=12/26, x=12y/26=9,7032. Kodowanie cyfr: 9, 7, 0.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 84: Zadanie 18: Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C i obwodzie równym 2p. Na prostej AB obrano punkty D i E leżące na zewnątrz odcinka AB takie, że |AD|=|AC| i |BE|=|BC|. Wykazać, że promień okręgu opisanego na trójkącie ECD jest równy p√2. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z punktami D i E na przedłużeniu boków.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 85: Zadanie 19: Ramię AD trapezu ABCD (w którym AB||CD) przedłużono do punktu E, takiego że |AE|=3·|AD|. Punkt M leży na podstawie AB oraz |MB|=4·|AM|. Odcinek ME przecina przekątną BD w punkcie P. Udowodnij, że |BP|=6·|PD|. Rysunek przedstawia trapez ABCD z punktami E, M i P oraz odpowiednimi odcinkami.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 86: Wymagania ogólne: Rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe: Rozpoznawanie trójkątów podobnych i wykorzystanie cech podobieństwa trójkątów. Rozwiązanie: Punkt N oznacza przecięcie odcinka EM z prostą DC. Trójkąt AME jest podobny do trójkąta DNE. Podano proporcje boków: |AM|/|AE| = |DN|/|DE|. Długości: |AE| = 3|AD|, |DN| = 2/3|AM|. Trójkąt MBP jest podobny do trójkąta NDP. Proporcje: |BP|/|BM| = |DP|/|DN|. Długości: |BM| = 4|AM|, |BP| = 6|DP|. Końcowy dowód. Diagram przedstawia trójkąty i linie pomocnicze.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 87: Zadanie 20: Okrąg jest styczny do osi Ox w punkcie A=(2,0). Punkt B=(-1,9) leży na tym okręgu. Wyznacz równanie tego okręgu. Rozwiązanie: Środek okręgu S=(a,b), z definicji okręgu |AS|=|BS|, równanie okręgu: (x-2)²+(y-5)²=25. Zadanie 21: Okrąg o środku S=(3,2) leży wewnątrz okręgu o równaniu (x-6)²+(y-8)²=100 i jest do niego styczny. Wyznacz równanie prostej stycznej do obu tych okręgów.

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 88: Rozwiązanie zadania dotyczącego równania okręgu $(x-6)^2+(y-8)^2=100$ z punktem $S_1=(6,8)$ i promieniem 10. Poszukiwana styczna prostopadła do prostej $y=-\frac{1}{2}x+b$. Obliczenia prowadzą do równań prostych $y=-\frac{1}{2}x+11-\sqrt{5}$ i $y=-\frac{1}{2}x+11+\sqrt{5}$. Zadanie 22: Równanie $\sin^2x=\sin x$ w przedziale $\langle0,\pi\rangle$, wybierz poprawną liczbę rozwiązań: A) 1, B) 2, C) 3, D) brak.$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 89: Zadanie 23: Rozwiąż równanie sin 5x - cos 2x + sin x = 0. Wymagania szczegółowe: 6.6.R Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu sin 2x = 1/2, sin²x + cos x = 1, sin x + cos x = 1, cos 2x < 1/2. Rozwiązanie: Przekształcamy równanie, korzystając ze wzoru na sumę sinusów: 2sin3xcos2x - cos2x = 0. Rozwiązaniami równania są liczby: x = π/4 + kπ/2, x = π/18 + 2kπ/3, x = 5π/18 + 2kπ/3, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 90: Zadanie 24: Wykazać, że dla każdego kąta α prawdziwa jest równość: 4(sin⁶α + cos⁶α) = 1 + 3cos²2α. Zadanie 25: Rozwiąż nierówność cos5x > 1/2 dla -π ≤ x ≤ π.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 91: Zadanie 26: Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Kąt α jest kątem między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi. Kąt β jest kątem przy podstawie ściany bocznej. Wykazać, że cos α · tg² β = -1. Rysunek przedstawia ostrosłup z oznaczonymi kątami α i β. Wymagania szczegółowe dotyczą rozwiązywania nierówności trygonometrycznych, np. cos 5x > 1/2.

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 92: Wymagania szczegółowe dotyczą rozpoznawania kątów w graniastosłupach i ostrosłupach oraz stosowania trygonometrii do obliczeń. Ilustracja przedstawia ostrosłup z oznaczeniami: a - długość krawędzi podstawy, h - wysokość ściany bocznej, c - długość odcinka. Podano wzory: twierdzenie cosinusów $(a\sqrt{2})^2 = h^2 + h^2 - 2h \cdot h \cdot \cos \alpha$, $\cos \alpha = \frac{h^2 - a^2}{h^2}$, twierdzenie Pitagorasa $c^2 = a^2 - h^2$, oraz obliczenia $\cos \alpha \cdot \tg^2 \beta = -1$.$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 93: Zadanie 27: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Płaszczyzna przechodząca przez krawędź podstawy i środek wysokości ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa. Na rysunku przedstawiono ostrosłup z oznaczeniami punktów A, B, C, M, O, W, N, S oraz kątem α. W trójkącie równobocznym ABC: |AB|=a, |CM|=a√3/2, |OM|=1/3|CM|=a√3/6. Obliczenia obejmują zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i trygonometrii.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 94: Zadanie 28: Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi równej 1. Punkt S jest środkiem krawędzi DH. Odcinek DW jest wysokością ostrosłupa ACSD opuszczoną z wierzchołka D na ścianę ACS. Oblicz długości odcinków AW, CW i SW. Rysunek przedstawia sześcian z zaznaczonymi wierzchołkami. Wymagania: określenie figury przekroju graniastosłupa i zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 95: Rozwiązanie zadania dotyczącego sześcianu z rysunkiem. Łączone są punkty A i S, A i C oraz C i S. Punkt T oznacza przecięcie przekątnych AC i BD podstawy sześcianu. Trójkąt ACS jest równoramienny, a ST jest jego wysokością. Obliczenia wykorzystują twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta TSD: |ST|²=|SD|²+|DT|². Długość DW jako wysokości trójkąta TDS obliczana jest z pola trójkąta: |DW|=√6/6.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 96: Zadanie 29: Kwadrat ABCD o boku długości 1 jest podstawą ostrosłupa ABCDS. Odcinek HS jest wysokością ostrosłupa, punkt H dzieli przekątną AC w stosunku 2:1. Krawędzie boczne BS i DS mają długość 1. Oblicz objętość ostrosłupa oraz długości krawędzi AS i CS. Rysunek przedstawia ostrosłup z oznaczeniami wierzchołków i wysokości.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 97: Rozwiązanie zadania dotyczącego ostrosłupa z podstawą w kształcie kwadratu. Punkt T oznacza przecięcie przekątnych AC i BD. Długości: |AC|=√2, |CH|=√2/3, |HT|=√2/6. Trójkąt BSD jest równoramienny prostokątny, |BS|=|DS|=1, |BD|=√2. Obliczono wysokość HS i objętość V ostrosłupa: V=2/9. Długości krawędzi bocznych: |AS|=2√3/3, |CS|=√6/3, stosując twierdzenie Pitagorasa.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 98: Zadanie 30: Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 15. Punkty Q i R dzielą krawędzie HG i FG w stosunku 2:1, |HQ|=|FR|=10. Płaszczyzna AQR przecina krawędzie DH i BF w punktach P i S. Oblicz długości odcinków DP i BS. Rysunek przedstawia sześcian z zaznaczonymi punktami i płaszczyzną. Wymagania: określenie figury przekroju, rozpoznanie kątów, rozpoznanie figur podobnych.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 99: Rozwiązanie zadania dotyczącego kwadratu EFGH z punktami Q, R, T. Rysunek przedstawia kwadrat z odcinkami i punktami przecięcia. Trójkąty prostokątne RFT i RGQ są podobne, co prowadzi do wniosku, że |FT|=10. Następnie analizowany jest kwadrat ABFE z trójkątami prostokątnymi ABS i TFS, które są podobne. Równanie proporcji: x/10 = (15-x)/15. Rozwiązanie równania daje x=6, co oznacza, że |BS|=9.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 100: Rozwiązanie zadania geometrycznego z rysunkiem sześcianu. Na rysunku przedstawiono sześcian z zaznaczonymi przekątnymi AC, BD, EG oraz punktami P, S, W, Wi, T, Ti. Opisano konstrukcję i zależności między punktami oraz wyprowadzono wzory na długości odcinków. Obliczono, że |DP|=|BS|=|WWi|=9.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 101: Zadanie 31: Oblicz, ile jest wszystkich liczb siedmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero i na dokładnie dwóch miejscach stoją cyfry parzyste. Wymagania: użycie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami. Rozwiązanie obejmuje trzy kroki, w tym wybór dwóch miejsc na cyfry parzyste z siedmiu możliwych, z użyciem wzoru na liczbę kombinacji: C(7,2) = 21.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 102: Strona zawiera schematy z kropkami i kółkami oznaczone numerami od 1 do 21, przedstawiające różne kombinacje. Pod tekstem znajduje się opis sposobu liczenia możliwości ustawienia cyfr parzystych na różnych miejscach. Wzór obliczeniowy: 6+5+4+3+2+1=21, opisuje liczbę sposobów wyboru dwóch miejsc dla cyfr parzystych. Dodatkowo, przedstawiono metodę ustawienia cyfr parzystych na jednym z 7 miejsc oraz drugim z 6 miejsc.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 103: Zadanie 32: Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2 i 3, wiedząc, że cyfry mogą się powtarzać. Rozwiązanie: Istnieje 27 liczb trzycyfrowych, których cyfry są wybrane spośród cyfr 1, 2 i 3. Pierwszą cyfrę można wybrać na 3 sposoby, drugą także na 3 sposoby i trzecią na 3 sposoby. Suma liczb: 111 do 133 = 1098, 211 do 233 = 1998, 311 do 333 = 2898.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 104: Strona zawiera wyjaśnienie dodawania liczb bez użycia kalkulatora. Suma liczb 1098 + 1998 + 2898 = 5994. Opisano dodawanie liczb w trzech wierszach: 9·100 + (11 + 12 + 13 + 21 + 22 + 23 + 31 + 32 + 33) = 1098, 9·200 + (11 + 12 + 13 + 21 + 22 + 23 + 31 + 32 + 33) = 1998, 9·300 + (11 + 12 + 13 + 21 + 22 + 23 + 31 + 32 + 33) = 2898. Wyjaśniono metodę dodawania wielokrotności 100, 10 i cyfr jedności, prowadząc do sumy 5400 + 540 + 54 = 5994.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 105: Zadanie 33: Oblicz, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 24. Rozwiązanie: Rozkład liczby 24 na czynniki pierwsze: 24 = 3·2·2·2. Przykłady obliczeń: 1) Cyfry: trzy dwójki, jedna trójka, cztery jedynki (24 = 3·2·2·2·1·1·1·1). Obliczenia: 8 nad 7 razy 3 = 280, 8 nad 4 razy 4 = 280, 8! / 3!4! = 280. 2) Cyfry: trójka, czwórka, dwójka, pięć jedynek (24 = 3·4·2·1·1·1·1·1). Obliczenia: 8·7·6 = 336, 8 nad 3 razy 3! = 336, 8! / 5! = 336.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 106: Zadanie 3: wśród cyfr tej liczby są trójka, ósemka i sześć jedynek (24=3·8·1·1·1·1·1·1). Liczbę takich liczb można obliczyć na przykład tak: 8·7=56 — wybieramy miejsce dla trójki i z pozostałych dla ósemki; 8 nad 2 = 56 — wybieramy dwa miejsca z ośmiu dla trójki i ósemki, następnie wybieramy miejsce dla każdej z nich; 8! nad 6! = 56 — ustawiamy na wszystkie możliwe sposoby cyfry liczby 38111111. Zadanie 4: wśród cyfr tej liczby są szóstka, czwórka i sześć jedynek (24=6·4·1·1·1·1·1·1). Liczbę takich liczb można obliczyć na przykład tak: 8·7=56 — wybieramy miejsce dla szóstki i czwórki; 8 nad 2 = 56 — wybieramy dwa miejsca z ośmiu dla szóstki i czwórki, następnie wybieramy miejsce dla każdej z nich; 8! nad 6! = 56 — ustawiamy na wszystkie możliwe sposoby cyfry liczby 64111111. Zadanie 5: wśród cyfr tej liczby są dwie dwójki, jedna szóstka i pięć jedynek (24=6·2·2·1·1·1·1·1). Liczbę takich liczb można obliczyć na przykład tak: 8 nad 7 nad 2 = 168 — wybieramy miejsce dla szóstki, następnie dwa miejsca z siedmiu dla dwójek; 8 nad 3 = 168 — wybieramy trzy miejsca z ośmiu dla szóstki i dwóch dwójek, następnie spośród nich wybieramy miejsce dla szóstki; 8! nad 2!5! = 168 — ustawiamy na wszystkie możliwe sposoby cyfry liczby 62211111. Zatem wszystkich liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 24, jest 280+336+56+56+168=896.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 107: Zadanie 34: oblicz, ile jest wszystkich liczb stucyfrowych o sumie cyfr równej 5, w zapisie których występują tylko cyfry 0, 1, 3, 5. Wymagania ogólne: użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe: zastosowanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami. Rozwiązanie: liczby podzielono na 4 grupy w zależności od cyfry na pierwszym miejscu. Wyniki: 1, 4851, 9702, 3 764 376, łącznie 3 778 930 liczb.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 108: Zadanie 35: Doświadczenie losowe polega na losowaniu dwóch liczb ze zbioru {1,2,3,...,12,13}. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że wśród wylosowanych liczb będzie liczba 8, pod warunkiem, że suma wylosowanych liczb będzie nieparzysta. Zadanie 36: Niech A, B będą zdarzeniami losowymi. Wykaż, że jeżeli P(A) = 0,7 i P(B) = 0,8, to P(A|B) ≥ 0,625. P(A|B) oznacza prawdopodobieństwo warunkowe.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 109: Zadanie 37: Wybieramy losowo liczbę ze zbioru {1,2,3} i rzucamy n razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednego orła. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Wymagania ogólne: Użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe: Zdający korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym. Rozwiązanie zawiera oznaczenia dla zdarzeń B₁, B₂, B₃ oraz A.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 110: Zadanie 38: Niech A, B będą zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω. Wykazać, że jeżeli P(A∩B) = P(A)P(B), to P(A∩B') = P(A)P(B'). B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B. Wymagania ogólne: rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe: obliczanie prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach. Rozwiązanie: P(A∩B') = P(A) - P(A∩B) = P(A)(1-P(B)) = P(A)P(B').

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 111: Strona jest pusta, brak zadań do opisania.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 112: Informacja o egzaminie maturalnym z matematyki dla absolwentów niesłyszących. Opisuje dostosowania egzaminu, takie jak zmiany w formułowaniu zadań, schemacie punktowania, przedłużenie czasu egzaminu oraz możliwość korzystania ze słowników. Zawiera ogólne informacje o egzaminie maturalnym dla niesłyszących i przykładowe zadania ilustrujące dostosowania.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 113: Informacje dotyczące oceniania rozwiązań zadań otwartych. Opisano zasady przyznawania punktów za zadania krótkiej i rozszerzonej odpowiedzi. Wymieniono kategorie punktowe: 0 pkt za brak istotnego postępu, 1 pkt za istotny postęp bez pokonania trudności, 2 pkt za pokonanie trudności bez pełnego rozwiązania, 3 pkt za bezbłędne rozwiązanie. Szczegółowe wytyczne dotyczące oceny różnych faz rozwiązywania zadań.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 114: Strona zawiera opis kryteriów oceny zadań otwartych na 4 i 5 punktów. Dla zadań na 4 punkty: 0 pkt za brak istotnego postępu, 1 pkt za istotny postęp bez pokonania trudności, 2 pkt za pokonanie trudności z błędnym kontynuowaniem, 3 pkt za pokonanie trudności z błędami, 4 pkt za bezbłędne rozwiązanie. Dla zadań na 5 punktów: 0 pkt za brak postępu, 1 pkt za niewielki postęp, 2 pkt za istotny postęp z błędami, 3 pkt za błędne pokonanie trudności, 4 pkt za pokonanie trudności z błędami, 5 pkt za bezbłędne rozwiązanie.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 115: Strona zawiera opis przykładowego sposobu przydziału punktów w zadaniu za 6 punktów. Punktacja obejmuje: 0 pkt za brak istotnego postępu, 1 pkt za niewielki postęp, 2 pkt za istotny postęp bez pokonania trudności, 3 pkt za błędy przy pokonywaniu trudności, 4 pkt za błędne kontynuowanie po pokonaniu trudności, 5 pkt za usterki w rozwiązaniu, 6 pkt za poprawne rozwiązanie. Poniżej znajdują się przykłady zadań z rozwiązaniami i uwagami.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 116: Zadanie I (0–3): Dany jest ostrokątny trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Na bokach, na zewnątrz trójkąta ABC, zbudowano kwadraty ABDE, BCFG i ACHJ. Udowodnij, że pola trójkątów AHE i BEG są równe. Rozwiązanie: Omówienie czterech sposobów rozwiązania. Sposób I (trygonometryczny): Przyjęte oznaczenia: |AB|=|AE|=a, |AC|=|BC|=|BG|=b, kąty równe α. Obliczenia pól za pomocą a, b i α.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 117: Zadanie dotyczy trójkąta równoramiennego i ostrokątnego ABC, gdzie α > 45°. Obliczono kąty wypukłe EAH i EBG jako 225° - α. Wzory na pole trójkąta: P_AHE = 1/2 * |AE| * |AH| * sin EAH oraz P_BEG = 1/2 * |BE| * |BG| * sin EBG. Dowód kończy się równaniem P_AHE = P_BEG. Komentarz omawia trudności zadania, błędy w zastosowaniu wzoru na pole i uznanie rozwiązania za niedokończone.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 118: Schemat oceniania I sposobu rozwiązania. Istotny postęp: obliczenie długości boków AH i BE za pomocą boków AB i AC lub udowodnienie, że |∠EAH|=|∠EBG|. Pokonanie zasadniczych trudności: obliczenie długości boków AH i BE za pomocą boków AB i AC oraz udowodnienie, że |∠EAH|=|∠EBG|. Rozwiązanie pełne: udowodnienie, że pola obu trójkątów są równe. Uwagi dotyczą obliczeń związanych z trójkątem AHE, w tym długości boku AH, miary kąta EAH i pola P_AHE.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 119: Zadanie dotyczące porównania pól trójkątów ABC i DEF, gdzie kąty A i D są równe. Wykorzystano proporcję pól trójkątów: P_ABC/P_DEF = (|AB|·|AC|)/(|DE|·|DF|). Podano wzory na pola trójkątów: P_ABC = 1/2·|AB|·|AC|·sin A oraz P_DEF = 1/2·|DE|·|DF|·sin D. Rysunki przedstawiają trójkąty i czworokąt z oznaczeniami boków i kątów. Dowód geometryczny bez użycia trygonometrii, z proporcją pól P_AHE/P_BEG = 1.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 120: Strona zawiera kontynuację rozwiązania zadania dotyczącego obliczeń geometrycznych z użyciem twierdzenia o stosunku pól. Wykorzystano wzory trygonometryczne do obliczenia długości odcinków i wykazania równości kątów. Podano schemat oceniania dla różnych sposobów rozwiązania, z punktacją za istotny postęp, pokonanie trudności i pełne rozwiązanie.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 121: Sposób III (geometria analityczna) opisuje rozwiązanie zadania w trzech krokach: wybór układu współrzędnych, obliczenie współrzędnych wierzchołków trójkątów AHE i BEG oraz obliczenie pól tych trójkątów. Trójkąt ABC umieszczony w układzie współrzędnych z wierzchołkami A=(-a,0), B=(a,0), C=(0,h), gdzie a<h. Rysunek przedstawia układ współrzędnych z trójkątem ABC i punktami E=(-a,-2a), G, H oraz innymi punktami pomocniczymi.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 122: Opisuje obrót wektora [x, y] o 90° zgodnie z ruchem wskazówek zegara, uzyskując wektor [y, -x]. Podano współrzędne punktów C, H, G oraz równania prostych AC i prostopadłej do niej przez punkt C. Obliczanie pól trójkątów AHE i BEG za pomocą wzoru na pole trójkąta KLM. Współrzędne punktów E, A, H, B, G są podane. Dowód kończy się obliczeniem pól trójkątów, uzyskując a(h-a) dla obu.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 123: Strona zawiera uwagi dotyczące obliczania pola trójkąta AHE z podstawą AE o długości 2a i wysokością h-a. Opisano schemat oceniania III sposobu rozwiązania, który obejmuje umieszczenie trójkąta ABC w układzie współrzędnych i podanie współrzędnych jego wierzchołków, obliczenie współrzędnych punktów E, G i H oraz obliczenie pól trójkątów AHE i BEG. Uwagi dotyczą możliwych błędów w obliczeniach i przyznawania punktów.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 124: Sposób IV bezpośrednie obliczenie pól w trójkącie ABC. Wysokość CK, punkty L i P jako rzuty punktów H i G. Trójkąty CLH i BPG przystające do AKC i BKC. Równania: |CH|=|AC|=|BC|=|BG|, kąty α, |∠ACK|=90°-α, |∠HCL|=α, |∠CHL|=90°-α, |∠BCK|=α, |∠GBP|=90°-α, |∠BGP|=α. Oznaczenia: a=|AK|=|BK|, h=|CK|, obliczenie pola trójkąta EAH, P_AHE=1/2*|AE|*|HM|=a(h-a). Punkt O przecięcie EG i AP, podobieństwo trójkątów EAO i GPO, |AO|/|PO|=|AE|/|PG|=2a/a=2, |AO|=2/3*|AP|=2/3*(2a+h), |BO|=2/3*(h-a).

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 125: Wzór na pole trójkąta P_EBG = P_EBO + P_GBO = 1/2 * |BO| * |AE| + 1/2 * |BO| * |GP| = 1/2 * 2/3 * (h-a) * (2a+a) = a(h-a). Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania: Istotny postęp - dorysowanie trójkątów CLH i GPB, zauważenie przystawania do trójkąta AKC. Pokonanie zasadniczych trudności - obliczenie pola trójkątów AHE i BEG. Rozwiązanie pełne - obliczenie pól obu trójkątów i stwierdzenie ich równości. Uwaga dotycząca błędów i niekompletności rozwiązań.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 126: Zadanie II (0-5): Ile jest nieparzystych liczb naturalnych trzycyfrowych, w których co najmniej jedna cyfra jest dziewiątką? Rozwiązanie: Omówiono 6 sposobów rozwiązania tego zadania. Sposób I: Umieszczenie dziewiątki w różnych miejscach liczby trzycyfrowej i obliczenie liczby możliwych kombinacji. Podano przykłady błędnego liczenia wielokrotnego oraz poprawne rozwiązanie z uwzględnieniem liczby 185.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 127: Strona zawiera opis rozwiązania zadania dotyczącego liczb z dwiema dziewiątkami. Wyjaśniono, jak obliczyć liczbę 21 liczb z dziewiątkami, odejmując 21 i 2 od 185, co daje wynik 162. Przedstawiono schemat oceniania rozwiązania, w tym postęp niewielki (1 pkt), istotny postęp (2 pkt), pokonanie zasadniczych trudności (4 pkt) i rozwiązanie pełne (5 pkt). Opisano dwa sposoby rozwiązania, w tym podział liczb na trzy grupy według pozycji dziewiątki.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 128: Opis zadania dotyczącego podziału liczb na trzy grupy. Pierwsza grupa: 50 liczb, z dziewiątką na pierwszym miejscu, dowolna z 10 cyfr na drugim i z pięciu nieparzystych na trzecim. Druga grupa: 40 liczb, z cyfrą 8 na pierwszym miejscu, dziewiątką na drugim i nieparzystą na trzecim. Trzecia grupa: 72 liczby, z cyfrą 8 na pierwszym miejscu, jedną z 9 cyfr na drugim i dziewiątką na trzecim. Łącznie 162 liczby. Schemat oceniania rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 129: Sposób III (liczba dziewiątek) opisuje metodę liczenia liczb z jedną, dwiema i trzema cyframi 9. W pierwszym przypadku liczba 9 może być na jednym z trzech miejsc, co daje łącznie 140 liczb. W drugim przypadku liczba 9 jest na dwóch miejscach, co daje 21 liczb. Wreszcie liczba z trzema dziewiątkami to 999. Łącznie jest 162 liczby. Schemat oceniania III sposobu rozwiązań uwzględnia istotny postęp i pokonanie zasadniczych trudności, przyznając odpowiednio 2 i 4 punkty.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 130: Rozwiązanie pełne: Podanie pełnej odpowiedzi dotyczącej liczby trzycyfrowych liczb nieparzystych niezawierających cyfry 9. Sposób IV (uzupełnianie): Obliczenie liczby trzycyfrowych liczb nieparzystych: 900. Istotny postęp: Obliczenie liczby nieparzystych liczb trzycyfrowych: 450. Pokonanie zasadniczych trudności: Obliczenie liczby nieparzystych liczb trzycyfrowych niezawierających cyfry 9: 288 liczb. Rozwiązanie pełne: Wynik 162 liczby. Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 131: Sposób V (zasada włączeń i wyłączeń) opisuje zastosowanie tej zasady do zbiorów A, B i C. Dane: |A|=50, |B|=45, |C|=90, |A∩B|=5, |A∩C|=10, |B∩C|=9, |A∩B∩C|=1. Obliczenie |A∪B∪C|=162. Schemat oceniania: Postęp niewielki - 1 pkt, Postęp większy - 2 pkt, Istotny postęp - 3 pkt, Pokonanie zasadniczych trudności - 4 pkt, Rozwiązanie pełne - 5 pkt. Uwaga dotycząca punktacji za poprawne zdefiniowanie zbiorów i wzoru.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 132: Sposób VI (wypisywanie liczb w kolejności rosnącej) opisuje metodę rozwiązania zadania polegającą na wypisaniu liczb trzycyfrowych, które nie są parzyste i nie zawierają cyfry 9. Wymieniono liczby od 109 do 999, z podziałem na wiersze, gdzie w pierwszych 16 wierszach jest 9 liczb, a w kolejnych 10 wierszach po 5 liczb. Łącznie wypisano 162 liczby.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 133: Strona zawiera opis metody rozwiązywania zadania dotyczącego wypisywania liczb zaczynających się od różnych cyfr. Opisano regułę, według której liczby zaczynają się od cyfr różnej od 9, co daje 14 liczb, oraz od cyfry 9, co daje 50 liczb. Podano schemat oceniania, gdzie za istotny postęp przyznaje się 2 punkty, jeśli zdający zauważy odpowiednie reguły dotyczące pierwszej cyfry liczby.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 134: Strona zawiera opis metod oceny rozwiązania zadania z liczbami. Podano przykłady błędów, które mogą wystąpić, takie jak podwójne liczenie liczby 199 w ciągach liczb oraz błędne obliczenia sumy liczb. Przykładowe błędne odpowiedzi to 8·15+50=170, 8·14+100=192, 8·15+100=220. Omówiono, ile punktów można otrzymać za różne poziomy poprawności rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 135: Zadanie III (0–3): Wykazać, że jeżeli x>0, to x² + 16/x ≥ 12. I sposób rozwiązania: Definiujemy funkcję f(x) = x² + 16/x dla x ∈ (0, +∞). Funkcja f jest różniczkowalna, obliczamy pochodną f'(x) = 2x - 16/x² = (2(x-2)(x²+2x+4))/x². Analizujemy znaki pochodnej na przedziałach (0,2), (2,+∞) i w punkcie x=2. Wynika, że f(x) ≥ 12 dla x>0, co należało udowodnić. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 136: Rozwiązanie pełne zadania dotyczącego funkcji f, która jest malejąca w przedziale (0,2) i rosnąca w przedziale (2,+∞). Obliczenie f(2) = 12 i zapisanie wniosku: f(x) ≥ 12. Uwagi dotyczą uzasadnienia tezy korzystając z drugiej pochodnej funkcji f. Komentarz o błędach w obliczaniu pochodnej, które nie zmieniają miejsc zerowych. Przykłady błędów w obliczaniu pochodnej f'(x) = 2x³-16/x, f'(x) = 2(x-2)(x²+x+4)/x², f'(x) = 2(x-2)(x²+2x+2)/x².

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 137: II sposób rozwiązania: przekształcenie nierówności $x^2 + \frac{16}{x} \geq 12$ do postaci $x^2 - 4x + 4 + \frac{16}{x} + 4x - 16 \geq 0$ i dalej do $(x-2)^2 \left(1 + \frac{4}{x}\right) \geq 0$. Udowodnienie, że dla $x > 0$ lewa strona jest nieujemna. Schemat oceniania: istotny postęp, pokonanie trudności, rozwiązanie pełne. III sposób rozwiązania: funkcja wymierna, przekształcenie nierówności do $\frac{x^3 - 12x + 16}{x} \geq 0$.$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 138: Zadanie polega na dowodzie nierówności dla wielomianu W(x) = x³ - 12x + 16 przy założeniu x > 0. Rozwiązanie obejmuje zapisanie wielomianu w postaci iloczynowej W(x) = (x - 2)²(x + 4) i uzasadnienie, że W(x) ≥ 0 dla x > 0. Strona zawiera również schemat oceniania oraz alternatywny sposób rozwiązania z wykorzystaniem nierówności dla średniej arytmetycznej i geometrycznej.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 139: Ciąg dalszy zadania dotyczącego dowodu nierówności. Zapisano lewą stronę nierówności jako x² + 8/x + 8/x. Zastosowano nierówność dla średniej arytmetycznej i geometrycznej: jeśli a > 0, b > 0, c > 0, to (a+b+c)/3 ≥ ³√(abc). Dla a = x², b = 8/x, c = 8/x. Rozwiązanie pełne: dla x > 0, po zastosowaniu nierówności, otrzymujemy x² + 8/x + 8/x ≥ 3√(x² * 8/x * 8/x) = 12, co kończy dowód.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 140: Zadanie IV (0-7): Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach wycięto kwadratowe naroża. Następnie zagięto karton, tworząc pudełko bez przykrywki. Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość pudełka jest największa. Oblicz objętość. Podano wzory na objętość V=(80-2x)(50-2x)x oraz obliczenia prowadzące do wyznaczenia miejsc zerowych pochodnej funkcji objętości.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 141: Zadanie dotyczące funkcji V(x) i jej ekstremów. Funkcja V(x) = 4f(x) dla x ∈ (0,25), z ekstremum w x=10. Szukana objętość V=(80-2x)·(50-2x)·10=18000 cm³. Schemat oceniania: a) Wybór zmiennej, zapisanie wymiarów, określenie dziedziny. b) Wyznaczenie pochodnej f'(x)=3x²-130x+1000, miejsca zerowe x₁=10, x₂=33⅓, uzasadnienie wartości maksymalnej w x=10. c) Obliczenie największej objętości.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 142: Komentarz dotyczący błędów w rozwiązywaniu zadań. Wymienione błędy: 1. Błędne określenie dziedziny funkcji V, np. x>0 lub x<50, maksymalnie 6 punktów. 2. Błędne zapisanie wzoru na objętość pudełka. 3. Niewłaściwe wyznaczenie pochodnej funkcji. 4. Nieprawidłowo obliczone miejsca zerowe pochodnej. 5. Błędne określenie monotoniczności funkcji. 6. Brak uzasadnienia dla maksimum lokalnego funkcji V w x=10. 7. Nieobliczenie największej objętości pudełka. Schemat oceniania.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 143: Zadanie 16: Kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg są oparte na tym samym łuku. Suma miar tych kątów jest równa 180°. Jaka jest miara kąta środkowego? A) 60° B) 90° C) 120° D) 135°. Rozwiązanie C. Zadanie 21: W kinie jest 5 wolnych miejsc. Liczba wszystkich sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch miejscach, jest równa A) 25 B) 20 C) 15 D) 12. Rozwiązanie B.

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 144: Zadanie 23: Rozwiąż nierówność $x^2 + 6x - 7 \leq 0$. Zadanie 24: Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej $f(x) = x^2 - 6x + 1$ w przedziale $\langle 0, 1 \rangle$.$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 145: Zadanie 26: Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y=2x-11 i przechodzącej przez punkt P=(1,2). Zadanie 27: Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty A=(-2,-1), B=(6,1), C=(7,10).

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 146: Zadanie 28: w trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę α. Oblicz sin α · cos α. Zadanie 29: kąt α jest ostry i sin α = 1/4. Oblicz 3 + 2tg² α.

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 147: Zadanie 30: Ile wyrazów ujemnych ma ciąg $a_n$ określony wzorem $a_n = n^2 - 2n - 24$ dla $n \geq 1$? Rozwiązanie obejmuje analizę nierówności i wyznaczenie wartości $n$. Zadanie 32: Wyrazami ciągu arytmetycznego $a_n$ są liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Dany jest $a_3 = 12$. Oblicz $a_{15}$. Rozwiązanie zawiera obliczenia z wykorzystaniem wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 148: Zadanie 33: Dany jest prostokąt o bokach a i b. Zmniejszamy długość boku a o 10% oraz zwiększamy długość boku b o 20%. Wyznacz stosunek a/b, jeśli wiadomo, że otrzymany prostokąt ma taki sam obwód jak prostokąt o bokach a i b. Zadanie 34: Udowodnij, że jeśli x, y są liczbami rzeczywistymi, to x² + y² ≥ 2xy.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 149: Zadanie 35: Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu liczby oczek równego 5. Zadanie 36: W ciągu arytmetycznym dane są wyrazy: a₃ = 4, a₆ = 19. Ile wyrazów tego ciągu należy do przedziału (0, 200)?

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 150: Zadanie 37: Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym kąt ACB=90°, |AC|=5, |BC|=12, zbudowano kwadrat ACDE. Punkt H leży na prostej AB i kąt EHA=90°. Oblicz pole trójkąta HAE. Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny ABC z kwadratem ACDE i punktem H na prostej AB.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 151: Zadanie 38: Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, gdzie |AC|=|BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne tak, że |AD|=|CD| oraz |AB|=|BD|. Udowodnij, że ∠ADC = 5⋅∠ACD. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z punktami D i oznaczeniami kątów. Rozwiązanie I i II zawierają dowód z użyciem oznaczeń kątów α i β oraz właściwości trójkątów.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 152: Zadanie 39: oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy. Zadanie 40: w graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości d jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że sin α = 0,2. Podaj objętość tego graniastosłupa w zależności od d. Rysunek: trójkąt prostokątny ABC w sześcianie, przekątna sześcianu i podstawy.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 153: Rozwiązanie I: Trójkąt BDH jest prostokątny, sin α = h/d, h = 1/5 d. Pole podstawy graniastosłupa P_ABCD = 12/25 d², objętość V = 12/125 d³. Rozwiązanie II: cos α = a√2/d, V = 0,096d³. Zadanie 41: Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych z jedną cyfrą nieparzystą i trzema parzystymi. Zero jest liczbą parzystą. Wymagania: użycie strategii, liczenie obiektów w sytuacjach kombinatorycznych.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 154: Rozwiązanie dotyczące wyboru cyfr parzystych i nieparzystych w liczbach dziesiętnych. Zadanie 42: Z pojemnika z pięcioma losami, w tym dwa wygrywające i trzy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez oddawania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy jeden lub dwa losy wygrywające. Wynik zapisz jako ułamek nieskracalny. Wymagania: modelowanie matematyczne i obliczanie prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach. Rozwiązanie z użyciem modelu klasycznego.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 155: Zadanie: Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, gdzie A to wylosowanie co najmniej jednego wygrywającego losu z pojemnika. Tabela przedstawia zdarzenia elementarne z oznaczeniami w1, w2, p1, p2, p3. Rozwiązanie I: Prawdopodobieństwo P(A) = 7/10. Rozwiązanie II: Metoda drzewa, ilustrująca losowanie bez oddawania, z prawdopodobieństwami na gałęziach drzewa. Obliczenia: P(A) = 7/10.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 156: Zadanie 43: Udowodnij, że prawdziwa jest nierówność √(2^50 + 1) + √(2^50 - 1) < 2^26. Wymagania ogólne: Rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe: Używanie wzorów skróconego mnożenia. Rozwiązanie I: Przekształcenie nierówności poprzez podniesienie do kwadratu i uzyskanie 2^100 - 1 < 2^100. Rozwiązanie II: Oznaczenie a = √(2^50 + 1), b = √(2^50 - 1) i wykazanie, że a + b < √(2^52) = 2^26.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 157: Zadanie 44: W roku 2015 na urodzinach Marka ktoś zapytał go o wiek. Marek odpowiedział, że jeśli swój wiek sprzed 27 lat pomnoży przez wiek, który będzie miał za 15 lat, to otrzyma rok swojego urodzenia. Oblicz, ile lat ma Marek. Rozwiązanie: Oznaczamy obecny wiek Marka jako x. Równanie: (x-27)(x+15)=2015-x. Po uporządkowaniu: x²-11x-2420=0. Rozwiązania: x=55, x=-44. Marek ma 55 lat.

$Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 158: Zadanie 11: Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $ (a_n) $ o wyrazach dodatnich, taki że $ a_1 = \frac{3}{4} $, $ a_3 = \frac{1}{3} $. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozwiązanie zawiera obliczenia ilorazu $ q = \frac{2}{3} $ oraz sumy $ S = \frac{9}{4} $.$

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 159: Zadanie 13: Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=4x³-2x+1 dla wszystkich liczb rzeczywistych. Uzasadnij, że prosta l o równaniu 10x-y+9=0 jest styczna do wykresu funkcji f. Wymagania ogólne: rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe: korzystanie z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej. Rozwiązanie obejmuje zapisanie równania prostej l w postaci kierunkowej y=10x+9, wyznaczenie pochodnej funkcji f: f'(x)=12x²-2, oraz obliczenia wartości funkcji w punktach x=-1 i x=1.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 160: Zadanie 28: Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi równej 1. Punkt S jest środkiem krawędzi DH. Odcinek DW jest wysokością ostrosłupa ACSD poprowadzoną z wierzchołka D na ścianę ACS. Oblicz długości odcinków AW, CW i SW. Rysunek przedstawia sześcian z oznaczeniami wierzchołków.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 161: Ilustracja przedstawia ostrosłup ACSD z podstawą trójkąta równoramiennego ACS. Punkt S leży na krawędzi DH, co sprawia, że AS=CS. Długość odcinka ST obliczana jest z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego TSD: |ST|²=|SD|²+|DT|². Odcinek DW jest wysokością trójkąta TDS. Obliczenia zawierają równania dla |DW| i |SW|, wykorzystując twierdzenie Pitagorasa.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 162: Zadanie 30: Dany jest sześcian ABCDEFGH z krawędzią długości 15. Punkty Q i R dzielą krawędzie HG i FG w stosunku 2:1, |HQ|=|FR|=10. Płaszczyzna AQR przecina krawędź DH w punkcie P i krawędź BF w punkcie S. Oblicz długości odcinków DP i BS. Rysunek przedstawia sześcian z zaznaczonymi punktami i płaszczyznami.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 163: Wymagania szczegółowe dotyczące rozpoznawania figur w graniastosłupach i ostrosłupach. Rozwiązanie (I sposób): Rozważamy kwadrat EFGH. Punkt T to przecięcie przedłużeń odcinków QR i EF. Rysunek przedstawia kwadrat z punktami H, Q, G, E, F, T oraz odcinkami o długościach 5 i 10. Trójkąty prostokątne RFT i RGQ są podobne. Wynika, że |FT|=10. Rozważamy kwadrat ABFE.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 164: Zadanie: Na rysunku przedstawiono prostokąt EFAB z przekątną FT. Długości boków EF=10, AB=15. Odcinek BS ma długość x, a odcinek AS ma długość 15-x. Trójkąty prostokątne ABS i TFS są podobne. Równanie proporcji: x/10 = (15-x)/15. Rozwiązanie równania: 15x = 150 - 10x, x = 6. Długość BS wynosi 9. Rozwiązanie (II sposób): Opis rysowania przekątnych AC, BD, EG i łączenia punktów P i S.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 165: Rysunek przedstawia sześcian z oznaczonymi punktami A, B, C, D, E, F, G, H, P, Q, R, S, T, T₁, W, W₁. Opis dotyczy symetrii względem płaszczyzny ACGE. Czworokąt BSPD jest prostokątem, a prosta przez W i W₁ jest prostopadła do płaszczyzny ABCD. Obliczenia dotyczące długości |TT₁|=15, |AW₁|=15√2/2, |AT₁|=15√2, prowadzą do wyniku |WW₁|=9.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 166: Zadanie 31: Oblicz, ile jest wszystkich liczb siedmiocyfrowych, w zapisie których nie ma zera i na dokładnie dwóch miejscach są cyfry parzyste. Wymagania ogólne: użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe: zastosowanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami. Rozwiązanie zawiera wzór na liczbę dwuelementowych kombinacji ze zbioru siedmioelementowego, wyrażoną jako współczynnik dwumianowy (7 nad 2) = 21.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 167: Strona zawiera listę numerowaną od 1 do 21, gdzie każda pozycja przedstawia kombinację kropek i kółek. Dodatkowo, tekst opisuje metodę liczenia możliwości ustawienia cyfr parzystych na różnych miejscach, podając wzór: 6+5+4+3+2+1=21 sposobów wyboru dwóch miejsc dla cyfr parzystych. Na końcu znajduje się przykład ustawienia: kółko, kropka, kropka, kółko, kółko, kółko, kółko.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 168: Zadanie 32: Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2 i 3. Cyfry mogą się powtarzać. Rozwiązanie zawiera wypisanie wszystkich możliwych liczb i ich dodanie. Podano przykładowe liczby: 111, 112, 113, ..., 333. Wymagania ogólne: użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe: wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 169: Zadanie opisuje metodę dodawania liczb bez kalkulatora. Suma liczb 1098, 1998 i 2898 wynosi 5994. Liczby można dodawać w pamięci, zauważając, że suma liczb dwucyfrowych zmienia się tylko w setkach. Obliczając sumę 27 liczb, każdą zapisujemy jako a·100+b·10+c. Wyjaśniono, jak każda cyfra występuje 9 razy na różnych miejscach dziesiętnych, co prowadzi do sumy 5400+540+54=5994.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 170: Zadanie 33: Oblicz, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 24. Rozwiązanie: Rozkład liczby 24 na czynniki pierwsze: 24 = 3·2·2·2. Opisano pięć możliwości iloczynu cyfr liczby ośmiocyfrowej równego 24, z przykładami obliczeń liczby takich liczb, m.in. dla cyfr: trzy dwójki, jedna trójka, cztery jedynki (24 = 3·2·2·2·1·1·1·1) oraz trójka, czwórka, dwójka, pięć jedynek (24 = 3·4·2·1·1·1·1·1).

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 171: Zadanie 3: Wśród cyfr liczby są trójka, ósemka i sześć jedynek (24 = 3·8·1·1·1·1·1·1). Liczbę takich liczb można obliczyć na przykład tak: 8·7 = 56, wybieramy miejsce dla trójki i z pozostałych dla ósemki. Zadanie 4: Wśród cyfr liczby są szóstka, czwórka i sześć jedynek (24 = 6·4·1·1·1·1·1·1). Liczbę takich liczb można obliczyć na przykład tak: 8·7 = 56, wybieramy miejsce dla szóstki i czwórki. Zadanie 5: Wśród cyfr liczby są dwie dwójki, jedna szóstka i pięć jedynek (24 = 6·2·2·1·1·1·1·1). Liczbę takich liczb można obliczyć na przykład tak: 8·(7 nad 2) = 168, wybieramy miejsce dla szóstki, następnie dwa miejsca z siedmiu dla dwójek.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 172: Zadanie 35: Losujemy jednocześnie dwie liczby ze zbioru {1,2,3,...,12,13}. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że wśród wylosowanych liczb będzie liczba 8, pod warunkiem, że suma wylosowanych liczb będzie nieparzysta. Wymagania: użycie i tworzenie strategii, oblicza prawdopodobieństwo warunkowe. Rozwiązanie zawiera wzory na prawdopodobieństwo warunkowe i obliczenia dotyczące zdarzeń elementarnych.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 173: Strona zawiera jedynie nagłówek "Informacja dla absolwentów niesłyszących" i numer strony 173, brak zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 174: Strona zawiera tekst dotyczący opinii Konferencji Rektorów Akademickich Szkół Polskich o informatorach maturalnych od 2015 roku. Opisuje dążenie do poprawy jakości kształcenia absolwentów szkół średnich oraz zmiany w egzaminie maturalnym. Wymienia zmiany w zakresie języka polskiego, historii i wiedzy o społeczeństwie, takie jak wzmocnienie umiejętności komunikacyjnych i kompleksowe sprawdzanie umiejętności historycznych.

Matematyka, matura podstawowa, wrzesień 2013, CKE - strona 175: Strona zawiera tekst dotyczący opinii KRASP o informatorach maturalnych od 2015 roku. Wymienione są zakresy matematyki, biologii, chemii, fizyki i geografii, z podkreśleniem zwiększenia wymagań i znaczenia umiejętności analizy. Opisano wprowadzenie skali centylowej na świadectwach maturalnych oraz jej wpływ na rekrutację na studia. Na dole strony widnieje data 5 lipca 2013 r. oraz podpis przewodniczącego KRASP, prof. zw. dr hab. Wiesław Banyś.

175

Informator

arkusz