Matura podstawowa matematyka sierpień 2014 arkusz + PDF

Poprawkowy • CKE • sierpień 2014 • formuła 2002

Arkusz matura podstawowa z matematyki. Sprawdź odpowiedzi i rozwiązania, aby skutecznie przygotować się do egzaminu.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza egzaminacyjnego z matematyki na poziomie podstawowym. Zawiera instrukcje dla zdającego, takie jak sprawdzenie liczby stron, sposób przenoszenia odpowiedzi na kartę, używanie długopisu lub pióra, zakaz używania korektora. Czas pracy: 170 minut, liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na wpisanie kodu i PESEL zdającego oraz naklejkę z kodem.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 2: Zadanie 1: wskaż nierówność opisującą przedział na osi liczbowej. Zadanie 2: liczba $ \frac{1}{2} \cdot 2^{2014} $ jest równa. Zadanie 3: liczba $ c = \log_3 2 $. Zadanie 4: liczba $ (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + 2\sqrt{15} $ jest równa. Zadanie 5: ile procent oszczędności pozostało Julii? Zadanie 6: rozwiązanie równania $ \frac{x-5}{7-x} = \frac{1}{3} $. Zadanie 7: jeśli $ a = \frac{b}{c-b} $, to.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 3: Brudnopis (nie podlega ocenie). Strona zawiera pustą kratkę do notatek, bez widocznych zadań ani treści matematycznych.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 4: Zadanie 8: Dziedziną funkcji f jest przedział, wybierz spośród A) (0, 3), B) (0, 8), C) ⟨−3, 3⟩, D) ⟨−3, 8⟩. Zadanie 9: Największą wartością funkcji f jest, wybierz spośród A) 3, B) 0, C) −3, D) 8. Zadanie 10: Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f(x) = (x−2)(x+4), wybierz spośród rysunków A, B, C, D. Wykres funkcji f przedstawiony na siatce współrzędnych.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 5: Brudnopis (nie podlega ocenie). Strona zawiera pustą siatkę kratkowaną, przeznaczoną do roboczych obliczeń i notatek. Brak zadań do rozwiązania.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 6: Zadanie 11: funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział $(-∞, -3)$, może być określona wzorem. Zadanie 12: funkcja liniowa $f(x) = ax + b$ jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe, wynika że. Zadanie 13: suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równa 35, pierwszy wyraz $a_1 = 3$, wtedy $a_{10}$. Zadanie 14: ciąg geometryczny $(a_n)$ określony wzorem $a_n = -\frac{3^n}{4}$, iloraz ciągu. Zadanie 15: kąt $\alpha$ ostry, $3 \tan \alpha = 2$, wartość $\sin \alpha + \cos \alpha$. Zadanie 16: promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym równy 8, wysokość trójkąta.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 7: Brudnopis (nie podlega ocenie). Strona zawiera pustą kratkę do notatek, bez widocznych zadań ani treści matematycznych.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 8: Zadanie 17: Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku O. Wypukły kąt środkowy AOB ma miarę, do wyboru: A) 60°, B) 100°, C) 120°, D) 140°. Zadanie 18: Odcinki BC i DE są równoległe, |AE|=4, |DE|=3, punkt D jest środkiem odcinka AB. Długość odcinka BC, do wyboru: A) 4, B) 6, C) 8, D) 16. Zadanie 19: Dane równania prostych: k: y=1/2x+5, l: y=2x+5, m: y=-2x+3, n: y=2x-5. Prostopadłe są proste, do wyboru: A) l i n, B) l i m, C) k i n, D) k i m.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 9: Brudnopis (nie podlega ocenie). Strona zawiera pustą siatkę z kratkami, przeznaczoną do roboczych obliczeń i notatek. Brak zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 10: Zadanie 20: Punkt P=(-1,0) leży na okręgu o promieniu 3. Równanie okręgu może mieć postać A) (x+1)²+y²=9, B) x²+(y-√2)²=3, C) (x+1)²+(y+3)²=9, D) (x+1)²+y²=3. Zadanie 21: Punkty A=(13,-12) i C=(15,8) są przeciwnymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątne przecinają się w punkcie A) S=(2,-20), B) S=(14,10), C) S=(14,-2), D) S=(28,-4). Zadanie 22: Pole powierzchni całkowitej walca z przekrojem osiowym kwadratu o boku 4, A) 256π, B) 128π, C) 48π, D) 24π. Zadanie 23: Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i wysokości. Objętość ostrosłupa 81√3. Objętość graniastosłupa A) 27, B) 27√3, C) 243, D) 243√3. Zadanie 24: Rzucamy trzy razy monetą. Prawdopodobieństwo co najmniej jednej reszki A) 7/8, B) 1/2, C) 1/4, D) 1/8. Zadanie 25: Średnia arytmetyczna liczb: x, 13, 7, 5, 5, 3, 2, 11 wynosi 7. Mediana A) 6, B) 7, C) 10, D) 5.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 11: Brudnopis (nie podlega ocenie). Strona zawiera pustą siatkę kratkowaną do wykonywania obliczeń pomocniczych lub szkiców.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 12: Zadanie 26: Rozwiąż nierówność -x² - 5x + 14 < 0.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 13: Zadanie 27: Rozwiąż równanie $x^3 - 6x^2 - 11x + 66 = 0$. Strona zawiera siatkę do zapisu rozwiązania oraz tabelę do wypełnienia przez egzaminatora z numerem zadania, maksymalną liczbą punktów i uzyskaną liczbą punktów.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 14: Zadanie 28: wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 15: Zadanie 29: Kąt α jest ostry oraz $\frac{4}{\sin^2 \alpha} + \frac{4}{\cos^2 \alpha} = 25$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$. Strona zawiera siatkę do obliczeń oraz tabelę do wypełnienia przez egzaminatora z maksymalną liczbą punktów 2 dla zadania 29.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 16: Zadanie 30: Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC| > |BC|. Na bokach AC i BC wybrano punkty D i E tak, że |CD| = |CE|. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F. Wykazać, że kąt BAC = kąt ABC - 2 * kąt AFD. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z zaznaczonymi punktami D, E i F.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 17: Zadanie 31: Dany jest ciąg arytmetyczny $ (a_n) $ określony dla $ n \geq 1 $, w którym $ a_5 = 22 $ oraz $ a_{10} = 47 $. Oblicz pierwszy wyraz $ a_1 $ i różnicę $ r $ tego ciągu.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 18: Zadanie 32: Miasta A i B są oddalone o 450 km. Pani Danuta pokonała tę trasę samochodem w czasie o 75 minut dłuższym niż pani Lidia. Średnia prędkość pani Danuty była o 18 km/h mniejsza od średniej prędkości pani Lidii. Oblicz średnie prędkości obu pań na trasie z A do B.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 19: Strona zawiera siatkę do rysowania oraz tabelę do wypełnienia przez egzaminatora. W tabeli podano: "Nr zadania: 32", "Maks. liczba pkt: 5", "Uzyskana liczba pkt". Brak treści zadań do rozwiązania.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 20: Zadanie 33: Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej ostrosłupa wynosi 22, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy to $ \frac{4\sqrt{6}}{5} $. Oblicz objętość ostrosłupa. Rysunek przedstawia ostrosłup z oznaczeniami wierzchołków S, A, B, C, D oraz środka podstawy O.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 21: Strona zawiera siatkę do rysowania oraz miejsce na odpowiedź do zadania 33. W dolnej części znajduje się tabela do wypełnienia przez egzaminatora z numerem zadania 33, maksymalną liczbą punktów 4 i miejscem na wpisanie uzyskanej liczby punktów.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 22: Zadanie 34: Zbiór M tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w których występują dwie różne cyfry spośród: 1, 2, 3, 4, 5. Ze zbioru M losujemy jedną liczbę z równym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od 20, w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 23: Brudnopis (nie podlega ocenie). Strona zawiera tylko nagłówek i informację, że jest przeznaczona na notatki, bez zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 24: Zadanie 20: Na wykresie przedstawiono funkcję kwadratową f(x) = ax² + bx + c. Określ współczynniki a, b, c, wiedząc, że wykres przechodzi przez punkty (1, 2), (2, 3) i (3, 6). Zadanie 21: W trójkącie równoramiennym ABC, gdzie |AB| = |AC| = 5 cm, a podstawa |BC| = 6 cm, oblicz wysokość opuszczoną na podstawę.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 25: Zadanie 19: Oblicz wartość wyrażenia $ \frac{2x - 3}{x + 1} $ dla $ x = 2 $. Zadanie 20: Na rysunku przedstawiono trójkąt równoramienny ABC z podstawą AB = 8 cm i ramionami AC = BC = 5 cm, oblicz wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka C na podstawę AB. Zadanie 21: W układzie współrzędnych narysowano wykres funkcji liniowej $ y = 2x - 3 $, wyznacz współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią OX.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 26: Zadanie 15: Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej f(x)=ax²+bx+c. Określ współczynniki a, b, c, wiedząc, że wierzchołek paraboli ma współrzędne (1, -3) i przechodzi przez punkt (0, 2). Zadanie 16: Rozwiąż równanie kwadratowe x²-4x+3=0 i podaj jego pierwiastki. Zadanie 17: Na diagramie przedstawiono rozkład wyników z testu, oblicz średnią arytmetyczną wyników.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 27: Zadanie 19: Na rysunku przedstawiono trapez prostokątny ABCD, w którym |AB|=8 cm, |BC|=6 cm, |CD|=4 cm. Oblicz pole trapezu. Zadanie 20: Wykres przedstawia funkcję kwadratową f(x)=ax²+bx+c. Określ współczynniki a, b, c na podstawie wykresu. Zadanie 21: Tabela zawiera dane dotyczące liczby uczniów w klasach. Oblicz średnią liczbę uczniów na klasę.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 28: Zadanie 18: Na rysunku przedstawiono trapez prostokątny ABCD, w którym |AB|=8 cm, |BC|=6 cm, |CD|=10 cm, a kąt DAB=90°. Oblicz pole trapezu. Zadanie 19: Funkcja kwadratowa f(x)=x²-4x+3. Wyznacz miejsca zerowe funkcji i naszkicuj jej wykres w układzie współrzędnych. Zadanie 20: Na diagramie przedstawiono wyniki pomiaru temperatury w ciągu tygodnia. Oblicz średnią arytmetyczną temperatur.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 29: Strona zawiera tabelę odpowiedzi do zadań 1-25 z opcjami A, B, C, D do zaznaczenia przez zdającego oraz tabelę punktacji dla zadań 26-34 do wypełnienia przez egzaminatora, z miejscem na wpisanie punktów od 0 do 5. Dodatkowo znajduje się miejsce na naklejkę z numerem PESEL oraz pole do wpisania sumy punktów.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 30: Strona zawiera pola na kod egzaminatora, czytelny podpis egzaminatora oraz kod zdającego. Brak zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 2: Zadanie 26 (0–2 pkt): Rozwiązanie nierówności -x²-5x+14<0. Rozwiązanie: x₁=2, x₂=-7, szkic paraboli z ramionami skierowanymi ku dołowi, zaznaczone miejsca zerowe na osi x. Odczyt zbioru rozwiązań: x∈(-∞,-7)∪(2,∞). Punktacja: 1 pkt za poprawne obliczenie pierwiastków lub rozłożenie trójmianu na czynniki liniowe, mimo dalszych błędów.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 3: Zadanie 27 (0-2): Rozwiązać równanie x³-6x²-11x+66=0. Rozwiązanie I: metoda grupowania, równanie przekształcone do (x-6)(x²-11)=0, wyniki x=6, x=√11, x=-√11. Rozwiązanie II: metoda dzielenia, sprawdzenie W(6)=0, dzielenie przez x-6, wyniki x=6, x=√11, x=-√11. Punktacja: 1 pkt za postać iloczynową, 2 pkt za poprawne rozwiązanie.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 4: Zadanie 28 (0–2): Wykazać, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24. Rozwiązanie I sposób: Zapis liczb jako 2n, 2n+2, 2n+4, obliczenie sumy sześcianów, wynik 24(n³+3n²+5n+3), co dowodzi podzielności przez 24. Rozwiązanie II sposób: Alternatywne wyprowadzenie z użyciem 2n, 2(n+1), 2(n+2), wynik 24(n³+3n²+5n+3). Punktacja: 1 pkt za zapis sumy, 2 pkt za pełne rozumowanie.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 5: Zadanie 1 (1 pkt): zapis sumy sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych w postaci (2n-2)³ + (2n)³ + (2n+2)³ = 24(n³+3n²+5n+3). Rozwiązanie III sposób: liczby w postaci n-2, n, n+2, suma sześcianów n³-6n²+12n-8+n³+n³+6n²+12n+8=3n³+24n, n³ podzielne przez 8, 3n³ przez 24. Rozwiązanie IV sposób: liczby w postaci 2n-2, 2n, 2n+2, suma sześcianów 8(n³-3n²+3n-1+n³+n³+3n²+3n+1)=24(n³+2n).

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 6: Zadanie 29 (0–2): Kąt α jest ostry oraz $\frac{4}{\sin^2 \alpha} + \frac{4}{\cos^2 \alpha} = 25$. Rozwiązanie I sposób: sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika, korzystając z tożsamości $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, otrzymujemy $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{2}{5}$. Rozwiązanie II sposób: rysunek trójkąta prostokątnego z zaznaczonym kątem α, $\sin \alpha = \frac{a}{c}$, $\cos \alpha = \frac{b}{c}$.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 7: Zadanie 29 (1 pkt): wyznaczenie długości przeciwprostokątnej za pomocą twierdzenia Pitagorasa, sin α cos² α = 4/25, kąt α jest ostry. Zadanie 30 (0–2 pkt): dowód równości kątów w trójkącie ABC z punktami D i E na bokach, równość odcinków |CD|=|CE|, wykazanie |∠BAC|=|∠ABC|-2·|∠AFD|, rysunek trójkąta z zaznaczonymi punktami D, E, F.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 8: Rozwiązanie I sposób: Zadanie dotyczące miar kątów w trójkątach. Wykorzystano własności kątów przyległych i wierzchołkowych oraz sumę miar kątów wewnętrznych. Kluczowe kroki: wyznaczenie miar kątów w trójkątach BEF i CDE, końcowy wynik α=β−2γ. Rozwiązanie II sposób: Zadanie z trójkątem równoramiennym CDE, wykorzystano własności kątów w czworokącie ABED, końcowy wynik α=β−2γ. Punktacja: 1-2 pkt za zapisanie zależności i pełne rozumowanie.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 9: Zadanie 31 (0-2 pkt): Dany jest ciąg arytmetyczny $a_n$ z $a_5=22$ i $a_{10}=47$. Oblicz pierwszy wyraz $a_1$ i różnicę $r$. Rozwiązanie: Zapisano układ równań $a_1+4r=22$ i $a_1+9r=47$. Obliczono $a_1=2$ i $r=5$. Schemat oceniania: 1 pkt za zapisanie układu równań, 2 pkt za obliczenie $a_1$ i $r$.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 10: Zadanie 32 (0–5 pkt): obliczenie średnich prędkości pani Danuty i pani Lidii. Rozwiązanie I sposób: przyjęcie oznaczeń v i t, zapisanie układu równań, przekształcenie do równania kwadratowego, Δ=324, v₁=-72 (sprzeczne), v₂=90 km/h. Rozwiązanie II sposób: podobna metoda, Δ=25, t₂=5 h, prędkość pani Lidii 90 km/h, pani Danuty 72 km/h. Odpowiedź: prędkości 90 km/h (Lidia) i 72 km/h (Danuta).

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 11: Zadanie 1: zapisanie prędkości i czasu jazdy dla pani Lidii i pana Danuty, układ równań, przekształcenie do równań kwadratowych, Δ=162, v₂=72 km/h, obliczenie prędkości pani Lidii v+18=90 km/h, prędkość pani Danuty v=72 km/h. Zadanie 2: schemat oceniania, zapisanie zależności między drogą, prędkością i czasem, 1 pkt.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 12: Rozwiązanie zadania z układem równań dla prędkości i czasu, 2 pkt: zapisanie układu równań dla pani Lidii i Danuty. Pokonanie trudności, 3 pkt: zapisanie równania z jedną niewiadomą. Rozwiązanie z usterkami, 4 pkt: błędy rachunkowe. Rozwiązanie pełne, 5 pkt: obliczenie prędkości obu pań 90 km/h i 72 km/h. Uwagi dotyczące punktacji za poprawność i błędy w obliczeniach.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 13: Zadanie 33 (0-4 pkt): Obliczanie objętości ostrosłupa o podstawie kwadratu. Wysokość ściany bocznej wynosi 22, tangens kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy to $ \frac{4\sqrt{6}}{5} $. Szkic ostrosłupa z oznaczeniami: $ |ES|=h=22 $, $ |AB|=a $, $ |OE|=\frac{a}{2} $, $ |SO|=H $.$

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 14: Zadanie 1: Podany tangens kąta to stosunek $\frac{SO}{OE}$, więc $\frac{H}{\frac{a}{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{5}$. Trójkąt SOE jest prostokątny, więc $H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 484$. Rozwiązanie układu równań: 1) Obliczamy H: $5H = 2\sqrt{6}a$, $H = \frac{2\sqrt{6}}{5}a$. 2) Podstawiamy do równania: $\frac{121}{100}a^2 = 484$. 3) Obliczamy a: $a = 20$. 4) Obliczamy H: $H = 8\sqrt{6}$. 5) Obliczamy objętość ostrosłupa: $V = \frac{3200}{3}\sqrt{6}$. Punktacja: 1 pkt za zapisanie zależności, 2 pkt za istotny postęp.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 15: Zadanie 33 (3 pkt): obliczenie długości krawędzi podstawy i wysokości ostrosłupa, a=20, H=8√6. Zadanie 33 (4 pkt): obliczenie objętości ostrosłupa, V=3200/3√6. Zadanie 34 (0-4 pkt): obliczenie prawdopodobieństwa, że wylosujemy liczbę większą od 20, gdzie cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności, P(A)=3/10, liczba zdarzeń elementarnych |Ω|=20, liczba sprzyjających zdarzeń |A|=6.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 16: Zadanie 1 (2 pkt): opis zdarzenia sprzyjającego w postaci (a,b), a ∈ {2,3,4,5}, a < b, obliczenie liczby |A|=6. Zadanie 2 (3 pkt): obliczenie liczby zdarzeń elementarnych |Ω|=20, opis zdarzenia sprzyjającego, obliczenie |A|=6. Zadanie 3 (4 pkt): obliczenie prawdopodobieństwa P(A)=3/10. Metoda drzewa: drzewko ilustrujące zdarzenie, prawdopodobieństwa 1/5 i 1/4, zaznaczone gałęzie dla zdarzenia A.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2014, CKE - strona 17: Zadanie dotyczące obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia A przy użyciu drzewa decyzyjnego. P(A) = 6 * (1/5) * (1/4) = 3/10. Schemat oceniania: 1 pkt za narysowanie drzewa z losowaniem dwóch cyfr i zapisanie prawdopodobieństwa na gałęzi, 2 pkt za istotne gałęzie z prawdopodobieństwem, 3 pkt za zaznaczenie zdarzeń sprzyjających, 4 pkt za pełne rozwiązanie z poprawnym wynikiem. Uwagi dotyczą punktacji za błędy i pominięcia.

Ładowanie arkusza egzaminacyjnego...

Matura podstawowa matematyka sierpień 2014 arkusz + PDF

Poprawkowy • CKE • sierpień 2014 • formuła 2002

Arkusz matura podstawowa z matematyki. Sprawdź odpowiedzi i rozwiązania, aby skutecznie przygotować się do egzaminu.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!