Matura podstawowa z matematyki | Sierpień 2023 | Interaktywny arkusz + PDF

Zadanie 1

Dana jest nierówność

\(|x - 5| < 2\)

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wybierz odpowiedź:

A.

Kliknij, aby powiększyć

B.

Kliknij, aby powiększyć

C.

Kliknij, aby powiększyć

D.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(3 \sqrt{45} - \sqrt{20}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((7 \cdot 5)^{\frac{1}{2}}\)

B. \(5^{\frac{1}{2}}\)

C. \(7\)

D. \(7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{25} 1 - \frac{1}{2} \log_{25} 5\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\big(-\frac{1}{4}\big)\)

B. \(\big(-\frac{1}{2}\big)\)

C. \(\frac{1}{4}\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się, gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Sprawdzam kurs

Zadanie 4

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(3n^3 + 18n^2 + 15n\) jest podzielna przez \(6\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \(\frac{3^{-1}}{(-\frac{1}{9})^{-2}} \cdot 81\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{3}\)

B. \(\big(-\frac{1}{3}\big)\)

C. \(3\)

D. \((-3)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia \((2 - \sqrt{3})^2 - (\sqrt{3} - 2)^2\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-2 \sqrt{3})\)

B. \(0\)

C. \(6\)

D. \(8 \sqrt{3}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \(0\) wartość wyrażenia \(\frac{1}{2x} - x\) jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{x}\)

B. \(\frac{1 - x}{2x}\)

C. \(\frac{1 - 2x^2}{2x}\)

D. \(-\frac{1}{2x}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie \(\frac{(x^2 - 3x)(x^2 + 1)}{x^2 - 25} = 0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Wybierz odpowiedź:

A. jedno rozwiązanie.

B. dwa rozwiązania.

C. trzy rozwiązania.

D. cztery rozwiązania.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż równanie

\(3x^3 - 2x^2 - 3x + 2 = 0\)

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), punkt \((-8, 6)\) jest punktem przecięcia prostych o równaniach

Wybierz odpowiedź:

A. \(2x + 3y = 2\) i \(-x + y = -14\)

B. \(3x + 2y = -12\) i \(2x + y = 10\)

C. \(x + y = -2\) i \(x - 2y = 4\)

D. \(x - y = -14\) i \(-2x + y = 22\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) jest liczba \(1\). Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt \((-1, 4)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wzór funkcji \(f\) ma postać

Wybierz odpowiedź:

A. \(f(x) = -\frac{1}{2} x + 1\)

B. \(f(x) = -\frac{1}{3} x + \frac{1}{3}\)

C. \(f(x) = -2x + 2\)

D. \(f(x) = -3x + 1\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x) = \frac{x - k}{x^2 + 1}\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek \(f(1) = 2\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość współczynnika \(k\) we wzorze tej funkcji jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-3)\)

B. \(3\)

C. \((-4)\)

D. \(4\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = (x - 13)^2 - 256\). Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba \((-3)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba

Wybierz odpowiedź:

A. \((-29)\)

B. \((-23)\)

C. \(23\)

D. \(29\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14.1

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) narysowano wykres funkcji \(y = f(x)\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale

Wybierz odpowiedź:

A. \([-5, 4]\)

B. \([5, 7]\)

C. \([1, 5]\)

D. \([-1, 5]\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14.2

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) narysowano wykres funkcji \(y = f(x)\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Zapisz w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości większe od \(1\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14.3

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) narysowano wykres funkcji \(y = f(x)\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x) = f(-x)\) dla każdego \(x \in [-7, -5] \cup [-4, 4] \cup [5, 7]\). Na jednym z rysunków A-D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), wykres funkcji \(y = g(x)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykres funkcji \(y = g(x)\) przedstawiono na rysunku

Wybierz odpowiedź:

A.

Kliknij, aby powiększyć

B.

Kliknij, aby powiększyć

C.

Kliknij, aby powiększyć

D.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Funkcje \(A, B, C, D, E\) oraz \(F\) są określone dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wzory tych funkcji podano poniżej.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Przedział \((-\infty, 2]\) jest zbiorem wartości funkcji \(............\) oraz \(............\).

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = (-1)^n \cdot \frac{n + 1}{2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(2\)

B. \((-2)\)

C. \(3\)

D. \((-1)\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \(128\), natomiast iloraz ciągu jest równy \(\big(-\frac{1}{2}\big)\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wyraz \(a_{2023}\) jest liczbą ujemną.

Prawda

Fałsz

Różnica \(a_3 - a_2\) jest równa \(96\).

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Ciąg \((3x^2 + 5x, x^2, 20 - x^2)\) jest arytmetyczny.

Oblicz \(x\). Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos \alpha = \frac{2 \sqrt{6}}{7}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta \(\alpha\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{24}{49}\)

B. \(\frac{5}{7}\)

C. \(\frac{25}{49}\)

D. \(\frac{\sqrt{6}}{7}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Trapez \(T_1\), o polu równym \(52\) i obwodzie \(36\), jest podobny do trapezu \(T_2\). Pole trapezu \(T_2\) jest równe \(13\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód trapezu \(T_2\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(18\)

B. \(9\)

C. \(\frac{169}{9}\)

D. \(\frac{52}{3}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Koło ma promień równy \(3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym \(30\degree\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{3}{4} \pi\)

B. \(\frac{1}{2} \pi\)

C. \(\frac{3}{4} \pi + 6\)

D. \(\frac{1}{2} \pi + 6\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

W okręgu \(\mathcal{O}\) kąt środkowy \(\beta\) oraz kąt wpisany \(\alpha\) są oparte na tym samym łuku. Kąt \(\beta\) ma miarę o \(40\degree\) większą od kąta \(\alpha\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta \(\beta\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(40\degree\)

B. \(80\degree\)

C. \(100\degree\)

D. \(120\degree\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

W trójkącie \(ABC\) długość boku \(AC\) jest równa \(3\), a długość boku \(BC\) jest równa \(4\). Dwusieczna kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek \(|AD| : |DB|\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(4 : 3\)

B. \(4 : 7\)

C. \(3 : 4\)

D. \(3 : 7\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\), w którym podstawa \(CD\) ma długość \(6\), ramię \(AD\) ma długość \(4\), a kąty \(BAD\) oraz \(ABC\) mają miarę \(60 \degree\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są prosta \(k\) o równaniu \(y = \frac{3}{4} x - \frac{7}{4}\) oraz punkt \(P = (12, -1)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta przechodząca przez punkt \(P\) i równoległa do prostej \(k\) ma równanie

Wybierz odpowiedź:

A. \(y = -\frac{3}{4} x + 8\)

B. \(y = \frac{3}{4} x - 10\)

C. \(y = \frac{4}{3} x - 17\)

D. \(y = -\frac{4}{3} x + 15\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(\mathcal{O}\) o środku \(S = (-1, 2)\) i promieniu \(3\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem

Wybierz odpowiedź:

A. \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9\)

B. \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 3\)

C. \((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9\)

D. \((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 3\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste o równaniach:

\(\bullet\) \(y = \sqrt{3} x + 6\)

\(\bullet\) \(y = -\sqrt{3} x + 6\)

\(\bullet\) \(y = -\frac{1}{\sqrt{3}} x - 2\)

przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta \(KLM\).

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie \(1\)., \(2\). albo \(3\).

Trójkąt \(KLM\) jest

Wybierz odpowiedź:

A. równoramienny,

B. prostokątny,

ponieważ

Wybierz odpowiedź:

1. oś \(Ox\) przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta.

2. dwie z tych prostych są prostopadłe.

3. oś \(Oy\) zawiera dwusieczną tego trójkąta.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \(A = (-1, -4)\) jest wierzchołkiem równoległoboku \(ABCD\). Punkt \(S = (2, 2)\) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej \(AC\) równoległoboku \(ABCD\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\sqrt{5}\)

B. \(2 \sqrt{5}\)

C. \(3 \sqrt{5}\)

D. \(6 \sqrt{5}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29.1

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(6\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(216 + 18 \sqrt{3}\)

B. \(216 + 54 \sqrt{3}\)

C. \(216 + 216 \sqrt{3}\)

D. \(216 + 108 \sqrt{3}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29.2

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(6\).

Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\)

B. \(9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9\)

C. \(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\)

D. \(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Ze zbioru pięciu liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń \(2023\) roku.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń \(2023\) roku jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(5\ 690\) zł

B. \(5\ 280\) zł

C. \(6\ 257\) zł

D. \(5\ 900\) zł

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po \(196\) złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

\(\bullet\) przychód \(P\) (w złotych) ze sprzedaży \(x\) krzeseł można opisać funkcją \(P(x) = 196x\)

\(\bullet\) koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) krzeseł dziennie można opisać funkcją

\(K(x) = 4x^2 + 4x + 240\)

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(30\) krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.