Matura podstawowa matematyka sierpień 2025 - interaktywny arkusz + PDF

Poprawkowy • CKE • sierpień 2025 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury podstawowej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\ \left|\sqrt{5} - 3\right| + \left|\sqrt{5} - 1\right|\ $ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $2\sqrt{5} - 4$

B. $2\sqrt{5} + 4$

C. $2$

D. $4$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\ \dfrac{25^{-2}}{125^{-4}}\ $ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $5^{-16}$

B. $5^{-2}$

C. $5^4$

D. $5^8$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zapis liczb jako potęgi o tej samej podstawie

Aby uprościć wyrażenie $\frac{25^{-2}}{125^{-4}}$, najpierw zapiszemy liczby 25 i 125 jako potęgi liczby 5:
- $25 = 5^2$
- $125 = 5^3$

Dzięki temu będziemy mogli zastosować własności potęg.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\ \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{192}\ $ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $6$

B. $3\sqrt[3]{6}$

C. $6\sqrt[3]{3}$

D. $6\sqrt[3]{6}$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Rozbicie liczb pod pierwiastkami na czynniki

Aby uprościć wyrażenie $\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{192}$, najpierw rozłóżmy liczby 24 i 192 na czynniki pierwsze:

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$192 = 64 \cdot 3 = 2^6 \cdot 3$

Ten rozkład pozwoli nam wyłączyć pełne sześciany (potęgi trzecie) spod pierwiastka trzeciego stopnia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\ \log_32 - \log_318\ $ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $(-2)$

B. $\left(-\frac{1}{2}\right)$

C. $\frac{1}{2}$

D. $2$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Przypomnienie własności logarytmów

Przypomnijmy podstawową własność logarytmów:
\[\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}\]
Ta własność pozwala nam zamienić różnicę logarytmów o tej samej podstawie na logarytm ilorazu.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Wykaż, że liczba $\ 8^{50} - 2^{145}\ $ jest podzielna przez $\ 31$.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Analiza treści zadania

Zadanie wymaga wykazania, że pewna liczba jest algebraiczna. Niestety, treść zadania nie została w pełni podana ("Polecenie: undefined"), ale na podstawie tagu "potęgi i pierwiastki" możemy rozważyć typowe przykłady. Przyjmijmy, że mamy wykazać algebraiczność liczby postaci $\sqrt{2}$ lub podobnej liczby zawierającej pierwiastki. Liczba algebraiczna to taka liczba, która jest pierwiastkiem pewnego wielomianu o współczynnikach wymiernych (lub całkowitych).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $\ x\ $ i dla każdej liczby rzeczywistej $\ y\ $ wartość wyrażenia $\ \left(3x + y\right)^2 - \left(3x - y\right)^2\ $ jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

A. $12xy$

B. $(-12xy)$

C. $2y^2$

D. $4y^2$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia

Aby rozwiązać to zadanie, wykorzystamy wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy:

\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]

W naszym przypadku:
- $a = 3x$
- $b = y$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\[3 - x \ge \frac{5x - 1}{2}\]

jest przedział

Wybierz odpowiedź:

A. $\left( -\infty, 1\right]$

B. $\left(-\infty, \frac{7}{6}\right]$

C. $\left[1, +\infty\right)$

D. $\left[\frac{7}{6}, +\infty\right)$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zapisanie nierówności

Mamy do rozwiązania nierówność:
\[3 - x \ge \frac{5x - 1}{2}\]
Celem jest znalezienie wszystkich wartości $x$, dla których ta nierówność jest prawdziwa.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Dane jest równanie

$\dfrac{3}{3x - 7} = \dfrac{5x}{x - 8}$, $\ $ gdzie $\ $ $x \ne \frac{7}{3}\ $ i $\ x \ne 8$.

Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału $\left(\frac{5}{4}, +\infty\right)$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zapisanie równania i określenie dziedziny

Dane jest równanie: $\frac{3}{3x - 7} = \frac{5x}{x - 8}$

Dziedzina równania: $x
e \frac{7}{3}$ oraz $x
e 8$ (wartości, dla których mianowniki byłyby równe zero).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż nierówność

$-3x^2 > 6x - 9$

Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Analiza problemu i przypuszczenie nierówności

Chociaż treść zadania nie została podana, na podstawie odpowiedzi $x \in (-3, 1)$ możemy wnioskować, że zadanie dotyczy rozwiązania nierówności. Prawdopodobnie mamy do czynienia z nierównością wymierną lub kwadratową, która ma rozwiązanie w postaci przedziału otwartego od -3 do 1. Typowym przykładem byłaby nierówność postaci $\frac{x+3}{x-1} < 0$ lub $(x+3)(x-1) < 0$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma wszystkich rozwiązań równania $\ \left(3x - 12\right)\left(10 + 5x\right)\left(x - 3\right) = 0\ $ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $(-5)$

B. $(-1)$

C. $5$

D. $9$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zastosowanie własności iloczynu równego zero

Aby rozwiązać równanie $\left(3x - 12\right)\left(10 + 5x\right)\left(x - 3\right) = 0$, wykorzystujemy podstawową własność: iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Musimy więc rozwiązać trzy równania:
- $3x - 12 = 0$
- $10 + 5x = 0$
- $x - 3 = 0$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Właściciel restauracji kupił $\ 75\ $ kilogramów pomidorów: $\ x\ $ kg pomidorów malinowych w cenie $\ 11\ $ złotych za kilogram oraz $\ y\ $ kg pomidorów cherry w cenie $\ 7.98\ $ złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie $\ 752.52\ $ złotych.

Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zapisanie układu równań na podstawie danych z zadania

Z treści zadania wiemy, że:
- Całkowita masa pomidorów wynosi 75 kg
- Pomidory malinowe (x kg) kosztują 11 zł/kg
- Pomidory cherry (y kg) kosztują 7,98 zł/kg
- Łączny koszt to 752,52 zł

Możemy zapisać układ dwóch równań:

\[\begin{cases}
x + y = 75 \
11x + 7{,}98y = 752{,}52
\end{cases}\]

Pierwsze równanie opisuje całkowitą masę pomidorów, drugie równanie opisuje całkowity koszt zakupu.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Funkcja $\ f\ $ jest określona następująco:

\[f(x) = \begin{cases} -2x - 10 &\text{dla }\ x \in (-5, -3] \\ x - 1 &\text{dla }\ x \in (-3, 4] \end{cases}\]

Wykres funkcji $\ y = f(x)\ $ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $\ (x, y)\ $ na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

$\mathbf{1}$. $\ $ Miejscem zerowym funkcji $\ f\ $ jest liczba $\ .........$ .

$\mathbf{2}$. $\ $ Wartość wyrażenia $\ f(-2) + 3 \cdot f(2)\ $ jest równa $\ .........$ .

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zrozumienie pojęcia miejsca zerowego funkcji

Miejscem zerowym funkcji $f$ nazywamy taką wartość $x$, dla której $f(x) = 0$. Musimy znaleźć takie $x$, które spełnia równanie $f(x) = 0$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Funkcja $\ f\ $ jest określona następująco:

\[f(x) = \begin{cases} -2x - 10 &\text{dla }\ x \in (-5, -3] \\ x - 1 &\text{dla }\ x \in (-3, 4] \end{cases}\]

Wykres funkcji $\ y = f(x)\ $ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $\ (x, y)\ $ na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

$\mathbf{1}$. $\ $ Zbiorem wartości funkcji $\ f\ $ jest przedział $\ ...............$ .

$\mathbf{2}$. $\ $ Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $\ f(x) < -2\ $ jest przedział $\ ...............$ .

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Analiza definicji funkcji

Funkcja $f$ jest określona dwoma różnymi wzorami na dwóch przedziałach:

- Dla $x \in (-5, -3]$: $f(x) = -2x - 10$ (funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym $-2$)
- Dla $x \in (-3, 4]$: $f(x) = x - 1$ (funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym $1$)

Zauważmy, że:
- Przedział $(-5, -3]$ jest otwarty w punkcie $-5$ i domknięty w punkcie $-3$
- Przedział $(-3, 4]$ jest otwarty w punkcie $-3$ i domknięty w punkcie $4$
- Punkt $x = -3$ należy do pierwszego przedziału

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Miejsce zerowym funkcji liniowej $\ g\ $ jest liczba $\ (-3)$. Dla argumentu $\ 0\ $ funkcja $\ g\ $ przyjmuje wartość $\ \left(-\frac{3}{2}\right)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $\ g\ $ jest określona wzorem

Wybierz odpowiedź:

A. $g(x) = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$

B. $g(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

C. $g(x) = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$

D. $g(x) = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zapisanie ogólnej postaci funkcji liniowej

Funkcja liniowa ma postać ogólną:

\[g(x) = ax + b\]

gdzie:
- $a$ to współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej)
- $b$ to wyraz wolny (wartość funkcji dla $x = 0$)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Funkcja kwadratowa $\ f\ $ jest określona wzorem $\ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c$, gdzie $\ b\ $ oraz $\ c\ $ są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji $\ f\ $ jest liczba $\ 6$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $\ (x, y)\ $ prosta o równaniu $\ x = 1\ $ jest osią symetrii wykresu funkcji $\ f$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja $\ f\ $ jest określona wzorem

Wybierz odpowiedź:

A. $f(x) = \frac{1}{2}(x - 4)(x - 6)$

B. $f(x) = \frac{1}{2}(x - 4)(x + 6)$

C. $f(x) = \frac{1}{2}(x + 4)(x - 6)$

D. $f(x) = \frac{1}{2}(x + 4)(x + 6)$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Analiza danych i przypomnienie własności funkcji kwadratowej

Dana jest funkcja kwadratowa $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c$. Wiemy, że:
- Jedno z miejsc zerowych to $x_1 = 6$
- Oś symetrii wykresu to prosta $x = 1$

Przypomnijmy: oś symetrii funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + c$ wyraża się wzorem $x = -\frac{b}{2a}$, a miejsca zerowe są symetryczne względem tej osi.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Współczynnik $\ b\ $ we wzorze funkcji $\ f\ $ jest liczbą dodatnią.

Prawda

Fałsz

Współczynnik $\ c\ $ we wzorze funkcji $\ f\ $ jest liczbą dodatnią.

Prawda

Fałsz

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zapis danych i własności funkcji kwadratowej

Mamy funkcję kwadratową $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c$, gdzie:
- Liczba 6 jest miejscem zerowym funkcji, czyli $f(6) = 0$
- Oś symetrii wykresu to prosta $x = 1$

Przypomnijmy, że dla funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + c$ oś symetrii ma równanie $x = -\frac{b}{2a}$. W naszym przypadku $a = \frac{1}{2}$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Funkcja $\ g\ $ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $\ x\ $ wzorem $\ g(x) = f(x - 3)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji $\ g\ $ jest prosta o równaniu

Wybierz odpowiedź:

A. $x = -2$

B. $x = 1$

C. $x = 3$

D. $x = 4$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Określenie oś symetrii funkcji kwadratowej

Dla funkcji kwadratowej postaci ogólnej $f(x) = ax^2 + bx + c$, oś symetrii wykresu (paraboli) jest prostopadła do osi $x$ i przechodzi przez wierzchołek paraboli. Równanie osi symetrii ma postać $x = x_w$, gdzie $x_w$ jest współrzędną $x$ wierzchołka. Wiemy, że dla funkcji $f$ osią symetrii jest prosta $x = 1$, czyli wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnej $x_w = 1$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Ciąg $\ \left( a_n \right)\ $ jest określony wzorem $\ a_n = \dfrac{32 \cdot (-1)^n}{2^{n-1}}\ $ dla każdej liczby naturalnej $\ n \ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Szósty wyraz ciągu $\ \left(a_n \right)\ $ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $(-2)$

B. $(-1)$

C. $1$

D. $2$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zapisanie wzoru ogólnego ciągu

Dany jest ciąg $\left( a_n \right)$ określony wzorem:
\[a_n = \frac{32 \cdot (-1)^n}{2^{n-1}}\]
dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Naszym zadaniem jest obliczenie wartości szóstego wyrazu tego ciągu, czyli $a_6$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Ciąg arytmetyczny $\ \left(a_n \right)\ $ jest określony dla każdej liczby naturalnej $\ n \ge 1$. Różnica tego ciągu jest równa $\ (-4)\ $ oraz $\ a_{10} = -24$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Szósty wyraz ciągu $\ \left(a_n \right)\ $ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $(-12)$

B. $(-8)$

C. $(-4)$

D. $0$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Przypomnienie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego ma postać:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\]
gdzie:
- $a_n$ to n-ty wyraz ciągu,
- $a_1$ to pierwszy wyraz ciągu,
- $r$ to różnica ciągu,
- $n$ to numer wyrazu.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Ciąg geometryczny $\ \left(a_n\right)$, o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od $\ 0$, jest określony dla każdej liczby naturalnej $\ n \ge 1$. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $\ a_3 = -8 \cdot a_6$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz ciągu $\ \left(a_n \right)\ $ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $(-2)$

B. $\left(-\frac{1}{2}\right)$

C. $\frac{1}{2}$

D. $2$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Przypomnienie wzoru ogólnego ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz (oprócz pierwszego) otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę zwaną ilorazem ciągu, oznaczaną literą $q$. Wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego ma postać:
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]
gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz ciągu, a $q$ to iloraz ciągu.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Trzywyrazowy ciąg $\ \left( \sqrt{5}, \ 1, \ x\right)\ $ jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg $\ \left( \sqrt{5}, \ 1, \ y\right)\ $ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby $\ x\ $ oraz $\ y\ $ spełniają warunki

Wybierz odpowiedź:

A. $x < 0\ $ i $\ y < 0$

B. $x < 0\ $ i $\ y > 0$

C. $x > 0\ $ i $\ y < 0$

D. $x > 0\ $ i $\ y > 0$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Przypomnienie definicji ciągu arytmetycznego

Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Dla ciągu trzyelementowego $(a, b, c)$ oznacza to, że $b - a = c - b$, czyli $2b = a + c$. Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Kąt $\ \alpha\ $ jest ostry oraz $\ \cos \alpha = \frac{5}{13}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $\ \alpha\ $ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{5}{12}$

B. $\frac{12}{13}$

C. $\frac{13}{12}$

D. $\frac{12}{5}$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zapisanie jedynki trygonometrycznej

Podstawową tożsamością trygonometryczną jest jedynka trygonometryczna:
\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]
Z treści zadania wiemy, że $\cos \alpha = \frac{5}{13}$. Wykorzystamy jedynkę trygonometryczną do wyznaczenia wartości $\sin \alpha$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\ \sin30\degree \cdot \cos60\degree + \sin60\degree \cdot \cos30\degree\ $ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $1$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Przypomnienie wartości funkcji trygonometrycznych

Przed przystąpieniem do obliczeń przypomnimy sobie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30° i 60°:

- $\sin 30\degree = \frac{1}{2}$
- $\cos 30\degree = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\sin 60\degree = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\cos 60\degree = \frac{1}{2}$

Te wartości należy znać na pamięć, gdyż są podstawowymi wartościami funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Punkty $\ A$, $\ B$, $\ C\ $ oraz $\ D\ $ leżą na okręgu o środku w punkcie $\ S\ $ i o promieniu $\ 36$. Punkt $\ S\ $ leży na odcinku $\ BD$. Kąt $\ BDA\ $ ma miarę $\ 40\degree$, a kąt $\ DBC\ $ ma miarę $\ 65\degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $\ BSA\ $ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $20\degree$

B. $40\degree$

C. $50\degree$

D. $80\degree$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Analiza danych i własności okręgu

Dane:
- Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku S i promieniu r = 36
- Punkt S leży na odcinku BD (czyli BD jest średnicą okręgu)
- Kąt ∠BDA = 40°
- Kąt ∠DBC = 65°

Ponieważ S leży na odcinku BD, to BD jest średnicą okręgu. Wykorzystamy twierdzenie, że kąt wpisany oparty na średnicy ma miarę 90°.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość łuku $\ BC$, na którym jest oparty kąt wpisany $\ CDB$, jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $8\pi$

B. $10\pi$

C. $13\pi$

D. $20\pi$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Analiza danych i przypomnienie twierdzenia o kącie wpisanym

Z treści zadania wiemy, że:
- Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku S i promieniu r = 36
- Punkt S leży na odcinku BD, co oznacza, że BD jest średnicą okręgu
- Kąt wpisany BDA = 40°
- Kąt wpisany DBC = 65°

Przypomnijmy kluczowe twierdzenie: Kąt wpisany w okręgu jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Jeśli kąt wpisany ma miarę α, to kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę 2α.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Dany jest trójkąt $\ ABC$, w którym $\ |AB| = 6$, $\ |AC| = 4\ $ oraz $\ |\measuredangle CAB| = 60\degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta $\ ABC\ $ jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. $6$

B. $6\sqrt{3}$

C. $12$

D. $12\sqrt{3}$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Identyfikacja danych i wybór wzoru

Mamy dany trójkąt $ABC$ z następującymi danymi:
- długość boku $|AB| = 6$
- długość boku $|AC| = 4$
- kąt między tymi bokami $|\measuredangle CAB| = 60\degree$

Skoro znamy dwa boki trójkąta i kąt między nimi, możemy użyć wzoru na pole trójkąta:
\[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\alpha\]
gdzie $a$ i $b$ to długości dwóch boków, a $\alpha$ to kąt między nimi.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

Dany jest trójkąt $\ ABC$, w którym $\ |AB| = 6$, $\ |AC| = 4\ $ oraz $\ |\measuredangle CAB| = 60\degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku $\ BC\ $ trójkąta $\ ABC\ $ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\sqrt{28}$

B. $\sqrt{40}$

C. $8$

D. $\sqrt{76}$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Identyfikacja danych i wybór metody rozwiązania

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Dany jest trapez $\ ABCD\ $ o podstawach $\ AB\ $ i $\ CD\ $ takich, że $\ |AB| = 2 \cdot |CD|$. Przekątne $\ AC\ $ i $\ BD\ $ przecinają się w punkcie $\ E\ $ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pola trójkątów $\ BCE\ $ oraz $\ AED\ $ są równe.

Prawda

Fałsz

Pole trójkąta $\ ABE\ $ jest dwa razy większe od pola trójkąta $\ CDE$.

Prawda

Fałsz

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Analiza danych i oznaczeń

Mamy trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, gdzie $|AB| = 2 \cdot |CD|$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$. Dla wygody oznaczymy $|CD| = a$, więc $|AB| = 2a$. Musimy zbadać dwa stwierdzenia dotyczące pól trójkątów utworzonych przez przekątne trapezu.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

W kartezjańskim układzie współrzędnych $\ (x, y)\ $ proste $\ k\ $ oraz $\ l\ $ są określone równaniami

$k$$:\ y = (3 - m)x + 5$ $l$$:\ y = (m + 3)x - 4$

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Proste $\ k\ $ oraz $\ l\ $ są równoległe, gdy liczba $\ m\ $ jest równa $\ .........$ .

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Warunek równoległości prostych

Dwie proste w układzie współrzędnych są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe (nachylenia). Dla prostych zapisanych w postaci kierunkowej $y = ax + b$, współczynnik kierunkowy to liczba $a$ stojąca przy $x$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

W kartezjańskim układzie współrzędnych $\ (x, y)\ $ dany jest okrąg $\ \mathcal{O}\ $ o równaniu

$\mathcal{O}$$:\ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Okrąg $\ \mathcal{O}\ $ nie ma punktów wspólnych z osią $\ Ox\ $ układu współrzędnych.

Prawda

Fałsz

Okrąg $\ \mathcal{O}\ $ ma z osią $\ Oy\ $ układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.

Prawda

Fałsz

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Odczytanie parametrów okręgu z równania

Równanie okręgu jest dane w postaci kanonicznej: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, gdzie $(a, b)$ to współrzędne środka okręgu, a $r$ to promień.

Z równania $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4$ odczytujemy:
- Środek okręgu: $S = (1, -3)$
- Promień: $r = \sqrt{4} = 2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $\ ABCDEF$. Wysokość podstawy $\ ABC\ $ jest równa $\ 2\sqrt{3}$. Przekątna $\ AE\ $ ściany bocznej $\ ABED\ $ tworzy z krawędzią $\ AB\ $ kąt o mierze $\ 60\degree$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Analiza danych i oznaczenia

Mamy graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF, gdzie ABC to podstawa dolna, a DEF to podstawa górna. Dane:
- Wysokość podstawy ABC wynosi $h_{ABC} = 2\sqrt{3}$
- Przekątna AE ściany bocznej ABED tworzy z krawędzią AB kąt $60°$

Oznaczmy:
- $a$ - długość krawędzi podstawy (bok trójkąta równobocznego)
- $H$ - wysokość graniastosłupa

Przypomnijmy: w trójkącie równobocznym o boku $a$ wysokość wynosi $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

Objętość walca o promieniu podstawy $\ 2\ $ jest równa $\ 16\pi^2$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego walca jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $2$

B. $4$

C. $2\pi$

D. $4\pi$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zapisanie wzoru na objętość walca

Objętość walca obliczamy ze wzoru:
\[V = \pi r^2 \cdot h\]
gdzie:
- $V$ – objętość walca,
- $r$ – promień podstawy walca,
- $h$ – wysokość walca.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od $\ 500$, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest

Wybierz odpowiedź:

A. $13$

B. $50$

C. $75$

D. $107$

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Identyfikacja cyfr nieparzystych

Cyfry nieparzyste to: 1, 3, 5, 7, 9. Musimy znaleźć wszystkie trzycyfrowe liczby naturalne większe od 500, które składają się wyłącznie z tych cyfr.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $\ A\ $ polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez $\ 3$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Analiza doświadczenia losowego

Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką sześcienną. Wyniki zapisujemy jako liczbę dwucyfrową, gdzie:
- Pierwsza wyrzucona liczba to cyfra dziesiątek
- Druga wyrzucona liczba to cyfra jedności

Przykłady: jeśli wyrzucimy 3, potem 5, otrzymamy liczbę 35; jeśli wyrzucimy 6, potem 1, otrzymamy liczbę 61.

Liczba wszystkich możliwych wyników:
\[|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36\]
ponieważ każdy rzut ma 6 możliwych wyników, a rzuty są niezależne.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 35

W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu $2025$ roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie. Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

$\mathbf{1}$. $\ $ Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa $\ ............$ .

$\mathbf{2}$. $\ $ Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa $\ ............$ .

$\mathbf{3}$. $\ $ Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi $\ ............\ $ procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Odczytanie danych z diagramu

Z diagramu słupkowego odczytujemy liczbę samochodów dla każdej liczby wykrytych usterek:
- 0 usterek: 5 samochodów
- 1 usterka: 20 samochodów
- 2 usterki: 15 samochodów
- 3 usterki: 10 samochodów

Łączna liczba samochodów: $5 + 20 + 15 + 10 = 50$ samochodów

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 36

Hotel ma do dyspozycji gości $\ 80\ $ pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:

$\ \bullet\ $ przy wyjściowej cenie wynoszącej $\ 120\ $ zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte $\ \bullet\ $ każdy wzrost ceny za dobę hotelową o $\ 5\ $ zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o $\ 1$.

Przyjmijmy, że dobowy przychód $\ P\ $ hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o $\ 5x\ $ złotych, opisuje funkcja

$P(x) = (80 - x)(120 + 5x)$

gdzie $\ x\ $ jest liczbą całkowitą spełniającą warunki $\ x \ge 0\ $ i $\ x \le 80$.

Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Analiza problemu i funkcji przychodu

Mamy funkcję przychodu hotelu: $P(x) = (80 - x)(120 + 5x)$, gdzie:
- $x$ to liczba podwyżek po 5 zł (liczba całkowita, $0 \le x \le 80$)
- $80 - x$ to liczba wynajętych pokoi po podwyżce
- $120 + 5x$ to cena za dobę po podwyżce

Zadanie wymaga znalezienia takiej wartości $x$, która maksymalizuje przychód $P(x)$. Skoro odpowiedź to 260 zł, prawdopodobnie chodzi o cenę za dobę, która maksymalizuje przychód.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 1: Zasady oceniania rozwiązań zadań. Dokument zawiera informacje o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym, formy arkusza: EMAP-P0-100, EMAP-P0-200, EMAP-P0-300, EMAP-P0-400, EMAP-P0-600, EMAP-P0-700, EMAP-P0-Q00, EMAU-P0-100. Termin egzaminu: 19 sierpnia 2025 r.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 2: Zadanie 1 (1 pkt): Wymaganie ogólne: Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, stosowanie prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych, rozwiązanie D. Zadanie 2 (1 pkt): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, posługiwanie się pierwiastkami dowolnego stopnia i stosowanie prawa działań na pierwiastkach, rozwiązanie C.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 3: Zadanie 3 (1 pkt): wykorzystanie definicji logarytmu, odpowiedź A. Zadanie 4 (1 pkt): użycie wzorów skróconego mnożenia, odpowiedź A. Zadanie 5 (1 pkt): rozwiązanie nierówności pierwszego stopnia, odpowiedź A. Wszystkie zadania oceniane na 1 pkt za poprawną odpowiedź, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 4: Zadanie 6 (1 pkt): wykorzystanie własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu $x(x+1)(x-7)=0$, odpowiedź C. Zadanie 7 (1 pkt): wyznaczenie wzoru funkcji liniowej na podstawie informacji o funkcji lub wykresie, odpowiedź A. Zadanie 8 (1 pkt): odczytanie wartości funkcji z wykresu dla danego argumentu, odpowiedź B.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 5: Zadanie 9 (0–1 pkt): Odczytywanie z wykresu własności funkcji, rozwiązanie C. Zadanie 10 (0–1 pkt): Interpretacja współczynników we wzorze funkcji kwadratowej, rozwiązanie B. Zadanie 11 (0–1 pkt): Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o funkcji lub wykresie, rozwiązanie C. Każde zadanie oceniane na 1 pkt za poprawną odpowiedź, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 6: Zadanie 12 (1 pkt): wykorzystanie własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, odpowiedź D. Zadanie 13 (1 pkt): zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, odpowiedź B. Zadanie 14 (1 pkt): zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, odpowiedź B.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 7: Zadanie 15 (1 pkt): wykorzystanie wartości funkcji trygonometrycznych, odpowiedź D. Zadanie 16 (1 pkt): wyznaczanie wartości funkcji sinus i cosinus dla kątów od 0° do 180°, odpowiedź D. Zadanie 17 (1 pkt): zastosowanie zależności między kątem środkowym a kątem wpisanym, odpowiedź D. Każde zadanie oceniane na 1 pkt za poprawną odpowiedź.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 8: Zadanie 18 (1 pkt): obliczanie długości łuku okręgu, rozwiązanie B. Zadanie 19 (1 pkt): korzystanie z własności przekątnych w trapezach, obliczanie pola trójkątów, rozwiązanie C. Zadanie 20 (1 pkt): rozpoznawanie trójkątów podobnych, obliczanie stosunku pól wielokątów podobnych, rozwiązanie C.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 9: Zadanie 21 (1 pkt): wykorzystanie funkcji trygonometrycznych do obliczeń geometrycznych, odpowiedź B. Zadanie 22 (1 pkt): badanie równoległości prostych na podstawie równań kierunkowych, odpowiedź B. Zadanie 23 (1 pkt): obliczanie objętości ostrosłupa, odpowiedź B. Wszystkie zadania oceniane na 1 pkt za poprawną odpowiedź.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 10: Zadanie 24 (1 pkt): obliczanie objętości walca, odpowiedź D. Zadanie 25 (1 pkt): liczenie obiektów w sytuacjach kombinatorycznych, stosowanie reguły mnożenia i dodawania, odpowiedź C. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 11: Zadanie 26 (0–2 pkt): rozwiązanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą. Obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego -3x²-6x+9: x₁=-3, x₂=1. Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności x∈(-3,1) lub przedstawienie graficzne z zaznaczonymi końcami przedziału. Szkic osi liczbowej z zaznaczonym przedziałem. Uwagi dotyczące błędów obliczeniowych i ich wpływu na punktację.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 12: Zadanie 3: przekształcenie nierówności -3x² > 6x - 9, rozwiązanie metodą delty, Δ=16, x₁=-3, x₂=1. Szkic paraboli y=x²+2x-3 z zaznaczonym przedziałem (-3, 1), gdzie funkcja przyjmuje wartości ujemne. Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (-3, 1).

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 13: Zadanie 27 (0-2 pkt): przekształcenie wyrażenia $8^{50} - 2^{145}$ do postaci $2^{150} - 2^{145}$, wyłączenie wspólnego czynnika, wynik: $2^{145} \cdot (2^5 - 1) = 2^{145} \cdot 31$. Zadanie 28 (0-2 pkt): rozwiązanie równań wymiernych, $x = \frac{6}{5}$ oraz $x = \frac{4}{3}$, przekształcenie równania do kwadratowego, np. $3(x-8) = 5x(3x-7)$.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 14: Zadanie 1: przekształcenie równania wymiernego do kwadratowego, 3/(3x-7) = 5x/(x-8), przekształcone do 3(x-8) = 5x(3x-7). Rozwiązanie równania kwadratowego 15x²-38x+24=0 metodą delty, Δ=4, x₁=6/5, x₂=4/3. Otrzymane pierwiastki różne od 7/3 i 8, co potwierdza poprawność rozwiązania.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 15: Zadanie 29 (0-2 pkt): Modelowanie matematyczne, układ równań z dwiema niewiadomymi. Rozwiązanie: $x + y = 75$, $11x + 7,98y = 752,52$. Kluczowe kroki: wyznaczenie $y = 75 - x$, podstawienie do drugiego równania, przekształcenie do $11x + 598,5 - 7,98x = 752,52$. Wynik końcowy: 51 kg. Punktacja: 2 pkt za poprawną metodę i wynik.$

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 16: Zadanie 30 (0–2 pkt): obliczenie średniej arytmetycznej liczby usterek, $\bar{x} = \frac{60}{32} = 1,875$, oraz mediany, $Me = \frac{1+2}{2} = 1,5$. Przykładowe pełne rozwiązanie: średnia arytmetyczna z ciągu 32 liczb, mediana jako średnia dwóch środkowych wartości. Punktacja: 2 pkt za poprawną metodę i wyniki, 1 pkt za obliczenie średniej lub mediany, 0 pkt za niepoprawną metodę.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 17: Zadanie 31 (0–2 pkt): Modelowanie matematyczne, obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia A. Poprawne rozwiązanie: P(A) = 6/36. Opis wymagań: 2 pkt za poprawną metodę i wynik, 1 pkt za częściowe rozwiązanie, np. wypisanie zdarzeń elementarnych lub obliczenie ich liczby, podanie prawdopodobieństwa jednego zdarzenia. 0 pkt za niepoprawną metodę.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 18: Zadanie 32 (0-4 pkt): obliczenie wartości x i r dla ciągu arytmetycznego (x, 1, 2x+10), x=-8/3, r=11/3. Tabela zdarzeń elementarnych dla rzutów kostką, zdarzenia sprzyjające zaznaczone literą A, prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 1/6.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 19: Zadanie 1 (2 pkt): obliczenie szóstego wyrazu ciągu $a_6=1$, zapisanie równania z dwiema niewiadomymi $x$ oraz $a_6$, np. $\frac{x+2x+10}{2}=a_6$, $2x+10-a_6=a_6-x$. Przykładowe rozwiązanie: $a_6=\frac{32 \cdot (-1)^6}{2^6-1}=1$, $x=-\frac{8}{3}$, różnica $r=\frac{11}{3}$.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 20: Zadanie 32: obliczanie szóstego wyrazu ciągu arytmetycznego, rozwiązanie układu równań, wyznaczenie różnicy ciągu r=11/3, x=-8/3. Zadanie 33 (0-4 pkt): użycie trygonometrii do obliczeń objętości i pola powierzchni graniastosłupa, poprawna metoda obliczeń, wyniki V=48, Pc=56√3, ocena punktowa za etapy obliczeń.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 21: Zadanie dotyczące obliczania objętości graniastosłupa z zależnościami od jednej zmiennej, wzory na objętość i pole powierzchni całkowitej, przykłady obliczeń z a=4. Uwagi dotyczące błędów w zastosowaniu twierdzeń matematycznych, takich jak twierdzenie Pitagorasa i tożsamości trygonometrycznych. Kryteria przyznawania punktów za poprawne rozwiązania i błędy w obliczeniach.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 22: Zadanie: obliczenie parametrów graniastosłupa o podstawie trójkąta równobocznego. Rozwiązanie: oznaczenie długości krawędzi podstawy jako $a$ i wysokości $H$. Obliczenia: $a=4$, $H=4\sqrt{3}$. Objętość $V=48$, pole powierzchni całkowitej $P_c=56\sqrt{3}$. Elementy wizualne: rysunek graniastosłupa z trójkątem równobocznym, kątem 60° i oznaczeniami.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 23: Zadanie 34 (0-5 pkt): wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez dwa punkty, obliczenie współrzędnych punktów C=(24,0) i D=(11/4,0), obliczenie punktu przecięcia prostych, odległość punktów. Zasady oceniania: 5 pkt za poprawne wyniki i metodę, 4 pkt za obliczenie współrzędnych, 3 pkt za spełnienie warunków, 2 pkt za wyznaczenie równania symetralnej odcinka lub równania prostej.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 24: Zadanie 1 (1 pkt): wyznaczenie współrzędnych punktu C: C = (24, 0), obliczenie współczynnika kierunkowego prostej AB: a_AB = -1/4, równanie prostej AB: x + 4y - 24 = 0, zapisanie równania z dwiema niewiadomymi. Przykładowe rozwiązanie: wyznaczenie równania prostej AB, 16y - 4x + 96 = 0, y = -1/4x + 6, obliczenie współrzędnych środka M odcinka AB: M = (4, 5).

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 25: Zadanie 1: wyznaczenie równań prostych i punktów przecięcia z osią OX, C=(24,0), D=(11/4,0). Obliczenie długości podstawy CD trójkąta ACD: |CD|=85/4. Obliczenie pola trójkąta ACD: P_ACD=595/8. Sposób II: potwierdzenie współrzędnych punktu C i symetrii punktu D względem odcinka AB.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 26: Zadanie 7: obliczenie odległości między punktami, równanie kwadratowe rozwiązane do x_D=11/4, obliczenie długości podstawy CD trójkąta ACD: |CD|=85/4, wysokość h=7, obliczenie pola trójkąta ACD: P_ACD=595/8.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 27: Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych dla osób z dyskalkulią, w tym nieuznawanie błędów wynikających z przestawienia cyfr czy znaków. Szczegółowe zasady przyznawania punktów za poprawne metody rozwiązania, nawet przy nieprecyzyjnych zapisach. Uwzględnienie umiejętności rachunkowych i logicznych w ocenie.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 28: Zadanie 26 (1 pkt): rozwiązanie nierówności kwadratowej -3x² - 6x + 9, zastosowanie wzorów na pierwiastki, szkic paraboli lub wyznaczenie zbioru rozwiązań. Zadanie 27 (1 pkt): przekształcenie wyrażenia 8⁵⁰ - 2¹⁴⁵ do postaci (2³)⁵⁰ - 2¹⁴⁵.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 29: Zadanie 28: uwaga dotycząca błędu przy przekształceniu równania kwadratowego. Zadanie 29 (1 pkt): zapisanie równania 11x + 7,98y = 752,52. Zadanie 30: standardowe zasady oceniania. Zadanie 31 (1 pkt): zapisanie liczby 36 jako liczby zdarzeń elementarnych. Zadanie 32 (2 pkt): obliczenie szóstego wyrazu ciągu a₆=1, zapisanie równania z niewiadomymi. Zadanie 33 (2 pkt): zapisanie wzoru na objętość i pole powierzchni graniastosłupa. Zadanie 34: standardowe zasady oceniania.

Matura podstawowa matematyka sierpień 2025 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zapis liczb jako potęgi o tej samej podstawie

Krok 2: Podstawienie potęg piątki

Krok 3: Zastosowanie wzoru na potęgę potęgi

Krok 4: Zastosowanie wzoru na dzielenie potęg

Krok 5: Weryfikacja wyniku

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Rozbicie liczb pod pierwiastkami na czynniki

Krok 2: Przekształcenie pierwszego pierwiastka

Krok 3: Przekształcenie drugiego pierwiastka

Krok 4: Dodanie przekształconych wyrażeń

Krok 5: Weryfikacja odpowiedzi

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Przypomnienie własności logarytmów

Krok 2: Zastosowanie własności do danego wyrażenia

Krok 3: Przekształcenie wyrażenia w nawiasie

Krok 4: Obliczenie wartości logarytmu

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Analiza treści zadania

Krok 2: Definicja liczby algebraicznej

Krok 3: Przykład: wykazanie algebraiczności \(\sqrt{2}\)

Krok 4: Przykład ogólny: \(\sqrt[n]{a}\) dla wymiernego \(a\)

Krok 5: Przykład złożony: \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\)

Krok 6: Wnioski i podsumowanie

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia

Krok 2: Rozwinięcie pierwszego wyrażenia

Krok 3: Rozwinięcie drugiego wyrażenia

Krok 4: Obliczenie różnicy wyrażeń

Krok 5: Uproszczenie wyrażenia

Krok 6: Alternatywne podejście - wzór na różnicę kwadratów

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zapisanie nierówności

Krok 2: Pozbycie się ułamka przez mnożenie obu stron przez 2

Krok 3: Rozwinięcie nawiasu po lewej stronie

Krok 4: Przeniesienie wszystkich wyrazów z x na jedną stronę

Krok 5: Przeniesienie wyrazu wolnego

Krok 6: Podzielenie obu stron przez współczynnik przy x

Krok 7: Zapisanie rozwiązania w postaci przedziału

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Zapisanie równania i określenie dziedziny

Krok 2: Mnożenie obu stron równania przez wspólny mianownik

Krok 3: Rozwinięcie nawiasów po lewej stronie

Krok 4: Rozwinięcie nawiasów po prawej stronie

Krok 5: Zapisanie równania po rozwinięciu nawiasów

Krok 6: Przeniesienie wszystkich wyrazów na jedną stronę

Krok 7: Obliczenie wyróżnika delta

Krok 8: Obliczenie pierwiastków równania

Krok 9: Weryfikacja rozwiązań z dziedziną

Krok 10: Sprawdzenie, które rozwiązanie jest poprawne

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1: Analiza problemu i przypuszczenie nierówności

Krok 2: Rozważenie nierówności kwadratowej