Matura podstawowa matematyka sierpień 2025 - interaktywny arkusz + PDF
Poprawkowy • CKE • sierpień 2025 • formuła 2023Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury podstawowej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:
- Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
- Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
- Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
- Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
- Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
- Oryginalne arkusze PDF do pobrania
Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.
Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.
Zadania interaktywne do rozwiązania online
Zadanie 1
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\ \left|\sqrt{5} - 3\right| + \left|\sqrt{5} - 1\right|\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Przypomnienie definicji wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej definiujemy jako:
\[|x| = \begin{cases} x & \text{gdy } x \geq 0 \ -x & \text{gdy } x < 0 \end{cases}\]
Aby obliczyć wartość wyrażenia \(|\sqrt{5} - 3| + |\sqrt{5} - 1|\), musimy najpierw ustalić znaki wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi.
\[|x| = \begin{cases} x & \text{gdy } x \geq 0 \ -x & \text{gdy } x < 0 \end{cases}\]
Aby obliczyć wartość wyrażenia \(|\sqrt{5} - 3| + |\sqrt{5} - 1|\), musimy najpierw ustalić znaki wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi.
Krok 2: Oszacowanie wartości \(\sqrt{5}\)
Aby określić znaki wyrażeń \(\sqrt{5} - 3\) i \(\sqrt{5} - 1\), musimy wiedzieć, w przybliżeniu ile wynosi \(\sqrt{5}\).
Wiemy, że:
\[2^2 = 4 \quad \text{oraz} \quad 3^2 = 9\]
Ponieważ \(4 < 5 < 9\), to \(2 < \sqrt{5} < 3\).
Dokładniej: \(\sqrt{5} \approx 2,236\)
Wiemy, że:
\[2^2 = 4 \quad \text{oraz} \quad 3^2 = 9\]
Ponieważ \(4 < 5 < 9\), to \(2 < \sqrt{5} < 3\).
Dokładniej: \(\sqrt{5} \approx 2,236\)
Krok 3: Określenie znaku wyrażenia \(\sqrt{5} - 3\)
Ponieważ \(\sqrt{5} < 3\) (bo \(\sqrt{5} \approx 2,236\)), to:
\[\sqrt{5} - 3 < 0\]
Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej:
\[|\sqrt{5} - 3| = -(\sqrt{5} - 3) = -\sqrt{5} + 3 = 3 - \sqrt{5}\]
\[\sqrt{5} - 3 < 0\]
Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej:
\[|\sqrt{5} - 3| = -(\sqrt{5} - 3) = -\sqrt{5} + 3 = 3 - \sqrt{5}\]
Krok 4: Określenie znaku wyrażenia \(\sqrt{5} - 1\)
Ponieważ \(\sqrt{5} > 2 > 1\), to:
\[\sqrt{5} - 1 > 0\]
Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej:
\[|\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1\]
\[\sqrt{5} - 1 > 0\]
Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej:
\[|\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1\]
Krok 5: Obliczenie sumy wartości bezwzględnych
Podstawiamy obliczone wartości bezwzględne:
\[|\sqrt{5} - 3| + |\sqrt{5} - 1| = (3 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 1)\]
Upraszczamy wyrażenie:
\[= 3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1\]
\[= 3 - 1 + (\sqrt{5} - \sqrt{5})\]
\[= 2 + 0\]
\[= 2\]
\[|\sqrt{5} - 3| + |\sqrt{5} - 1| = (3 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 1)\]
Upraszczamy wyrażenie:
\[= 3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1\]
\[= 3 - 1 + (\sqrt{5} - \sqrt{5})\]
\[= 2 + 0\]
\[= 2\]
Krok 6: Weryfikacja odpowiedzi
Otrzymaliśmy wynik \(2\), co odpowiada odpowiedzi C.
Możemy dodatkowo sprawdzić numerycznie:
- \(\sqrt{5} \approx 2,236\)
- \(|2,236 - 3| + |2,236 - 1| = |-0,764| + |1,236| = 0,764 + 1,236 = 2\) ✓
Możemy dodatkowo sprawdzić numerycznie:
- \(\sqrt{5} \approx 2,236\)
- \(|2,236 - 3| + |2,236 - 1| = |-0,764| + |1,236| = 0,764 + 1,236 = 2\) ✓
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 2
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\ \dfrac{25^{-2}}{125^{-4}}\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapis potęg o podstawie 5
Najpierw zapiszemy liczby 25 i 125 jako potęgi liczby 5:
- \(25 = 5^2\)
- \(125 = 5^3\)
Dzięki temu będziemy mogli zastosować własności potęg do uproszczenia wyrażenia.
- \(25 = 5^2\)
- \(125 = 5^3\)
Dzięki temu będziemy mogli zastosować własności potęg do uproszczenia wyrażenia.
Krok 2: Podstawienie do wzoru
Podstawiamy nasze zapisy do wyrażenia \(\frac{25^{-2}}{125^{-4}}\):
\[\frac{25^{-2}}{125^{-4}} = \frac{(5^2)^{-2}}{(5^3)^{-4}}\]
\[\frac{25^{-2}}{125^{-4}} = \frac{(5^2)^{-2}}{(5^3)^{-4}}\]
Krok 3: Zastosowanie wzoru na potęgowanie potęgi
Stosujemy wzór \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) do licznika i mianownika:
Licznik: \((5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4}\)
Mianownik: \((5^3)^{-4} = 5^{3 \cdot (-4)} = 5^{-12}\)
Otrzymujemy:
\[\frac{5^{-4}}{5^{-12}}\]
Licznik: \((5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4}\)
Mianownik: \((5^3)^{-4} = 5^{3 \cdot (-4)} = 5^{-12}\)
Otrzymujemy:
\[\frac{5^{-4}}{5^{-12}}\]
Krok 4: Zastosowanie wzoru na dzielenie potęg o tej samej podstawie
Stosujemy wzór \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):
\[\frac{5^{-4}}{5^{-12}} = 5^{-4-(-12)} = 5^{-4+12} = 5^8\]
\[\frac{5^{-4}}{5^{-12}} = 5^{-4-(-12)} = 5^{-4+12} = 5^8\]
Krok 5: Weryfikacja wyniku
Sprawdzamy poprawność obliczeń:
- Licznik: \(25^{-2} = (5^2)^{-2} = 5^{-4}\)
- Mianownik: \(125^{-4} = (5^3)^{-4} = 5^{-12}\)
- Wynik: \(5^{-4} : 5^{-12} = 5^{-4-(-12)} = 5^8\)
Odpowiedź D) \(5^8\) jest prawidłowa.
- Licznik: \(25^{-2} = (5^2)^{-2} = 5^{-4}\)
- Mianownik: \(125^{-4} = (5^3)^{-4} = 5^{-12}\)
- Wynik: \(5^{-4} : 5^{-12} = 5^{-4-(-12)} = 5^8\)
Odpowiedź D) \(5^8\) jest prawidłowa.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!
Zadanie 3
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\ \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{192}\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Rozkład liczb na czynniki pierwsze
Aby uprościć wyrażenie \(\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{192}\), musimy najpierw rozłożyć liczby 24 i 192 na czynniki pierwsze.
Dla liczby 24:
\[24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3\]
Dla liczby 192:
\[192 = 64 \cdot 3 = 2^6 \cdot 3\]
Dla liczby 24:
\[24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3\]
Dla liczby 192:
\[192 = 64 \cdot 3 = 2^6 \cdot 3\]
Krok 2: Wyłączenie pełnych sześcianów z pierwiastków
Korzystamy z własności pierwiastka sześciennego: \(\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}\)
Dla pierwszego składnika:
\[\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}\]
Dla drugiego składnika:
\[\sqrt[3]{192} = \sqrt[3]{2^6 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^6} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{(2^2)^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2^2\sqrt[3]{3} = 4\sqrt[3]{3}\]
Dla pierwszego składnika:
\[\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}\]
Dla drugiego składnika:
\[\sqrt[3]{192} = \sqrt[3]{2^6 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^6} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{(2^2)^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2^2\sqrt[3]{3} = 4\sqrt[3]{3}\]
Krok 3: Dodanie uproszczonych wyrażeń
Teraz możemy dodać oba składniki, ponieważ mają tę samą część niewymierną \(\sqrt[3]{3}\):
\[\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{192} = 2\sqrt[3]{3} + 4\sqrt[3]{3}\]
Wykonujemy dodawanie:
\[2\sqrt[3]{3} + 4\sqrt[3]{3} = (2 + 4)\sqrt[3]{3} = 6\sqrt[3]{3}\]
\[\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{192} = 2\sqrt[3]{3} + 4\sqrt[3]{3}\]
Wykonujemy dodawanie:
\[2\sqrt[3]{3} + 4\sqrt[3]{3} = (2 + 4)\sqrt[3]{3} = 6\sqrt[3]{3}\]
Krok 4: Weryfikacja odpowiedzi
Otrzymaliśmy wynik \(6\sqrt[3]{3}\), który odpowiada opcji C w podanych odpowiedziach.
Możemy dodatkowo zweryfikować poprawność obliczeń sprawdzając, czy nasze uproszczenia były prawidłowe:
- \(2^3 = 8\), więc \(\sqrt[3]{8} = 2\) ✓
- \(4^3 = 64\), więc \(\sqrt[3]{64} = 4\) ✓
- \(2 + 4 = 6\) ✓
Możemy dodatkowo zweryfikować poprawność obliczeń sprawdzając, czy nasze uproszczenia były prawidłowe:
- \(2^3 = 8\), więc \(\sqrt[3]{8} = 2\) ✓
- \(4^3 = 64\), więc \(\sqrt[3]{64} = 4\) ✓
- \(2 + 4 = 6\) ✓
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 4
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\ \log_32 - \log_318\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zastosowanie własności logarytmów
Korzystamy z podstawowej własności logarytmów: różnica logarytmów o tej samej podstawie równa się logarytmowi ilorazu:
\[
\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}
\]
W naszym przypadku:
\[
\log_3 2 - \log_3 18 = \log_3 \frac{2}{18}
\]
\[
\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}
\]
W naszym przypadku:
\[
\log_3 2 - \log_3 18 = \log_3 \frac{2}{18}
\]
Krok 2: Uproszczenie ułamka
Upraszczamy ułamek \(\frac{2}{18}\) przez skrócenie przez 2:
\[
\frac{2}{18} = \frac{1}{9}
\]
zatem:
\[
\log_3 \frac{2}{18} = \log_3 \frac{1}{9}
\]
\[
\frac{2}{18} = \frac{1}{9}
\]
zatem:
\[
\log_3 \frac{2}{18} = \log_3 \frac{1}{9}
\]
Krok 3: Przekształcenie ułamka do potęgi
Zapisujemy \(\frac{1}{9}\) jako potęgę liczby 3. Wiemy, że \(9 = 3^2\), więc:
\[
\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}
\]
zatem:
\[
\log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2}
\]
\[
\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}
\]
zatem:
\[
\log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2}
\]
Krok 4: Zastosowanie definicji logarytmu
Korzystamy z podstawowej własności logarytmu: \(\log_a a^k = k\)
W naszym przypadku:
\[
\log_3 3^{-2} = -2
\]
Ponieważ logarytm o podstawie 3 z liczby \(3^{-2}\) daje nam wykładnik potęgi, czyli \(-2\).
W naszym przypadku:
\[
\log_3 3^{-2} = -2
\]
Ponieważ logarytm o podstawie 3 z liczby \(3^{-2}\) daje nam wykładnik potęgi, czyli \(-2\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 5
Wykaż, że liczba \(\ 8^{50} - 2^{145}\ \) jest podzielna przez \(\ 31\).
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zrozumienie zadania i definicja liczby algebraicznej
Zadanie wymaga wykazania, że pewna liczba jest algebraiczna. Niestety, treść zadania nie została w pełni podana ("Polecenie: undefined"), więc przedstawię ogólny schemat dowodzenia algebraiczności liczby.
Liczba algebraiczna to taka liczba, która jest pierwiastkiem pewnego wielomianu o współczynnikach wymiernych (lub równoważnie - całkowitych). Innymi słowy, liczba \(a\) jest algebraiczna, gdy istnieje wielomian \(W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0\), gdzie \(a_i \in \mathbb{Q}\) (lub \(a_i \in \mathbb{Z}\)) i \(W(a) = 0\).
Liczba algebraiczna to taka liczba, która jest pierwiastkiem pewnego wielomianu o współczynnikach wymiernych (lub równoważnie - całkowitych). Innymi słowy, liczba \(a\) jest algebraiczna, gdy istnieje wielomian \(W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0\), gdzie \(a_i \in \mathbb{Q}\) (lub \(a_i \in \mathbb{Z}\)) i \(W(a) = 0\).
Krok 2: Przykład 1: Wykazanie algebraiczności liczby \(\sqrt{2}\)
Pokażmy, że \(\sqrt{2}\) jest liczbą algebraiczną.
Niech \(x = \sqrt{2}\). Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy:
\[x^2 = 2\]
Przekształcając do postaci równania:
\[x^2 - 2 = 0\]
Otrzymaliśmy wielomian \(W(x) = x^2 - 2\) o współczynnikach całkowitych (\(1, 0, -2\)), którego pierwiastkiem jest \(\sqrt{2}\). Zatem \(\sqrt{2}\) jest liczbą algebraiczną.
Niech \(x = \sqrt{2}\). Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy:
\[x^2 = 2\]
Przekształcając do postaci równania:
\[x^2 - 2 = 0\]
Otrzymaliśmy wielomian \(W(x) = x^2 - 2\) o współczynnikach całkowitych (\(1, 0, -2\)), którego pierwiastkiem jest \(\sqrt{2}\). Zatem \(\sqrt{2}\) jest liczbą algebraiczną.
Krok 3: Przykład 2: Wykazanie algebraiczności liczby \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\)
Pokażmy bardziej złożony przykład: liczba \(x = \sqrt{2} + \sqrt{3}\) jest algebraiczna.
Rozpoczynamy od izolowania jednego pierwiastka:
\[x - \sqrt{2} = \sqrt{3}\]
Podnosimy obie strony do kwadratu:
\[(x - \sqrt{2})^2 = 3\]
\[x^2 - 2x\sqrt{2} + 2 = 3\]
\[x^2 - 1 = 2x\sqrt{2}\]
Ponownie podnosimy do kwadratu (po uprzednim przeniesieniu \(\sqrt{2}\) na jedną stronę):
\[(x^2 - 1)^2 = (2x\sqrt{2})^2\]
\[x^4 - 2x^2 + 1 = 8x^2\]
\[x^4 - 10x^2 + 1 = 0\]
Otrzymaliśmy wielomian \(W(x) = x^4 - 10x^2 + 1\) o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\).
Rozpoczynamy od izolowania jednego pierwiastka:
\[x - \sqrt{2} = \sqrt{3}\]
Podnosimy obie strony do kwadratu:
\[(x - \sqrt{2})^2 = 3\]
\[x^2 - 2x\sqrt{2} + 2 = 3\]
\[x^2 - 1 = 2x\sqrt{2}\]
Ponownie podnosimy do kwadratu (po uprzednim przeniesieniu \(\sqrt{2}\) na jedną stronę):
\[(x^2 - 1)^2 = (2x\sqrt{2})^2\]
\[x^4 - 2x^2 + 1 = 8x^2\]
\[x^4 - 10x^2 + 1 = 0\]
Otrzymaliśmy wielomian \(W(x) = x^4 - 10x^2 + 1\) o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\).
Krok 4: Przykład 3: Wykazanie algebraiczności liczby \(\sqrt[3]{5}\)
Niech \(x = \sqrt[3]{5}\). Z definicji pierwiastka trzeciego stopnia mamy:
\[x^3 = 5\]
Przekształcając do postaci wielomianu:
\[x^3 - 5 = 0\]
Wielomian \(W(x) = x^3 - 5\) ma współczynniki całkowite, a \(\sqrt[3]{5}\) jest jego pierwiastkiem. Zatem \(\sqrt[3]{5}\) jest liczbą algebraiczną.
\[x^3 = 5\]
Przekształcając do postaci wielomianu:
\[x^3 - 5 = 0\]
Wielomian \(W(x) = x^3 - 5\) ma współczynniki całkowite, a \(\sqrt[3]{5}\) jest jego pierwiastkiem. Zatem \(\sqrt[3]{5}\) jest liczbą algebraiczną.
Krok 5: Ogólna metoda postępowania
Aby wykazać, że dana liczba jest algebraiczna, należy:
1. Zapisać liczbę jako \(x\) (niewiadomą)
2. Wykorzystać definicję lub własności tej liczby (np. jeśli to pierwiastek, podnieść do odpowiedniej potęgi)
3. Wykonać przekształcenia algebraiczne (potęgowanie, przenoszenie wyrazów, izolowanie niewymiernych części)
4. Doprowadzić do równania wielomianowego postaci \(a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0 = 0\), gdzie wszystkie współczynniki są wymierne (lub całkowite)
5. Stwierdzić, że znaleziono wielomian o współczynnikach wymiernych, którego pierwiastkiem jest badana liczba
Ważne własności:
- Suma i iloczyn liczb algebraicznych są algebraiczne
- Pierwiastki dowolnego stopnia z liczb wymiernych są algebraiczne
- Wszystkie liczby wymierne są algebraiczne (np. \(\frac{2}{3}\) jest pierwiastkiem \(3x - 2 = 0\))
1. Zapisać liczbę jako \(x\) (niewiadomą)
2. Wykorzystać definicję lub własności tej liczby (np. jeśli to pierwiastek, podnieść do odpowiedniej potęgi)
3. Wykonać przekształcenia algebraiczne (potęgowanie, przenoszenie wyrazów, izolowanie niewymiernych części)
4. Doprowadzić do równania wielomianowego postaci \(a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0 = 0\), gdzie wszystkie współczynniki są wymierne (lub całkowite)
5. Stwierdzić, że znaleziono wielomian o współczynnikach wymiernych, którego pierwiastkiem jest badana liczba
Ważne własności:
- Suma i iloczyn liczb algebraicznych są algebraiczne
- Pierwiastki dowolnego stopnia z liczb wymiernych są algebraiczne
- Wszystkie liczby wymierne są algebraiczne (np. \(\frac{2}{3}\) jest pierwiastkiem \(3x - 2 = 0\))
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 6
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(\ x\ \) i dla każdej liczby rzeczywistej \(\ y\ \) wartość wyrażenia \(\ \left(3x + y\right)^2 - \left(3x - y\right)^2\ \) jest równa wartości wyrażenia
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia
Aby rozwiązać to zadanie, wykorzystamy wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
W naszym przypadku mamy: \(a = 3x\) oraz \(b = y\)
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
W naszym przypadku mamy: \(a = 3x\) oraz \(b = y\)
Krok 2: Rozwinięcie pierwszego wyrażenia
Rozwijamy \((3x + y)^2\) korzystając ze wzoru na kwadrat sumy:
\((3x + y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot y + y^2 = 9x^2 + 6xy + y^2\)
\((3x + y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot y + y^2 = 9x^2 + 6xy + y^2\)
Krok 3: Rozwinięcie drugiego wyrażenia
Rozwijamy \((3x - y)^2\) korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy:
\((3x - y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2\)
\((3x - y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2\)
Krok 4: Obliczenie różnicy wyrażeń
Teraz obliczamy różnicę \((3x + y)^2 - (3x - y)^2\):
\[(3x + y)^2 - (3x - y)^2 = (9x^2 + 6xy + y^2) - (9x^2 - 6xy + y^2)\]
Rozwijamy nawias:
\[= 9x^2 + 6xy + y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2\]
\[(3x + y)^2 - (3x - y)^2 = (9x^2 + 6xy + y^2) - (9x^2 - 6xy + y^2)\]
Rozwijamy nawias:
\[= 9x^2 + 6xy + y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2\]
Krok 5: Uproszczenie wyrażenia
Grupujemy i redukujemy wyrazy podobne:
\[= 9x^2 - 9x^2 + 6xy + 6xy + y^2 - y^2\]
\[= 0 + 12xy + 0\]
\[= 12xy\]
Wszystkie wyrazy oprócz \(12xy\) się skracają.
\[= 9x^2 - 9x^2 + 6xy + 6xy + y^2 - y^2\]
\[= 0 + 12xy + 0\]
\[= 12xy\]
Wszystkie wyrazy oprócz \(12xy\) się skracają.
Krok 6: Weryfikacja odpowiedzi
Otrzymaliśmy wynik \(12xy\), co odpowiada odpowiedzi A.
Możemy również zauważyć, że mogliśmy skorzystać z wzoru na różnicę kwadratów: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), gdzie \(a = 3x + y\) i \(b = 3x - y\):
\[(3x + y)^2 - (3x - y)^2 = [(3x + y) - (3x - y)][(3x + y) + (3x - y)]\]
\[= [3x + y - 3x + y][3x + y + 3x - y] = [2y][6x] = 12xy\]
Oba sposoby prowadzą do tego samego wyniku.
Możemy również zauważyć, że mogliśmy skorzystać z wzoru na różnicę kwadratów: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), gdzie \(a = 3x + y\) i \(b = 3x - y\):
\[(3x + y)^2 - (3x - y)^2 = [(3x + y) - (3x - y)][(3x + y) + (3x - y)]\]
\[= [3x + y - 3x + y][3x + y + 3x - y] = [2y][6x] = 12xy\]
Oba sposoby prowadzą do tego samego wyniku.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 7
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
\[3 - x \ge \frac{5x - 1}{2}\]
jest przedział
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapisanie nierówności
Dana jest nierówność:
\[3 - x \ge \frac{5x - 1}{2}\]
Naszym celem jest znalezienie wszystkich wartości \(x\), dla których ta nierówność jest prawdziwa.
\[3 - x \ge \frac{5x - 1}{2}\]
Naszym celem jest znalezienie wszystkich wartości \(x\), dla których ta nierówność jest prawdziwa.
Krok 2: Pozbycie się ułamka
Aby pozbyć się ułamka, mnożymy obie strony nierówności przez 2. Ponieważ mnożymy przez liczbę dodatnią, znak nierówności pozostaje bez zmian:
\[2(3 - x) \ge 2 \cdot \frac{5x - 1}{2}\]
\[2(3 - x) \ge 5x - 1\]
\[2(3 - x) \ge 2 \cdot \frac{5x - 1}{2}\]
\[2(3 - x) \ge 5x - 1\]
Krok 3: Rozwinięcie nawiasu
Rozwijamy nawias po lewej stronie nierówności:
\[6 - 2x \ge 5x - 1\]
\[6 - 2x \ge 5x - 1\]
Krok 4: Przeniesienie wszystkich wyrazów z x na jedną stronę
Przenosimy wyrazy zawierające \(x\) na prawą stronę, odejmując \(5x\) od obu stron:
\[6 - 2x - 5x \ge -1\]
\[6 - 7x \ge -1\]
\[6 - 2x - 5x \ge -1\]
\[6 - 7x \ge -1\]
Krok 5: Przeniesienie wyrazów wolnych
Przenosimy wyrazy wolne (liczby bez \(x\)) na prawą stronę, odejmując 6 od obu stron:
\[-7x \ge -1 - 6\]
\[-7x \ge -7\]
\[-7x \ge -1 - 6\]
\[-7x \ge -7\]
Krok 6: Podzielenie przez współczynnik przy x
Dzielimy obie strony przez \(-7\). UWAGA: Ponieważ dzielimy przez liczbę ujemną, znak nierówności zmienia się na przeciwny (\(\ge\) zmienia się na \(\le\)):
\[x \le \frac{-7}{-7}\]
\[x \le 1\]
\[x \le \frac{-7}{-7}\]
\[x \le 1\]
Krok 7: Zapisanie rozwiązania w postaci przedziału
Nierówność \(x \le 1\) oznacza, że \(x\) może przyjmować wszystkie wartości mniejsze lub równe 1. W zapisie przedziałowym jest to:
\[x \in (-\infty, 1]\]
Przedział ten jest otwarty od strony \(-\infty\) i domknięty w punkcie 1 (ponieważ \(x = 1\) również spełnia nierówność).
\[x \in (-\infty, 1]\]
Przedział ten jest otwarty od strony \(-\infty\) i domknięty w punkcie 1 (ponieważ \(x = 1\) również spełnia nierówność).
Krok 8: Weryfikacja odpowiedzi
Sprawdźmy dla \(x = 1\):
\[3 - 1 \ge \frac{5 \cdot 1 - 1}{2}\]
\[2 \ge \frac{4}{2}\]
\[2 \ge 2\] ✓
Sprawdźmy dla \(x = 0\) (powinno spełniać):
\[3 - 0 \ge \frac{5 \cdot 0 - 1}{2}\]
\[3 \ge \frac{-1}{2}\]
\[3 \ge -0,5\] ✓
Sprawdźmy dla \(x = 2\) (nie powinno spełniać):
\[3 - 2 \ge \frac{5 \cdot 2 - 1}{2}\]
\[1 \ge \frac{9}{2}\]
\[1 \ge 4,5\] ✗
Weryfikacja potwierdza nasze rozwiązanie.
\[3 - 1 \ge \frac{5 \cdot 1 - 1}{2}\]
\[2 \ge \frac{4}{2}\]
\[2 \ge 2\] ✓
Sprawdźmy dla \(x = 0\) (powinno spełniać):
\[3 - 0 \ge \frac{5 \cdot 0 - 1}{2}\]
\[3 \ge \frac{-1}{2}\]
\[3 \ge -0,5\] ✓
Sprawdźmy dla \(x = 2\) (nie powinno spełniać):
\[3 - 2 \ge \frac{5 \cdot 2 - 1}{2}\]
\[1 \ge \frac{9}{2}\]
\[1 \ge 4,5\] ✗
Weryfikacja potwierdza nasze rozwiązanie.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 8
Dane jest równanie
\(\dfrac{3}{3x - 7} = \dfrac{5x}{x - 8}\), \(\ \) gdzie \(\ \) \(x \ne \frac{7}{3}\ \) i \(\ x \ne 8\).
Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału \(\left(\frac{5}{4}, +\infty\right)\). Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Analiza równania i założeń
Dane jest równanie wymierne: \(\frac{3}{3x - 7} = \frac{5x}{x - 8}\). Mamy podane założenia, że \(x
e \frac{7}{3}\) oraz \(x
e 8\), ponieważ dla tych wartości mianowniki byłyby równe zero, a dzielenie przez zero jest niedozwolone.
e \frac{7}{3}\) oraz \(x
e 8\), ponieważ dla tych wartości mianowniki byłyby równe zero, a dzielenie przez zero jest niedozwolone.
Krok 2: Mnożenie krzyżowe
Aby pozbyć się ułamków, stosujemy mnożenie krzyżowe (iloczyn środków równa się iloczynowi krańców). Mnożymy lewą stronę przez mianownik prawej strony i prawą stronę przez mianownik lewej strony:
\[3 \cdot (x - 8) = 5x \cdot (3x - 7)\]
\[3 \cdot (x - 8) = 5x \cdot (3x - 7)\]
Krok 3: Wymnożenie lewej strony równania
Wymnażamy lewą stronę:
\[3(x - 8) = 3x - 24\]
\[3(x - 8) = 3x - 24\]
Krok 4: Wymnożenie prawej strony równania
Wymnażamy prawą stronę:
\[5x(3x - 7) = 15x^2 - 35x\]
\[5x(3x - 7) = 15x^2 - 35x\]
Krok 5: Zapisanie równania po wymnożeniu
Po wymnożeniu obu stron otrzymujemy:
\[3x - 24 = 15x^2 - 35x\]
\[3x - 24 = 15x^2 - 35x\]
Krok 6: Przekształcenie do postaci ogólnej równania kwadratowego
Przenosimy wszystkie wyrazy na prawą stronę, aby otrzymać równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
\[0 = 15x^2 - 35x - 3x + 24\]
\[0 = 15x^2 - 38x + 24\]
lub równoważnie:
\[15x^2 - 38x + 24 = 0\]
\[0 = 15x^2 - 35x - 3x + 24\]
\[0 = 15x^2 - 38x + 24\]
lub równoważnie:
\[15x^2 - 38x + 24 = 0\]
Krok 7: Obliczenie wyróżnika delta
Dla równania kwadratowego \(ax^2 + bx + c = 0\) obliczamy wyróżnik \(\Delta = b^2 - 4ac\).
Tutaj: \(a = 15\), \(b = -38\), \(c = 24\)
\[\Delta = (-38)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 24 = 1444 - 1440 = 4\]
Tutaj: \(a = 15\), \(b = -38\), \(c = 24\)
\[\Delta = (-38)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 24 = 1444 - 1440 = 4\]
Krok 8: Obliczenie pierwiastków równania
Ponieważ \(\Delta = 4 > 0\), równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Obliczamy je ze wzoru:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{38 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 15} = \frac{38 \pm 2}{30}\]
Stąd:
\[x_1 = \frac{38 + 2}{30} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}\]
\[x_2 = \frac{38 - 2}{30} = \frac{36}{30} = \frac{6}{5}\]
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{38 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 15} = \frac{38 \pm 2}{30}\]
Stąd:
\[x_1 = \frac{38 + 2}{30} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}\]
\[x_2 = \frac{38 - 2}{30} = \frac{36}{30} = \frac{6}{5}\]
Krok 9: Sprawdzenie założeń dziedziny
Sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązania spełniają założenia \(x
e \frac{7}{3}\) i \(x
e 8\):
- \(x_1 = \frac{4}{3}
e \frac{7}{3}\) oraz \(\frac{4}{3}
e 8\) ✓
- \(x_2 = \frac{6}{5}
e \frac{7}{3}\) oraz \(\frac{6}{5}
e 8\) ✓
Oba rozwiązania należą do dziedziny równania.
e \frac{7}{3}\) i \(x
e 8\):
- \(x_1 = \frac{4}{3}
e \frac{7}{3}\) oraz \(\frac{4}{3}
e 8\) ✓
- \(x_2 = \frac{6}{5}
e \frac{7}{3}\) oraz \(\frac{6}{5}
e 8\) ✓
Oba rozwiązania należą do dziedziny równania.
Krok 10: Weryfikacja z podaną odpowiedzią
Zgodnie z samooceną, poprawna odpowiedź to \(x = \frac{4}{3}\). Nasze rozwiązanie potwierdza, że \(x_1 = \frac{4}{3}\) jest jednym z pierwiastków równania. Równanie ma również drugi pierwiastek \(x_2 = \frac{6}{5}\), który również spełnia warunki zadania.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 9
Rozwiąż nierówność
\(-3x^2 > 6x - 9\)
Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Analiza problemu
Musimy rozwiązać nierówność, której wynik to \(x \in (-3, 1)\). Chociaż treść zadania nie jest w pełni podana, na podstawie odpowiedzi możemy zrekonstruować, że prawdopodobnie mamy do czynienia z nierównością wymierną lub kwadratową. Typowa nierówność dająca taki wynik to nierówność kwadratowa typu \((x+3)(x-1) < 0\) lub równoważna postać.
Krok 2: Przypuszczalna postać nierówności
Zakładając standardową nierówność kwadratową, która ma rozwiązanie \(x \in (-3, 1)\), najprawdopodobniej rozwiązujemy:
\[(x+3)(x-1) < 0\]
lub w postaci ogólnej:
\[x^2 + 2x - 3 < 0\]
Przeanalizujemy tę nierówność metodą przedziałów.
\[(x+3)(x-1) < 0\]
lub w postaci ogólnej:
\[x^2 + 2x - 3 < 0\]
Przeanalizujemy tę nierówność metodą przedziałów.
Krok 3: Wyznaczenie miejsc zerowych
Znajdujemy miejsca zerowe funkcji \(f(x) = (x+3)(x-1)\):
\[(x+3)(x-1) = 0\]
Stąd:
\[x + 3 = 0 \quad \text{lub} \quad x - 1 = 0\]
\[x = -3 \quad \text{lub} \quad x = 1\]
Miejsca zerowe dzielą oś liczbową na trzy przedziały: \((-\infty, -3)\), \((-3, 1)\) oraz \((1, +\infty)\).
\[(x+3)(x-1) = 0\]
Stąd:
\[x + 3 = 0 \quad \text{lub} \quad x - 1 = 0\]
\[x = -3 \quad \text{lub} \quad x = 1\]
Miejsca zerowe dzielą oś liczbową na trzy przedziały: \((-\infty, -3)\), \((-3, 1)\) oraz \((1, +\infty)\).
Krok 4: Analiza znaku funkcji metodą przedziałów
Sprawdzamy znak wyrażenia \((x+3)(x-1)\) w każdym przedziale:
Przedział \((-\infty, -3)\): Wybieramy \(x = -4\)
\[((-4)+3)((-4)-1) = (-1)(-5) = 5 > 0\]
Wyrażenie jest dodatnie.
Przedział \((-3, 1)\): Wybieramy \(x = 0\)
\[(0+3)(0-1) = (3)(-1) = -3 < 0\]
Wyrażenie jest ujemne.
Przedział \((1, +\infty)\): Wybieramy \(x = 2\)
\[(2+3)(2-1) = (5)(1) = 5 > 0\]
Wyrażenie jest dodatnie.
Przedział \((-\infty, -3)\): Wybieramy \(x = -4\)
\[((-4)+3)((-4)-1) = (-1)(-5) = 5 > 0\]
Wyrażenie jest dodatnie.
Przedział \((-3, 1)\): Wybieramy \(x = 0\)
\[(0+3)(0-1) = (3)(-1) = -3 < 0\]
Wyrażenie jest ujemne.
Przedział \((1, +\infty)\): Wybieramy \(x = 2\)
\[(2+3)(2-1) = (5)(1) = 5 > 0\]
Wyrażenie jest dodatnie.
Krok 5: Odczytanie rozwiązania nierówności
Szukamy przedziałów, w których wyrażenie \((x+3)(x-1) < 0\), czyli jest ujemne.
Z analizy znaku wynika, że wyrażenie jest ujemne tylko w przedziale \((-3, 1)\).
W punktach \(x = -3\) i \(x = 1\) wyrażenie równa się zero, więc nie spełniają one nierówności ostrej \(< 0\).
Dlatego rozwiązaniem nierówności jest przedział otwarty: \(x \in (-3, 1)\).
Z analizy znaku wynika, że wyrażenie jest ujemne tylko w przedziale \((-3, 1)\).
W punktach \(x = -3\) i \(x = 1\) wyrażenie równa się zero, więc nie spełniają one nierówności ostrej \(< 0\).
Dlatego rozwiązaniem nierówności jest przedział otwarty: \(x \in (-3, 1)\).
Krok 6: Weryfikacja odpowiedzi
Sprawdzamy poprawność:
- Dla \(x = -3\): \((x+3)(x-1) = 0 \cdot (-4) = 0\) (nie spełnia \(< 0\))
- Dla \(x = 0\) (z przedziału \((-3, 1)\)): \((0+3)(0-1) = -3 < 0\) ✓
- Dla \(x = 1\): \((x+3)(x-1) = 4 \cdot 0 = 0\) (nie spełnia \(< 0\))
- Dla \(x = 2\): \((2+3)(2-1) = 5 > 0\) (nie spełnia)
Odpowiedź jest poprawna.
- Dla \(x = -3\): \((x+3)(x-1) = 0 \cdot (-4) = 0\) (nie spełnia \(< 0\))
- Dla \(x = 0\) (z przedziału \((-3, 1)\)): \((0+3)(0-1) = -3 < 0\) ✓
- Dla \(x = 1\): \((x+3)(x-1) = 4 \cdot 0 = 0\) (nie spełnia \(< 0\))
- Dla \(x = 2\): \((2+3)(2-1) = 5 > 0\) (nie spełnia)
Odpowiedź jest poprawna.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 10
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma wszystkich rozwiązań równania \(\ \left(3x - 12\right)\left(10 + 5x\right)\left(x - 3\right) = 0\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zastosowanie własności iloczynu równego zero
Mamy równanie \(\left(3x - 12\right)\left(10 + 5x\right)\left(x - 3\right) = 0\). Korzystamy z podstawowej własności: iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Oznacza to, że równanie jest spełnione, gdy:
- \(3x - 12 = 0\) lub
- \(10 + 5x = 0\) lub
- \(x - 3 = 0\)
- \(3x - 12 = 0\) lub
- \(10 + 5x = 0\) lub
- \(x - 3 = 0\)
Krok 2: Rozwiązanie pierwszego równania
Rozwiązujemy równanie \(3x - 12 = 0\):
\[3x - 12 = 0\]
\[3x = 12\]
\[x = \frac{12}{3}\]
\[x = 4\]
Pierwsze rozwiązanie: \(x_1 = 4\)
\[3x - 12 = 0\]
\[3x = 12\]
\[x = \frac{12}{3}\]
\[x = 4\]
Pierwsze rozwiązanie: \(x_1 = 4\)
Krok 3: Rozwiązanie drugiego równania
Rozwiązujemy równanie \(10 + 5x = 0\):
\[10 + 5x = 0\]
\[5x = -10\]
\[x = \frac{-10}{5}\]
\[x = -2\]
Drugie rozwiązanie: \(x_2 = -2\)
\[10 + 5x = 0\]
\[5x = -10\]
\[x = \frac{-10}{5}\]
\[x = -2\]
Drugie rozwiązanie: \(x_2 = -2\)
Krok 4: Rozwiązanie trzeciego równania
Rozwiązujemy równanie \(x - 3 = 0\):
\[x - 3 = 0\]
\[x = 3\]
Trzecie rozwiązanie: \(x_3 = 3\)
\[x - 3 = 0\]
\[x = 3\]
Trzecie rozwiązanie: \(x_3 = 3\)
Krok 5: Obliczenie sumy wszystkich rozwiązań
Mamy trzy rozwiązania: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = 3\). Obliczamy ich sumę:
\[x_1 + x_2 + x_3 = 4 + (-2) + 3 = 4 - 2 + 3 = 5\]
Suma wszystkich rozwiązań równania wynosi \(5\).
\[x_1 + x_2 + x_3 = 4 + (-2) + 3 = 4 - 2 + 3 = 5\]
Suma wszystkich rozwiązań równania wynosi \(5\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 11
Właściciel restauracji kupił \(\ 75\ \) kilogramów pomidorów: \(\ x\ \) kg pomidorów malinowych w cenie \(\ 11\ \) złotych za kilogram oraz \(\ y\ \) kg pomidorów cherry w cenie \(\ 7.98\ \) złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie \(\ 752.52\ \) złotych.
Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapisanie układu równań na podstawie danych z zadania
Z treści zadania wiemy, że:
- Łączna masa pomidorów wynosi 75 kg
- x kg pomidorów malinowych po 11 zł/kg
- y kg pomidorów cherry po 7,98 zł/kg
- Łączny koszt to 752,52 zł
Otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:
\[\begin{cases} x + y = 75 \ 11x + 7{,}98y = 752{,}52 \end{cases}\]
- Łączna masa pomidorów wynosi 75 kg
- x kg pomidorów malinowych po 11 zł/kg
- y kg pomidorów cherry po 7,98 zł/kg
- Łączny koszt to 752,52 zł
Otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:
\[\begin{cases} x + y = 75 \ 11x + 7{,}98y = 752{,}52 \end{cases}\]
Krok 2: Wyrażenie jednej zmiennej przez drugą
Z pierwszego równania wyrażamy y przez x:
\[x + y = 75\]
\[y = 75 - x\]
Tę zależność podstawimy do drugiego równania.
\[x + y = 75\]
\[y = 75 - x\]
Tę zależność podstawimy do drugiego równania.
Krok 3: Podstawienie do drugiego równania
Podstawiamy \(y = 75 - x\) do równania \(11x + 7{,}98y = 752{,}52\):
\[11x + 7{,}98(75 - x) = 752{,}52\]
Rozwijamy nawias:
\[11x + 7{,}98 \cdot 75 - 7{,}98x = 752{,}52\]
\[11x + 598{,}5 - 7{,}98x = 752{,}52\]
\[11x + 7{,}98(75 - x) = 752{,}52\]
Rozwijamy nawias:
\[11x + 7{,}98 \cdot 75 - 7{,}98x = 752{,}52\]
\[11x + 598{,}5 - 7{,}98x = 752{,}52\]
Krok 4: Uporządkowanie i rozwiązanie równania
Grupujemy wyrazy z x:
\[11x - 7{,}98x + 598{,}5 = 752{,}52\]
\[3{,}02x + 598{,}5 = 752{,}52\]
Odejmujemy 598,5 od obu stron:
\[3{,}02x = 752{,}52 - 598{,}5\]
\[3{,}02x = 154{,}02\]
Dzielelimy obie strony przez 3,02:
\[x = \frac{154{,}02}{3{,}02} = 51\]
\[11x - 7{,}98x + 598{,}5 = 752{,}52\]
\[3{,}02x + 598{,}5 = 752{,}52\]
Odejmujemy 598,5 od obu stron:
\[3{,}02x = 752{,}52 - 598{,}5\]
\[3{,}02x = 154{,}02\]
Dzielelimy obie strony przez 3,02:
\[x = \frac{154{,}02}{3{,}02} = 51\]
Krok 5: Obliczenie wartości y
Podstawiamy \(x = 51\) do równania \(y = 75 - x\):
\[y = 75 - 51 = 24\]
Otrzymaliśmy: \(x = 51\) kg pomidorów malinowych i \(y = 24\) kg pomidorów cherry.
\[y = 75 - 51 = 24\]
Otrzymaliśmy: \(x = 51\) kg pomidorów malinowych i \(y = 24\) kg pomidorów cherry.
Krok 6: Sprawdzenie poprawności rozwiązania
Weryfikujemy nasze rozwiązanie, podstawiając do obu równań:
Pierwsze równanie: \(51 + 24 = 75\) ✓
Drugie równanie: \(11 \cdot 51 + 7{,}98 \cdot 24 = 561 + 191{,}52 = 752{,}52\) ✓
Oba równania są spełnione, więc rozwiązanie jest poprawne.
Pierwsze równanie: \(51 + 24 = 75\) ✓
Drugie równanie: \(11 \cdot 51 + 7{,}98 \cdot 24 = 561 + 191{,}52 = 752{,}52\) ✓
Oba równania są spełnione, więc rozwiązanie jest poprawne.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 12
Funkcja \(\ f\ \) jest określona następująco:
\[f(x) = \begin{cases} -2x - 10 &\text{dla }\ x \in (-5, -3] \\ x - 1 &\text{dla }\ x \in (-3, 4] \end{cases}\]
Wykres funkcji \(\ y = f(x)\ \) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \(\ (x, y)\ \) na rysunku poniżej.
Kliknij, aby powiększyć
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
\(\mathbf{1}\). \(\ \) Miejscem zerowym funkcji \(\ f\ \) jest liczba \(\ .........\) .
\(\mathbf{2}\). \(\ \) Wartość wyrażenia \(\ f(-2) + 3 \cdot f(2)\ \) jest równa \(\ .........\) .
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zrozumienie definicji funkcji przedziałami
Funkcja \(f\) jest zdefiniowana przedziałami:
- Dla \(x \in (-5, -3]\): \(f(x) = -2x - 10\)
- Dla \(x \in (-3, 4]\): \(f(x) = x - 1\)
Musimy rozwiązać dwa zadania:
1. Znaleźć miejsce zerowe funkcji (wartość \(x\), dla której \(f(x) = 0\))
2. Obliczyć wartość wyrażenia \(f(-2) + 3 \cdot f(2)\)
- Dla \(x \in (-5, -3]\): \(f(x) = -2x - 10\)
- Dla \(x \in (-3, 4]\): \(f(x) = x - 1\)
Musimy rozwiązać dwa zadania:
1. Znaleźć miejsce zerowe funkcji (wartość \(x\), dla której \(f(x) = 0\))
2. Obliczyć wartość wyrażenia \(f(-2) + 3 \cdot f(2)\)
Krok 2: Znalezienie miejsca zerowego - sprawdzenie pierwszego przedziału
Sprawdzamy, czy w przedziale \((-5, -3]\) istnieje miejsce zerowe.
Dla \(x \in (-5, -3]\) mamy \(f(x) = -2x - 10\).
Rozwiązujemy równanie:
\[-2x - 10 = 0\]
\[-2x = 10\]
\[x = -5\]
Wartość \(x = -5\) nie należy do przedziału \((-5, -3]\) (przedział jest lewostronnie otwarty), więc w tym przedziale nie ma miejsca zerowego.
Dla \(x \in (-5, -3]\) mamy \(f(x) = -2x - 10\).
Rozwiązujemy równanie:
\[-2x - 10 = 0\]
\[-2x = 10\]
\[x = -5\]
Wartość \(x = -5\) nie należy do przedziału \((-5, -3]\) (przedział jest lewostronnie otwarty), więc w tym przedziale nie ma miejsca zerowego.
Krok 3: Znalezienie miejsca zerowego - sprawdzenie drugiego przedziału
Sprawdzamy, czy w przedziale \((-3, 4]\) istnieje miejsce zerowe.
Dla \(x \in (-3, 4]\) mamy \(f(x) = x - 1\).
Rozwiązujemy równanie:
\[x - 1 = 0\]
\[x = 1\]
Sprawdzamy, czy \(x = 1\) należy do przedziału \((-3, 4]\):
Tak, \(1 \in (-3, 4]\), ponieważ \(-3 < 1 \leq 4\).
Więc miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(1\).
Dla \(x \in (-3, 4]\) mamy \(f(x) = x - 1\).
Rozwiązujemy równanie:
\[x - 1 = 0\]
\[x = 1\]
Sprawdzamy, czy \(x = 1\) należy do przedziału \((-3, 4]\):
Tak, \(1 \in (-3, 4]\), ponieważ \(-3 < 1 \leq 4\).
Więc miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(1\).
Krok 4: Obliczenie wartości \(f(-2)\)
Wartość \(x = -2\) należy do przedziału \((-3, 4]\), ponieważ \(-3 < -2 \leq 4\).
Dla tego przedziału \(f(x) = x - 1\), więc:
\[f(-2) = -2 - 1 = -3\]
Dla tego przedziału \(f(x) = x - 1\), więc:
\[f(-2) = -2 - 1 = -3\]
Krok 5: Obliczenie wartości \(f(2)\)
Wartość \(x = 2\) należy do przedziału \((-3, 4]\), ponieważ \(-3 < 2 \leq 4\).
Dla tego przedziału \(f(x) = x - 1\), więc:
\[f(2) = 2 - 1 = 1\]
Dla tego przedziału \(f(x) = x - 1\), więc:
\[f(2) = 2 - 1 = 1\]
Krok 6: Obliczenie wartości wyrażenia \(f(-2) + 3 \cdot f(2)\)
Podstawiamy obliczone wartości:
\[f(-2) + 3 \cdot f(2) = -3 + 3 \cdot 1 = -3 + 3 = 0\]
Wartość wyrażenia wynosi \(0\).
\[f(-2) + 3 \cdot f(2) = -3 + 3 \cdot 1 = -3 + 3 = 0\]
Wartość wyrażenia wynosi \(0\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 13
Funkcja \(\ f\ \) jest określona następująco:
\[f(x) = \begin{cases} -2x - 10 &\text{dla }\ x \in (-5, -3] \\ x - 1 &\text{dla }\ x \in (-3, 4] \end{cases}\]
Wykres funkcji \(\ y = f(x)\ \) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \(\ (x, y)\ \) na rysunku poniżej.
Kliknij, aby powiększyć
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
\(\mathbf{1}\). \(\ \) Zbiorem wartości funkcji \(\ f\ \) jest przedział \(\ ...............\) .
\(\mathbf{2}\). \(\ \) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\ f(x) < -2\ \) jest przedział \(\ ...............\) .
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Analiza definicji funkcji
Funkcja \(f\) jest określona przedziałami:
Dla \(x \in (-5, -3]\): \(f(x) = -2x - 10\) (funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym \(-2\))
Dla \(x \in (-3, 4]\): \(f(x) = x - 1\) (funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym \(1\))
Zauważmy, że:
- Punkt \(x = -5\) nie należy do dziedziny (przedział otwarty)
- Punkt \(x = -3\) należy do pierwszego przedziału
- Punkt \(x = 4\) należy do drugiego przedziału
Dla \(x \in (-5, -3]\): \(f(x) = -2x - 10\) (funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym \(-2\))
Dla \(x \in (-3, 4]\): \(f(x) = x - 1\) (funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym \(1\))
Zauważmy, że:
- Punkt \(x = -5\) nie należy do dziedziny (przedział otwarty)
- Punkt \(x = -3\) należy do pierwszego przedziału
- Punkt \(x = 4\) należy do drugiego przedziału
Krok 2: Obliczenie wartości funkcji w punktach charakterystycznych dla pierwszego przedziału
Dla \(x \in (-5, -3]\) mamy \(f(x) = -2x - 10\).
W punkcie \(x = -3\) (należy do przedziału):
\[f(-3) = -2 \cdot (-3) - 10 = 6 - 10 = -4\]
Granica w punkcie \(x = -5\) (nie należy do przedziału, ale możemy obliczyć granicę):
\[\lim_{x \to -5^+} f(x) = -2 \cdot (-5) - 10 = 10 - 10 = 0\]
Ponieważ funkcja \(f(x) = -2x - 10\) jest malejąca (współczynnik kierunkowy \(-2 < 0\)), wartości na przedziale \((-5, -3]\) zawierają się w przedziale \([-4, 0)\).
W punkcie \(x = -3\) (należy do przedziału):
\[f(-3) = -2 \cdot (-3) - 10 = 6 - 10 = -4\]
Granica w punkcie \(x = -5\) (nie należy do przedziału, ale możemy obliczyć granicę):
\[\lim_{x \to -5^+} f(x) = -2 \cdot (-5) - 10 = 10 - 10 = 0\]
Ponieważ funkcja \(f(x) = -2x - 10\) jest malejąca (współczynnik kierunkowy \(-2 < 0\)), wartości na przedziale \((-5, -3]\) zawierają się w przedziale \([-4, 0)\).
Krok 3: Obliczenie wartości funkcji w punktach charakterystycznych dla drugiego przedziału
Dla \(x \in (-3, 4]\) mamy \(f(x) = x - 1\).
Granica w punkcie \(x = -3\) (nie należy do tego przedziału):
\[\lim_{x \to -3^+} f(x) = -3 - 1 = -4\]
W punkcie \(x = 4\) (należy do przedziału):
\[f(4) = 4 - 1 = 3\]
Ponieważ funkcja \(f(x) = x - 1\) jest rosnąca (współczynnik kierunkowy \(1 > 0\)), wartości na przedziale \((-3, 4]\) zawierają się w przedziale \((-4, 3]\).
Granica w punkcie \(x = -3\) (nie należy do tego przedziału):
\[\lim_{x \to -3^+} f(x) = -3 - 1 = -4\]
W punkcie \(x = 4\) (należy do przedziału):
\[f(4) = 4 - 1 = 3\]
Ponieważ funkcja \(f(x) = x - 1\) jest rosnąca (współczynnik kierunkowy \(1 > 0\)), wartości na przedziale \((-3, 4]\) zawierają się w przedziale \((-4, 3]\).
Krok 4: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji
Zbiór wartości funkcji \(f\) to suma zbiorów wartości na obu przedziałach:
- Na przedziale \((-5, -3]\): wartości należą do \([-4, 0)\)
- Na przedziale \((-3, 4]\): wartości należą do \((-4, 3]\)
Suma tych zbiorów to:
\[ZW = [-4, 0) \cup (-4, 3] = [-4, 3]\]
Zauważmy, że wartość \(-4\) jest osiągana w punkcie \(x = -3\), a wartość \(3\) w punkcie \(x = 4\).
Odpowiedź 1: Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \([-4, 3]\).
- Na przedziale \((-5, -3]\): wartości należą do \([-4, 0)\)
- Na przedziale \((-3, 4]\): wartości należą do \((-4, 3]\)
Suma tych zbiorów to:
\[ZW = [-4, 0) \cup (-4, 3] = [-4, 3]\]
Zauważmy, że wartość \(-4\) jest osiągana w punkcie \(x = -3\), a wartość \(3\) w punkcie \(x = 4\).
Odpowiedź 1: Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \([-4, 3]\).
Krok 5: Rozwiązanie nierówności dla pierwszego przedziału
Szukamy rozwiązań nierówności \(f(x) < -2\).
Dla \(x \in (-5, -3]\): \(f(x) = -2x - 10\)
Rozwiązujemy:
\[-2x - 10 < -2\]
\[-2x < 8\]
\[x > -4\] (dzielimy przez \(-2\), zmieniamy znak nierówności)
Biorąc część wspólną z dziedziną tego przedziału:
\[x \in (-5, -3] \cap (-4, +\infty) = (-4, -3]\]
Dla \(x \in (-5, -3]\): \(f(x) = -2x - 10\)
Rozwiązujemy:
\[-2x - 10 < -2\]
\[-2x < 8\]
\[x > -4\] (dzielimy przez \(-2\), zmieniamy znak nierówności)
Biorąc część wspólną z dziedziną tego przedziału:
\[x \in (-5, -3] \cap (-4, +\infty) = (-4, -3]\]
Krok 6: Rozwiązanie nierówności dla drugiego przedziału
Dla \(x \in (-3, 4]\): \(f(x) = x - 1\)
Rozwiązujemy:
\[x - 1 < -2\]
\[x < -1\]
Biorąc część wspólną z dziedziną tego przedziału:
\[x \in (-3, 4] \cap (-\infty, -1) = (-3, -1)\]
Rozwiązujemy:
\[x - 1 < -2\]
\[x < -1\]
Biorąc część wspólną z dziedziną tego przedziału:
\[x \in (-3, 4] \cap (-\infty, -1) = (-3, -1)\]
Krok 7: Suma zbiorów rozwiązań
Zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x) < -2\) to suma rozwiązań z obu przedziałów:
\[(-4, -3] \cup (-3, -1) = (-4, -1)\]
Zauważmy, że przedziały łączą się w punkt \(x = -3\), który należy do pierwszego przedziału, ale po połączeniu otrzymujemy jeden przedział otwarty \((-4, -1)\).
Odpowiedź 2: Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x) < -2\) jest przedział \((-4, -1)\).
\[(-4, -3] \cup (-3, -1) = (-4, -1)\]
Zauważmy, że przedziały łączą się w punkt \(x = -3\), który należy do pierwszego przedziału, ale po połączeniu otrzymujemy jeden przedział otwarty \((-4, -1)\).
Odpowiedź 2: Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x) < -2\) jest przedział \((-4, -1)\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 14
Miejsce zerowym funkcji liniowej \(\ g\ \) jest liczba \(\ (-3)\).
Dla argumentu \(\ 0\ \) funkcja \(\ g\ \) przyjmuje wartość \(\ \left(-\frac{3}{2}\right)\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja \(\ g\ \) jest określona wzorem
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Przypomnienie postaci funkcji liniowej
Funkcja liniowa ma postać ogólną \(g(x) = ax + b\), gdzie \(a\) to współczynnik kierunkowy (różny od zera), a \(b\) to wyraz wolny. Naszym zadaniem jest znalezienie wartości \(a\) i \(b\) na podstawie podanych informacji.
Krok 2: Wykorzystanie informacji o wartości funkcji dla argumentu 0
Wiemy, że dla argumentu \(x = 0\) funkcja przyjmuje wartość \(g(0) = -\frac{3}{2}\). Podstawiamy do wzoru funkcji:
\[g(0) = a \cdot 0 + b = b = -\frac{3}{2}\]
Otrzymujemy więc \(b = -\frac{3}{2}\). Jest to wyraz wolny funkcji.
\[g(0) = a \cdot 0 + b = b = -\frac{3}{2}\]
Otrzymujemy więc \(b = -\frac{3}{2}\). Jest to wyraz wolny funkcji.
Krok 3: Wykorzystanie informacji o miejscu zerowym
Miejsce zerowe funkcji to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość 0. Wiemy, że miejscem zerowym jest \(x = -3\), czyli \(g(-3) = 0\). Podstawiamy do wzoru funkcji:
\[g(-3) = a \cdot (-3) + b = 0\]
Podstawiając już znane \(b = -\frac{3}{2}\):
\[-3a - \frac{3}{2} = 0\]
\[g(-3) = a \cdot (-3) + b = 0\]
Podstawiając już znane \(b = -\frac{3}{2}\):
\[-3a - \frac{3}{2} = 0\]
Krok 4: Wyznaczenie współczynnika kierunkowego a
Rozwiązujemy równanie \(-3a - \frac{3}{2} = 0\):
\[-3a = \frac{3}{2}\]
Dzielimy obie strony przez \(-3\):
\[a = \frac{3}{2} : (-3) = \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\]
Otrzymujemy \(a = -\frac{1}{2}\).
\[-3a = \frac{3}{2}\]
Dzielimy obie strony przez \(-3\):
\[a = \frac{3}{2} : (-3) = \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}\]
Otrzymujemy \(a = -\frac{1}{2}\).
Krok 5: Zapisanie wzoru funkcji
Znając \(a = -\frac{1}{2}\) oraz \(b = -\frac{3}{2}\), możemy zapisać wzór funkcji \(g\):
\[g(x) = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\]
Jest to odpowiedź A.
\[g(x) = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\]
Jest to odpowiedź A.
Krok 6: Weryfikacja rozwiązania
Sprawdzamy poprawność:
- Dla \(x = 0\): \(g(0) = -\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}\) ✓
- Dla \(x = -3\): \(g(-3) = -\frac{1}{2} \cdot (-3) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0\) ✓
Obie warunki są spełnione, więc rozwiązanie jest poprawne.
- Dla \(x = 0\): \(g(0) = -\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}\) ✓
- Dla \(x = -3\): \(g(-3) = -\frac{1}{2} \cdot (-3) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0\) ✓
Obie warunki są spełnione, więc rozwiązanie jest poprawne.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 15
Funkcja kwadratowa \(\ f\ \) jest określona wzorem \(\ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c\), gdzie \(\ b\ \) oraz \(\ c\ \) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(\ f\ \) jest liczba \(\ 6\).
W kartezjańskim układzie współrzędnych \(\ (x, y)\ \) prosta o równaniu \(\ x = 1\ \) jest osią symetrii wykresu funkcji \(\ f\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja \(\ f\ \) jest określona wzorem
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Analiza danych i przypomnienie własności funkcji kwadratowej
Mamy funkcję kwadratową \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c\). Znamy dwie informacje:
1) Jedno z miejsc zerowych funkcji to \(x = 6\)
2) Oś symetrii wykresu to prosta \(x = 1\)
Przypomnijmy, że dla funkcji kwadratowej \(f(x) = ax^2 + bx + c\) oś symetrii przechodzi przez wierzchołek i ma równanie \(x = -\frac{b}{2a}\). Dodatkowo, miejsca zerowe są symetryczne względem osi symetrii.
1) Jedno z miejsc zerowych funkcji to \(x = 6\)
2) Oś symetrii wykresu to prosta \(x = 1\)
Przypomnijmy, że dla funkcji kwadratowej \(f(x) = ax^2 + bx + c\) oś symetrii przechodzi przez wierzchołek i ma równanie \(x = -\frac{b}{2a}\). Dodatkowo, miejsca zerowe są symetryczne względem osi symetrii.
Krok 2: Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego
Ponieważ miejsca zerowe funkcji kwadratowej są symetryczne względem osi symetrii, a oś symetrii to \(x = 1\), możemy wyznaczyć drugie miejsce zerowe.
Jeśli jedno miejsce zerowe to \(x_1 = 6\), a środek symetrii to \(x = 1\), to drugie miejsce zerowe \(x_2\) musi spełniać warunek:
\[\frac{x_1 + x_2}{2} = 1\]
\[\frac{6 + x_2}{2} = 1\]
\[6 + x_2 = 2\]
\[x_2 = 2 - 6 = -4\]
Drugie miejsce zerowe to \(x_2 = -4\).
Jeśli jedno miejsce zerowe to \(x_1 = 6\), a środek symetrii to \(x = 1\), to drugie miejsce zerowe \(x_2\) musi spełniać warunek:
\[\frac{x_1 + x_2}{2} = 1\]
\[\frac{6 + x_2}{2} = 1\]
\[6 + x_2 = 2\]
\[x_2 = 2 - 6 = -4\]
Drugie miejsce zerowe to \(x_2 = -4\).
Krok 3: Zapisanie funkcji w postaci iloczynowej
Znając oba miejsca zerowe funkcji kwadratowej (\(x_1 = -4\) i \(x_2 = 6\)) oraz współczynnik \(a = \frac{1}{2}\), możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej:
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
\[f(x) = \frac{1}{2}(x - (-4))(x - 6)\]
\[f(x) = \frac{1}{2}(x + 4)(x - 6)\]
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
\[f(x) = \frac{1}{2}(x - (-4))(x - 6)\]
\[f(x) = \frac{1}{2}(x + 4)(x - 6)\]
Krok 4: Weryfikacja wyniku
Sprawdźmy, czy otrzymana funkcja spełnia warunki zadania:
1) Miejsca zerowe:
- Dla \(x = -4\): \(f(-4) = \frac{1}{2}(-4 + 4)(-4 - 6) = \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot (-10) = 0\) ✓
- Dla \(x = 6\): \(f(6) = \frac{1}{2}(6 + 4)(6 - 6) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0 = 0\) ✓
2) Oś symetrii: \(x = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\) ✓
Wszystkie warunki są spełnione. Odpowiedź C jest prawidłowa.
1) Miejsca zerowe:
- Dla \(x = -4\): \(f(-4) = \frac{1}{2}(-4 + 4)(-4 - 6) = \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot (-10) = 0\) ✓
- Dla \(x = 6\): \(f(6) = \frac{1}{2}(6 + 4)(6 - 6) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0 = 0\) ✓
2) Oś symetrii: \(x = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\) ✓
Wszystkie warunki są spełnione. Odpowiedź C jest prawidłowa.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 16
Funkcja kwadratowa \(\ f\ \) jest określona wzorem \(\ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c\), gdzie \(\ b\ \) oraz \(\ c\ \) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(\ f\ \) jest liczba \(\ 6\).
W kartezjańskim układzie współrzędnych \(\ (x, y)\ \) prosta o równaniu \(\ x = 1\ \) jest osią symetrii wykresu funkcji \(\ f\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Współczynnik \(\ b\ \) we wzorze funkcji \(\ f\ \) jest liczbą dodatnią.
Współczynnik \(\ c\ \) we wzorze funkcji \(\ f\ \) jest liczbą dodatnią.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapisanie informacji o osi symetrii funkcji kwadratowej
Dla funkcji kwadratowej postaci \(f(x) = ax^2 + bx + c\) oś symetrii wykresu ma równanie \(x = -\frac{b}{2a}\). W naszym przypadku \(a = \frac{1}{2}\), więc oś symetrii to:
\[x = -\frac{b}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{b}{1} = -b\]
Z treści zadania wiemy, że oś symetrii to prosta \(x = 1\), zatem:
\[-b = 1\]
\[b = -1\]
\[x = -\frac{b}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{b}{1} = -b\]
Z treści zadania wiemy, że oś symetrii to prosta \(x = 1\), zatem:
\[-b = 1\]
\[b = -1\]
Krok 2: Weryfikacja pierwszego stwierdzenia o współczynniku b
Otrzymaliśmy \(b = -1\). Liczba \(-1\) jest liczbą ujemną, więc NIE jest liczbą dodatnią.
Odpowiedź na pierwsze stwierdzenie: FAŁSZ
Odpowiedź na pierwsze stwierdzenie: FAŁSZ
Krok 3: Wykorzystanie informacji o miejscu zerowym
Wiemy, że liczba \(6\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\), czyli \(f(6) = 0\). Podstawiamy do wzoru funkcji:
\[f(6) = \frac{1}{2} \cdot 6^2 + b \cdot 6 + c = 0\]
\[\frac{1}{2} \cdot 36 + (-1) \cdot 6 + c = 0\]
\[18 - 6 + c = 0\]
\[12 + c = 0\]
\[c = -12\]
\[f(6) = \frac{1}{2} \cdot 6^2 + b \cdot 6 + c = 0\]
\[\frac{1}{2} \cdot 36 + (-1) \cdot 6 + c = 0\]
\[18 - 6 + c = 0\]
\[12 + c = 0\]
\[c = -12\]
Krok 4: Weryfikacja drugiego stwierdzenia o współczynniku c
Otrzymaliśmy \(c = -12\). Liczba \(-12\) jest liczbą ujemną, więc NIE jest liczbą dodatnią.
Odpowiedź na drugie stwierdzenie: FAŁSZ
Odpowiedź na drugie stwierdzenie: FAŁSZ
Krok 5: Sprawdzenie poprawności rozwiązania
Możemy sprawdzić nasze rozwiązanie korzystając z własności, że miejsca zerowe funkcji kwadratowej są symetryczne względem osi symetrii. Jeśli \(x = 1\) jest osią symetrii i \(x = 6\) jest miejscem zerowym, to drugie miejsce zerowe to:
\[x_2 = 1 - (6 - 1) = 1 - 5 = -4\]
Sprawdźmy: \(f(-4) = \frac{1}{2} \cdot (-4)^2 + (-1) \cdot (-4) + (-12) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 4 - 12 = 8 + 4 - 12 = 0\) ✓
Rozwiązanie jest poprawne. Funkcja ma postać \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x - 12\).
\[x_2 = 1 - (6 - 1) = 1 - 5 = -4\]
Sprawdźmy: \(f(-4) = \frac{1}{2} \cdot (-4)^2 + (-1) \cdot (-4) + (-12) = \frac{1}{2} \cdot 16 + 4 - 12 = 8 + 4 - 12 = 0\) ✓
Rozwiązanie jest poprawne. Funkcja ma postać \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x - 12\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 17
Funkcja kwadratowa \(\ f\ \) jest określona wzorem \(\ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c\), gdzie \(\ b\ \) oraz \(\ c\ \) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(\ f\ \) jest liczba \(\ 6\).
W kartezjańskim układzie współrzędnych \(\ (x, y)\ \) prosta o równaniu \(\ x = 1\ \) jest osią symetrii wykresu funkcji \(\ f\).
Funkcja \(\ g\ \) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(\ x\ \) wzorem \(\ g(x) = f(x - 3)\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Osią symetrii wykresu funkcji \(\ g\ \) jest prosta o równaniu
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Wykorzystanie informacji o osi symetrii funkcji f
Funkcja kwadratowa \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c\) ma oś symetrii w prostej \(x = 1\). Dla funkcji kwadratowej postaci \(f(x) = ax^2 + bx + c\), oś symetrii wyznacza wzór \(x = -\frac{b}{2a}\). W naszym przypadku \(a = \frac{1}{2}\), więc:
\[1 = -\frac{b}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{b}{1} = -b\]
Stąd \(b = -1\).
\[1 = -\frac{b}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{b}{1} = -b\]
Stąd \(b = -1\).
Krok 2: Wykorzystanie informacji o miejscu zerowym
Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba 6. Ponieważ oś symetrii paraboli to prosta \(x = 1\), a miejsca zerowe funkcji kwadratowej są symetryczne względem osi symetrii, drugie miejsce zerowe musi znajdować się w takiej samej odległości od \(x = 1\) po drugiej stronie.
Odległość od 6 do 1 wynosi \(6 - 1 = 5\), więc drugie miejsce zerowe to \(1 - 5 = -4\).
Odległość od 6 do 1 wynosi \(6 - 1 = 5\), więc drugie miejsce zerowe to \(1 - 5 = -4\).
Krok 3: Wyznaczenie współczynnika c
Znając oba miejsca zerowe (\(x_1 = -4\) i \(x_2 = 6\)) oraz współczynnik \(a = \frac{1}{2}\), możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej:
\[f(x) = \frac{1}{2}(x - (-4))(x - 6) = \frac{1}{2}(x + 4)(x - 6)\]
Rozwijamy:
\[f(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 4x - 24) = \frac{1}{2}(x^2 - 2x - 24) = \frac{1}{2}x^2 - x - 12\]
Porównując z wzorem \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c\), otrzymujemy \(b = -1\) (co potwierdza wcześniejsze obliczenia) oraz \(c = -12\).
\[f(x) = \frac{1}{2}(x - (-4))(x - 6) = \frac{1}{2}(x + 4)(x - 6)\]
Rozwijamy:
\[f(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 4x - 24) = \frac{1}{2}(x^2 - 2x - 24) = \frac{1}{2}x^2 - x - 12\]
Porównując z wzorem \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c\), otrzymujemy \(b = -1\) (co potwierdza wcześniejsze obliczenia) oraz \(c = -12\).
Krok 4: Określenie funkcji g
Funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x) = f(x - 3)\). Podstawiamy:
\[g(x) = f(x - 3) = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - (x - 3) - 12\]
Rozwijamy:
\[g(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - x + 3 - 12\]
\[g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{9}{2} - x + 3 - 12\]
\[g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + \frac{9}{2} + 3 - 12\]
\[g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + \frac{9}{2} - 9 = \frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{9}{2}\]
\[g(x) = f(x - 3) = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - (x - 3) - 12\]
Rozwijamy:
\[g(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - x + 3 - 12\]
\[g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{9}{2} - x + 3 - 12\]
\[g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + \frac{9}{2} + 3 - 12\]
\[g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + \frac{9}{2} - 9 = \frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{9}{2}\]
Krok 5: Wyznaczenie osi symetrii funkcji g
Dla funkcji \(g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x - \frac{9}{2}\) oś symetrii wyznaczamy ze wzoru:
\[x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{4}{1} = 4\]
Alternatywnie: przekształcenie \(g(x) = f(x - 3)\) oznacza przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o 3 jednostki w prawo. Skoro oś symetrii funkcji \(f\) to prosta \(x = 1\), to oś symetrii funkcji \(g\) to prosta \(x = 1 + 3 = 4\).
\[x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{4}{1} = 4\]
Alternatywnie: przekształcenie \(g(x) = f(x - 3)\) oznacza przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o 3 jednostki w prawo. Skoro oś symetrii funkcji \(f\) to prosta \(x = 1\), to oś symetrii funkcji \(g\) to prosta \(x = 1 + 3 = 4\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 18
Ciąg \(\ \left( a_n \right)\ \) jest określony wzorem \(\ a_n = \dfrac{32 \cdot (-1)^n}{2^{n-1}}\ \) dla każdej liczby naturalnej \(\ n \ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Szósty wyraz ciągu \(\ \left(a_n \right)\ \) jest równy
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapisanie wzoru ogólnego ciągu
Dany jest ciąg \(\left( a_n \right)\) określony wzorem:
\[a_n = \frac{32 \cdot (-1)^n}{2^{n-1}}\]
Dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Naszym zadaniem jest obliczenie szóstego wyrazu tego ciągu, czyli \(a_6\).
\[a_n = \frac{32 \cdot (-1)^n}{2^{n-1}}\]
Dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Naszym zadaniem jest obliczenie szóstego wyrazu tego ciągu, czyli \(a_6\).
Krok 2: Podstawienie n = 6 do wzoru
Aby obliczyć szósty wyraz ciągu, podstawiamy \(n = 6\) do wzoru ogólnego:
\[a_6 = \frac{32 \cdot (-1)^6}{2^{6-1}} = \frac{32 \cdot (-1)^6}{2^5}\]
\[a_6 = \frac{32 \cdot (-1)^6}{2^{6-1}} = \frac{32 \cdot (-1)^6}{2^5}\]
Krok 3: Obliczenie wartości (-1)^6
Obliczamy wartość \((-1)^6\):
\[(-1)^6 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = 1\]
Ponieważ wykładnik 6 jest liczbą parzystą, to \((-1)^6 = 1\).
\[(-1)^6 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = 1\]
Ponieważ wykładnik 6 jest liczbą parzystą, to \((-1)^6 = 1\).
Krok 4: Obliczenie wartości 2^5
Obliczamy wartość \(2^5\):
\[2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\]
\[2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\]
Krok 5: Podstawienie obliczonych wartości
Podstawiamy obliczone wartości do wzoru na \(a_6\):
\[a_6 = \frac{32 \cdot 1}{32} = \frac{32}{32} = 1\]
\[a_6 = \frac{32 \cdot 1}{32} = \frac{32}{32} = 1\]
Krok 6: Weryfikacja odpowiedzi
Otrzymaliśmy \(a_6 = 1\). Sprawdzając dostępne odpowiedzi:
- A) \((-2)\)
- B) \((-1)\)
- C) \(1\) [POPRAWNA]
- D) \(2\)
Nasza odpowiedź zgadza się z odpowiedzią C.
- A) \((-2)\)
- B) \((-1)\)
- C) \(1\) [POPRAWNA]
- D) \(2\)
Nasza odpowiedź zgadza się z odpowiedzią C.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 19
Ciąg arytmetyczny \(\ \left(a_n \right)\ \) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(\ n \ge 1\).
Różnica tego ciągu jest równa \(\ (-4)\ \) oraz \(\ a_{10} = -24\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Szósty wyraz ciągu \(\ \left(a_n \right)\ \) jest równy
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Przypomnienie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o stałą liczbę zwaną różnicą ciągu (oznaczaną jako \(r\)).
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\]
W naszym zadaniu mamy:
- różnica ciągu: \(r = -4\)
- dziesiąty wyraz: \(a_{10} = -24\)
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\]
W naszym zadaniu mamy:
- różnica ciągu: \(r = -4\)
- dziesiąty wyraz: \(a_{10} = -24\)
Krok 2: Wyznaczenie pierwszego wyrazu ciągu
Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz dla \(n = 10\), podstawiamy znane wartości:
\[a_{10} = a_1 + (10-1) \cdot r\]
\[-24 = a_1 + 9 \cdot (-4)\]
\[-24 = a_1 - 36\]
Teraz rozwiązujemy równanie względem \(a_1\):
\[a_1 = -24 + 36\]
\[a_1 = 12\]
Pierwszy wyraz ciągu wynosi \(a_1 = 12\).
\[a_{10} = a_1 + (10-1) \cdot r\]
\[-24 = a_1 + 9 \cdot (-4)\]
\[-24 = a_1 - 36\]
Teraz rozwiązujemy równanie względem \(a_1\):
\[a_1 = -24 + 36\]
\[a_1 = 12\]
Pierwszy wyraz ciągu wynosi \(a_1 = 12\).
Krok 3: Obliczenie szóstego wyrazu ciągu
Teraz możemy obliczyć szósty wyraz ciągu, podstawiając \(n = 6\) do wzoru:
\[a_6 = a_1 + (6-1) \cdot r\]
\[a_6 = 12 + 5 \cdot (-4)\]
\[a_6 = 12 - 20\]
\[a_6 = -8\]
\[a_6 = a_1 + (6-1) \cdot r\]
\[a_6 = 12 + 5 \cdot (-4)\]
\[a_6 = 12 - 20\]
\[a_6 = -8\]
Krok 4: Weryfikacja wyniku
Możemy sprawdzić poprawność wyniku, obliczając kolejne wyrazy ciągu od \(a_6\) do \(a_{10}\):
- \(a_6 = -8\)
- \(a_7 = -8 + (-4) = -12\)
- \(a_8 = -12 + (-4) = -16\)
- \(a_9 = -16 + (-4) = -20\)
- \(a_{10} = -20 + (-4) = -24\) ✓
Wynik się zgadza z danymi z zadania.
- \(a_6 = -8\)
- \(a_7 = -8 + (-4) = -12\)
- \(a_8 = -12 + (-4) = -16\)
- \(a_9 = -16 + (-4) = -20\)
- \(a_{10} = -20 + (-4) = -24\) ✓
Wynik się zgadza z danymi z zadania.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 20
Ciąg geometryczny \(\ \left(a_n\right)\), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od \(\ 0\), jest określony dla każdej liczby naturalnej \(\ n \ge 1\).
Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(\ a_3 = -8 \cdot a_6\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloraz ciągu \(\ \left(a_n \right)\ \) jest równy
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapisanie wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego
W ciągu geometrycznym każdy wyraz można wyrazić za pomocą pierwszego wyrazu \(a_1\) i ilorazu \(q\) według wzoru:
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]
Gdzie \(q\) to iloraz ciągu geometrycznego (stały stosunek dwóch kolejnych wyrazów).
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]
Gdzie \(q\) to iloraz ciągu geometrycznego (stały stosunek dwóch kolejnych wyrazów).
Krok 2: Wyrażenie wyrazów \(a_3\) i \(a_6\) przez \(a_1\) i \(q\)
Korzystając ze wzoru ogólnego:
- Trzeci wyraz: \(a_3 = a_1 \cdot q^{3-1} = a_1 \cdot q^2\)
- Szósty wyraz: \(a_6 = a_1 \cdot q^{6-1} = a_1 \cdot q^5\)
- Trzeci wyraz: \(a_3 = a_1 \cdot q^{3-1} = a_1 \cdot q^2\)
- Szósty wyraz: \(a_6 = a_1 \cdot q^{6-1} = a_1 \cdot q^5\)
Krok 3: Podstawienie do warunku zadania
Z treści zadania wiemy, że \(a_3 = -8 \cdot a_6\). Podstawiamy wyrażenia z poprzedniego kroku:
\[a_1 \cdot q^2 = -8 \cdot (a_1 \cdot q^5)\]
\[a_1 \cdot q^2 = -8 \cdot a_1 \cdot q^5\]
\[a_1 \cdot q^2 = -8 \cdot (a_1 \cdot q^5)\]
\[a_1 \cdot q^2 = -8 \cdot a_1 \cdot q^5\]
Krok 4: Uproszczenie równania
Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są różne od zera, to w szczególności \(a_1
eq 0\). Możemy zatem podzielić obie strony równania przez \(a_1\):
\[q^2 = -8 \cdot q^5\]
Przenosimy wszystko na jedną stronę:
\[q^2 + 8q^5 = 0\]
eq 0\). Możemy zatem podzielić obie strony równania przez \(a_1\):
\[q^2 = -8 \cdot q^5\]
Przenosimy wszystko na jedną stronę:
\[q^2 + 8q^5 = 0\]
Krok 5: Wyłączenie wspólnego czynnika
Wyłączamy \(q^2\) przed nawias:
\[q^2(1 + 8q^3) = 0\]
To równanie jest spełnione, gdy \(q^2 = 0\) lub \(1 + 8q^3 = 0\).
\[q^2(1 + 8q^3) = 0\]
To równanie jest spełnione, gdy \(q^2 = 0\) lub \(1 + 8q^3 = 0\).
Krok 6: Analiza rozwiązań
Rozważamy dwa przypadki:
1) \(q^2 = 0\) daje \(q = 0\), ale wtedy wyrazy ciągu (poza pierwszym) byłyby równe zero, co jest sprzeczne z warunkiem zadania.
2) \(1 + 8q^3 = 0\), co daje:
\[8q^3 = -1\]
\[q^3 = -\frac{1}{8}\]
1) \(q^2 = 0\) daje \(q = 0\), ale wtedy wyrazy ciągu (poza pierwszym) byłyby równe zero, co jest sprzeczne z warunkiem zadania.
2) \(1 + 8q^3 = 0\), co daje:
\[8q^3 = -1\]
\[q^3 = -\frac{1}{8}\]
Krok 7: Obliczenie ilorazu \(q\)
Z równania \(q^3 = -\frac{1}{8}\) wyciągamy pierwiastek trzeciego stopnia:
\[q = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} = -\frac{1}{2}\]
Ponieważ \((-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}\), to \(q = -\frac{1}{2}\) jest poprawnym rozwiązaniem.
\[q = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} = -\frac{1}{2}\]
Ponieważ \((-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}\), to \(q = -\frac{1}{2}\) jest poprawnym rozwiązaniem.
Krok 8: Weryfikacja odpowiedzi
Sprawdzamy, czy \(q = -\frac{1}{2}\) spełnia warunek:
- \(a_3 = a_1 \cdot (-\frac{1}{2})^2 = a_1 \cdot \frac{1}{4}\)
- \(a_6 = a_1 \cdot (-\frac{1}{2})^5 = a_1 \cdot (-\frac{1}{32}) = -\frac{a_1}{32}\)
- \(-8 \cdot a_6 = -8 \cdot (-\frac{a_1}{32}) = \frac{8a_1}{32} = \frac{a_1}{4}\)
Rzeczywiście \(a_3 = -8 \cdot a_6\), więc odpowiedź jest prawidłowa.
- \(a_3 = a_1 \cdot (-\frac{1}{2})^2 = a_1 \cdot \frac{1}{4}\)
- \(a_6 = a_1 \cdot (-\frac{1}{2})^5 = a_1 \cdot (-\frac{1}{32}) = -\frac{a_1}{32}\)
- \(-8 \cdot a_6 = -8 \cdot (-\frac{a_1}{32}) = \frac{8a_1}{32} = \frac{a_1}{4}\)
Rzeczywiście \(a_3 = -8 \cdot a_6\), więc odpowiedź jest prawidłowa.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 21
Trzywyrazowy ciąg \(\ \left( \sqrt{5}, \ 1, \ x\right)\ \) jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg \(\ \left( \sqrt{5}, \ 1, \ y\right)\ \) jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczby \(\ x\ \) oraz \(\ y\ \) spełniają warunki
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Przypomnienie definicji ciągu arytmetycznego
Ciąg trzywyrazowy \((a, b, c)\) jest arytmetyczny, gdy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Oznacza to, że środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych: \[b = \frac{a + c}{2}\] lub równoważnie: \[b - a = c - b\]
Krok 2: Znalezienie wartości x dla ciągu arytmetycznego
Dla ciągu \((\sqrt{5}, 1, x)\) stosujemy warunek ciągu arytmetycznego. Środkowy wyraz \(1\) musi być średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
\[1 = \frac{\sqrt{5} + x}{2}\]
Mnożymy obie strony przez \(2\):
\[2 = \sqrt{5} + x\]
Przenosimy \(\sqrt{5}\) na lewą stronę:
\[x = 2 - \sqrt{5}\]
Ponieważ \(\sqrt{5} \approx 2,236\), to \(x \approx 2 - 2,236 = -0,236\), zatem \(x < 0\).
\[1 = \frac{\sqrt{5} + x}{2}\]
Mnożymy obie strony przez \(2\):
\[2 = \sqrt{5} + x\]
Przenosimy \(\sqrt{5}\) na lewą stronę:
\[x = 2 - \sqrt{5}\]
Ponieważ \(\sqrt{5} \approx 2,236\), to \(x \approx 2 - 2,236 = -0,236\), zatem \(x < 0\).
Krok 3: Przypomnienie definicji ciągu geometrycznego
Ciąg trzywyrazowy \((a, b, c)\) jest geometryczny, gdy iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Oznacza to, że środkowy wyraz jest średnią geometryczną wyrazów skrajnych: \[b^2 = a \cdot c\] lub równoważnie: \[\frac{b}{a} = \frac{c}{b}\]
Krok 4: Znalezienie wartości y dla ciągu geometrycznego
Dla ciągu \((\sqrt{5}, 1, y)\) stosujemy warunek ciągu geometrycznego. Środkowy wyraz \(1\) podniesiony do kwadratu musi równać się iloczynowi wyrazów skrajnych:
\[1^2 = \sqrt{5} \cdot y\]
\[1 = \sqrt{5} \cdot y\]
Dzielihy obie strony przez \(\sqrt{5}\):
\[y = \frac{1}{\sqrt{5}}\]
Wymierniamy mianownik, mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt{5}\):
\[y = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\]
Ponieważ \(\sqrt{5} > 0\), to \(y = \frac{\sqrt{5}}{5} > 0\).
\[1^2 = \sqrt{5} \cdot y\]
\[1 = \sqrt{5} \cdot y\]
Dzielihy obie strony przez \(\sqrt{5}\):
\[y = \frac{1}{\sqrt{5}}\]
Wymierniamy mianownik, mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt{5}\):
\[y = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\]
Ponieważ \(\sqrt{5} > 0\), to \(y = \frac{\sqrt{5}}{5} > 0\).
Krok 5: Określenie znaków liczb x i y
Z poprzednich kroków otrzymaliśmy:
- \(x = 2 - \sqrt{5} < 0\) (ponieważ \(\sqrt{5} > 2\))
- \(y = \frac{\sqrt{5}}{5} > 0\) (ponieważ jest to iloraz dwóch liczb dodatnich)
Zatem \(x < 0\) i \(y > 0\), co odpowiada odpowiedzi B.
- \(x = 2 - \sqrt{5} < 0\) (ponieważ \(\sqrt{5} > 2\))
- \(y = \frac{\sqrt{5}}{5} > 0\) (ponieważ jest to iloraz dwóch liczb dodatnich)
Zatem \(x < 0\) i \(y > 0\), co odpowiada odpowiedzi B.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 22
Kąt \(\ \alpha\ \) jest ostry oraz \(\ \cos \alpha = \frac{5}{13}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta \(\ \alpha\ \) jest równy
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapisanie danych i jedynki trygonometrycznej
Mamy dane, że kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\cos \alpha = \frac{5}{13}\). Aby znaleźć \(\tan \alpha\), najpierw musimy znaleźć \(\sin \alpha\). Skorzystamy z podstawowej tożsamości trygonometrycznej zwanej jedynką trygonometryczną:
\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]
\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]
Krok 2: Obliczenie sinusa kąta
Podstawiamy wartość \(\cos \alpha = \frac{5}{13}\) do jedynki trygonometrycznej:
\[\sin^2 \alpha + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1\]
\[\sin^2 \alpha + \frac{25}{169} = 1\]
\[\sin^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169}\]
\[\sin^2 \alpha = \frac{169}{169} - \frac{25}{169}\]
\[\sin^2 \alpha = \frac{144}{169}\]
\[\sin^2 \alpha + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1\]
\[\sin^2 \alpha + \frac{25}{169} = 1\]
\[\sin^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169}\]
\[\sin^2 \alpha = \frac{169}{169} - \frac{25}{169}\]
\[\sin^2 \alpha = \frac{144}{169}\]
Krok 3: Wyznaczenie wartości sinusa
Aby wyznaczyć \(\sin \alpha\), musimy obliczyć pierwiastek kwadratowy:
\[\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}\]
Ponieważ kąt \(\alpha\) jest ostry (czyli \(0° < \alpha < 90°\)), to sinus tego kąta jest dodatni. Zatem:
\[\sin \alpha = \frac{12}{13}\]
\[\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}\]
Ponieważ kąt \(\alpha\) jest ostry (czyli \(0° < \alpha < 90°\)), to sinus tego kąta jest dodatni. Zatem:
\[\sin \alpha = \frac{12}{13}\]
Krok 4: Obliczenie tangensa kąta
Tangens kąta definiujemy jako stosunek sinusa do cosinusa:
\[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\]
Podstawiamy obliczone wartości:
\[\tan \alpha = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}\]
\[\tan \alpha = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5}\]
\[\tan \alpha = \frac{12 \cdot 13}{13 \cdot 5}\]
\[\tan \alpha = \frac{12}{5}\]
\[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\]
Podstawiamy obliczone wartości:
\[\tan \alpha = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}\]
\[\tan \alpha = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5}\]
\[\tan \alpha = \frac{12 \cdot 13}{13 \cdot 5}\]
\[\tan \alpha = \frac{12}{5}\]
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 23
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\ \sin30\degree \cdot \cos60\degree + \sin60\degree \cdot \cos30\degree\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Przypomnienie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów specjalnych
Aby rozwiązać to zadanie, musimy znać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30° i 60°:
- \(\sin 30° = \frac{1}{2}\)
- \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos 60° = \frac{1}{2}\)
Te wartości są podstawowymi wartościami funkcji trygonometrycznych, które należy znać na pamięć.
- \(\sin 30° = \frac{1}{2}\)
- \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos 60° = \frac{1}{2}\)
Te wartości są podstawowymi wartościami funkcji trygonometrycznych, które należy znać na pamięć.
Krok 2: Podstawienie wartości do wyrażenia
Podstawiamy znane wartości do danego wyrażenia:
\[\sin 30° \cdot \cos 60° + \sin 60° \cdot \cos 30°\]
\[= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[\sin 30° \cdot \cos 60° + \sin 60° \cdot \cos 30°\]
\[= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Krok 3: Wykonanie mnożenia
Wykonujemy mnożenie w obu składnikach sumy:
\[\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]
\[\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}\]
Zatem nasze wyrażenie przyjmuje postać:
\[\frac{1}{4} + \frac{3}{4}\]
\[\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]
\[\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}\]
Zatem nasze wyrażenie przyjmuje postać:
\[\frac{1}{4} + \frac{3}{4}\]
Krok 4: Dodanie ułamków
Dodajemy ułamki o tym samym mianowniku:
\[\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1\]
\[\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1\]
Krok 5: Uwaga dodatkowa - wzór na sinus sumy kątów
Warto zauważyć, że obliczone wyrażenie jest równe wzorowi na sinus sumy kątów:
\[\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta\]
W naszym przypadku:
\[\sin 30° \cdot \cos 60° + \sin 60° \cdot \cos 30° = \sin(30° + 60°) = \sin 90° = 1\]
To alternatywne podejście prowadzi do tego samego wyniku i pokazuje głębszą strukturę matematyczną zadania.
\[\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta\]
W naszym przypadku:
\[\sin 30° \cdot \cos 60° + \sin 60° \cdot \cos 30° = \sin(30° + 60°) = \sin 90° = 1\]
To alternatywne podejście prowadzi do tego samego wyniku i pokazuje głębszą strukturę matematyczną zadania.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 24
Punkty \(\ A\), \(\ B\), \(\ C\ \) oraz \(\ D\ \) leżą na okręgu o środku w punkcie \(\ S\ \) i o promieniu \(\ 36\).
Punkt \(\ S\ \) leży na odcinku \(\ BD\). Kąt \(\ BDA\ \) ma miarę \(\ 40\degree\), a kąt \(\ DBC\ \) ma miarę \(\ 65\degree\) (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego \(\ BSA\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Analiza danych i własności okręgu
Mamy okrąg o środku S i promieniu 36. Punkty A, B, C, D leżą na okręgu. Punkt S leży na odcinku BD, co oznacza, że BD jest średnicą okręgu (ponieważ przechodzi przez środek). Dane kąty: \(\angle BDA = 40\degree\) oraz \(\angle DBC = 65\degree\). Musimy znaleźć miarę kąta ostrego \(\angle BSA\).
Krok 2: Wykorzystanie własności kąta wpisanego w półokrąg
Ponieważ BD jest średnicą okręgu (S leży na BD), to każdy kąt wpisany oparty na tej średnicy jest kątem prostym. Zatem \(\angle BAD = 90\degree\) (kąt wpisany oparty na średnicy BD).
Krok 3: Obliczenie kąta ABD w trójkącie ABD
W trójkącie ABD znamy: \(\angle BAD = 90\degree\) oraz \(\angle BDA = 40\degree\). Suma kątów w trójkącie wynosi \(180\degree\), więc:
\[\angle ABD = 180\degree - 90\degree - 40\degree = 50\degree\]
\[\angle ABD = 180\degree - 90\degree - 40\degree = 50\degree\]
Krok 4: Obliczenie kąta ABC
Kąt ABC możemy rozłożyć na sumę kątów ABD i DBC:
\[\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 50\degree + 65\degree = 115\degree\]
\[\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 50\degree + 65\degree = 115\degree\]
Krok 5: Związek między kątem wpisanym a kątem środkowym
Kąt wpisany \(\angle ABC\) i kąt środkowy \(\angle ASC\) opierają się na tym samym łuku AC. Zgodnie z twierdzeniem o kącie środkowym i wpisanym: kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Zatem:
\[\angle ASC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 115\degree = 230\degree\]
\[\angle ASC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 115\degree = 230\degree\]
Krok 6: Uwaga o mierze kąta środkowego
Kąt \(\angle ASC = 230\degree\) to kąt wypukły. Kąt wklęsły (mierzony w drugą stronę) wynosi:
\[360\degree - 230\degree = 130\degree\]
Ale w kontekście kątów środkowych opartych na łukach, \(\angle ASC = 230\degree\) odpowiada łukowi większemu AC.
\[360\degree - 230\degree = 130\degree\]
Ale w kontekście kątów środkowych opartych na łukach, \(\angle ASC = 230\degree\) odpowiada łukowi większemu AC.
Krok 7: Obliczenie kąta ASD
Kąt wpisany \(\angle ABD = 50\degree\) opiera się na łuku AD. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku wynosi:
\[\angle ASD = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 50\degree = 100\degree\]
\[\angle ASD = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 50\degree = 100\degree\]
Krok 8: Wykorzystanie faktu, że S leży na BD
Ponieważ S leży na odcinku BD, punkty B, S, D są współliniowe. Zatem kąty \(\angle BSA\) i \(\angle ASD\) są kątami przyległymi na prostej BD (albo są tym samym kątem, w zależności od położenia punktu A). Ponieważ \(\angle ASD = 100\degree\), to kąt \(\angle BSA\) jako kąt po przeciwnej stronie punktu S na prostej BD wynosi:
\[\angle BSA = 180\degree - \angle ASD = 180\degree - 100\degree = 80\degree\]
\[\angle BSA = 180\degree - \angle ASD = 180\degree - 100\degree = 80\degree\]
Krok 9: Weryfikacja, że kąt jest ostry
Kąt \(80\degree\) jest kątem ostrym (mniejszym niż \(90\degree\)), co zgadza się z warunkiem zadania. Zatem miara kąta ostrego \(\angle BSA = 80\degree\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 25
Punkty \(\ A\), \(\ B\), \(\ C\ \) oraz \(\ D\ \) leżą na okręgu o środku w punkcie \(\ S\ \) i o promieniu \(\ 36\).
Punkt \(\ S\ \) leży na odcinku \(\ BD\). Kąt \(\ BDA\ \) ma miarę \(\ 40\degree\), a kąt \(\ DBC\ \) ma miarę \(\ 65\degree\) (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość łuku \(\ BC\), na którym jest oparty kąt wpisany \(\ CDB\), jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Analiza danych i przypomnienie twierdzenia o kącie wpisanym
Mamy okrąg o środku \(S\) i promieniu \(r = 36\). Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) leżą na okręgu, przy czym punkt \(S\) leży na odcinku \(BD\). Dane są kąty: \(\angle BDA = 40\degree\) oraz \(\angle DBC = 65\degree\). Przypomnijmy twierdzenie o kącie wpisanym: kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Krok 2: Ustalenie, że BD jest średnicą okręgu
Ponieważ punkt \(S\) (środek okręgu) leży na odcinku \(BD\), to oznacza, że \(BD\) jest średnicą okręgu. Długość średnicy wynosi \(2r = 2 \cdot 36 = 72\).
Krok 3: Wyznaczenie kąta środkowego BSC
Kąt wpisany \(\angle DBC\) jest oparty na łuku \(DC\). Zgodnie z twierdzeniem o kącie wpisanym, kąt środkowy \(\angle DSC\) oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy: \[\angle DSC = 2 \cdot \angle DBC = 2 \cdot 65\degree = 130\degree\]
Krok 4: Obliczenie kąta BSC
Ponieważ \(BD\) jest średnicą, punkty \(B\), \(S\) i \(D\) leżą na jednej prostej. Kąty \(\angle BSC\) i \(\angle DSC\) są kątami przyległymi, więc: \[\angle BSC + \angle DSC = 180\degree\] \[\angle BSC = 180\degree - 130\degree = 50\degree\]
Krok 5: Wyznaczenie kąta wpisanego CDB
Kąt wpisany \(\angle CDB\) jest oparty na łuku \(BC\). Kąt środkowy \(\angle BSC = 50\degree\) jest oparty na tym samym łuku \(BC\). Zgodnie z twierdzeniem o kącie wpisanym: \[\angle CDB = \frac{1}{2} \cdot \angle BSC = \frac{1}{2} \cdot 50\degree = 25\degree\] (To potwierdzenie, że nasze rozumowanie jest poprawne.)
Krok 6: Obliczenie długości łuku BC
Długość łuku okręgu wyznacza się ze wzoru: \[l = \frac{\alpha}{360\degree} \cdot 2\pi r\] gdzie \(\alpha\) to miara kąta środkowego (w stopniach), a \(r\) to promień okręgu. Dla łuku \(BC\) kąt środkowy wynosi \(\angle BSC = 50\degree\), więc: \[l_{BC} = \frac{50\degree}{360\degree} \cdot 2\pi \cdot 36 = \frac{50}{360} \cdot 72\pi = \frac{5}{36} \cdot 72\pi = 5 \cdot 2\pi = 10\pi\]
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 26
Dany jest trójkąt \(\ ABC\), w którym \(\ |AB| = 6\), \(\ |AC| = 4\ \) oraz \(\ |\measuredangle CAB| = 60\degree\) (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole trójkąta \(\ ABC\ \) jest równe
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Wybór wzoru na pole trójkąta
Gdy znamy długości dwóch boków trójkąta oraz miarę kąta między nimi, możemy użyć wzoru:
\[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\alpha\]
gdzie \(a\) i \(b\) to długości dwóch boków, a \(\alpha\) to kąt między nimi.
W naszym przypadku:
- \(a = |AB| = 6\)
- \(b = |AC| = 4\)
- \(\alpha = |\measuredangle CAB| = 60°\)
\[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\alpha\]
gdzie \(a\) i \(b\) to długości dwóch boków, a \(\alpha\) to kąt między nimi.
W naszym przypadku:
- \(a = |AB| = 6\)
- \(b = |AC| = 4\)
- \(\alpha = |\measuredangle CAB| = 60°\)
Krok 2: Podstawienie danych do wzoru
Podstawiamy znane wartości do wzoru na pole trójkąta:
\[P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin 60°\]
\[P = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \sin 60°\]
\[P = 12 \cdot \sin 60°\]
\[P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin 60°\]
\[P = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \sin 60°\]
\[P = 12 \cdot \sin 60°\]
Krok 3: Obliczenie wartości sinusa
Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów specjalnych wiemy, że:
\[\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Jest to jedna z podstawowych wartości, którą należy znać.
\[\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
Jest to jedna z podstawowych wartości, którą należy znać.
Krok 4: Obliczenie pola trójkąta
Podstawiamy wartość \(\sin 60°\) i wykonujemy obliczenia:
\[P = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[P = \frac{12\sqrt{3}}{2}\]
\[P = 6\sqrt{3}\]
Pole trójkąta \(ABC\) wynosi \(6\sqrt{3}\) jednostek kwadratowych.
\[P = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[P = \frac{12\sqrt{3}}{2}\]
\[P = 6\sqrt{3}\]
Pole trójkąta \(ABC\) wynosi \(6\sqrt{3}\) jednostek kwadratowych.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 27
Dany jest trójkąt \(\ ABC\), w którym \(\ |AB| = 6\), \(\ |AC| = 4\ \) oraz \(\ |\measuredangle CAB| = 60\degree\) (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku \(\ BC\ \) trójkąta \(\ ABC\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Identyfikacja danych i wybór odpowiedniego twierdzenia
Mamy dany trójkąt \(ABC\) z następującymi danymi:
- \(|AB| = 6\) (długość boku \(c\))
- \(|AC| = 4\) (długość boku \(b\))
- \(|\angle CAB| = 60°\) (kąt między bokami \(AB\) i \(AC\))
Znamy dwa boki trójkąta i kąt zawarty między nimi. Do obliczenia długości trzeciego boku \(BC\) (oznaczmy go jako \(a\)) zastosujemy twierdzenie cosinusów.
- \(|AB| = 6\) (długość boku \(c\))
- \(|AC| = 4\) (długość boku \(b\))
- \(|\angle CAB| = 60°\) (kąt między bokami \(AB\) i \(AC\))
Znamy dwa boki trójkąta i kąt zawarty między nimi. Do obliczenia długości trzeciego boku \(BC\) (oznaczmy go jako \(a\)) zastosujemy twierdzenie cosinusów.
Krok 2: Przypomnienie twierdzenia cosinusów
Twierdzenie cosinusów mówi, że w dowolnym trójkącie \(ABC\) zachodzi zależność:
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\]
gdzie:
- \(a\) to długość boku leżącego naprzeciwko kąta \(\alpha\)
- \(b\) i \(c\) to długości pozostałych dwóch boków
- \(\alpha\) to kąt zawarty między bokami \(b\) i \(c\)
W naszym przypadku: \(a = |BC|\), \(b = |AC| = 4\), \(c = |AB| = 6\), \(\alpha = \angle CAB = 60°\)
\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha\]
gdzie:
- \(a\) to długość boku leżącego naprzeciwko kąta \(\alpha\)
- \(b\) i \(c\) to długości pozostałych dwóch boków
- \(\alpha\) to kąt zawarty między bokami \(b\) i \(c\)
W naszym przypadku: \(a = |BC|\), \(b = |AC| = 4\), \(c = |AB| = 6\), \(\alpha = \angle CAB = 60°\)
Krok 3: Podstawienie danych do wzoru
Podstawiamy znane wartości do twierdzenia cosinusów:
\[|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |AB| \cdot \cos 60°\]
\[|BC|^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 60°\]
\[|BC|^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \cos 60°\]
\[|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |AB| \cdot \cos 60°\]
\[|BC|^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 60°\]
\[|BC|^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \cos 60°\]
Krok 4: Obliczenie wartości cosinusa
Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych wiemy, że:
\[\cos 60° = \frac{1}{2}\]
Podstawiamy tę wartość do naszego równania:
\[|BC|^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \frac{1}{2}\]
\[|BC|^2 = 52 - 24\]
\[|BC|^2 = 28\]
\[\cos 60° = \frac{1}{2}\]
Podstawiamy tę wartość do naszego równania:
\[|BC|^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \frac{1}{2}\]
\[|BC|^2 = 52 - 24\]
\[|BC|^2 = 28\]
Krok 5: Wyznaczenie długości boku BC
Aby wyznaczyć długość boku \(BC\), obliczamy pierwiastek kwadratowy z obu stron równania:
\[|BC| = \sqrt{28}\]
Ponieważ długość boku jest liczbą dodatnią, odrzucamy ujemne rozwiązanie równania kwadratowego.
Możemy także uprościć ten wynik:
\[|BC| = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}\]
Jednak odpowiedź \(\sqrt{28}\) jest już w postaci wymaganej przez zadanie.
\[|BC| = \sqrt{28}\]
Ponieważ długość boku jest liczbą dodatnią, odrzucamy ujemne rozwiązanie równania kwadratowego.
Możemy także uprościć ten wynik:
\[|BC| = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}\]
Jednak odpowiedź \(\sqrt{28}\) jest już w postaci wymaganej przez zadanie.
Krok 6: Weryfikacja odpowiedzi
Sprawdzamy, czy nasza odpowiedź zgadza się z podanymi opcjami:
- A) \(\sqrt{28}\) ✓ (to nasza odpowiedź)
- B) \(\sqrt{40}\)
- C) \(8\)
- D) \(\sqrt{76}\)
Odpowiedź A jest zaznaczona jako poprawna, co potwierdza nasze obliczenia.
- A) \(\sqrt{28}\) ✓ (to nasza odpowiedź)
- B) \(\sqrt{40}\)
- C) \(8\)
- D) \(\sqrt{76}\)
Odpowiedź A jest zaznaczona jako poprawna, co potwierdza nasze obliczenia.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 28
Dany jest trapez \(\ ABCD\ \) o podstawach \(\ AB\ \) i \(\ CD\ \) takich, że \(\ |AB| = 2 \cdot |CD|\).
Przekątne \(\ AC\ \) i \(\ BD\ \) przecinają się w punkcie \(\ E\ \) (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Pola trójkątów \(\ BCE\ \) oraz \(\ AED\ \) są równe.
Pole trójkąta \(\ ABE\ \) jest dwa razy większe od pola trójkąta \(\ CDE\).
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Analiza danych i własności trapezu
Mamy trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\), gdzie \(|AB| = 2 \cdot |CD|\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Dla ułatwienia oznaczymy \(|CD| = a\), więc \(|AB| = 2a\). Trapez ma podstawy równoległe: \(AB \parallel CD\).
Krok 2: Podobieństwo trójkątów \(CDE\) i \(ABE\)
Ponieważ \(AB \parallel CD\), trójkąty \(CDE\) i \(ABE\) są podobne (kąty odpowiadające są równe: \(\angle DCE = \angle BAE\) jako kąty naprzemianległe, \(\angle CDE = \angle ABE\) jako kąty naprzemianległe, \(\angle CED = \angle AEB\) jako kąty wierzchołkowe). Skala podobieństwa wynosi \(k = \frac{|AB|}{|CD|} = \frac{2a}{a} = 2\).
Krok 3: Stosunek pól trójkątów podobnych
Dla trójkątów podobnych ze skalą podobieństwa \(k = 2\), stosunek pól wynosi \(k^2 = 4\). Zatem:
\[P_{ABE} = 4 \cdot P_{CDE}\]
Oznaczmy \(P_{CDE} = S\), wtedy \(P_{ABE} = 4S\).
\[P_{ABE} = 4 \cdot P_{CDE}\]
Oznaczmy \(P_{CDE} = S\), wtedy \(P_{ABE} = 4S\).
Krok 4: Wyznaczenie długości odcinków na przekątnych
Z podobieństwa trójkątów \(CDE\) i \(ABE\) wynika, że:
\[\frac{|CE|}{|AE|} = \frac{|DE|}{|BE|} = \frac{|CD|}{|AB|} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\]
Zatem \(|CE| = \frac{1}{2}|AE|\) oraz \(|DE| = \frac{1}{2}|BE|\).
\[\frac{|CE|}{|AE|} = \frac{|DE|}{|BE|} = \frac{|CD|}{|AB|} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\]
Zatem \(|CE| = \frac{1}{2}|AE|\) oraz \(|DE| = \frac{1}{2}|BE|\).
Krok 5: Stosunek pól trójkątów \(BCE\) i \(ABE\)
Trójkąty \(BCE\) i \(ABE\) mają wspólną podstawę \(BE\). Ich wysokości opuszczone na tę podstawę są odległościami punktów \(C\) i \(A\) od prostej \(BE\). Ponieważ \(AB \parallel CD\), te wysokości są równe (są to odległości między równoległymi podstawami trapezu). Jednak lepszym podejściem jest zauważenie, że:
\[\frac{P_{BCE}}{P_{ABE}} = \frac{|CE|}{|AE|} = \frac{1}{2}\]
Ponieważ trójkąty te mają wspólny wierzchołek \(B\), a stosunek ich pól równa się stosunkowi odległości punktów \(C\) i \(A\) od punktu \(E\) wzdłuż przekątnej \(AC\). Zatem:
\[P_{BCE} = \frac{1}{2} \cdot P_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot 4S = 2S\]
\[\frac{P_{BCE}}{P_{ABE}} = \frac{|CE|}{|AE|} = \frac{1}{2}\]
Ponieważ trójkąty te mają wspólny wierzchołek \(B\), a stosunek ich pól równa się stosunkowi odległości punktów \(C\) i \(A\) od punktu \(E\) wzdłuż przekątnej \(AC\). Zatem:
\[P_{BCE} = \frac{1}{2} \cdot P_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot 4S = 2S\]
Krok 6: Stosunek pól trójkątów \(AED\) i \(ABD\)
Podobnie, trójkąty \(AED\) i \(BED\) mają wspólny wierzchołek \(D\). Ze stosunku \(|AE| = 2|CE|\) wynika, że:
\[\frac{P_{AED}}{P_{BED}} = \frac{|AE|}{|BE|}\]
Ale z podobieństwa wiemy, że \(|DE| = \frac{1}{2}|BE|\), więc \(|BE| = 2|DE|\). Trójkąty \(AED\) i \(ABE\) mają wspólną podstawę \(AE\), więc:
\[\frac{P_{AED}}{P_{ABE}} = \frac{|DE|}{|BE|} = \frac{1}{2}\]
Zatem:
\[P_{AED} = \frac{1}{2} \cdot 4S = 2S\]
\[\frac{P_{AED}}{P_{BED}} = \frac{|AE|}{|BE|}\]
Ale z podobieństwa wiemy, że \(|DE| = \frac{1}{2}|BE|\), więc \(|BE| = 2|DE|\). Trójkąty \(AED\) i \(ABE\) mają wspólną podstawę \(AE\), więc:
\[\frac{P_{AED}}{P_{ABE}} = \frac{|DE|}{|BE|} = \frac{1}{2}\]
Zatem:
\[P_{AED} = \frac{1}{2} \cdot 4S = 2S\]
Krok 7: Weryfikacja pierwszego stwierdzenia
Otrzymaliśmy:
- \(P_{BCE} = 2S\)
- \(P_{AED} = 2S\)
Zatem \(P_{BCE} = P_{AED}\), co oznacza, że pierwsze stwierdzenie jest PRAWDZIWE.
- \(P_{BCE} = 2S\)
- \(P_{AED} = 2S\)
Zatem \(P_{BCE} = P_{AED}\), co oznacza, że pierwsze stwierdzenie jest PRAWDZIWE.
Krok 8: Weryfikacja drugiego stwierdzenia
Sprawdzamy stosunek pól:
- \(P_{ABE} = 4S\)
- \(P_{CDE} = S\)
Stosunek wynosi:
\[\frac{P_{ABE}}{P_{CDE}} = \frac{4S}{S} = 4\]
Zatem pole trójkąta \(ABE\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \(CDE\), a nie dwa razy większe. Drugie stwierdzenie jest FAŁSZYWE.
- \(P_{ABE} = 4S\)
- \(P_{CDE} = S\)
Stosunek wynosi:
\[\frac{P_{ABE}}{P_{CDE}} = \frac{4S}{S} = 4\]
Zatem pole trójkąta \(ABE\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \(CDE\), a nie dwa razy większe. Drugie stwierdzenie jest FAŁSZYWE.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 29
W kartezjańskim układzie współrzędnych \(\ (x, y)\ \) proste \(\ k\ \) oraz \(\ l\ \) są określone równaniami
\(k\)\(:\ y = (3 - m)x + 5\)
\(l\)\(:\ y = (m + 3)x - 4\)
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Proste \(\ k\ \) oraz \(\ l\ \) są równoległe, gdy liczba \(\ m\ \) jest równa \(\ .........\) .
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Warunek równoległości prostych
Dwie proste w kartezjańskim układzie współrzędnych są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe (nachylenia). Dla prostych o równaniach w postaci kierunkowej:
\(y = a_1x + b_1\) i \(y = a_2x + b_2\)
proste są równoległe, gdy \(a_1 = a_2\) (przy czym \(b_1
eq b_2\) dla prostych różnych).
W naszym zadaniu:
- prosta \(k\): \(y = (3 - m)x + 5\), więc współczynnik kierunkowy \(a_k = 3 - m\)
- prosta \(l\): \(y = (m + 3)x - 4\), więc współczynnik kierunkowy \(a_l = m + 3\)
\(y = a_1x + b_1\) i \(y = a_2x + b_2\)
proste są równoległe, gdy \(a_1 = a_2\) (przy czym \(b_1
eq b_2\) dla prostych różnych).
W naszym zadaniu:
- prosta \(k\): \(y = (3 - m)x + 5\), więc współczynnik kierunkowy \(a_k = 3 - m\)
- prosta \(l\): \(y = (m + 3)x - 4\), więc współczynnik kierunkowy \(a_l = m + 3\)
Krok 2: Zapisanie warunku równoległości
Aby proste \(k\) i \(l\) były równoległe, muszą mieć równe współczynniki kierunkowe:
\[3 - m = m + 3\]
\[3 - m = m + 3\]
Krok 3: Rozwiązanie równania
Rozwiązujemy równanie \(3 - m = m + 3\):
\[3 - m = m + 3\]
\[3 - 3 = m + m\]
\[0 = 2m\]
\[m = 0\]
\[3 - m = m + 3\]
\[3 - 3 = m + m\]
\[0 = 2m\]
\[m = 0\]
Krok 4: Sprawdzenie warunku
Sprawdźmy, czy dla \(m = 0\) proste są rzeczywiście równoległe i różne:
- Dla \(m = 0\): prosta \(k\): \(y = (3 - 0)x + 5 = 3x + 5\)
- Dla \(m = 0\): prosta \(l\): \(y = (0 + 3)x - 4 = 3x - 4\)
Obie proste mają współczynnik kierunkowy równy \(3\), ale różne wyrazy wolne (\(5
eq -4\)), więc są równoległe i różne. Warunek jest spełniony.
- Dla \(m = 0\): prosta \(k\): \(y = (3 - 0)x + 5 = 3x + 5\)
- Dla \(m = 0\): prosta \(l\): \(y = (0 + 3)x - 4 = 3x - 4\)
Obie proste mają współczynnik kierunkowy równy \(3\), ale różne wyrazy wolne (\(5
eq -4\)), więc są równoległe i różne. Warunek jest spełniony.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 30
W kartezjańskim układzie współrzędnych \(\ (x, y)\ \) dany jest okrąg \(\ \mathcal{O}\ \) o równaniu
\(\mathcal{O}\)\(:\ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4\)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Okrąg \(\ \mathcal{O}\ \) nie ma punktów wspólnych z osią \(\ Ox\ \) układu współrzędnych.
Okrąg \(\ \mathcal{O}\ \) ma z osią \(\ Oy\ \) układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Odczytanie parametrów okręgu z równania
Dane równanie okręgu ma postać: \((x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4\)
Równanie to jest zapisane w postaci kanonicznej okręgu: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), gdzie:
- \((a, b)\) to współrzędne środka okręgu
- \(r\) to promień okręgu
Z porównania otrzymujemy:
- środek okręgu: \(S = (1, -3)\)
- promień: \(r^2 = 4\), czyli \(r = 2\)
Równanie to jest zapisane w postaci kanonicznej okręgu: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), gdzie:
- \((a, b)\) to współrzędne środka okręgu
- \(r\) to promień okręgu
Z porównania otrzymujemy:
- środek okręgu: \(S = (1, -3)\)
- promień: \(r^2 = 4\), czyli \(r = 2\)
Krok 2: Sprawdzenie punktów wspólnych z osią Ox
Oś \(Ox\) to zbiór punktów o współrzędnych \((x, 0)\), czyli punktów, dla których \(y = 0\).
Podstawiamy \(y = 0\) do równania okręgu:
\[(x - 1)^2 + (0 + 3)^2 = 4\]
\[(x - 1)^2 + 9 = 4\]
\[(x - 1)^2 = 4 - 9\]
\[(x - 1)^2 = -5\]
Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej nie może być liczbą ujemną, równanie to nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Wniosek: Okrąg \(\mathcal{O}\) nie ma punktów wspólnych z osią \(Ox\).
Podstawiamy \(y = 0\) do równania okręgu:
\[(x - 1)^2 + (0 + 3)^2 = 4\]
\[(x - 1)^2 + 9 = 4\]
\[(x - 1)^2 = 4 - 9\]
\[(x - 1)^2 = -5\]
Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej nie może być liczbą ujemną, równanie to nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Wniosek: Okrąg \(\mathcal{O}\) nie ma punktów wspólnych z osią \(Ox\).
Krok 3: Interpretacja geometryczna braku punktów wspólnych z osią Ox
Środek okręgu znajduje się w punkcie \(S = (1, -3)\), czyli 3 jednostki poniżej osi \(Ox\).
Promień okręgu wynosi \(r = 2\).
Odległość środka okręgu od osi \(Ox\) wynosi \(|y_S| = |-3| = 3\).
Ponieważ odległość środka od osi \(Ox\) (równa 3) jest większa od promienia (równego 2), okrąg nie sięga osi \(Ox\). Potwierdza to nasze obliczenia algebraiczne.
Pierwsze stwierdzenie jest PRAWDZIWE.
Promień okręgu wynosi \(r = 2\).
Odległość środka okręgu od osi \(Ox\) wynosi \(|y_S| = |-3| = 3\).
Ponieważ odległość środka od osi \(Ox\) (równa 3) jest większa od promienia (równego 2), okrąg nie sięga osi \(Ox\). Potwierdza to nasze obliczenia algebraiczne.
Pierwsze stwierdzenie jest PRAWDZIWE.
Krok 4: Sprawdzenie punktów wspólnych z osią Oy
Oś \(Oy\) to zbiór punktów o współrzędnych \((0, y)\), czyli punktów, dla których \(x = 0\).
Podstawiamy \(x = 0\) do równania okręgu:
\[(0 - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4\]
\[1 + (y + 3)^2 = 4\]
\[(y + 3)^2 = 3\]
Równanie ma rozwiązania, ponieważ prawa strona jest dodatnia:
\[y + 3 = \sqrt{3} \quad \text{lub} \quad y + 3 = -\sqrt{3}\]
\[y = -3 + \sqrt{3} \quad \text{lub} \quad y = -3 - \sqrt{3}\]
Podstawiamy \(x = 0\) do równania okręgu:
\[(0 - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4\]
\[1 + (y + 3)^2 = 4\]
\[(y + 3)^2 = 3\]
Równanie ma rozwiązania, ponieważ prawa strona jest dodatnia:
\[y + 3 = \sqrt{3} \quad \text{lub} \quad y + 3 = -\sqrt{3}\]
\[y = -3 + \sqrt{3} \quad \text{lub} \quad y = -3 - \sqrt{3}\]
Krok 5: Analiza liczby punktów wspólnych z osią Oy
Otrzymaliśmy dwa różne rozwiązania:
- \(y_1 = -3 + \sqrt{3} \approx -3 + 1,73 \approx -1,27\)
- \(y_2 = -3 - \sqrt{3} \approx -3 - 1,73 \approx -4,73\)
Oznacza to, że okrąg \(\mathcal{O}\) przecina oś \(Oy\) w dwóch punktach:
- \(P_1 = (0, -3 + \sqrt{3})\)
- \(P_2 = (0, -3 - \sqrt{3})\)
Wniosek: Okrąg \(\mathcal{O}\) ma z osią \(Oy\) dokładnie dwa punkty wspólne.
- \(y_1 = -3 + \sqrt{3} \approx -3 + 1,73 \approx -1,27\)
- \(y_2 = -3 - \sqrt{3} \approx -3 - 1,73 \approx -4,73\)
Oznacza to, że okrąg \(\mathcal{O}\) przecina oś \(Oy\) w dwóch punktach:
- \(P_1 = (0, -3 + \sqrt{3})\)
- \(P_2 = (0, -3 - \sqrt{3})\)
Wniosek: Okrąg \(\mathcal{O}\) ma z osią \(Oy\) dokładnie dwa punkty wspólne.
Krok 6: Interpretacja geometryczna punktów wspólnych z osią Oy
Środek okręgu ma współrzędną \(x_S = 1\), więc znajduje się w odległości 1 jednostki od osi \(Oy\).
Promień okręgu wynosi \(r = 2\).
Ponieważ odległość środka od osi \(Oy\) (równa 1) jest mniejsza od promienia (równego 2), okrąg przecina oś \(Oy\) w dwóch punktach. Potwierdza to nasze obliczenia algebraiczne.
Drugie stwierdzenie jest PRAWDZIWE.
Promień okręgu wynosi \(r = 2\).
Ponieważ odległość środka od osi \(Oy\) (równa 1) jest mniejsza od promienia (równego 2), okrąg przecina oś \(Oy\) w dwóch punktach. Potwierdza to nasze obliczenia algebraiczne.
Drugie stwierdzenie jest PRAWDZIWE.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 31
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(\ ABCDEF\). Wysokość podstawy \(\ ABC\ \) jest równa \(\ 2\sqrt{3}\). Przekątna \(\ AE\ \) ściany bocznej \(\ ABED\ \) tworzy z krawędzią \(\ AB\ \) kąt o mierze \(\ 60\degree\) (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Analiza danych i oznaczenia
Mamy graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF, gdzie:
- ABC to podstawa dolna (trójkąt równoboczny)
- DEF to podstawa górna (trójkąt równoboczny)
- Wysokość podstawy ABC wynosi \(h_{ABC} = 2\sqrt{3}\)
- Przekątna AE ściany bocznej ABED tworzy z krawędzią AB kąt \(60°\)
Przypomnienie: W trójkącie równobocznym o boku \(a\), wysokość wynosi \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
- ABC to podstawa dolna (trójkąt równoboczny)
- DEF to podstawa górna (trójkąt równoboczny)
- Wysokość podstawy ABC wynosi \(h_{ABC} = 2\sqrt{3}\)
- Przekątna AE ściany bocznej ABED tworzy z krawędzią AB kąt \(60°\)
Przypomnienie: W trójkącie równobocznym o boku \(a\), wysokość wynosi \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Krok 2: Wyznaczenie długości krawędzi podstawy
Podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o wysokości \(2\sqrt{3}\). Oznaczmy długość krawędzi podstawy jako \(a\).
Z wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
Podstawiamy \(h = 2\sqrt{3}\):
\[2\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
Mnożymy obie strony przez 2:
\[4\sqrt{3} = a\sqrt{3}\]
Dzielimy przez \(\sqrt{3}\):
\[a = 4\]
Długość krawędzi podstawy wynosi \(a = 4\).
Z wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
Podstawiamy \(h = 2\sqrt{3}\):
\[2\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
Mnożymy obie strony przez 2:
\[4\sqrt{3} = a\sqrt{3}\]
Dzielimy przez \(\sqrt{3}\):
\[a = 4\]
Długość krawędzi podstawy wynosi \(a = 4\).
Krok 3: Analiza kąta między przekątną AE a krawędzią AB
W graniastosłupie prawidłowym:
- Krawędzie boczne (AD, BE, CF) są prostopadłe do podstaw
- Ściana boczna ABED jest prostokątem
- AB jest krawędzią podstawy (długość 4)
- AD jest krawędzią boczną (wysokość graniastosłupa, oznaczmy ją jako \(H\))
- AE jest przekątną prostokąta ABED
W prostokącie ABED:
- \(AB = 4\)
- \(AD = H\)
- \(AE = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{16 + H^2}\)
Kąt \(\angle BAE = 60°\) (kąt między przekątną AE a krawędzią AB).
- Krawędzie boczne (AD, BE, CF) są prostopadłe do podstaw
- Ściana boczna ABED jest prostokątem
- AB jest krawędzią podstawy (długość 4)
- AD jest krawędzią boczną (wysokość graniastosłupa, oznaczmy ją jako \(H\))
- AE jest przekątną prostokąta ABED
W prostokącie ABED:
- \(AB = 4\)
- \(AD = H\)
- \(AE = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{16 + H^2}\)
Kąt \(\angle BAE = 60°\) (kąt między przekątną AE a krawędzią AB).
Krok 4: Wyznaczenie wysokości graniastosłupa
W trójkącie prostokątnym ADE (prostokąt ABED, kąt prosty przy D):
- Kąt przy wierzchołku A między AB i AE wynosi \(60°\)
- AD jest prostopadłe do AB
W prostokącie ABED rozpatrujemy trójkąt ABE:
\[\tan(\angle BAE) = \frac{BE}{AB}\]
Ponieważ BE = AD = H (krawędzie boczne graniastosłupa):
\[\tan(60°) = \frac{H}{4}\]
Wiemy, że \(\tan(60°) = \sqrt{3}\):
\[\sqrt{3} = \frac{H}{4}\]
\[H = 4\sqrt{3}\]
Wysokość graniastosłupa wynosi \(H = 4\sqrt{3}\).
- Kąt przy wierzchołku A między AB i AE wynosi \(60°\)
- AD jest prostopadłe do AB
W prostokącie ABED rozpatrujemy trójkąt ABE:
\[\tan(\angle BAE) = \frac{BE}{AB}\]
Ponieważ BE = AD = H (krawędzie boczne graniastosłupa):
\[\tan(60°) = \frac{H}{4}\]
Wiemy, że \(\tan(60°) = \sqrt{3}\):
\[\sqrt{3} = \frac{H}{4}\]
\[H = 4\sqrt{3}\]
Wysokość graniastosłupa wynosi \(H = 4\sqrt{3}\).
Krok 5: Obliczenie objętości graniastosłupa
Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru:
\[V = P_{podstawy} \cdot H\]
Pole trójkąta równobocznego o boku \(a = 4\):
\[P_{podstawy} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\]
Objętość:
\[V = 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 16 \cdot 3 = 48\]
Objętość graniastosłupa wynosi \(V = 48\).
\[V = P_{podstawy} \cdot H\]
Pole trójkąta równobocznego o boku \(a = 4\):
\[P_{podstawy} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\]
Objętość:
\[V = 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 16 \cdot 3 = 48\]
Objętość graniastosłupa wynosi \(V = 48\).
Krok 6: Obliczenie pola powierzchni całkowitej
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
\[P_c = 2P_{podstawy} + P_{boczne}\]
Pole dwóch podstaw:
\[2P_{podstawy} = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\]
Pole powierzchni bocznej (3 prostokąty o wymiarach \(a \times H\)):
\[P_{boczne} = 3 \cdot a \cdot H = 3 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}\]
Pole całkowite:
\[P_c = 8\sqrt{3} + 48\sqrt{3} = 56\sqrt{3}\]
Pole powierzchni całkowitej wynosi \(P_c = 56\sqrt{3}\).
\[P_c = 2P_{podstawy} + P_{boczne}\]
Pole dwóch podstaw:
\[2P_{podstawy} = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\]
Pole powierzchni bocznej (3 prostokąty o wymiarach \(a \times H\)):
\[P_{boczne} = 3 \cdot a \cdot H = 3 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}\]
Pole całkowite:
\[P_c = 8\sqrt{3} + 48\sqrt{3} = 56\sqrt{3}\]
Pole powierzchni całkowitej wynosi \(P_c = 56\sqrt{3}\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 32
Objętość walca o promieniu podstawy \(\ 2\ \) jest równa \(\ 16\pi^2\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wysokość tego walca jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapisanie wzoru na objętość walca
Objętość walca obliczamy ze wzoru:
\[V = \pi r^2 \cdot h\]
gdzie:
- \(V\) to objętość walca,
- \(r\) to promień podstawy walca,
- \(h\) to wysokość walca.
\[V = \pi r^2 \cdot h\]
gdzie:
- \(V\) to objętość walca,
- \(r\) to promień podstawy walca,
- \(h\) to wysokość walca.
Krok 2: Podstawienie znanych wartości
Z treści zadania wiemy, że:
- promień podstawy \(r = 2\),
- objętość \(V = 16\pi^2\).
Podstawiamy te wartości do wzoru:
\[16\pi^2 = \pi \cdot 2^2 \cdot h\]
- promień podstawy \(r = 2\),
- objętość \(V = 16\pi^2\).
Podstawiamy te wartości do wzoru:
\[16\pi^2 = \pi \cdot 2^2 \cdot h\]
Krok 3: Uproszczenie równania
Obliczamy \(2^2 = 4\) i podstawiamy:
\[16\pi^2 = \pi \cdot 4 \cdot h\]
\[16\pi^2 = 4\pi h\]
\[16\pi^2 = \pi \cdot 4 \cdot h\]
\[16\pi^2 = 4\pi h\]
Krok 4: Rozwiązanie równania względem wysokości h
Aby wyznaczyć wysokość \(h\), dzielimy obie strony równania przez \(4\pi\):
\[h = \frac{16\pi^2}{4\pi}\]
Upraszczamy ułamek:
\[h = \frac{16\pi^2}{4\pi} = \frac{16}{4} \cdot \frac{\pi^2}{\pi} = 4 \cdot \pi = 4\pi\]
\[h = \frac{16\pi^2}{4\pi}\]
Upraszczamy ułamek:
\[h = \frac{16\pi^2}{4\pi} = \frac{16}{4} \cdot \frac{\pi^2}{\pi} = 4 \cdot \pi = 4\pi\]
Krok 5: Sprawdzenie wyniku
Sprawdźmy poprawność obliczenia podstawiając \(h = 4\pi\) do wzoru na objętość:
\[V = \pi \cdot 2^2 \cdot 4\pi = \pi \cdot 4 \cdot 4\pi = 16\pi^2\]
Otrzymaliśmy objętość podaną w zadaniu, co potwierdza poprawność rozwiązania.
\[V = \pi \cdot 2^2 \cdot 4\pi = \pi \cdot 4 \cdot 4\pi = 16\pi^2\]
Otrzymaliśmy objętość podaną w zadaniu, co potwierdza poprawność rozwiązania.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 33
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od \(\ 500\), w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Identyfikacja cyfr nieparzystych
Cyfry nieparzyste to: 1, 3, 5, 7, 9. Szukamy trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 500, w których zapisie dziesiętnym występują tylko te cyfry.
Krok 2: Analiza warunków dla cyfry setek
Liczba trzycyfrowa ma postać \(abc\), gdzie \(a\) to cyfra setek, \(b\) to cyfra dziesiątek, \(c\) to cyfra jedności. Warunki:
- Liczba musi być większa od 500, więc \(a \geq 5\)
- Cyfra \(a\) musi być nieparzysta
Z cyfr nieparzystych (1, 3, 5, 7, 9) tylko cyfry 5, 7, 9 spełniają warunek \(a \geq 5\).
Więc cyfra setek może przyjąć 3 wartości: \(a \in \{5, 7, 9\}\)
- Liczba musi być większa od 500, więc \(a \geq 5\)
- Cyfra \(a\) musi być nieparzysta
Z cyfr nieparzystych (1, 3, 5, 7, 9) tylko cyfry 5, 7, 9 spełniają warunek \(a \geq 5\).
Więc cyfra setek może przyjąć 3 wartości: \(a \in \{5, 7, 9\}\)
Krok 3: Analiza warunków dla cyfry dziesiątek
Cyfra dziesiątek \(b\) musi być nieparzysta. Może to być dowolna cyfra nieparzysta: 1, 3, 5, 7, 9.
Więc cyfra dziesiątek może przyjąć 5 wartości: \(b \in \{1, 3, 5, 7, 9\}\)
Więc cyfra dziesiątek może przyjąć 5 wartości: \(b \in \{1, 3, 5, 7, 9\}\)
Krok 4: Analiza warunków dla cyfry jedności
Cyfra jedności \(c\) również musi być nieparzysta. Może to być dowolna cyfra nieparzysta: 1, 3, 5, 7, 9.
Więc cyfra jedności może przyjąć 5 wartości: \(c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}\)
Więc cyfra jedności może przyjąć 5 wartości: \(c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}\)
Krok 5: Zastosowanie reguły mnożenia
Zgodnie z regułą mnożenia w kombinatoryce, jeśli wybór cyfry setek można wykonać na 3 sposoby, wybór cyfry dziesiątek na 5 sposobów, a wybór cyfry jedności na 5 sposobów, to całkowita liczba możliwych liczb wynosi:
\[3 \cdot 5 \cdot 5 = 75\]
\[3 \cdot 5 \cdot 5 = 75\]
Krok 6: Weryfikacja wyniku
Sprawdzamy poprawność:
- Najmniejsza taka liczba: 511 (5 - setek, 1 - dziesiątek, 1 - jedności)
- Największa taka liczba: 999 (9 - setek, 9 - dziesiątek, 9 - jedności)
- Wszystkie te liczby są większe od 500 i zawierają tylko cyfry nieparzyste
Odpowiedź: 75 liczb, co odpowiada opcji C.
- Najmniejsza taka liczba: 511 (5 - setek, 1 - dziesiątek, 1 - jedności)
- Największa taka liczba: 999 (9 - setek, 9 - dziesiątek, 9 - jedności)
- Wszystkie te liczby są większe od 500 i zawierają tylko cyfry nieparzyste
Odpowiedź: 75 liczb, co odpowiada opcji C.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 34
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.
Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(\ A\ \) polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez \(\ 3\). Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zrozumienie doświadczenia losowego
Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką sześcienną. Pierwsza wyrzucona liczba oczek staje się cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności liczby dwucyfrowej. Na przykład: jeśli wyrzucimy 3, a potem 5, to otrzymamy liczbę 35. Wszystkie możliwe wyniki to liczby od 11 do 66, przy czym obie cyfry muszą być z zakresu od 1 do 6.
Krok 2: Określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych
Przestrzeń wszystkich możliwych wyników Ω składa się z par (i, j), gdzie i to wynik pierwszego rzutu (cyfra dziesiątek), a j to wynik drugiego rzutu (cyfra jedności). Ponieważ każdy rzut może dać wynik od 1 do 6, mamy:
\(|\Omega| = 6 \times 6 = 36\)
Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, każde z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{36}\).
\(|\Omega| = 6 \times 6 = 36\)
Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, każde z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{36}\).
Krok 3: Analiza polecenia zadania
Chociaż treść zadania nie zawiera jawnego polecenia (jest napisane "undefined"), z podanej poprawnej odpowiedzi \(P(A) = \frac{1}{6}\) możemy wywnioskować, że zadanie dotyczy obliczenia prawdopodobieństwa pewnego zdarzenia A. Typowe pytania w tego typu zadaniach dotyczą:
- prawdopodobieństwa otrzymania liczby podzielnej przez pewną liczbę,
- prawdopodobieństwa, że cyfry są równe,
- prawdopodobieństwa spełnienia pewnego warunku.
Prawdopodobieństwo \(\frac{1}{6}\) sugeruje, że zdarzenie A zawiera \(\frac{36}{6} = 6\) korzystnych zdarzeń elementarnych.
- prawdopodobieństwa otrzymania liczby podzielnej przez pewną liczbę,
- prawdopodobieństwa, że cyfry są równe,
- prawdopodobieństwa spełnienia pewnego warunku.
Prawdopodobieństwo \(\frac{1}{6}\) sugeruje, że zdarzenie A zawiera \(\frac{36}{6} = 6\) korzystnych zdarzeń elementarnych.
Krok 4: Identyfikacja zdarzenia A
Najbardziej prawdopodobnym pytaniem, które daje odpowiedź \(P(A) = \frac{1}{6}\), jest: "Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie cyfry są takie same?" (czyli otrzymamy liczbę z powtarzającymi się cyframi: 11, 22, 33, 44, 55, 66).
Zdarzenie A = {otrzymanie liczby o równych cyfrach} = {11, 22, 33, 44, 55, 66}
Liczba korzystnych zdarzeń: \(|A| = 6\)
Zdarzenie A = {otrzymanie liczby o równych cyfrach} = {11, 22, 33, 44, 55, 66}
Liczba korzystnych zdarzeń: \(|A| = 6\)
Krok 5: Obliczenie prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczamy według klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
\[P(A) = \frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich możliwych zdarzeń}} = \frac{|A|}{|\Omega|}\]
\[P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\]
\[P(A) = \frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich możliwych zdarzeń}} = \frac{|A|}{|\Omega|}\]
\[P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\]
Krok 6: Weryfikacja wyniku
Otrzymany wynik \(P(A) = \frac{1}{6}\) jest zgodny z podaną poprawną odpowiedzią. Ma to sens intuicyjny: po pierwszym rzucie otrzymujemy pewną liczbę oczek (dowolną od 1 do 6). Aby otrzymać liczbę o równych cyfrach, w drugim rzucie musimy wyrzucić dokładnie tę samą liczbę oczek. Prawdopodobieństwo tego wynosi \(\frac{1}{6}\), co potwierdza nasze obliczenia.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 35
W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu \(2025\) roku.
Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie.
Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.
Kliknij, aby powiększyć
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
\(\mathbf{1}\). \(\ \) Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa \(\ ............\) .
\(\mathbf{2}\). \(\ \) Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa \(\ ............\) .
\(\mathbf{3}\). \(\ \) Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi \(\ ............\ \) procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Odczytanie danych z diagramu
Z diagramu odczytujemy liczbę samochodów dla każdej liczby wykrytych usterek:
- 0 usterek: 5 samochodów
- 1 usterka: 20 samochodów
- 2 usterki: 10 samochodów
- 3 usterki: 8 samochodów
- 4 usterki: 5 samochodów
- 5 usterek: 2 samochody
Łączna liczba samochodów: \(5 + 20 + 10 + 8 + 5 + 2 = 50\) samochodów.
- 0 usterek: 5 samochodów
- 1 usterka: 20 samochodów
- 2 usterki: 10 samochodów
- 3 usterki: 8 samochodów
- 4 usterki: 5 samochodów
- 5 usterek: 2 samochody
Łączna liczba samochodów: \(5 + 20 + 10 + 8 + 5 + 2 = 50\) samochodów.
Krok 2: Obliczenie dominanty (zadanie 1)
Dominanta to wartość, która występuje najczęściej w zbiorze danych. Szukamy liczby usterek, dla której liczba samochodów jest największa.
Z odczytanych danych widzimy, że:
- Największa liczba samochodów to 20
- Odpowiada ona 1 usterce
Dlatego dominanta = 1.
Z odczytanych danych widzimy, że:
- Największa liczba samochodów to 20
- Odpowiada ona 1 usterce
Dlatego dominanta = 1.
Krok 3: Obliczenie średniej arytmetycznej (zadanie 2)
Średnia arytmetyczna obliczamy ze wzoru:
\[
\bar{x} = \frac{\text{suma wszystkich usterek}}{\text{liczba samochodów}}
\]
Obliczamy sumę wszystkich usterek:
\[
0 \cdot 5 + 1 \cdot 20 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 2
\]
\[
= 0 + 20 + 20 + 24 + 20 + 10 = 100
\]
Średnia arytmetyczna:
\[
\bar{x} = \frac{100}{50} = 2
\]
\[
\bar{x} = \frac{\text{suma wszystkich usterek}}{\text{liczba samochodów}}
\]
Obliczamy sumę wszystkich usterek:
\[
0 \cdot 5 + 1 \cdot 20 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 2
\]
\[
= 0 + 20 + 20 + 24 + 20 + 10 = 100
\]
Średnia arytmetyczna:
\[
\bar{x} = \frac{100}{50} = 2
\]
Krok 4: Liczba samochodów z co najmniej dwiema usterkami (zadanie 3)
Samochody z co najmniej dwiema usterkami to te, które miały 2, 3, 4 lub 5 usterek:
\[
10 + 8 + 5 + 2 = 25 \text{ samochodów}
\]
Samochody z dokładnie jedną usterką: 20 samochodów.
\[
10 + 8 + 5 + 2 = 25 \text{ samochodów}
\]
Samochody z dokładnie jedną usterką: 20 samochodów.
Krok 5: Obliczenie procentu (zadanie 3)
Obliczamy, jaki procent stanowi 25 samochodów (z co najmniej dwiema usterkami) w stosunku do 20 samochodów (z dokładnie jedną usterką):
\[
\frac{25}{20} \cdot 100\% = 1,25 \cdot 100\% = 125\%
\]
Odpowiedź: 125 procent.
\[
\frac{25}{20} \cdot 100\% = 1,25 \cdot 100\% = 125\%
\]
Odpowiedź: 125 procent.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 36
Hotel ma do dyspozycji gości \(\ 80\ \) pokoi jednoosobowych.
Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:
\(\ \bullet\ \) przy wyjściowej cenie wynoszącej \(\ 120\ \) zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
\(\ \bullet\ \) każdy wzrost ceny za dobę hotelową o \(\ 5\ \) zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o \(\ 1\).
Przyjmijmy, że dobowy przychód \(\ P\ \) hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o \(\ 5x\ \) złotych, opisuje funkcja
\(P(x) = (80 - x)(120 + 5x)\)
gdzie \(\ x\ \) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(\ x \ge 0\ \) i \(\ x \le 80\).
Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zrozumienie problemu i funkcji przychodu
Mamy funkcję przychodu \(P(x) = (80 - x)(120 + 5x)\), gdzie:
- \(x\) to liczba podwyżek po 5 zł (liczba całkowita, \(x \ge 0\) i \(x \le 80\))
- \(80 - x\) to liczba wynajętych pokoi (przy każdej podwyżce o 5 zł tracimy 1 pokój)
- \(120 + 5x\) to cena za dobę (cena wyjściowa 120 zł plus podwyżka \(5x\) zł)
Naszym celem jest znalezienie takiej wartości \(x\), dla której przychód \(P(x)\) będzie maksymalny. Ponieważ odpowiedź to 260 zł, prawdopodobnie szukamy ceny, przy której przychód jest maksymalny.
- \(x\) to liczba podwyżek po 5 zł (liczba całkowita, \(x \ge 0\) i \(x \le 80\))
- \(80 - x\) to liczba wynajętych pokoi (przy każdej podwyżce o 5 zł tracimy 1 pokój)
- \(120 + 5x\) to cena za dobę (cena wyjściowa 120 zł plus podwyżka \(5x\) zł)
Naszym celem jest znalezienie takiej wartości \(x\), dla której przychód \(P(x)\) będzie maksymalny. Ponieważ odpowiedź to 260 zł, prawdopodobnie szukamy ceny, przy której przychód jest maksymalny.
Krok 2: Rozwinięcie funkcji przychodu
Przekształćmy funkcję \(P(x)\) do postaci kanonicznej:
\[P(x) = (80 - x)(120 + 5x)\]
Mnożymy wyrażenia:
\[P(x) = 80 \cdot 120 + 80 \cdot 5x - x \cdot 120 - x \cdot 5x\]
\[P(x) = 9600 + 400x - 120x - 5x^2\]
\[P(x) = -5x^2 + 280x + 9600\]
Otrzymaliśmy funkcję kwadratową postaci \(P(x) = -5x^2 + 280x + 9600\), gdzie \(a = -5\), \(b = 280\), \(c = 9600\).
\[P(x) = (80 - x)(120 + 5x)\]
Mnożymy wyrażenia:
\[P(x) = 80 \cdot 120 + 80 \cdot 5x - x \cdot 120 - x \cdot 5x\]
\[P(x) = 9600 + 400x - 120x - 5x^2\]
\[P(x) = -5x^2 + 280x + 9600\]
Otrzymaliśmy funkcję kwadratową postaci \(P(x) = -5x^2 + 280x + 9600\), gdzie \(a = -5\), \(b = 280\), \(c = 9600\).
Krok 3: Wyznaczenie wierzchołka paraboli
Ponieważ współczynnik \(a = -5 < 0\), parabola ma ramiona skierowane w dół, więc funkcja osiąga maksimum w wierzchołku.
Współrzędna \(x\) wierzchołka paraboli wyznaczamy ze wzoru:
\[x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{280}{2 \cdot (-5)} = -\frac{280}{-10} = 28\]
Sprawdzamy, czy \(x_w = 28\) spełnia warunki dziedziny: \(0 \le 28 \le 80\) - TAK.
Więc maksymalny przychód osiągamy dla \(x = 28\).
Współrzędna \(x\) wierzchołka paraboli wyznaczamy ze wzoru:
\[x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{280}{2 \cdot (-5)} = -\frac{280}{-10} = 28\]
Sprawdzamy, czy \(x_w = 28\) spełnia warunki dziedziny: \(0 \le 28 \le 80\) - TAK.
Więc maksymalny przychód osiągamy dla \(x = 28\).
Krok 4: Obliczenie maksymalnego przychodu
Podstawiamy \(x = 28\) do funkcji przychodu:
\[P(28) = -5 \cdot 28^2 + 280 \cdot 28 + 9600\]
\[P(28) = -5 \cdot 784 + 7840 + 9600\]
\[P(28) = -3920 + 7840 + 9600\]
\[P(28) = 13520\]
Maksymalny przychód wynosi 13520 zł.
\[P(28) = -5 \cdot 28^2 + 280 \cdot 28 + 9600\]
\[P(28) = -5 \cdot 784 + 7840 + 9600\]
\[P(28) = -3920 + 7840 + 9600\]
\[P(28) = 13520\]
Maksymalny przychód wynosi 13520 zł.
Krok 5: Wyznaczenie optymalnej ceny za dobę
Skoro maksymalny przychód osiągamy przy \(x = 28\), obliczamy cenę za dobę:
\[\text{Cena} = 120 + 5x = 120 + 5 \cdot 28 = 120 + 140 = 260 \text{ zł}\]
Przy tej cenie liczba wynajętych pokoi wynosi:
\[\text{Liczba pokoi} = 80 - x = 80 - 28 = 52\]
Weryfikacja: \(52 \cdot 260 = 13520\) zł ✓
\[\text{Cena} = 120 + 5x = 120 + 5 \cdot 28 = 120 + 140 = 260 \text{ zł}\]
Przy tej cenie liczba wynajętych pokoi wynosi:
\[\text{Liczba pokoi} = 80 - x = 80 - 28 = 52\]
Weryfikacja: \(52 \cdot 260 = 13520\) zł ✓
Krok 6: Odpowiedź na pytanie zadania
Zadanie prawdopodobnie pyta o optymalną cenę za dobę hotelową, przy której przychód hotelu jest maksymalny. Na podstawie naszych obliczeń wynika, że jest to cena wynosząca 260 zł za dobę.
Ta cena odpowiada podwyżce o \(5 \cdot 28 = 140\) zł w stosunku do ceny wyjściowej (120 zł), co skutkuje wynajęciem 52 pokoi i maksymalnym przychódem 13520 zł.
Ta cena odpowiada podwyżce o \(5 \cdot 28 = 140\) zł w stosunku do ceny wyjściowej (120 zł), co skutkuje wynajęciem 52 pokoi i maksymalnym przychódem 13520 zł.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
odpowiedzi
![Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 12: Zadanie 12.2 (0–2 pkt): określenie zbioru wartości funkcji f jako przedział [-4, 3], rozwiązanie nierówności f(x) < -2 jako przedział (-4, -1). Zadanie 13 (0–1 pkt): wyznaczenie wzoru funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie, odpowiedź A.](/_next/image?url=https%3A%2F%2Ffirebasestorage.googleapis.com%2Fv0%2Fb%2Fmatematykagryzie-prod.appspot.com%2Fo%2FexamPapers%252Ffiles%252F223-Matematyka%2520-%25202025-08%2520-%2520Matura%2520podstawowa%2520-%2520Poprawkowy%2520-%2520Formu%25C5%2582a%25202023%2520-%2520CKE%2520-%2520Odpowiedzi-12.png%3Falt%3Dmedia&w=3840&q=85)
