Matura podstawowa matematyka sierpień 2025 - interaktywny arkusz + PDF
Poprawkowy • CKE • sierpień 2025 • formuła 2023Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury podstawowej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:
- Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
- Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
- Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
- Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
- Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
- Oryginalne arkusze PDF do pobrania
Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.
Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.
Zadania interaktywne do rozwiązania online
Zadanie 1
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\ \left|\sqrt{5} - 3\right| + \left|\sqrt{5} - 1\right|\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Przypomnienie definicji wartości bezwzględnej
Wartość bezwzględna liczby \(a\) jest zdefiniowana jako: \(|a| = a\), gdy \(a \geq 0\), oraz \(|a| = -a\), gdy \(a < 0\). Aby obliczyć podane wyrażenie, musimy najpierw ustalić znak liczb pod wartością bezwzględną, czyli \(\sqrt{5} - 3\) oraz \(\sqrt{5} - 1\).
Krok 2: Oszacowanie wartości \(\sqrt{5}\)
Wiemy, że \(\sqrt{4} = 2\) oraz \(\sqrt{9} = 3\), zatem \(2 < \sqrt{5} < 3\). Dokładniej, \(\sqrt{5} \approx 2,236\). To pozwala nam ustalić znaki wyrażeń \(\sqrt{5} - 3\) i \(\sqrt{5} - 1\).
Krok 3: Ustalenie znaku wyrażenia \(\sqrt{5} - 3\)
Ponieważ \(\sqrt{5} \approx 2,236 < 3\), to \(\sqrt{5} - 3 < 0\). Zatem zgodnie z definicją wartości absolutnej: \(|\sqrt{5} - 3| = -(\sqrt{5} - 3) = 3 - \sqrt{5}\).
Krok 4: Ustalenie znaku wyrażenia \(\sqrt{5} - 1\)
Ponieważ \(\sqrt{5} \approx 2,236 > 1\), to \(\sqrt{5} - 1 > 0\). Zatem zgodnie z definicją wartości absolutnej: \(|\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1\).
Krok 5: Zsumowanie obu wyrażeń
Po podstawieniu obliczonych wartości absolutnych otrzymujemy: \[|\sqrt{5} - 3| + |\sqrt{5} - 1| = (3 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 1)\] Wykonując dodawanie, zauważamy, że wyrażenia \(-\sqrt{5}\) i \(+\sqrt{5}\) się redukują: \[3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1 = 3 - 1 = 2\]
Krok 6: Podsumowanie wyniku
Otrzymana wartość wyrażenia \(|\sqrt{5} - 3| + |\sqrt{5} - 1|\) wynosi \(2\). Odpowiada to odpowiedzi C.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 2
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\ \dfrac{25^{-2}}{125^{-4}}\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapisanie liczb jako potęg liczby 5
Zauważamy, że 25 oraz 125 można zapisać jako potęgi liczby 5: \(25 = 5^2\) oraz \(125 = 5^3\). Dzięki temu obie liczby w liczniku i mianowniku będą miały tę samą podstawę, co umożliwi zastosowanie wzorów na potęgi.
Krok 2: Podstawienie i zastosowanie wzoru \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
Podstawiamy zapisane potęgi do wyrażenia:
\[\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}} = \dfrac{(5^2)^{-2}}{(5^3)^{-4}}\]
Korzystamy ze wzoru na potęgowanie potęgi \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):
\[(5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4}\]
\[(5^3)^{-4} = 5^{3 \cdot (-4)} = 5^{-12}\]
Otrzymujemy:
\[\dfrac{5^{-4}}{5^{-12}}\]
\[\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}} = \dfrac{(5^2)^{-2}}{(5^3)^{-4}}\]
Korzystamy ze wzoru na potęgowanie potęgi \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):
\[(5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4}\]
\[(5^3)^{-4} = 5^{3 \cdot (-4)} = 5^{-12}\]
Otrzymujemy:
\[\dfrac{5^{-4}}{5^{-12}}\]
Krok 3: Zastosowanie wzoru na dzielenie potęg o tej samej podstawie
Korzystamy ze wzoru \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), gdzie podstawy są takie same (tutaj \(a=5\)):
\[\dfrac{5^{-4}}{5^{-12}} = 5^{-4-(-12)} = 5^{-4+12} = 5^{8}\]
Ważne jest, aby pamiętać o właściwym odjęciu wykładników z uwzględnieniem znaków ujemnych.
\[\dfrac{5^{-4}}{5^{-12}} = 5^{-4-(-12)} = 5^{-4+12} = 5^{8}\]
Ważne jest, aby pamiętać o właściwym odjęciu wykładników z uwzględnieniem znaków ujemnych.
Krok 4: Podsumowanie obliczeń
Po wykonaniu wszystkich przekształceń otrzymujemy wynik:
\[\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}} = 5^{8}\]
Jest to zgodne z odpowiedzią D.
\[\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}} = 5^{8}\]
Jest to zgodne z odpowiedzią D.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!
Zadanie 3
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\ \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{192}\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Rozkład liczb pod pierwiastkami na czynniki
Aby uprościć wyrażenie \(\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{192}\), rozkładamy liczby 24 i 192 tak, aby wyodrębnić z nich sześciany liczb naturalnych. Zauważamy, że: \(24 = 8 \cdot 3\), gdzie \(8 = 2^3\) jest sześcianem liczby 2. Natomiast \(192 = 64 \cdot 3\), gdzie \(64 = 4^3\) jest sześcianem liczby 4.
Krok 2: Zastosowanie własności pierwiastków z iloczynu
Korzystamy z własności pierwiastków: \(\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}\). Zatem: \[\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}\] oraz \[\sqrt[3]{192} = \sqrt[3]{64 \cdot 3} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{3} = 4\sqrt[3]{3}\]
Krok 3: Zsumowanie wyrażeń podobnych
Po uproszczeniu obu pierwiastków, wyrażenie przyjmuje formę sumy jednomianów zawierających ten sam pierwiastek \(\sqrt[3]{3}\), co pozwala je zsumować jak wyrażenia podobne: \[\sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{192} = 2\sqrt[3]{3} + 4\sqrt[3]{3} = (2+4)\sqrt[3]{3} = 6\sqrt[3]{3}\]
Krok 4: Weryfikacja poprawności wyniku
Sprawdzamy, czy otrzymany wynik \(6\sqrt[3]{3}\) odpowiada jednej z podanych opcji odpowiedzi. Porównując z propozycjami A, B, C, D, widzimy że wynik jest zgodny z odpowiedzią C: \(6\sqrt[3]{3}\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 4
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\ \log_32 - \log_318\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zastosowanie wzoru na różnicę logarytmów
Korzystamy z własności logarytmów: różnica logarytmów o tej samej podstawie jest logarytmem ilorazu, czyli \(\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}\) (dla \(x,y>0\), \(a>0\), \(a
eq 1\)). Zastosujmy to do wyrażenia \(\log_3 2 - \log_3 18\).
eq 1\)). Zastosujmy to do wyrażenia \(\log_3 2 - \log_3 18\).
Krok 2: Obliczenie ilorazu pod logarytmem
Mamy: \[\log_3 2 - \log_3 18 = \log_3\left(\frac{2}{18}\right) = \log_3\left(\frac{1}{9}\right)\]
Krok 3: Zapisanie liczby 1/9 jako potęgi liczby 3
Zauważmy, że \(9 = 3^2\), więc \(\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}\). Zatem wyrażenie przyjmuje postać: \[\log_3\left(3^{-2}\right)\]
Krok 4: Zastosowanie definicji logarytmu
Zgodnie z definicją logarytmu, \(\log_a\left(a^n\right) = n\) dla \(a>0\), \(a
eq 1\). Podstawiając \(a=3\) oraz \(n=-2\), otrzymujemy: \[\log_3\left(3^{-2}\right) = -2\]
eq 1\). Podstawiając \(a=3\) oraz \(n=-2\), otrzymujemy: \[\log_3\left(3^{-2}\right) = -2\]
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 5
Wykaż, że liczba \(\ 8^{50} - 2^{145}\ \) jest podzielna przez \(\ 31\).
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Sformułowanie zadania i wprowadzenie oznaczeń
Wykażemy, że liczba \(x=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}\) jest liczbą naturalną. Oznaczmy \(a=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}\) oraz \(b=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}\), zatem \(x=a+b\). Wykorzystamy wzór na sześć potęgi sumy dwóch liczb: \[a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\] czyli \[x^3=a^3+b^3+3ab\,x.\]
Krok 2: Obliczenie iloczynu \(a^3+b^3\)
Z definicji \(a\) i \(b\) mamy \(a^3=20+14\sqrt{2}\) oraz \(b^3=20-14\sqrt{2}\). Dodając te wartości: \[a^3+b^3=(20+14\sqrt{2})+(20-14\sqrt{2})=40.\]
Krok 3: Obliczenie iloczynu \(ab\)
Iloczyn \(ab=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}\cdot\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=\sqrt[3]{(20+14\sqrt{2})(20-14\sqrt{2})}\). Korzystając ze wzoru \((p+q)(p-q)=p^2-q^2\), gdzie \(p=20\), \(q=14\sqrt{2}\): \[(20)^2-(14\sqrt{2})^2=400-196\cdot 2=400-392=8.\] Zatem \(ab=\sqrt[3]{8}=2\).
Krok 4: Ułożenie równania sześciennego dla \(x\)
Podstawiając wyniki \(a^3+b^3=40\) oraz \(ab=2\) do wzoru \(x^3=a^3+b^3+3ab\,x\), otrzymujemy: \[x^3=40+3\cdot 2\cdot x=40+6x.\] Przekształcając, dostajemy równanie sześcienne: \[x^3-6x-40=0.\]
Krok 5: Znalezienie rozwiązania równania
Sprawdzamy, czy liczba naturalna \(x=4\) jest rozwiązaniem: \[4^3-6\cdot4-40=64-24-40=0.\] Rzeczywiście, \(x=4\) spełnia równanie. Możemy zatem rozłożyć wielomian, dzieląc go przez \((x-4)\): \[x^3-6x-40=(x-4)(x^2+4x+10).\] Sprawdzamy dyskryminantę trójmianu \(x^2+4x+10\): \[\Delta=4^2-4\cdot1\cdot10=16-40=-24<0,\] co oznacza, że ten czynnik nie ma rozwiązań rzeczywistych. Jedynym rzeczywistym rozwiązaniem równania jest więc \(x=4\).
Krok 6: Wniosek końcowy
Ponieważ \(x=a+b\) jest liczbą rzeczywistą (jako suma dwóch pierwiastków sześciennych z liczb rzeczywistych) i jedynym rzeczywistym rozwiązaniem równania \(x^3-6x-40=0\) jest \(x=4\), to \[\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4.\] Liczba ta jest więc liczbą naturalną, co należało wykazać.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 6
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(\ x\ \) i dla każdej liczby rzeczywistej \(\ y\ \) wartość wyrażenia \(\ \left(3x + y\right)^2 - \left(3x - y\right)^2\ \) jest równa wartości wyrażenia
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapisanie wzoru na różnicę kwadratów sum i różnic
Korzystamy z tożsamości: \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\). Wynika ona z rozwinięcia obu kwadratów: \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) oraz \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\). Odejmując je od siebie, składniki \(a^2\) i \(b^2\) się redukują, a pozostaje \(4ab\).
Krok 2: Podstawienie danych wartości
W naszym wyrażeniu \(a = 3x\) oraz \(b = y\). Podstawiamy te wartości do wzoru \(4ab\):
\[4 \cdot (3x) \cdot y = 12xy\]
\[4 \cdot (3x) \cdot y = 12xy\]
Krok 3: Weryfikacja poprzez pełne rozwinięcie
Aby się upewnić, rozwijamy oba kwadraty bez korzystania ze wzoru skróconego:
\[(3x+y)^2 = 9x^2 + 6xy + y^2\]
\[(3x-y)^2 = 9x^2 - 6xy + y^2\]
Odejmując:
\[(9x^2+6xy+y^2) - (9x^2-6xy+y^2) = 6xy + 6xy = 12xy\]
Wynik zgadza się z obliczeniami z poprzedniego kroku.
\[(3x+y)^2 = 9x^2 + 6xy + y^2\]
\[(3x-y)^2 = 9x^2 - 6xy + y^2\]
Odejmując:
\[(9x^2+6xy+y^2) - (9x^2-6xy+y^2) = 6xy + 6xy = 12xy\]
Wynik zgadza się z obliczeniami z poprzedniego kroku.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 7
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
\[3 - x \ge \frac{5x - 1}{2}\]
jest przedział
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapisanie nierówności i eliminacja mianownika
Mamy nierówność \[3 - x \ge \frac{5x - 1}{2}\] Aby usunąć mianownik, mnożymy obie strony nierówności przez \(2\) (liczba dodatnia, więc znak nierówności się nie zmienia): \[2(3-x) \ge 5x - 1\]
Krok 2: Wykonanie mnożenia po lewej stronie
Rozwijamy nawias po lewej stronie: \[6 - 2x \ge 5x - 1\]
Krok 3: Przeniesienie wyrazów z x na jedną stronę
Przenosimy wyraz \(5x\) na lewą stronę, a liczby na prawą stronę, zmieniając znaki przy przenoszeniu: \[6 + 1 \ge 5x + 2x\] \[7 \ge 7x\]
Krok 4: Rozwiązanie nierówności
Dzielimy obie strony przez \(7\) (liczba dodatnia, znak nierówności się nie zmienia): \[1 \ge x\] co jest równoważne \[x \le 1\]
Krok 5: Zapisanie zbioru rozwiązań w postaci przedziału
Nierówność \(x \le 1\) oznacza, że \(x\) może przyjmować każdą wartość mniejszą lub równą \(1\). Zapisujemy to jako przedział: \[\left(-\infty, 1\right]\]
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 8
Dane jest równanie
\(\dfrac{3}{3x - 7} = \dfrac{5x}{x - 8}\), \(\ \) gdzie \(\ \) \(x \ne \frac{7}{3}\ \) i \(\ x \ne 8\).
Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału \(\left(\frac{5}{4}, +\infty\right)\). Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Ustalenie dziedziny równania
Równanie zawiera wyrażenia w mianownikach, więc musimy wykluczyć wartości \(x\), dla których mianowniki są równe zero. Mamy \(3x-7=0 \Rightarrow x=\frac{7}{3}\) oraz \(x-8=0 \Rightarrow x=8\). Dlatego dziedziną równania jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem \(x=\frac{7}{3}\) i \(x=8\), co zostało już podane w treści zadania.
Krok 2: Usunięcie mianowników - mnożenie na krzyż
Aby pozbyć się mianowników, mnożymy obie strony równania \(\dfrac{3}{3x-7}=\dfrac{5x}{x-8}\) "na krzyż": \[3\cdot(x-8)=5x\cdot(3x-7)\] Jest to poprawne, ponieważ zgodnie z definicją dziedziny mianowniki są różne od zera, więc mnożenie przez nie nie zmienia zbioru rozwiązań.
Krok 3: Uporządkowanie równania
Wykonujemy działania po obu stronach: \[3x-24=15x^2-35x\] Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę, aby otrzymać równanie kwadratowe: \[0=15x^2-35x-3x+24\] \[15x^2-38x+24=0\]
Krok 4: Rozwiązanie równania kwadratowego
Obliczamy wyróżnik \(\Delta\) równania \(15x^2-38x+24=0\): \[\Delta=(-38)^2-4\cdot15\cdot24=1444-1440=4\] \[\sqrt{\Delta}=2\] Pierwiastki równania: \[x_1=\frac{38+2}{2\cdot15}=\frac{40}{30}=\frac{4}{3}\] \[x_2=\frac{38-2}{2\cdot15}=\frac{36}{30}=\frac{6}{5}\] Równanie \(15x^2-38x+24=0\) można też rozłożyć na czynniki jako \((3x-4)(5x-6)=0\), co daje te same rozwiązania.
Krok 5: Sprawdzenie rozwiązań z dziedziną i weryfikacja
Obie wartości \(x_1=\frac{4}{3}\) i \(x_2=\frac{6}{5}\) należą do dziedziny równania, ponieważ różnią się od \(\frac{7}{3}\) oraz \(8\). Podstawiając \(x=\frac{4}{3}\) do wyjściowego równania: \[3x-7=4-7=-3,\quad x-8=\frac{4}{3}-8=-\frac{20}{3}\] \[\text{LHS}=\frac{3}{-3}=-1,\qquad \text{RHS}=\frac{5\cdot\frac{4}{3}}{-\frac{20}{3}}=\frac{\frac{20}{3}}{-\frac{20}{3}}=-1\] Obie strony są równe, więc \(x=\frac{4}{3}\) jest poprawnym rozwiązaniem równania.
Krok 6: Wybór wymaganego rozwiązania
Otrzymane równanie kwadratowe daje dwa formalnie poprawne pierwiastki, \(x=\frac{4}{3}\) oraz \(x=\frac{6}{5}\), które oba spełniają wyjściowe równanie. Zgodnie z treścią zadania i podaną poprawną odpowiedzią, szukanym rozwiązaniem jest \(x=\frac{4}{3}\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 9
Rozwiąż nierówność
\(-3x^2 > 6x - 9\)
Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Sformułowanie nierówności kwadratowej
Rozwiązujemy nierówność kwadratową postaci \(x^2 + 2x - 3 < 0\). Aby rozwiązać taką nierówność, należy najpierw znaleźć miejsca zerowe odpowiadającej jej funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2 + 2x - 3\), a następnie na podstawie znaku współczynnika przy \(x^2\) oraz miejsc zerowych określić zbiór, dla którego funkcja przyjmuje wartości ujemne (mniejsze od zera).
Krok 2: Obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego
Dla trójmianu kwadratowego \(ax^2+bx+c\) mamy \(a=1\), \(b=2\), \(c=-3\). Wyróżnik obliczamy ze wzoru \(\Delta = b^2 - 4ac\). Podstawiając: \[\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\] Ponieważ \(\Delta > 0\), trójmian ma dwa różne miejsca zerowe.
Krok 3: Wyznaczenie miejsc zerowych
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej wyznaczamy ze wzorów: \[x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\] Mamy \(\sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4\). Podstawiając: \[x_1 = \frac{-2-4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\] \[x_2 = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1\] Miejsca zerowe to \(x_1 = -3\) oraz \(x_2 = 1\).
Krok 4: Analiza znaku funkcji kwadratowej
Ponieważ współczynnik \(a = 1 > 0\), parabola jest ramionami skierowana do góry. Wykres funkcji przyjmuje wartości ujemne (poniżej osi \(OX\)) pomiędzy miejscami zerowymi, a wartości dodatnie na zewnątrz tego przedziału. Zatem funkcja \(f(x) = x^2+2x-3\) jest mniejsza od zera dla \(x\) należących do przedziału otwartego między korzeniami.
Krok 5: Zapisanie rozwiązania nierówności
Skoro szukamy \(x\), dla których \(f(x) < 0\), a funkcja jest ujemna między miejscami zerowymi \(x_1=-3\) i \(x_2=1\), to rozwiązaniem nierówności jest przedział otwarty (bez końców, ponieważ nierówność jest ostra): \[x \in (-3, 1)\]
Krok 6: Weryfikacja rozwiązania
Sprawdźmy dla przykładowej wartości z przedziału, np. \(x = 0\): \[f(0) = 0^2 + 2\cdot 0 - 3 = -3 < 0\] Warunek jest spełniony. Sprawdźmy również dla wartości poza przedziałem, np. \(x = 2\): \[f(2) = 4 + 4 - 3 = 5 > 0\] Warunek nie jest spełniony, co potwierdza poprawność wyznaczonego przedziału.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 10
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma wszystkich rozwiązań równania \(\ \left(3x - 12\right)\left(10 + 5x\right)\left(x - 3\right) = 0\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zastosowanie własności iloczynu równego zero
Równanie ma postać iloczynu trzech czynników: \((3x - 12)(10 + 5x)(x - 3) = 0\). Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Dlatego rozwiązujemy trzy oddzielne równania: \(3x - 12 = 0\), \(10 + 5x = 0\) oraz \(x - 3 = 0\).
Krok 2: Rozwiązanie pierwszego równania
Rozwiązujemy równanie \(3x - 12 = 0\). Przenosimy \(-12\) na drugą stronę: \(3x = 12\). Dzielimy obie strony przez \(3\): \(x = 4\).
Krok 3: Rozwiązanie drugiego równania
Rozwiązujemy równanie \(10 + 5x = 0\). Przenosimy \(10\) na drugą stronę: \(5x = -10\). Dzielimy obie strony przez \(5\): \(x = -2\).
Krok 4: Rozwiązanie trzeciego równania
Rozwiązujemy równanie \(x - 3 = 0\). Przenosimy \(-3\) na drugą stronę: \(x = 3\).
Krok 5: Zsumowanie wszystkich rozwiązań
Otrzymaliśmy trzy rozwiązania równania: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -2\) oraz \(x_3 = 3\). Sumujemy je: \(4 + (-2) + 3 = 4 - 2 + 3 = 5\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 11
Właściciel restauracji kupił \(\ 75\ \) kilogramów pomidorów: \(\ x\ \) kg pomidorów malinowych w cenie \(\ 11\ \) złotych za kilogram oraz \(\ y\ \) kg pomidorów cherry w cenie \(\ 7.98\ \) złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie \(\ 752.52\ \) złotych.
Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Ustalenie zmiennych i zapisanie układu równań
Oznaczmy przez \(x\) liczbę kilogramów pomidorów malinowych oraz przez \(y\) liczbę kilogramów pomidorów cherry. Wiemy, że łączna masa zakupionych pomidorów to \(75\) kg, co daje pierwsze równanie: \[x+y=75\] Cena pomidorów malinowych wynosi \(11\) zł/kg, a pomidorów cherry \(7,98\) zł/kg. Łączny koszt wynosił \(752,52\) zł, co daje drugie równanie: \[11x+7,98y=752,52\] Otrzymujemy więc układ równań: \[\begin{cases}x+y=75\11x+7,98y=752,52\end{cases}\]
Krok 2: Wyrażenie zmiennej x z pierwszego równania
Z pierwszego równania \(x+y=75\) wyznaczamy \(x\) w zależności od \(y\): \[x=75-y\] Ta postać pozwoli podstawić \(x\) do drugiego równania i uzyskać równanie z jedną zmienną.
Krok 3: Podstawienie do drugiego równania
Podstawiamy \(x=75-y\) do równania \(11x+7,98y=752,52\): \[11(75-y)+7,98y=752,52\] Wykonujemy mnożenie: \[825-11y+7,98y=752,52\] Łączymy wyrazy z \(y\): \[825-3,02y=752,52\]
Krok 4: Rozwiązanie równania liniowego z jedną zmienną
Przenosimy \(825\) na prawą stronę równania: \[-3,02y=752,52-825\] \[-3,02y=-72,48\] Dzielimy obie strony przez \(-3,02\): \[y=\frac{-72,48}{-3,02}=24\] Zatem \(y=24\) kg — tyle wynosiła masa pomidorów cherry.
Krok 5: Obliczenie wartości x
Korzystając z zależności \(x=75-y\), podstawiamy \(y=24\): \[x=75-24=51\] Zatem \(x=51\) kg — tyle wynosiła masa pomidorów malinowych.
Krok 6: Sprawdzenie poprawności rozwiązania
Sprawdzamy, czy otrzymane wartości spełniają oba równania: \[x+y=51+24=75\quad\checkmark\] \[11\cdot51+7,98\cdot24=561+191,52=752,52\quad\checkmark\] Oba równania są spełnione, więc rozwiązanie jest poprawne.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 12.1
Funkcja \(\ f\ \) jest określona następująco:
\[f(x) = \begin{cases} -2x - 10 &\text{dla }\ x \in (-5, -3] \\ x - 1 &\text{dla }\ x \in (-3, 4] \end{cases}\]
Wykres funkcji \(\ y = f(x)\ \) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \(\ (x, y)\ \) na rysunku poniżej.
Kliknij, aby powiększyć
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
\(\mathbf{1}\). \(\ \) Miejscem zerowym funkcji \(\ f\ \) jest liczba \(\ .........\) .
\(\mathbf{2}\). \(\ \) Wartość wyrażenia \(\ f(-2) + 3 \cdot f(2)\ \) jest równa \(\ .........\) .
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Opis funkcji kawałkowej
Funkcja \(f\) jest zdefiniowana dwoma wzorami na dwóch przedziałach: \(f(x)=-2x-10\) dla \(x\in(-5,-3]\) oraz \(f(x)=x-1\) dla \(x\in(-3,4]\). Aby znaleźć miejsce zerowe, trzeba sprawdzić, w którym z tych przedziałów równanie \(f(x)=0\) ma rozwiązanie należące do odpowiedniego przedziału.
Krok 2: Sprawdzenie pierwszego kawałka
Dla \(x\in(-5,-3]\) rozwiązujemy \(-2x-10=0\). Przekształcając: \(-2x=10\), więc \(x=-5\). Jednak przedział \((-5,-3]\) jest otwarty w punkcie \(-5\) (nie zawiera go), zatem \(x=-5\) nie należy do dziedziny tego wzoru. W tym kawałku funkcja nie ma miejsca zerowego.
Krok 3: Sprawdzenie drugiego kawałka
Dla \(x\in(-3,4]\) rozwiązujemy \(x-1=0\), co daje \(x=1\). Sprawdzamy, czy \(1\) należy do przedziału \((-3,4]\) – tak, ponieważ \(-3<1\le4\). Zatem miejscem zerowym funkcji \(f\) jest \(x=1\).
Krok 4: Obliczenie \(f(-2)\)
Liczba \(-2\) należy do przedziału \((-3,4]\) (bo \(-3<-2\le4\)), więc korzystamy ze wzoru \(f(x)=x-1\). Zatem \(f(-2)=-2-1=-3\).
Krok 5: Obliczenie \(f(2)\)
Liczba \(2\) również należy do przedziału \((-3,4]\), więc \(f(2)=2-1=1\).
Krok 6: Obliczenie wartości wyrażenia
Podstawiamy wyznaczone wartości do wyrażenia \(f(-2)+3\cdot f(2)\): \[f(-2)+3\cdot f(2) = -3 + 3\cdot 1 = -3+3 = 0.\] Zatem wartość wyrażenia wynosi \(0\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 12.2
Funkcja \(\ f\ \) jest określona następująco:
\[f(x) = \begin{cases} -2x - 10 &\text{dla }\ x \in (-5, -3] \\ x - 1 &\text{dla }\ x \in (-3, 4] \end{cases}\]
Wykres funkcji \(\ y = f(x)\ \) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \(\ (x, y)\ \) na rysunku poniżej.
Kliknij, aby powiększyć
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
\(\mathbf{1}\). \(\ \) Zbiorem wartości funkcji \(\ f\ \) jest przedział \(\ ...............\) .
\(\mathbf{2}\). \(\ \) Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\ f(x) < -2\ \) jest przedział \(\ ...............\) .
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Analiza pierwszej części wzoru funkcji
Dla \(x \in (-5,-3]\) mamy \(f(x) = -2x-10\). To funkcja liniowa malejąca (współczynnik przy \(x\) jest równy \(-2<0\)). Obliczamy wartości na końcach przedziału:
- dla \(x \to -5^{+}\) (wartość nie jest osiągana, bo \(-5\) nie należy do przedziału): \(f(-5)=-2\cdot(-5)-10=0\), więc \(f(x)\) zbliża się do \(0\) od dołu, nie osiągając tej wartości.
- dla \(x=-3\) (wartość osiągana, bo \(-3\) należy do przedziału): \(f(-3)=-2\cdot(-3)-10=-4\).
Poniewaz funkcja jest malejąca, gdy \(x\) rośnie od \(-5\) do \(-3\), \(f(x)\) maleje od \(0\) do \(-4\). Zatem dla tej części wzoru zbiorem wartości jest przedział \([-4, 0)\).
- dla \(x \to -5^{+}\) (wartość nie jest osiągana, bo \(-5\) nie należy do przedziału): \(f(-5)=-2\cdot(-5)-10=0\), więc \(f(x)\) zbliża się do \(0\) od dołu, nie osiągając tej wartości.
- dla \(x=-3\) (wartość osiągana, bo \(-3\) należy do przedziału): \(f(-3)=-2\cdot(-3)-10=-4\).
Poniewaz funkcja jest malejąca, gdy \(x\) rośnie od \(-5\) do \(-3\), \(f(x)\) maleje od \(0\) do \(-4\). Zatem dla tej części wzoru zbiorem wartości jest przedział \([-4, 0)\).
Krok 2: Analiza drugiej części wzoru funkcji
Dla \(x \in (-3,4]\) mamy \(f(x) = x-1\). To funkcja liniowa rosnąca (współczynnik przy \(x\) jest równy \(1>0\)). Obliczamy wartości na końcach przedziału:
- dla \(x \to -3^{+}\) (wartość nie jest osiągana): \(f(-3)=-3-1=-4\), więc \(f(x)\) zbliża się do \(-4\) od góry, nie osiągając tej wartości.
- dla \(x=4\) (wartość osiągana): \(f(4)=4-1=3\).
Poniewaz funkcja jest rosnąca, dla tej części wzoru zbiorem wartości jest przedział \((-4, 3]\).
- dla \(x \to -3^{+}\) (wartość nie jest osiągana): \(f(-3)=-3-1=-4\), więc \(f(x)\) zbliża się do \(-4\) od góry, nie osiągając tej wartości.
- dla \(x=4\) (wartość osiągana): \(f(4)=4-1=3\).
Poniewaz funkcja jest rosnąca, dla tej części wzoru zbiorem wartości jest przedział \((-4, 3]\).
Krok 3: Wyznaczenie zbioru wartości całej funkcji
Łączymy oba zbiory wartości:
\[[-4,0)\ \cup\ (-4,3]\]
Wartość \(-4\) jest osiągana (z pierwszej części wzoru), a wszystkie wartości pomiędzy \(-4\) i \(3\) są pokryte przez oba przedziały bez żadnej dziury (przedziały się "zszywają" w punkcie \(-4\)). Zatem zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
\[[-4, 3]\]
\[[-4,0)\ \cup\ (-4,3]\]
Wartość \(-4\) jest osiągana (z pierwszej części wzoru), a wszystkie wartości pomiędzy \(-4\) i \(3\) są pokryte przez oba przedziały bez żadnej dziury (przedziały się "zszywają" w punkcie \(-4\)). Zatem zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
\[[-4, 3]\]
Krok 4: Rozwiązanie nierówności dla pierwszej części wzoru
Rozważamy nierówność \(f(x)<-2\) dla \(x \in (-5,-3]\), gdzie \(f(x)=-2x-10\):
\[-2x-10 < -2\]
Dodajemy \(10\) do obu stron:
\[-2x < 8\]
Dzielimy obie strony przez \(-2\) (zmieniamy znak nierówności, bo dzielimy przez liczbę ujemną):
\[x > -4\]
Uwzględniając dziedzinę \(x \in (-5,-3]\), rozwiązaniem jest przedział:
\[(-4, -3]\]
\[-2x-10 < -2\]
Dodajemy \(10\) do obu stron:
\[-2x < 8\]
Dzielimy obie strony przez \(-2\) (zmieniamy znak nierówności, bo dzielimy przez liczbę ujemną):
\[x > -4\]
Uwzględniając dziedzinę \(x \in (-5,-3]\), rozwiązaniem jest przedział:
\[(-4, -3]\]
Krok 5: Rozwiązanie nierówności dla drugiej części wzoru
Rozważamy nierówność \(f(x)<-2\) dla \(x \in (-3,4]\), gdzie \(f(x)=x-1\):
\[x-1 < -2\]
Dodajemy \(1\) do obu stron:
\[x < -1\]
Uwzględniając dziedzinę \(x \in (-3,4]\), rozwiązaniem jest przedział:
\[(-3, -1)\]
\[x-1 < -2\]
Dodajemy \(1\) do obu stron:
\[x < -1\]
Uwzględniając dziedzinę \(x \in (-3,4]\), rozwiązaniem jest przedział:
\[(-3, -1)\]
Krok 6: Połączenie rozwiązań nierówności
Łączymy oba zbiory rozwiązań:
\[(-4,-3] \cup (-3,-1)\]
Przedziały te "zszywają się" w punkcie \(x=-3\) (koniec pierwszego przedziału jest domknięty, a początek drugiego jest otwarty, ale sam punkt \(-3\) jest już zawarty w pierwszym przedziale), więc razem tworzą jeden ciągły przedział:
\[(-4, -1)\]
Sprawdzenie: dla \(x=-1\) mamy \(f(-1)=-1-1=-2\), co nie spełnia nierówności ostrej \(f(x)<-2\), więc \(-1\) prawidłowo nie należy do zbioru rozwiązań.
\[(-4,-3] \cup (-3,-1)\]
Przedziały te "zszywają się" w punkcie \(x=-3\) (koniec pierwszego przedziału jest domknięty, a początek drugiego jest otwarty, ale sam punkt \(-3\) jest już zawarty w pierwszym przedziale), więc razem tworzą jeden ciągły przedział:
\[(-4, -1)\]
Sprawdzenie: dla \(x=-1\) mamy \(f(-1)=-1-1=-2\), co nie spełnia nierówności ostrej \(f(x)<-2\), więc \(-1\) prawidłowo nie należy do zbioru rozwiązań.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 13
Miejsce zerowym funkcji liniowej \(\ g\ \) jest liczba \(\ (-3)\).
Dla argumentu \(\ 0\ \) funkcja \(\ g\ \) przyjmuje wartość \(\ \left(-\frac{3}{2}\right)\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja \(\ g\ \) jest określona wzorem
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Ogólny wzór funkcji liniowej
Funkcja liniowa ma postać \(g(x) = ax + b\), gdzie \(a\) jest współczynnikiem kierunkowym, a \(b\) jest wyrazem wolnym (wartością funkcji dla \(x=0\)).
Krok 2: Wykorzystanie warunku dla argumentu 0
Wiemy, że dla argumentu \(0\) funkcja przyjmuje wartość \(-\frac{3}{2}\). Podstawiając \(x=0\) do wzoru \(g(x)=ax+b\), otrzymujemy: \[g(0) = a\cdot 0 + b = b\] Zatem \(b = -\frac{3}{2}\).
Krok 3: Wykorzystanie miejsca zerowego funkcji
Miejscem zerowym funkcji jest liczba \(-3\), co oznacza, że \(g(-3) = 0\). Podstawiamy \(x = -3\) do wzoru funkcji: \[g(-3) = a\cdot(-3) + b = 0\] \[-3a + b = 0\]
Krok 4: Podstawienie wartości \(b\) i wyznaczenie \(a\)
Wiemy już, że \(b = -\frac{3}{2}\). Podstawiamy tę wartość do równania \(-3a + b = 0\): \[-3a - \frac{3}{2} = 0\] Przenosimy \(-\frac{3}{2}\) na drugą stronę równania: \[-3a = \frac{3}{2}\] Dzielimy obie strony przez \(-3\): \[a = \frac{3}{2} : (-3) = -\frac{1}{2}\]
Krok 5: Zapisanie ostatecznego wzoru funkcji
Mamy wyznaczone współczynniki: \(a = -\frac{1}{2}\) oraz \(b = -\frac{3}{2}\). Podstawiając je do ogólnego wzoru funkcji liniowej \(g(x) = ax + b\), otrzymujemy: \[g(x) = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\]
Krok 6: Sprawdzenie poprawności rozwiązania
Sprawdzamy warunki zadania: dla \(x=0\): \(g(0) = -\frac{1}{2}\cdot 0 - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}\) - warunek spełniony. Dla \(x=-3\): \(g(-3) = -\frac{1}{2}\cdot(-3) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0\) - warunek spełniony. Oba warunki zadania są zgodne z otrzymanym wzorem funkcji.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 14.1
Funkcja kwadratowa \(\ f\ \) jest określona wzorem \(\ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c\), gdzie \(\ b\ \) oraz \(\ c\ \) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(\ f\ \) jest liczba \(\ 6\).
W kartezjańskim układzie współrzędnych \(\ (x, y)\ \) prosta o równaniu \(\ x = 1\ \) jest osią symetrii wykresu funkcji \(\ f\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Funkcja \(\ f\ \) jest określona wzorem
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Wykorzystanie własności osi symetrii paraboli
Wykres funkcji kwadratowej jest parabolą symetryczną względem prostej x = p, gdzie p jest współrzędną x-ową wierzchołka. Jeśli funkcja ma dwa miejsca zerowe \(x_1\) i \(x_2\), to oś symetrii przechodzi przez środek odcinka łączącego te miejsca zerowe, czyli: \[p = \frac{x_1 + x_2}{2}\] W naszym zadaniu osią symetrii jest prosta \(x = 1\), więc \(p = 1\).
Krok 2: Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego
Wiemy, że jednym z miejsc zerowych jest \(x_1 = 6\). Korzystając ze wzoru na oś symetrii: \[1 = \frac{6 + x_2}{2}\] Mnożymy obie strony równania przez 2: \[2 = 6 + x_2\] Odejmujemy 6 od obu stron: \[x_2 = 2 - 6 = -4\] Zatem drugim miejscem zerowym funkcji jest liczba \(-4\).
Krok 3: Zapisanie funkcji w postaci iloczynowej
Funkcja kwadratowa z współczynnikiem \(a = \frac{1}{2}\) oraz miejscami zerowymi \(x_1 = 6\) i \(x_2 = -4\) może być zapisana w postaci iloczynowej: \[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\] Podstawiając nasze wartości: \[f(x) = \frac{1}{2}(x - 6)(x - (-4))\] \[f(x) = \frac{1}{2}(x - 6)(x + 4)\] Po zmianie kolejności czynników (co nie zmienia wartości iloczynu): \[f(x) = \frac{1}{2}(x + 4)(x - 6)\]
Krok 4: Weryfikacja poprawności rozwiązania
Sprawdźmy, czy funkcja \(f(x) = \frac{1}{2}(x + 4)(x - 6)\) spełnia warunki zadania. Miejsca zerowe: \(x_1 = -4\) oraz \(x_2 = 6\) - jedno z nich to liczba 6, co jest zgodne z treścią zadania. Oś symetrii: \[p = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\] Oś symetrii to \(x = 1\), co również jest zgodne z treścią zadania. Rozwiązanie jest poprawne.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 14.2
Funkcja kwadratowa \(\ f\ \) jest określona wzorem \(\ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c\), gdzie \(\ b\ \) oraz \(\ c\ \) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(\ f\ \) jest liczba \(\ 6\).
W kartezjańskim układzie współrzędnych \(\ (x, y)\ \) prosta o równaniu \(\ x = 1\ \) jest osią symetrii wykresu funkcji \(\ f\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Współczynnik \(\ b\ \) we wzorze funkcji \(\ f\ \) jest liczbą dodatnią.
Współczynnik \(\ c\ \) we wzorze funkcji \(\ f\ \) jest liczbą dodatnią.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Wykorzystanie wzoru na oś symetrii paraboli
Wzór funkcji kwadratowej to \(f(x) = ax^2 + bx + c\), gdzie w naszym przypadku \(a = \frac{1}{2}\). Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej wyraża się wzorem \(x = -\frac{b}{2a}\). Z treści zadania wiemy, że osią symetrii jest prosta \(x = 1\), więc możemy zapisać równanie: \(-\frac{b}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1\).
Krok 2: Obliczenie współczynnika b
Rozwiązujemy równanie z poprzedniego kroku: \(-\frac{b}{1} = 1\), co daje \(-b = 1\), a zatem \(b = -1\). Widzimy więc, że współczynnik \(b\) jest liczbą ujemną, co bezpośrednio odpowiada na pierwsze pytanie.
Krok 3: Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego
Ponieważ parabola jest symetryczna względem prostej \(x = 1\), a jednym z miejsc zerowych jest \(x_1 = 6\), to drugie miejsce zerowe \(x_2\) znajduje się w takiej samej odległości od osi symetrii, ale z drugiej strony. Odległość od \(x_1 = 6\) do osi symetrii \(x=1\) wynosi \(6 - 1 = 5\). Zatem drugie miejsce zerowe: \(x_2 = 1 - 5 = -4\).
Krok 4: Zapisanie funkcji z wykorzystaniem miejsc zerowych
Znając współczynnik \(a = \frac{1}{2}\) oraz oba miejsca zerowe \(x_1 = 6\) i \(x_2 = -4\), możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej: \[f(x) = \frac{1}{2}(x-6)(x+4)\]
Krok 5: Obliczenie współczynnika c
Aby znaleźć wartość współczynnika \(c\), przekształcamy funkcję do postaci ogólnej. Wiemy, że \(c = f(0)\), ponieważ dla \(x=0\) wartość funkcji ogólnej \(ax^2+bx+c\) równa się właśnie \(c\). Podstawiamy \(x=0\) do postaci iloczynowej: \[f(0) = \frac{1}{2}(0-6)(0+4) = \frac{1}{2} \cdot (-6) \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot (-24) = -12\] Zatem \(c = -12\), co oznacza, że współczynnik \(c\) jest liczbą ujemną.
Krok 6: Weryfikacja wzoru funkcji
Możemy sprawdzić poprawność obliczeń, rozwijając postać iloczynową do postaci ogólnej: \[f(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 2x - 24) = \frac{1}{2}x^2 - x - 12\] Odczytujemy współczynniki: \(a = \frac{1}{2}\), \(b = -1\), \(c = -12\). Wyniki są zgodne z wcześniejszymi obliczeniami.
Krok 7: Ocena prawdziwości stwierdzeń
Na podstawie obliczeń: współczynnik \(b = -1\) jest liczbą ujemną, więc stwierdzenie "Współczynnik \(b\) jest liczbą dodatnią" jest fałszywe. Współczynnik \(c = -12\) jest również liczbą ujemną, więc stwierdzenie "Współczynnik \(c\) jest liczbą dodatnią" jest również fałszywe.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 14.3
Funkcja kwadratowa \(\ f\ \) jest określona wzorem \(\ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c\), gdzie \(\ b\ \) oraz \(\ c\ \) są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji \(\ f\ \) jest liczba \(\ 6\).
W kartezjańskim układzie współrzędnych \(\ (x, y)\ \) prosta o równaniu \(\ x = 1\ \) jest osią symetrii wykresu funkcji \(\ f\).
Funkcja \(\ g\ \) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(\ x\ \) wzorem \(\ g(x) = f(x - 3)\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Osią symetrii wykresu funkcji \(\ g\ \) jest prosta o równaniu
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Analiza danych zadania
Wiemy, że funkcja \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 + bx + c\) ma oś symetrii wykresu daną równaniem \(x = 1\). Oznacza to, że wierzchołek paraboli \(f\) znajduje się dla argumentu \(x = 1\). Wartości \(b\) i \(c\) oraz informacja o miejscu zerowym równym \(6\) nie są potrzebne do wyznaczenia osi symetrii funkcji \(g\) — kluczowa jest tylko oś symetrii funkcji \(f\).
Krok 2: Interpretacja przekształcenia funkcji \(g\)
Funkcja \(g\) jest zdefiniowana jako \(g(x) = f(x - 3)\). Zgodnie z zasadami przekształceń wykresów funkcji, wzór \(f(x - p)\) oznacza przesunięcie wykresu funkcji \(f\) o \(p\) jednostek w prawo wzdłuż osi \(x\) (dla \(p > 0\)). W naszym przypadku \(p = 3\), więc wykres funkcji \(g\) jest wykresem funkcji \(f\) przesuniętym o \(3\) jednostki w prawo.
Krok 3: Wyznaczenie nowej osi symetrii
Ponieważ przesunięcie wykresu w prawo o \(3\) jednostki przesuwa każdy punkt wykresu, w tym oś symetrii, o \(3\) jednostki w prawo, nową oś symetrii otrzymujemy dodając \(3\) do współrzędnej \(x\) starej osi symetrii:
\[x_{g} = x_{f} + 3 = 1 + 3 = 4\]
Zatem oś symetrii wykresu funkcji \(g\) jest opisana równaniem \(x = 4\).
\[x_{g} = x_{f} + 3 = 1 + 3 = 4\]
Zatem oś symetrii wykresu funkcji \(g\) jest opisana równaniem \(x = 4\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 15
Ciąg \(\ \left( a_n \right)\ \) jest określony wzorem \(\ a_n = \dfrac{32 \cdot (-1)^n}{2^{n-1}}\ \) dla każdej liczby naturalnej \(\ n \ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Szósty wyraz ciągu \(\ \left(a_n \right)\ \) jest równy
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapisanie wzoru ogólnego ciągu
Dany jest ciąg \( \left(a_n\right) \) określony wzorem \( a_n = \dfrac{32 \cdot (-1)^n}{2^{n-1}} \) dla \( n \ge 1 \). Aby obliczyć szósty wyraz ciągu, należy podstawić \( n = 6 \) do tego wzoru.
Krok 2: Podstawienie n = 6 do wzoru
Podstawiamy \( n = 6 \):
\[ a_6 = \dfrac{32 \cdot (-1)^6}{2^{6-1}} = \dfrac{32 \cdot (-1)^6}{2^5} \]
\[ a_6 = \dfrac{32 \cdot (-1)^6}{2^{6-1}} = \dfrac{32 \cdot (-1)^6}{2^5} \]
Krok 3: Obliczenie potęg
Obliczamy poszczególne potęgi:
\[ (-1)^6 = 1 \quad \text{(ponieważ 6 jest liczbą parzystą)} \]
\[ 2^5 = 32 \]
Podstawiając te wartości, otrzymujemy:
\[ a_6 = \dfrac{32 \cdot 1}{32} \]
\[ (-1)^6 = 1 \quad \text{(ponieważ 6 jest liczbą parzystą)} \]
\[ 2^5 = 32 \]
Podstawiając te wartości, otrzymujemy:
\[ a_6 = \dfrac{32 \cdot 1}{32} \]
Krok 4: Wykonanie obliczeń końcowych
Wykonujemy dzielenie:
\[ a_6 = \dfrac{32}{32} = 1 \]
Otrzymaliśmy więc, że szósty wyraz ciągu jest równy \( 1 \).
\[ a_6 = \dfrac{32}{32} = 1 \]
Otrzymaliśmy więc, że szósty wyraz ciągu jest równy \( 1 \).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 16
Ciąg arytmetyczny \(\ \left(a_n \right)\ \) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(\ n \ge 1\).
Różnica tego ciągu jest równa \(\ (-4)\ \) oraz \(\ a_{10} = -24\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Szósty wyraz ciągu \(\ \left(a_n \right)\ \) jest równy
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
Ciąg arytmetyczny opisany jest wzorem \(a_n = a_1 + (n-1)r\), gdzie \(a_1\) to pierwszy wyraz ciągu, a \(r\) to różnica ciągu. W naszym zadaniu wiemy, że \(r = -4\) oraz \(a_{10} = -24\).
Krok 2: Wykorzystanie zależności między wyrazami
Zamiast wyznaczać \(a_1\), skorzystamy z wygodnej zależności: \(a_{10} = a_6 + 4r\), ponieważ pomiędzy wyrazem szóstym i dziesiątym jest 4 kroki różnicy \(r\). Stąd możemy wyznaczyć \(a_6\).
Krok 3: Podstawienie danych do wzoru
Podstawiamy znane wartości: \(-24 = a_6 + 4 \cdot (-4)\), czyli \(-24 = a_6 - 16\).
Krok 4: Rozwiązanie równania
Przekształcamy równanie: \(a_6 = -24 + 16 = -8\).
Krok 5: Sprawdzenie wyniku
Aby zweryfikować wynik, obliczmy \(a_1\): \(a_{10} = a_1 + 9r \Rightarrow -24 = a_1 + 9 \cdot (-4) \Rightarrow a_1 = -24 + 36 = 12\). Teraz sprawdzamy \(a_6 = a_1 + 5r = 12 + 5 \cdot (-4) = 12 - 20 = -8\). Wynik się zgadza.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 17
Ciąg geometryczny \(\ \left(a_n\right)\), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od \(\ 0\), jest określony dla każdej liczby naturalnej \(\ n \ge 1\).
Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(\ a_3 = -8 \cdot a_6\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloraz ciągu \(\ \left(a_n \right)\ \) jest równy
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Ciąg geometryczny \(\left(a_n\right)\) o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q
e 0\) ma wzór ogólny: \[a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}\] Będziemy potrzebować wyrazów \(a_3\) i \(a_6\), więc wyznaczamy je z tego wzoru.
e 0\) ma wzór ogólny: \[a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}\] Będziemy potrzebować wyrazów \(a_3\) i \(a_6\), więc wyznaczamy je z tego wzoru.
Krok 2: Wyznaczenie wyrazów \(a_3\) i \(a_6\)
Podstawiając odpowiednio \(n=3\) oraz \(n=6\) do wzoru ogólnego, otrzymujemy: \[a_3 = a_1 \cdot q^{2}\] \[a_6 = a_1 \cdot q^{5}\]
Krok 3: Zapisanie warunku z treści zadania
Z treści zadania wiemy, że \(a_3 = -8 \cdot a_6\). Podstawiając wyznaczone wyrażenia, otrzymujemy: \[a_1 \cdot q^{2} = -8 \cdot a_1 \cdot q^{5}\]
Krok 4: Uproszczenie równania
Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są różne od zera, mamy \(a_1
e 0\) oraz \(q
e 0\). Możemy więc podzielić obie strony równania przez \(a_1 \cdot q^{2}\): \[\frac{a_1 \cdot q^{2}}{a_1 \cdot q^{2}} = \frac{-8 \cdot a_1 \cdot q^{5}}{a_1 \cdot q^{2}}\] Co daje: \[1 = -8 \cdot q^{3}\]
e 0\) oraz \(q
e 0\). Możemy więc podzielić obie strony równania przez \(a_1 \cdot q^{2}\): \[\frac{a_1 \cdot q^{2}}{a_1 \cdot q^{2}} = \frac{-8 \cdot a_1 \cdot q^{5}}{a_1 \cdot q^{2}}\] Co daje: \[1 = -8 \cdot q^{3}\]
Krok 5: Rozwiązanie równania względem \(q\)
Z równania \(1 = -8 q^{3}\) wyznaczamy \(q^3\): \[q^{3} = -\frac{1}{8}\] Teraz obliczamy pierwiastek trzeciego stopnia z obu stron (pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej istnieje i jest liczbą rzeczywistą): \[q = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}\] Ponieważ \(\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}\), otrzymujemy jedyne rzeczywiste rozwiązanie \(q = -\frac{1}{2}\).
Krok 6: Sprawdzenie poprawności rozwiązania
Sprawdźmy, czy dla \(q = -\frac{1}{2}\) warunek \(a_3 = -8 \cdot a_6\) jest spełniony. Mamy: \[a_3 = a_1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = a_1 \cdot \frac{1}{4}\] \[a_6 = a_1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = a_1 \cdot \left(-\frac{1}{32}\right) = -\frac{a_1}{32}\] Sprawdzamy: \[-8 \cdot a_6 = -8 \cdot \left(-\frac{a_1}{32}\right) = \frac{8 a_1}{32} = \frac{a_1}{4}\] Otrzymaliśmy \(a_3 = \frac{a_1}{4} = -8 \cdot a_6\), co potwierdza poprawność wyznaczonego ilorazu.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 18
Trzywyrazowy ciąg \(\ \left( \sqrt{5}, \ 1, \ x\right)\ \) jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg \(\ \left( \sqrt{5}, \ 1, \ y\right)\ \) jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczby \(\ x\ \) oraz \(\ y\ \) spełniają warunki
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Warunek na środkowy wyraz ciągu arytmetycznego
Ciąg \(\left(\sqrt{5},\,1,\,x\right)\) jest arytmetyczny, więc środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich: \(2\cdot 1 = \sqrt{5}+x\). Stąd \(x = 2-\sqrt{5}\).
Krok 2: Wyznaczenie znaku liczby x
Ponieważ \(\sqrt{5}\approx 2,236\), to \(x = 2-\sqrt{5}\approx 2-2,236 = -0,236\). Zatem \(x<0\), co można też wykazać algebraicznie: \(2<\sqrt{5}\) (bo \(2^2=4<5\)), więc \(2-\sqrt{5}<0\).
Krok 3: Warunek na środkowy wyraz ciągu geometrycznego
Ciąg \(\left(\sqrt{5},\,1,\,y\right)\) jest geometryczny, więc kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich: \(1^2 = \sqrt{5}\cdot y\). Stąd \(y = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\).
Krok 4: Wyznaczenie znaku liczby y
Skoro \(\sqrt{5}>0\), to \(y=\dfrac{\sqrt{5}}{5}>0\).
Krok 5: Podsumowanie wyników
Otrzymaliśmy \(x = 2-\sqrt{5}<0\) oraz \(y=\dfrac{\sqrt{5}}{5}>0\). Odpowiada to warunkowi \(x<0\) i \(y>0\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 19
Kąt \(\ \alpha\ \) jest ostry oraz \(\ \cos \alpha = \frac{5}{13}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta \(\ \alpha\ \) jest równy
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapisanie jedynki trygonometrycznej
Dla każdego kąta \( \alpha \) zachodzi tożsamość: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Ponieważ znamy wartość \( \cos\alpha = \frac{5}{13} \), możemy z tego wzoru wyznaczyć \( \sin\alpha \).
Krok 2: Podstawienie danej wartości cosinusa
Podstawiamy \( \cos\alpha = \frac{5}{13} \) do jedynki trygonometrycznej: \[ \sin^2\alpha + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2\alpha + \frac{25}{169} = 1 \]
Krok 3: Wyznaczenie sin²α
Przenosimy \( \frac{25}{169} \) na drugą stronę równania: \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \]
Krok 4: Obliczenie sinusa kąta α
Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obu stron: \[ \sin\alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \] Ponieważ kąt \( \alpha \) jest kątem ostrym (należy do przedziału \( (0^\circ, 90^\circ) \)), wartość sinusa musi być dodatnia. Odrzucamy więc rozwiązanie ujemne \( -\frac{12}{13} \).
Krok 5: Zastosowanie definicji tangensa
Tangens kąta \( \alpha \) definiujemy jako iloraz sinusa i cosinusa tego kąta: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \] Podstawiamy wyznaczone wartości: \[ \tan\alpha = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} \]
Krok 6: Obliczenie wartości tangensa
Dzielenie ułamków wykonujemy poprzez mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka: \[ \tan\alpha = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = \frac{12 \cdot 13}{13 \cdot 5} = \frac{12}{5} \] Trzynastki się skracają, co daje ostateczny wynik.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 20
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\ \sin30\degree \cdot \cos60\degree + \sin60\degree \cdot \cos30\degree\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Przypomnienie wzoru na sinus sumy kątów
Skorzystamy ze wzoru trygonometrycznego na sinus sumy dwóch kątów: \( \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta \). Zauważmy, że dane wyrażenie \( \sin30\degree \cdot \cos60\degree + \sin60\degree \cdot \cos30\degree \) ma dokładnie taką postać, gdzie \( \alpha = 30\degree \) oraz \( \beta = 60\degree \).
Krok 2: Zastosowanie wzoru do danego wyrażenia
Podstawiając \( \alpha = 30\degree \) i \( \beta = 60\degree \) do wzoru na sinus sumy, otrzymujemy: \[ \sin30\degree \cdot \cos60\degree + \sin60\degree \cdot \cos30\degree = \sin(30\degree + 60\degree) \]
Krok 3: Obliczenie sumy kątów
Sumujemy kąty znajdujące się w argumencie funkcji sinus: \[ 30\degree + 60\degree = 90\degree \] Zatem wyrażenie sprowadza się do postaci: \[ \sin(90\degree) \]
Krok 4: Obliczenie wartości sinusa 90 stopni
Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych (lub z koła jednostkowego) wiemy, że: \[ \sin(90\degree) = 1 \] Jest to jedna z podstawowych wartości, które warto znać na pamięć, ponieważ dla kąta \(90\degree\) funkcja sinus przyjmuje swoją maksymalną wartość równą \(1\).
Krok 5: Podsumowanie wyniku
Ostatecznie, korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów, wykazaliśmy, że \( \sin30\degree \cdot \cos60\degree + \sin60\degree \cdot \cos30\degree = \sin(90\degree) = 1 \). Można to również sprawdzić bezpośrednio, podstawiając znane wartości: \( \sin30\degree = \frac{1}{2} \), \( \cos60\degree = \frac{1}{2} \), \( \sin60\degree = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos30\degree = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Wtedy: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \] Otrzymujemy ten sam wynik, co potwierdza poprawność obliczeń.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 21.1
Punkty \(\ A\), \(\ B\), \(\ C\ \) oraz \(\ D\ \) leżą na okręgu o środku w punkcie \(\ S\ \) i o promieniu \(\ 36\).
Punkt \(\ S\ \) leży na odcinku \(\ BD\). Kąt \(\ BDA\ \) ma miarę \(\ 40\degree\), a kąt \(\ DBC\ \) ma miarę \(\ 65\degree\) (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego \(\ BSA\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Rozpoznanie średnicy okręgu
Punkt \(S\) jest środkiem okręgu i leży na odcinku \(BD\). Oznacza to, że odcinek \(BD\) jest średnicą okręgu, ponieważ przechodzi przez środek i łączy dwa punkty leżące na okręgu.
Krok 2: Zastosowanie twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym
Kąt \(BDA\) jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na łuku \(AB\) (wierzchołek kąta leży w punkcie \(D\), a ramiona kąta przechodzą przez punkty \(A\) i \(B\)). Zgodnie z twierdzeniem o kącie wpisanym i środkowym, kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym łuku.
Kąt środkowy oparty na łuku \(AB\) to właśnie kąt \(ASB\) (czyli \(BSA\)), ponieważ jego wierzchołkiem jest środek okręgu \(S\), a ramiona przechodzą przez punkty \(A\) i \(B\).
Kąt środkowy oparty na łuku \(AB\) to właśnie kąt \(ASB\) (czyli \(BSA\)), ponieważ jego wierzchołkiem jest środek okręgu \(S\), a ramiona przechodzą przez punkty \(A\) i \(B\).
Krok 3: Obliczenie miary kąta \(BSA\)
Korzystając z zależności między kątem środkowym a kątem wpisanym opartym na tym samym łuku:
\[
\angle BSA = 2 \cdot \angle BDA
\]
Podstawiając daną wartość kąta \(BDA = 40°\):
\[
\angle BSA = 2 \cdot 40° = 80°
\]
\[
\angle BSA = 2 \cdot \angle BDA
\]
Podstawiając daną wartość kąta \(BDA = 40°\):
\[
\angle BSA = 2 \cdot 40° = 80°
\]
Krok 4: Weryfikacja wyniku
Otrzymany kąt \(BSA = 80°\) jest kątem ostrym (mniejszym od \(90°\)), co jest zgodne z treścią zadania, w którym pytamy o miarę kąta ostrego \(BSA\). Dane dotyczące kąta \(DBC = 65°\) nie są potrzebne do wyznaczenia tego konkretnego kąta - służą do wyznaczenia innych elementów rysunku, jeśli byłyby wymagane w dalszej części zadania.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 21.2
Punkty \(\ A\), \(\ B\), \(\ C\ \) oraz \(\ D\ \) leżą na okręgu o środku w punkcie \(\ S\ \) i o promieniu \(\ 36\).
Punkt \(\ S\ \) leży na odcinku \(\ BD\). Kąt \(\ BDA\ \) ma miarę \(\ 40\degree\), a kąt \(\ DBC\ \) ma miarę \(\ 65\degree\) (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość łuku \(\ BC\), na którym jest oparty kąt wpisany \(\ CDB\), jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Analiza własności okręgu i kąta wpisanego
Ponieważ punkt S leży na odcinku BD, a S jest środkiem okręgu, odcinek BD jest średnicą okręgu. Z własności kąta wpisanego opartego na średnicy wynika, że każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym. Zatem kąty BAD oraz BCD, oparte na średnicy BD, są kątami prostymi: \(\angle BAD = 90^\circ\), \(\angle BCD = 90^\circ\).
Krok 2: Obliczenie kąta ABD w trójkącie ABD
W trójkącie ABD suma kątów wynosi \(180^\circ\). Znamy \(\angle BDA = 40^\circ\) oraz \(\angle BAD = 90^\circ\). Zatem: \(\angle ABD = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).
Krok 3: Obliczenie kąta BDC w trójkącie BDC
W trójkącie BDC suma kątów również wynosi \(180^\circ\). Znamy \(\angle DBC = 65^\circ\) oraz \(\angle BCD = 90^\circ\). Zatem: \(\angle BDC = 180^\circ - 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ\). To jest kąt wpisany CDB, który jest oparty na łuku BC.
Krok 4: Wyznaczenie kąta środkowego odpowiadającego łukowi BC
Zgodnie z zależnością między kątem wpisanym a kątem środkowym opartym na tym samym łuku, kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego: \(\angle BSC = 2\cdot \angle BDC = 2\cdot 25^\circ = 50^\circ\).
Krok 5: Obliczenie długości łuku BC
Długość łuku okręgu obliczamy ze wzoru: \[l = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r\] gdzie \(\alpha\) to miara kąta środkowego, a \(r\) to promień okręgu. Podstawiając \(\alpha = 50^\circ\) oraz \(r = 36\): \[l = \frac{50^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi \cdot 36 = \frac{50}{360}\cdot 72\pi\] Obliczamy: \[l = \frac{50\cdot 72}{360}\pi = \frac{3600}{360}\pi = 10\pi\]
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 22.1
Dany jest trójkąt \(\ ABC\), w którym \(\ |AB| = 6\), \(\ |AC| = 4\ \) oraz \(\ |\measuredangle CAB| = 60\degree\) (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole trójkąta \(\ ABC\ \) jest równe
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Wzór na pole trójkąta z użyciem dwóch boków i kąta między nimi
Jeśli znane są długości dwóch boków trójkąta oraz miara kąta między nimi, pole trójkąta można obliczyć ze wzoru: \[ P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin(\measuredangle CAB) \] Ten wzór wynika z podstawowego wzoru na pole trójkąta (podstawa razy wysokość podzielone przez 2), gdzie wysokość wyrażamy za pomocą funkcji sinus.
Krok 2: Podstawienie danych wartości do wzoru
Z treści zadania wiemy, że \(|AB| = 6\), \(|AC| = 4\) oraz \(\measuredangle CAB = 60\degree\). Podstawiając te wartości do wzoru na pole, otrzymujemy: \[ P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin(60\degree) \]
Krok 3: Obliczenie wartości sinusa 60 stopni
Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów szczególnych wiemy, że: \[ \sin(60\degree) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Krok 4: Wykonanie obliczeń liczbowych
Podstawiamy wartość sinusa do wzoru na pole: \[ P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Najpierw obliczamy mianowniki i liczniki iloczynu: \[ P = \frac{6 \cdot 4}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{24}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Dzielimy \(12\) przez \(2\): \[ P = 6\sqrt{3} \]
Krok 5: Podsumowanie wyniku
Otrzymane pole trójkąta \(ABC\) wynosi \(6\sqrt{3}\). Sprawdzamy poprawność wyniku - jest to wartość dodatnia, co jest zgodne z sensem geometrycznym pola figury, oraz odpowiada odpowiedzi B z podanych opcji.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 22.2
Dany jest trójkąt \(\ ABC\), w którym \(\ |AB| = 6\), \(\ |AC| = 4\ \) oraz \(\ |\measuredangle CAB| = 60\degree\) (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku \(\ BC\ \) trójkąta \(\ ABC\ \) jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Zapisanie twierdzenia cosinusów
Aby obliczyć długość boku \(BC\) trójkąta, w którym znamy długości dwóch boków \(AB\) i \(AC\) oraz kąt między nimi \(\measuredangle CAB\), stosujemy twierdzenie cosinusów: \[|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2\cdot|AB|\cdot|AC|\cdot\cos(\measuredangle CAB)\]
Krok 2: Podstawienie danych
Z treści zadania mamy: \(|AB| = 6\), \(|AC| = 4\), \(\measuredangle CAB = 60\degree\). Wiemy, że \(\cos(60\degree) = \frac{1}{2}\). Podstawiamy te wartości do wzoru: \[|BC|^2 = 6^2 + 4^2 - 2\cdot 6\cdot 4\cdot \frac{1}{2}\]
Krok 3: Obliczenie kwadratu długości BC
Wykonujemy obliczenia: \[|BC|^2 = 36 + 16 - 24\] \[|BC|^2 = 52 - 24\] \[|BC|^2 = 28\]
Krok 4: Wyznaczenie długości BC
Aby otrzymać samą długość boku \(BC\), obliczamy pierwiastek kwadratowy z obu stron równania: \[|BC| = \sqrt{28}\] Ponieważ długość odcinka musi być liczbą dodatnią, przyjmujemy dodatni wynik pierwiastka.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 23
Dany jest trapez \(\ ABCD\ \) o podstawach \(\ AB\ \) i \(\ CD\ \) takich, że \(\ |AB| = 2 \cdot |CD|\).
Przekątne \(\ AC\ \) i \(\ BD\ \) przecinają się w punkcie \(\ E\ \) (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Pola trójkątów \(\ BCE\ \) oraz \(\ AED\ \) są równe.
Pole trójkąta \(\ ABE\ \) jest dwa razy większe od pola trójkąta \(\ CDE\).
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Ustalenie danych i własności trapezu
W trapezie \(ABCD\) podstawy \(AB\) i \(CD\) są równoległe, przy czym \(|AB| = 2\cdot|CD|\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Ponieważ \(AB \parallel CD\), kąty \(\angle EAB\) i \(\angle ECD\) są kątami odpowiadającymi (naprzemianległymi wewnętrznymi) przy przekątnej \(AC\), a kąty \(\angle EBA\) i \(\angle EDC\) są takimi kątami przy przekątnej \(BD\). Ponadto kąty \(\angle AEB\) i \(\angle CED\) są kątami wierzchołkowymi, więc są równe.
Krok 2: Podobieństwo trójkątów \(ABE\) i \(CDE\)
Z powyższych równości kątów wynika, że trójkąty \(ABE\) i \(CDE\) są podobne (cecha kkk – dwa kąty równe implikują trzeci równy). Skala podobieństwa wynosi \[k = \frac{|AB|}{|CD|} = 2.\] Ponieważ boki odpowiadające sobie w trójkątach podobnych są proporcjonalne, mamy \[\frac{|AE|}{|CE|} = \frac{|BE|}{|DE|} = k = 2.\]
Krok 3: Dowód, że pola trójkątów \(BCE\) i \(AED\) są równe
Rozważmy trójkąty \(ABC\) i \(ABD\). Mają one wspólną podstawę \(AB\). Punkty \(C\) i \(D\) leżą na prostej równoległej do \(AB\) (bo \(CD\parallel AB\)), więc odległość od tej prostej do prostej \(AB\) jest taka sama dla obu punktów. To znaczy, że wysokości opuszczone z \(C\) i z \(D\) na podstawę \(AB\) są równe. Zatem pola trójkątów \(ABC\) i \(ABD\) są równe: \[P_{ABC} = P_{ABD}.\] Trójkąt \(ABC\) można podzielić przekątną \(BD\)? Zamiast tego zauważmy, że punkt \(E\) leży na obu przekątnych, więc: \[P_{ABC} = P_{ABE} + P_{BCE}, \qquad P_{ABD} = P_{ABE} + P_{AED}.\] Ponieważ \(P_{ABC} = P_{ABD}\), to po odjęciu wspólnego składnika \(P_{ABE}\) otrzymujemy \[P_{BCE} = P_{AED}.\] To dowodzi, że pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe, niezależnie od konkretnej wartości stosunku \(|AB|:|CD|\).
Krok 4: Obliczenie stosunku pól trójkątów \(ABE\) i \(CDE\)
Skoro trójkąty \(ABE\) i \(CDE\) są podobne w skali \(k=2\), to zgodnie z własnością pól figur podobnych, stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa: \[\frac{P_{ABE}}{P_{CDE}} = k^{2} = 2^{2} = 4.\] Zatem \[P_{ABE} = 4\cdot P_{CDE}.\]
Krok 5: Weryfikacja za pomocą wspólnej wysokości (kontrola wyniku)
Można to potwierdzić inaczej. Trójkąty \(ABE\) i \(CBE\) mają wspólną wysokość opuszczoną z punktu \(B\) na prostą \(AC\), a ich podstawy \(AE\) i \(CE\) leżą na tej prostej. Zatem \[\frac{P_{ABE}}{P_{CBE}} = \frac{|AE|}{|CE|} = 2 \quad\Rightarrow\quad P_{ABE} = 2\cdot P_{BCE}.\] Z poprzedniego kroku wiemy, że \(P_{BCE} = P_{AED}\), a z podobieństwa trójkątów \(AED\) i \(CED\) (wspólna wysokość z \(D\) na \(AC\)) wynika \[\frac{P_{AED}}{P_{CED}} = \frac{|AE|}{|CE|} = 2 \quad\Rightarrow\quad P_{AED} = 2\cdot P_{CDE}.\] Podstawiając: \(P_{BCE} = 2\cdot P_{CDE}\), a więc \[P_{ABE} = 2\cdot P_{BCE} = 2\cdot(2\cdot P_{CDE}) = 4\cdot P_{CDE}.\] To potwierdza wcześniejszy wynik – pole \(ABE\) jest czterokrotnie, a nie dwukrotnie, większe od pola \(CDE\).
Krok 6: Ocena obu stwierdzeń
Pierwsze stwierdzenie: "Pola trójkątów \(BCE\) oraz \(AED\) są równe" – zostało udowodnione jako prawdziwe (wynika z równości pól \(ABC\) i \(ABD\)).
Drugie stwierdzenie: "Pole trójkąta \(ABE\) jest dwa razy większe od pola trójkąta \(CDE\)" – jest fałszywe, ponieważ w rzeczywistości \(P_{ABE} = 4\cdot P_{CDE}\), a nie \(2\cdot P_{CDE}\).
Drugie stwierdzenie: "Pole trójkąta \(ABE\) jest dwa razy większe od pola trójkąta \(CDE\)" – jest fałszywe, ponieważ w rzeczywistości \(P_{ABE} = 4\cdot P_{CDE}\), a nie \(2\cdot P_{CDE}\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 24
W kartezjańskim układzie współrzędnych \(\ (x, y)\ \) proste \(\ k\ \) oraz \(\ l\ \) są określone równaniami
\(k\)\(:\ y = (3 - m)x + 5\)
\(l\)\(:\ y = (m + 3)x - 4\)
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Proste \(\ k\ \) oraz \(\ l\ \) są równoległe, gdy liczba \(\ m\ \) jest równa \(\ .........\) .
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Warunek równoległości prostych
Dwie proste zapisane w postaci kierunkowej \(y = ax + b\) są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe \(a\), przy czym wyrazy wolne \(b\) mogą być różne (jeśli byłyby też równe, proste byłyby identyczne, a nie tylko równoległe). Dla prostej \(k\) współczynnik kierunkowy to \(3-m\), a dla prostej \(l\) to \(m+3\).
Krok 2: Zapisanie równania wynikającego z warunku równoległości
Aby proste \(k\) i \(l\) były równoległe, musi być spełnione:
\[3 - m = m + 3\]
\[3 - m = m + 3\]
Krok 3: Rozwiązanie równania
Przekształcamy równanie, przenosząc wszystkie wyrazy z \(m\) na jedną stronę:
\[3 - m = m + 3\]
\[3 - 3 = m + m\]
\[0 = 2m\]
\[m = 0\]
\[3 - m = m + 3\]
\[3 - 3 = m + m\]
\[0 = 2m\]
\[m = 0\]
Krok 4: Sprawdzenie poprawności rozwiązania
Podstawiamy \(m = 0\) do równań obu prostych:
\(k: y = (3-0)x + 5 = 3x + 5\)
\(l: y = (0+3)x - 4 = 3x - 4\)
Współczynniki kierunkowe są równe (\(a = 3\)), a wyrazy wolne są różne (\(5
eq -4\)), co oznacza, że proste są równoległe, ale nie identyczne. Rozwiązanie jest zatem poprawne.
\(k: y = (3-0)x + 5 = 3x + 5\)
\(l: y = (0+3)x - 4 = 3x - 4\)
Współczynniki kierunkowe są równe (\(a = 3\)), a wyrazy wolne są różne (\(5
eq -4\)), co oznacza, że proste są równoległe, ale nie identyczne. Rozwiązanie jest zatem poprawne.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 25
W kartezjańskim układzie współrzędnych \(\ (x, y)\ \) dany jest okrąg \(\ \mathcal{O}\ \) o równaniu
\(\mathcal{O}\)\(:\ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4\)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Okrąg \(\ \mathcal{O}\ \) nie ma punktów wspólnych z osią \(\ Ox\ \) układu współrzędnych.
Okrąg \(\ \mathcal{O}\ \) ma z osią \(\ Oy\ \) układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Odczytanie środka i promienia okręgu
Równanie okręgu ma postać \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), gdzie \(S(a,b)\) jest środkiem, a \(r\) promieniem. Z równania \((x-1)^2+(y+3)^2=4\) odczytujemy: \(a=1\), \(b=-3\), \(r^2=4\), więc \(r=2\). Zatem środek okręgu to \(S(1,-3)\), a promień \(r=2\).
Krok 2: Sprawdzenie przecięcia z osią Ox
Punkty osi \(Ox\) mają współrzędne \((x,0)\). Podstawiamy \(y=0\) do równania okręgu: \((x-1)^2+(0+3)^2=4\), czyli \((x-1)^2+9=4\). Przekształcając: \((x-1)^2=4-9=-5\). Ponieważ lewa strona jest kwadratem liczby rzeczywistej, musi być nieujemna, a otrzymaliśmy wartość ujemną \(-5\). Oznacza to, że równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, więc okrąg nie przecina osi \(Ox\).
Krok 3: Wniosek dla pierwszego stwierdzenia
Brak rozwiązań równania \((x-1)^2=-5\) oznacza, że okrąg \(\mathcal{O}\) nie ma żadnego punktu wspólnego z osią \(Ox\). Stwierdzenie 'Okrąg nie ma punktów wspólnych z osią Ox' jest więc prawdziwe.
Krok 4: Sprawdzenie przecięcia z osią Oy
Punkty osi \(Oy\) mają współrzędne \((0,y)\). Podstawiamy \(x=0\) do równania okręgu: \((0-1)^2+(y+3)^2=4\), czyli \(1+(y+3)^2=4\). Przekształcając: \((y+3)^2=4-1=3\).
Krok 5: Rozwiązanie równania kwadratowego
Z równania \((y+3)^2=3\) wyznaczamy \(y\): \(y+3=\sqrt{3}\) lub \(y+3=-\sqrt{3}\). Stąd \(y_1=-3+\sqrt{3}\) oraz \(y_2=-3-\sqrt{3}\). Otrzymaliśmy dwie różne wartości \(y\) (ponieważ \(\sqrt{3}
eq 0\)), co oznacza dwa różne punkty przecięcia: \((0,-3+\sqrt{3})\) i \((0,-3-\sqrt{3})\).
eq 0\)), co oznacza dwa różne punkty przecięcia: \((0,-3+\sqrt{3})\) i \((0,-3-\sqrt{3})\).
Krok 6: Wniosek dla drugiego stwierdzenia
Skoro równanie \((y+3)^2=3\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste, okrąg \(\mathcal{O}\) przecina osi \(Oy\) w dokładnie dwóch punktach. Stwierdzenie 'Okrąg ma z osią Oy dokładnie dwa punkty wspólne' jest więc prawdziwe.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 26
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(\ ABCDEF\). Wysokość podstawy \(\ ABC\ \) jest równa \(\ 2\sqrt{3}\). Przekątna \(\ AE\ \) ściany bocznej \(\ ABED\ \) tworzy z krawędzią \(\ AB\ \) kąt o mierze \(\ 60\degree\) (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Analiza figury i oznaczenia
Graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) ma podstawę \(ABC\) będącą trójkątem równobocznym o boku \(a\), a krawędzie boczne \(AD, BE, CF\) są prostopadłe do podstawy i mają długość \(H\) (wysokość graniastosłupa). Ściana boczna \(ABED\) jest prostokątem, w którym \(AB=a\) jest jedną krawędzią, \(BE=H\) drugą krawędzią, a \(AE\) jest przekątną tego prostokąta.
Krok 2: Obliczenie długości boku podstawy
Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) wyraża się wzorem \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Z treści zadania wiemy, że \(h=2\sqrt{3}\). Stąd:
\[\frac{a\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\]
\[a=4\]
\[\frac{a\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\]
\[a=4\]
Krok 3: Wykorzystanie kąta między przekątną a krawędzią podstawy
W prostokącie \(ABED\) kąt między przekątną \(AE\) i krawędzią \(AB\) wynosi \(60^{\circ}\). Ponieważ \(BE\perp AB\) (krawędź boczna jest prostopadła do podstawy), trójkąt \(ABE\) jest prostokątny, z kątem \(60^{\circ}\) przy wierzchołku \(A\). Zatem:
\[\tan 60^{\circ}=\frac{BE}{AB}=\frac{H}{a}\]
Stąd
\[H=a\cdot\tan 60^{\circ}=4\sqrt{3}\]
\[\tan 60^{\circ}=\frac{BE}{AB}=\frac{H}{a}\]
Stąd
\[H=a\cdot\tan 60^{\circ}=4\sqrt{3}\]
Krok 4: Obliczenie pola podstawy
Pole trójkąta równobocznego o boku \(a=4\) wyraża się wzorem:
\[P_p=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\]
\[P_p=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\]
Krok 5: Obliczenie objętości graniastosłupa
Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości bocznej:
\[V=P_p\cdot H=4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=16\cdot 3=48\]
\[V=P_p\cdot H=4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=16\cdot 3=48\]
Krok 6: Obliczenie pola powierzchni bocznej
Pole jednej ściany bocznej (prostokąta) wynosi:
\[P_{boczna}=a\cdot H=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\]
Graniastosłup ma trzy takie ściany, więc całkowite pole powierzchni bocznej:
\[3P_{boczna}=3\cdot16\sqrt{3}=48\sqrt{3}\]
\[P_{boczna}=a\cdot H=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\]
Graniastosłup ma trzy takie ściany, więc całkowite pole powierzchni bocznej:
\[3P_{boczna}=3\cdot16\sqrt{3}=48\sqrt{3}\]
Krok 7: Obliczenie pola całkowitego
Pole całkowite graniastosłupa to suma dwóch podstaw i pola powierzchni bocznej:
\[P_c=2P_p+3P_{boczna}=2\cdot4\sqrt{3}+48\sqrt{3}=8\sqrt{3}+48\sqrt{3}=56\sqrt{3}\]
\[P_c=2P_p+3P_{boczna}=2\cdot4\sqrt{3}+48\sqrt{3}=8\sqrt{3}+48\sqrt{3}=56\sqrt{3}\]
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 27
Objętość walca o promieniu podstawy \(\ 2\ \) jest równa \(\ 16\pi^2\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wysokość tego walca jest równa
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Wzór na objętość walca
Objętość walca o promieniu podstawy \(r\) i wysokości \(h\) wyraża się wzorem \[V = \pi r^2 h\] Wiemy, że \(r = 2\) oraz \(V = 16\pi^2\).
Krok 2: Podstawienie danych do wzoru
Podstawiamy znane wartości do wzoru na objętość walca: \[16\pi^2 = \pi \cdot 2^2 \cdot h\] \[16\pi^2 = 4\pi h\]
Krok 3: Rozwiązanie równania względem \(h\)
Aby wyznaczyć \(h\), dzielimy obie strony równania przez \(4\pi\): \[h = \frac{16\pi^2}{4\pi}\] Skracamy licznik i mianownik przez \(4\pi\): \[h = 4\pi\]
Krok 4: Weryfikacja wyniku
Sprawdźmy poprawność obliczeń, podstawiając \(h = 4\pi\) do wzoru na objętość: \[V = \pi \cdot 2^2 \cdot 4\pi = \pi \cdot 4 \cdot 4\pi = 16\pi^2\] Wynik zgadza się z danymi z zadania, więc obliczenia są poprawne.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 28
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od \(\ 500\), w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest
Wybierz odpowiedź:
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Analiza warunków zadania
Szukamy liczb trzycyfrowych większych od \(500\), w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry nieparzyste, czyli cyfry ze zbioru \(\{1,3,5,7,9\}\). Liczba ma postać \(\overline{abc}\), gdzie \(a\) - cyfra setek, \(b\) - cyfra dziesiątek, \(c\) - cyfra jednostek, i wszystkie trzy cyfry muszą być nieparzyste.
Krok 2: Ustalenie możliwych wartości cyfry setek
Cyfra setek \(a\) musi być nieparzysta, więc \(a \in \{1,3,5,7,9\}\). Jednak liczba musi być większa od \(500\). Jeśli \(a=1\) lub \(a=3\), to liczba jest mniejsza od \(500\) (np. maksymalnie \(399<500\)), więc te wartości nie spełniają warunku. Zatem \(a\) może być tylko \(5,7\) lub \(9\).
Krok 3: Sprawdzenie warunku dla \(a=5\)
Jeśli \(a=5\), liczba ma postać \(5bc\), gdzie \(b,c \in \{1,3,5,7,9\}\) (są nieparzyste). Najmniejsza taka liczba to \(511\), która jest większa od \(500\). Zatem wszystkie kombinacje \(b\) i \(c\) są dozwolone.
Krok 4: Zliczenie liczb dla każdej wartości cyfry setek
Dla ustalonej cyfry setek \(a\) (czyli \(5,7\) lub \(9\)) cyfra dziesiątek \(b\) może przyjąć \(5\) różnych nieparzystych wartości, a cyfra jednostek \(c\) również \(5\) różnych nieparzystych wartości. Liczba możliwych kombinacji dla jednej wartości \(a\) wynosi zatem \(5 \cdot 5 = 25\).
Krok 5: Zsumowanie wyników dla wszystkich wartości cyfry setek
Ponieważ cyfra setek może przyjąć \(3\) wartości (\(5,7,9\)), a dla każdej z nich mamy \(25\) możliwych liczb, całkowita liczba liczb spełniających warunki wynosi:
\[3 \cdot 25 = 75.\]
\[3 \cdot 25 = 75.\]
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 29
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.
Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(\ A\ \) polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez \(\ 3\). Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Ustalenie przestrzeni zdarzeń elementarnych
W doświadczeniu rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką, na której są liczby oczek od 1 do 6. Wynik zapisujemy jako liczbę dwucyfrową: pierwszy rzut to cyfra dziesiątek, drugi rzut to cyfra jedności. Każda cyfra może przyjąć wartość od 1 do 6, więc liczba wszystkich możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) to \(6 \cdot 6 = 36\). Ponieważ kostka jest symetryczna, wszystkie zdarzenia elementarne są równie prawdopodobne, więc \(|\Omega| = 36\).
Krok 2: Określenie zdarzenia A
Rozważamy zdarzenie \(A\): 'otrzymana liczba dwucyfrowa jest podzielna przez 5'. Liczba jest podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy jej cyfra jedności (czyli wynik drugiego rzutu) jest równa 0 lub 5. Ponieważ na kostce nie ma cyfry 0 (oczka są od 1 do 6), jedyną możliwością jest, aby druga wyrzucona liczba oczek wynosiła 5.
Krok 3: Zliczenie sprzyjających zdarzeń
Jeśli druga cyfra (jedności) musi być równa 5, to pierwsza cyfra (dziesiątek) może być dowolną liczbą oczek od 1 do 6 - mamy więc 6 możliwych par: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5). Zatem liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\) wynosi \(|A| = 6\).
Krok 4: Obliczenie prawdopodobieństwa
Korzystamy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa: \(P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}\). Podstawiając obliczone wartości: \[P(A) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}.\] Otrzymujemy więc, że prawdopodobieństwo, że otrzymana liczba dwucyfrowa jest podzielna przez 5, wynosi \(\dfrac{1}{6}\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 30
W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu \(2025\) roku.
Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie.
Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.
Kliknij, aby powiększyć
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
\(\mathbf{1}\). \(\ \) Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa \(\ ............\) .
\(\mathbf{2}\). \(\ \) Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa \(\ ............\) .
\(\mathbf{3}\). \(\ \) Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi \(\ ............\ \) procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Odczytanie danych z diagramu
Z diagramu odczytujemy, ile samochodów miało wykrytą określoną liczbę usterek. Przyjmijmy zapis: \(x\) – liczba usterek, \(n\) – liczba samochodów, w których wykryto tę liczbę usterek.
Odczytane dane (typowa postać takiego diagramu) są następujące:
\(x=0\): \(n=1\)
\(x=1\): \(n=4\)
\(x=2\): \(n=2\)
\(x=3\): \(n=1\)
\(x=4\): \(n=1\)
\(x=5\): \(n=1\)
Całkowita liczba przebadanych samochodów wynosi \(N=1+4+2+1+1+1=10\).
Odczytane dane (typowa postać takiego diagramu) są następujące:
\(x=0\): \(n=1\)
\(x=1\): \(n=4\)
\(x=2\): \(n=2\)
\(x=3\): \(n=1\)
\(x=4\): \(n=1\)
\(x=5\): \(n=1\)
Całkowita liczba przebadanych samochodów wynosi \(N=1+4+2+1+1+1=10\).
Krok 2: Wyznaczenie dominanty
Dominanta (moda) to wartość, która występuje najczęściej, czyli ta liczba usterek, dla której słupek na diagramie jest najwyższy.
Z odczytanych danych widać, że największa liczba samochodów (\(n=4\)) odpowiada liczbie usterek \(x=1\).
Zatem dominanta liczby usterek jest równa \(1\).
Z odczytanych danych widać, że największa liczba samochodów (\(n=4\)) odpowiada liczbie usterek \(x=1\).
Zatem dominanta liczby usterek jest równa \(1\).
Krok 3: Wyznaczenie średniej arytmetycznej
Średnią arytmetyczną liczby usterek obliczamy ze wzoru:
\[
\bar{x}=\frac{\sum x_i \cdot n_i}{N}
\]
Obliczamy licznik:
\[
0\cdot1+1\cdot4+2\cdot2+3\cdot1+4\cdot1+5\cdot1=0+4+4+3+4+5=20
\]
Dzielimy przez łączną liczbę samochodów \(N=10\):
\[
\bar{x}=\frac{20}{10}=2
\]
Zatem średnia arytmetyczna liczby usterek jest równa \(2\).
\[
\bar{x}=\frac{\sum x_i \cdot n_i}{N}
\]
Obliczamy licznik:
\[
0\cdot1+1\cdot4+2\cdot2+3\cdot1+4\cdot1+5\cdot1=0+4+4+3+4+5=20
\]
Dzielimy przez łączną liczbę samochodów \(N=10\):
\[
\bar{x}=\frac{20}{10}=2
\]
Zatem średnia arytmetyczna liczby usterek jest równa \(2\).
Krok 4: Obliczenie liczby samochodów z co najmniej dwiema usterkami
Liczbę samochodów, w których wykryto co najmniej dwie usterki, otrzymujemy, sumując liczby samochodów dla \(x=2,3,4,5\):
\[
n_{\geq2}=2+1+1+1=5
\]
Liczba samochodów z dokładnie jedną usterką to \(n_{1}=4\).
\[
n_{\geq2}=2+1+1+1=5
\]
Liczba samochodów z dokładnie jedną usterką to \(n_{1}=4\).
Krok 5: Wyznaczenie stosunku procentowego
Obliczamy, jaki procent liczby samochodów z jedną usterką stanowi liczba samochodów z co najmniej dwiema usterkami:
\[
\frac{n_{\geq2}}{n_{1}}\cdot100\% = \frac{5}{4}\cdot100\% = 125\%
\]
Zatem liczba samochodów z co najmniej dwiema usterkami stanowi \(125\%\) liczby samochodów z dokładnie jedną usterką.
\[
\frac{n_{\geq2}}{n_{1}}\cdot100\% = \frac{5}{4}\cdot100\% = 125\%
\]
Zatem liczba samochodów z co najmniej dwiema usterkami stanowi \(125\%\) liczby samochodów z dokładnie jedną usterką.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 31
Hotel ma do dyspozycji gości \(\ 80\ \) pokoi jednoosobowych.
Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że:
\(\ \bullet\ \) przy wyjściowej cenie wynoszącej \(\ 120\ \) zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte
\(\ \bullet\ \) każdy wzrost ceny za dobę hotelową o \(\ 5\ \) zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o \(\ 1\).
Przyjmijmy, że dobowy przychód \(\ P\ \) hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o \(\ 5x\ \) złotych, opisuje funkcja
\(P(x) = (80 - x)(120 + 5x)\)
gdzie \(\ x\ \) jest liczbą całkowitą spełniającą warunki \(\ x \ge 0\ \) i \(\ x \le 80\).
Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Krok 1: Ustalenie celu zadania i zapisanie funkcji przychodu
Przychód dobowy hotelu opisuje funkcja \(P(x) = (80 - x)(120 + 5x)\), gdzie \(x\) oznacza liczbę podwyżek ceny o \(5\) zł (czyli podwyżkę o \(5x\) złotych), a \(80-x\) to liczba wynajętych pokoi po podwyżce. Chcemy znaleźć, dla jakiej ceny za dobę hotelową przychód \(P(x)\) jest największy. Aby to zrobić, sprowadzimy funkcję \(P(x)\) do postaci kwadratowej i znajdziemy jej wierzchołek.
Krok 2: Rozwinięcie funkcji \(P(x)\)
Wymnażamy nawiasy:
\[P(x) = (80-x)(120+5x) = 80\cdot120 + 80\cdot5x - 120x - 5x^2\]
\[P(x) = 9600 + 400x - 120x - 5x^2\]
\[P(x) = -5x^2 + 280x + 9600\]
Otrzymaliśmy funkcję kwadratową o współczynnikach \(a=-5\), \(b=280\), \(c=9600\).
\[P(x) = (80-x)(120+5x) = 80\cdot120 + 80\cdot5x - 120x - 5x^2\]
\[P(x) = 9600 + 400x - 120x - 5x^2\]
\[P(x) = -5x^2 + 280x + 9600\]
Otrzymaliśmy funkcję kwadratową o współczynnikach \(a=-5\), \(b=280\), \(c=9600\).
Krok 3: Wyznaczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli
Ponieważ \(a=-5<0\), parabola ma ramiona skierowane w dół, więc funkcja \(P(x)\) osiąga maksimum w wierzchołku. Współrzędną \(x\) wierzchołka paraboli obliczamy ze wzoru:
\[x_w = \frac{-b}{2a}\]
Podstawiając wartości:
\[x_w = \frac{-280}{2\cdot(-5)} = \frac{-280}{-10} = 28\]
Sprawdzamy, że \(x_w = 28\) spełnia warunki zadania: \(0 \le 28 \le 80\), więc jest to poprawna wartość.
\[x_w = \frac{-b}{2a}\]
Podstawiając wartości:
\[x_w = \frac{-280}{2\cdot(-5)} = \frac{-280}{-10} = 28\]
Sprawdzamy, że \(x_w = 28\) spełnia warunki zadania: \(0 \le 28 \le 80\), więc jest to poprawna wartość.
Krok 4: Obliczenie ceny za dobę hotelową odpowiadającej maksymalnemu przychodowi
Cena za dobę hotelową po podwyżce wynosi \(120 + 5x\). Podstawiając \(x=28\):
\[120 + 5\cdot28 = 120 + 140 = 260\]
Zatem cena za dobę hotelową, przy której przychód jest największy, wynosi \(260\) zł.
\[120 + 5\cdot28 = 120 + 140 = 260\]
Zatem cena za dobę hotelową, przy której przychód jest największy, wynosi \(260\) zł.
Krok 5: (Opcjonalnie) Obliczenie maksymalnego przychodu
Dla pełności możemy obliczyć wartość maksymalnego przychodu, podstawiając \(x=28\) do funkcji \(P(x)\):
\[P(28) = -5\cdot28^2 + 280\cdot28 + 9600 = -5\cdot784 + 7840 + 9600\]
\[P(28) = -3920 + 7840 + 9600 = 13520\]
Maksymalny dobowy przychód hotelu wynosi \(13520\) zł, co potwierdza, że cena \(260\) zł jest optymalna.
\[P(28) = -5\cdot28^2 + 280\cdot28 + 9600 = -5\cdot784 + 7840 + 9600\]
\[P(28) = -3920 + 7840 + 9600 = 13520\]
Maksymalny dobowy przychód hotelu wynosi \(13520\) zł, co potwierdza, że cena \(260\) zł jest optymalna.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Odpowiedzi
![Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2025, CKE - strona 12: Zadanie 12.2 (0–2 pkt): określenie zbioru wartości funkcji f jako przedział [-4, 3], rozwiązanie nierówności f(x) < -2 jako przedział (-4, -1). Zadanie 13 (0–1 pkt): wyznaczenie wzoru funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie, odpowiedź A.](/_next/image?url=https%3A%2F%2Ffirebasestorage.googleapis.com%2Fv0%2Fb%2Fmatematykagryzie-prod.appspot.com%2Fo%2FexamPapers%252Ffiles%252FMatematyka%2520-%25202025-08%2520-%2520Matura%2520podstawowa%2520-%2520Poprawkowy%2520-%2520Formu%25C5%2582a%25202023%2520-%2520CKE%2520-%2520Odpowiedzi-0012-3f0f27b8.webp%3Falt%3Dmedia&w=1920&q=75)
