Informator matury rozszerzonej z matematyki, sierpień 2024
CKE • formuła 2023Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury rozszerzonej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem, asystentem nauki AI:
Gryzikiem, asystentem nauki AI:- Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
- Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
- Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
- Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
- Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
- Oryginalne arkusze PDF do pobrania
Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi, gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże, co można poprawić.
Gryzik, asystent nauki, sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.
🎁 Bezpłatne szkolenie z matematyki do matury rozszerzonej
Zapisz się za darmoZadania interaktywne do rozwiązania online
Zadanie 1
Dany jest układ równań
\(\begin{cases} mx + y = m^2 \\ 4x + my = 8 \end{cases}\)
z niewiadomymi \(x\) i \(y\) oraz parametrem \(m \in \R\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których układ jest oznaczony, a para liczb \((x, y)\) będąca rozwiązaniem układu spełnia warunek \(|x + y| < 2\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 2
Dane są liczby \(a = (\log_{\sqrt{5}}2) \cdot \log_2 25\ \) i \(\ b = \frac{\log_56}{\log_58}\).
Oblicz \(a^{b + 1}\).
Obejrzyj rozwiązanie
@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!
Zadanie 3
Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu wielomianu \(W\) określonego wzorem
\(W(x) = \frac{1}{8}x^3 - 2x^2 + \frac{67}{8}x - 3\)
dla każdego \(x \in \R\).
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz wszystkie pierwiastki wielomianu \(W\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się, gdzie chcesz i kiedy chcesz!Zadanie 4
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \frac{-3x + 41}{x - 13}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 13\).
Punktem kratowym nazywamy punkt w kartezjańskim układzie współrzędnych, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi.
Wyznacz wszystkie punkty kratowe należące do wykresu funkcji \(f\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 5
Wielomian \(W\) jest określony wzorem \(W(x) = (x − 1)(x^2 − mx + m − 1)\) dla każdego \(x \in \R\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których wielomian \(W\) ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 6
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = px^2 + (p − 1)x + 1 − 2p\) dla każdego \(x \in \R\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p\), dla których funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe różniące się o \(1\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 7
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \frac{3x}{x + 1}\) dla każdego \(x \in (-1, +\infty)\).
Wykaż, że \(f\) jest funkcją rosnącą.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 8
Oblicz granicę \(\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{6^n + 7^n}\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 9
Syzyf codziennie stoi przed zadaniem wtoczenia ciężkiej kamiennej kuli na szczyt pewnej góry. W chwili \(t = 0\) znajduje się on w punkcie \(\mathcal{O}\) oddalonym od szczytu o \(4\) km, a położenie \(x\) Syzyfa wtaczającego kulę jest opisane zależnością
\(x(t) = −t^3 + 16.5t^2 + 180t\ \) dla \(\ t \in [0, 24]\)
gdzie \(x\) jest wyrażone w metrach, a \(t\) – w godzinach.
Oś \(\mathcal{O}x\) jest skierowana do wierzchołka góry i jest styczna w każdym punkcie do zbocza góry.
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz najmniejszą odległość, na jaką Syzyf zbliży się do wierzchołka góry, oraz największą prędkość, z jaką wtacza kamień pod górę. Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 10
Cztery miasta \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku \(300\) km. Pewna firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. (Przykład sieci dróg z dwoma węzłami, łączącej każde dwa z miast, przedstawiono na poniższym rysunku).
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być zlokalizowane węzły tej sieci. Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 11
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \frac{2x - 3}{x + 2} + 4\log_{\frac{1}{2}}x\) dla każdego \(x > 0\).
Wykaż, że funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe, które należy do przedziału \(\big[\frac{1}{2}, 4\big]\).
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 12
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \( f(x) = x^4 + 0.5 \cdot (2x + 1)^4\) dla każdego \(x \in \R\).
Oblicz najmniejszą wartość tej funkcji. Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 13
W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym \((a_n)\), określonym dla \(n \ge 1\), jest spełniony warunek
\(\frac{a_5 + a_3}{a_3} = \frac{29}{25}\)
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \(6\).
Wyznacz wzór ogólny na \(n\)–ty wyraz ciągu \((a_n)\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 14
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = x^6 − 2x^4 − x^3 + 1\) dla każdego \(x \in \R\).
Wykaż, że liczba \(5\) należy do zbioru wartości tej funkcji.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 15
Rozwiąż równanie
\((3 - 2\cos x)^2 = 8 \sin^2(\frac{x}{2}) - 8 \cos^2(\frac{x}{2}) + 12\)
w zbiorze \((0, \pi)\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 16
Wykaż, że równanie \(x^4 - 7x^3 + 9x^2 + 8x - 2 = 0\) ma w przedziale \((-2, 2)\) co najmniej dwa różne rozwiązania.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 17
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem
\(a_n = (n + 5)^2 \cdot \left(\frac{p + 1}{(n + 1)(n + 2)} + \frac{2p + 2}{(n + 2)(n + 3)} \right)\)
dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(p\), dla których granica ciągu \((a_n)\) jest równa \(12\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 18.1
Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(80\), pole powierzchni całkowitej jest równe \(256\) i długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż \(4\).
Wykaż, że układ równań
\(4a + 4b + 4c = 80\)
\(2ab + 2bc + 2ca = 256\)
z niewiadomymi \(a\) oraz \(b\) ma rozwiązanie, które jest parą liczb rzeczywistych nie mniejszych od \(4\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(c \in \big[4, \frac{28}{3}\big]\).
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 18.2
Rozpatrujemy wszystkie takie prostopadłościany, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(80\), pole powierzchni całkowitej jest równe \(256\) i długości wszystkich krawędzi są nie mniejsze niż \(4\).
Objętość \(V\) każdego z rozpatrywanych prostopadłościanów można wyrazić za pomocą funkcji
\(V(c) = c^3 - 20c^2 + 128c\)
gdzie \(c \in \big[4, \frac{28}{3}\big]\) jest długością jednej z krawędzi bryły.
Oblicz objętość tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest najmniejsza. Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 19
Na rysunku obok przedstawiono położenie miejscowości \(A\), \(B\) i \(C\) oraz zaznaczono odległości między nimi. O godzinie \(9\)\(:\)\(00\) z miejscowości \(A\) do \(C\) wyruszył zastęp harcerzy „Tropiciele” i przemieszczał się z prędkością \(4\) km/h. O tej samej godzinie z miejscowości \(B\) do \(A\) wyruszył zastęp harcerzy „Korsarze” i przemieszczał się z prędkością \(2\) km/h.
Kliknij, aby powiększyć
Wyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie najmniejsza. Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 20
Firma X wytwarza pewien produkt \(D\). Badania rynku pokazały, że związek między ilością \(Q\) produktu \(D\), jaką firma jest w stanie zbyć na rynku, a ceną \(P\) produktu jest następujący:
\(P(Q) = 90 − 0.1Q\) dla \(Q \in [0, 900]\)
gdzie \(P\) jest ceną za jednostkę produktu w złotych, a \(Q\) – ilością produktu w tys. sztuk.
Kliknij, aby powiększyć
Koszty \(K\) wytworzenia produktu \(D\) zależą od ilości \(Q\) wytwarzanego produktu następująco:
\(K(Q) = 0.002Q^3 + Q^2 + 29.9985Q + 50\)
gdzie \(K\) jest kosztem produkcji w tys. zł.
Oblicz, przy jakiej wielkości produkcji firma X osiąga największy dochód. Wynik podaj zaokrąglony z dokładnością do \(100\) sztuk. Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 21
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDE\) punkt \(O\) jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy \(ABCD\) do sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy \(1:5\). Przez przekątną \(AC\) podstawy i środek \(S\) krawędzi bocznej \(BE\) poprowadzono płaszczyznę.
Oblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę kąta \(BSO\) (w zaokrągleniu do \(1\degree\)). Zapisz obliczenia.
Wskazówka.
Skorzystaj z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (Wybrane wzory matematyczne, strona \(34\)).
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 22
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) proste o równaniach \(2x + y − 4m − 4 = 0\ \) oraz \(\ x − 3y + 5m + 5 = 0\) przecinają się w punkcie \(P\) o współrzędnych \((x_P, y_P)\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których współrzędne punktu \(P\) spełniają warunki:
\(x_P > 0\), \(y_P > 0\), \(y_P \ge x_P^2\) oraz \(2 < -\frac{8}{(y_P)^2} + \frac{8}{x_P}\).
Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 23
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) trapez \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o środku w punkcie \(S = (19, −11)\) i promieniu \(17\sqrt{2}\). Wierzchołek \(A\) trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek \(AB\) jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna \(AC\) trapezu \(ABCD\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y = x\).
Oblicz sinus kąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 24
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) czworokąt \(ABCD\) jest równoległobokiem takim, że \(\overrightarrow{BD} = [−21, −7]\ \) i \(\ \overrightarrow{DC} = [15, 8]\).
Oblicz pole tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 25
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkt \(P\) jest środkiem krawędzi \(CG\) tego sześcianu (zobacz rysunek poniżej).
\(|PG| = |PC|\)
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz odległość wierzchołka \(C\) od płaszczyzny zawierającej punkty \(B\), \(D\) oraz \(P\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 26
Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) o kątach prostych przy wierzchołkach \(A\) i \(D\). Ramię \(BC\) trapezu ma długość \(5\). W ten trapez wpisano okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(2\). Punkt \(P\) jest punktem styczności tego okręgu i dłuższej podstawy \(AB\) tego trapezu (zobacz rysunek).
Wykaż, że trójkąty \(BPS\ \) i \(\ BSC\) są trójkątami podobnymi, oraz oblicz skalę tego podobieństwa. Zapisz obliczenia.
Kliknij, aby powiększyć
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 27
Tomek i Marek chcą wejść docelowo na szczyt \(S\) pewnej góry. W chwili początkowej znajdują się w punkcie \(P\) położonym na stoku góry dokładnie na północ od szczytu na wysokości \(H_0\) metrów n.p.m. Tomek i Marek chcą dotrzeć do bazy \(B\) znajdującej się dokładnie na południe od szczytu na przeciwległym południowym stoku góry na wysokości \(H_1\) metrów n.p.m., a następnie z bazy wejść na szczyt leżący na wysokości \(H_2\) metrów n.p.m. (zobacz rysunek \(1.\)).
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz długość najkrótszej drogi, jaką muszą pokonać, aby dotrzeć do bazy. Zapisz obliczenia.
Przyjmij, że góra jest stożkiem o kącie rozwarcia \(\alpha\).
Kliknij, aby powiększyć
Wskazówka: Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła. Najkrótsza droga do bazy odpowiada najkrótszej drodze z punktu \(P\) do \(B\) na wycinku koła.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 28
Niech \(n\) będzie ustaloną liczbą naturalną dodatnią. Ze zbioru \(\mathbb{M} = \{1; 2; 3; … ; 3n + 1\}\) losujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie \(A\) odpowiada jednoczesnemu wylosowaniu ze zbioru \(\mathbb{M}\) trzech liczb, których suma przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\).
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 29
Pan Nowak często gra z synem w szachy. Obliczył, że \(40\%\) rozegranych z synem partii wygrywa.
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz, ile partii szachów musi rozegrać z synem pan Nowak, aby prawdopodobieństwo wygrania przez ojca przynajmniej jednej partii w całej rozgrywce było większe od \(0.95\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 30
Pewna choroba dotyka \(0.2\%\) całej populacji i w początkowym stadium nie daje widocznych objawów chorobowych. W ramach profilaktyki stosuje się pewien test przesiewowy, który daje wynik pozytywny lub negatywny. Prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie chorej da wynik pozytywny (oznaczający chorobę), jest równe \(0.99\). Ponadto wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że test wykonany na osobie zdrowej da wynik negatywny, jest równe \(0.98\).
Pan X poddał się testowi, który dał wynik pozytywny. Pozytywny wynik oznacza podejrzenie choroby.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pan X jest rzeczywiście chory. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 31
W pewnym mieście jest prostopadły układ ulic, a ruch na każdej z nich jest dwukierunkowy. W centrum miasta znajduje się park, gdzie obowiązuje całkowity zakaz ruchu pojazdów. Schemat ulic w tym mieście wraz z położeniem parku przedstawiono poniżej na rysunku. Tomek znajduje się w punkcie \(A\) miasta i chce dojechać samochodem najkrótszą drogą do punktu \(B\).
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz, ile jest najkrótszych dróg z \(A\) do \(B\). Zapisz obliczenia.
Kliknij, aby powiększyć