Informator matury rozszerzonej z matematyki, wrzesień 2013

Informator • CKE • wrzesień 2013 • formuła 2015

Informator matury rozszerzonej z matematyki. Poznaj strukturę egzaminu, rodzaje zadań i kryteria oceniania.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się, gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Sprawdzam kurs

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

🎁 Bezpłatne szkolenie z matematyki do matury rozszerzonej

Zapisz się za darmo

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 1: Strona tytułowa informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015, wydanego przez Centralną Komisję Egzaminacyjną i Okręgowe Komisje Egzaminacyjne. Brak zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 2: Strona zawiera informacje o projekcie "Pilotaż nowych egzaminów maturalnych", działanie 3.2, rozwój systemu egzaminów zewnętrznych, priorytet III, jakość systemu oświaty, Program Operacyjny Kapitał Ludzki. Na dole strony znajdują się logotypy Kapitału Ludzkiego, Centralnej Komisji Egzaminacyjnej oraz Unii Europejskiej.

Arkusz, strona 3 z 175 - wrzesień 2013, Matura rozszerzona, Matematyka, CKE

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 4: Strona zawiera listę kontaktową Okręgowych Komisji Egzaminacyjnych w Polsce, w tym adresy, numery telefonów i adresy e-mail dla komisji w Gdańsku, Jaworznie, Krakowie, Łomży, Łodzi, Poznaniu, Warszawie i Wrocławiu. Brak zadań matematycznych na tej stronie.

Arkusz, strona 5 z 175 - wrzesień 2013, Matura rozszerzona, Matematyka, CKE

$Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 6: Zadanie 5: Oblicz wartość wyrażenia $ \frac{3x^2 - 2x + 1}{x - 1} $ dla $ x = 2 $. Zadanie 6: Na rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm, oblicz długość przeciwprostokątnej. Zadanie 7: Rozwiąż równanie kwadratowe $ x^2 - 5x + 6 = 0 $.$

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 7: Wstęp do informatora o egzaminie maturalnym z matematyki na rok szkolny 2014/2015, podzielony na sześć części. Część 1: ogólne informacje o egzaminie i opis arkuszy. Część 2: zasady oceniania zadań otwartych. Część 3: przykłady zadań otwartych z rozwiązaniami. Część 4 i 5: przykładowe zadania na poziomie podstawowym i rozszerzonym. Część 6: informacje dla absolwentów niesłyszących. Zadania w informatorze nie wyczerpują wszystkich typów zadań.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 8: Strona zawiera tekst informacyjny dotyczący zasad obowiązujących na egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015, w tym odniesienia do rozporządzeń Ministra Edukacji Narodowej oraz informacji o dostępności Informatora na stronie CKE i stronach komisji okręgowych. Brak zadań matematycznych.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 9: Opis egzaminu maturalnego z matematyki. Tekst opisuje strukturę egzaminu maturalnego, wymagania programowe oraz różnice między poziomem podstawowym a rozszerzonym. Podkreślono znaczenie umiejętności rozwiązywania zadań matematycznych i zastosowania wiedzy w nowych kontekstach, np. twierdzenia Pitagorasa do obliczeń pola przekroju ostrosłupa.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 10: Opis arkusza dla poziomu podstawowego i rozszerzonego. Arkusz egzaminacyjny składa się z trzech grup zadań: I grupa zawiera zadania zamknięte, II grupa zadania otwarte krótkiej odpowiedzi, III grupa zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi. Zadania punktowane w różnych skalach w zależności od grupy. Szczegółowe wytyczne dotyczące sposobu oceniania i punktacji zadań w każdej grupie.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 11: Podstawowe zasady oceniania rozwiązań zadań otwartych. W zadaniach krótkiej odpowiedzi przyznaje się 1 lub 2 punkty za rozwiązanie z minimalnym postępem. W rozwiązaniach zadań rozszerzonej odpowiedzi wyróżnia się fazę pokonania zasadniczych trudności zadania, przyznając 2 lub 3 punkty. W zadaniach za 5 punktów za tę fazę przyznaje się 3 punkty, a w zadaniach za 6 punktów 4 punkty. Opisano kategorie rozwiązań i przyznawanie punktów za pokonanie trudności.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 12: Strona zawiera opis kryteriów oceniania zadań otwartych na maturze z matematyki. Przedstawiono sposób przydziału punktów za rozwiązanie zadań na 4 i 5 punktów. Dla zadań na 4 punkty: 0 pkt za brak postępu, 1 pkt za istotny postęp z błędami, 2 pkt za kontynuację z błędami, 3 pkt za rozwiązanie z błędami, 4 pkt za bezbłędne rozwiązanie. Dla zadań na 5 punktów: podobne kryteria z dodaniem 5 pkt za bezbłędne rozwiązanie.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 13: Przykładowy sposób przydziału punktów w zadaniu za 6 punktów: 1. brak istotnego postępu - 0 pkt, 2. niewielki postęp - 1 pkt, 3. istotny postęp bez pokonania trudności - 2 pkt, 4. pokonanie trudności z błędami - 3 pkt, 5. błędne pokonanie trudności - 4 pkt, 6. rozwiązanie z usterkami - 5 pkt, 7. bezbłędne rozwiązanie - 6 pkt. Celem jest zilustrowanie oceniania zadań otwartych.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 14: Zadanie I (0–3): Dany jest ostrokątny trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Na bokach, na zewnątrz trójkąta ABC, zbudowano kwadraty ABDE, BCFG i ACHJ. Wykazać, że pola trójkątów AHE i BEG są równe. Rozwiązanie: Omówiono cztery sposoby rozwiązania zadania. Sposób I (trygonometryczny): Przyjęto oznaczenia |AB|=|AE|=a, |AC|=|BC|=|BG|=b, kąty BAC=ABC=α. Obliczono pola P_AHE i P_BEG oraz długości |AH|=b√2, |BE|=a√2.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 15: Rozwiązanie zadania dotyczącego trójkąta równoramiennego i ostrokątnego ABC, gdzie kąt α > 45°. Wyznaczenie kąta wypukłego EAH jako 225°−α. Podobnie dla kąta EBG. Obliczenie pola trójkątów AHE i BEG za pomocą wzoru na pole trójkąta z sinusem kąta. Dowód równości pól P_AHE i P_BEG. Komentarz dotyczący rozwiązywania zadania, wskazanie możliwych błędów, takich jak pominięcie współczynnika 1/2 w obliczeniach.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 16: Schemat oceniania rozwiązania zadania dotyczącego obliczeń w trójkątach. Opisano sposób uzyskania punktów za istotny postęp, pokonanie zasadniczych trudności i pełne rozwiązanie. Uwagi dotyczą obliczeń w trójkącie AHE z bokami |AB|=a, |AC|=b, kątem |∠BAC|=α. Podano wzory: |AH|=b√2, |∠EAH|=225°-α, P_AHE=1/2 * a * b√2 * sin(225°-α). Wyjaśniono, jak przyznawane są punkty za różne etapy rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 17: Przedstawiono sposób II (stosunek pól) korzystający z własności trójkątów. Dane są trójkąty ABC i DEF, gdzie kąt A równa się kątowi D. Wzór proporcji pól trójkątów: P_ABC/P_DEF = (|AB|·|AC|)/(|DE|·|DF|). Podano wzory na pole trójkąta: P_ABC = 1/2·|AB|·|AC|·sin A oraz P_DEF = 1/2·|DE|·|DF|·sin D. Rysunek przedstawia trójkąty i wielokąt. Dowód polega na wykazaniu, że P_AHE = P_BEG, korzystając z proporcji pól i własności trójkątów.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 18: Kontynuacja rozwiązania zadania dotyczącego długości odcinków i równości kątów w trójkątach. Przyjęto oznaczenia |AB|=a, |AC|=b, |AH|=b√2, |EB|=a√2. Wykazano równość kątów ∡EAH=∡EBG. Obliczenia dotyczą stosunku pól trójkątów P_AHE i P_BEG, co prowadzi do równania P_AHE=P_BEG. Zawiera komentarz i schemat oceniania II sposobu rozwiązania, uwzględniający obliczenia długości boków i wykazanie równości kątów.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 19: Sposób III (geometria analityczna) opisuje rozwiązanie zadania poprzez wybór układu współrzędnych, obliczenie współrzędnych wierzchołków trójkątów AHE i BEG oraz obliczenie pól tych trójkątów. Wybór układu współrzędnych uwzględnia symetrię trójkąta równoramiennego ABC. Rysunek przedstawia trójkąt ABC w układzie współrzędnych z punktami A=(-a,0), B=(a,0), C=(0,h) oraz dodatkowymi punktami E, G, H, F, L, J, K, D.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 20: Wyjaśnienie dotyczące obrotu wektora [x, y] o 90° zgodnie z ruchem wskazówek zegara do wektora [y, -x]. Zadanie obejmuje obliczenia związane z wektorami CA=[-a, -h], CH=[-h, a], oraz wyznaczenie współrzędnych punktów G=(a+b, a) i H=(-h, a+h). Wyznaczanie równań prostych AC i prostopadłej przez punkt C. Obliczanie pól trójkątów AHE i BEG z użyciem wzoru na pole trójkąta. Współrzędne punktów E=(-a, -2a), A=(-a, 0), H=(-h, a+h), B=(a, 0), G=(a+h, a).

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 21: Strona zawiera uwagi dotyczące obliczania pól trójkątów, w tym możliwość wyznaczania długości boków i odległości wierzchołków. Opisany jest schemat oceniania III sposobu rozwiązania: umieszczenie trójkąta ABC w układzie współrzędnych, obliczenie współrzędnych punktów E, G i H, oraz obliczenie pól trójkątów AHE i BEG. Uwagi dotyczą błędów w wyznaczaniu współrzędnych i obliczaniu pól.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 22: Sposób IV (bezpośrednie obliczenie pól) w trójkącie ABC z wysokością CK. Punkt L jest rzutem prostokątnym punktu H na prostą KC, punkt P rzutem prostokątnym punktu G na prostą AB. Rysunek przedstawia trójkąty CLH i BPG przystające do trójkątów AKC i BKC. Oznaczenia: a = |AK| = |BK|, h = |CK|. Obliczenia dotyczące pól trójkątów i podobieństwa trójkątów EAO i GPO.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 23: Ciąg dalszy zadania dotyczącego dowodu równości pól trójkątów. Wzory: |BO|=|AO|-|AB|=2/3(2a+h)-2a=2/3(h-a), oraz P_EBG=P_EBO+P_GBO=1/2|BO|·|AE|+1/2|BO|·|GP|=1/2·2/3(h-a)·(2a+a)=a(h-a). Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania: istotny postęp, pokonanie zasadniczych trudności, rozwiązanie pełne. Uwagi dotyczące błędów i niekompletnych rozwiązań.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 24: Zadanie II (0-5): Ile jest nieparzystych liczb naturalnych trzycyfrowych, w których co najmniej jedna cyfra jest dziewiątką? Rozwiązanie: Omówiono 6 sposobów rozwiązania tego zadania. Sposób I: Opisano błędne rozumowanie polegające na wielokrotnym liczeniu tych samych liczb. Wyjaśniono poprawne podejście, uwzględniając różne przypadki umieszczenia cyfry 9 na pierwszym, drugim lub trzecim miejscu liczby. Podano przykłady i obliczenia, uzyskując 185 liczb.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 25: Strona zawiera opis schematu oceniania rozwiązania zadania otwartego. Przykład rozwiązania pokazuje, jak obliczyć liczbę 162 z 21 liczb z dwiema dziewiątkami, odejmując 21 i 2 od 185. Opisano różne poziomy postępu: postęp niewielki (1 pkt), istotny postęp (2 pkt), pokonanie zasadniczych trudności (4 pkt) i rozwiązanie pełne (5 pkt). Każdy poziom zawiera szczegółowe wyjaśnienie, co zdający powinien zauważyć i obliczyć, aby uzyskać odpowiednią liczbę punktów.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 26: Sposób II (pierwsza dziewiątka) - liczby dzielone na trzy grupy i liczone w każdej grupie. Pierwsza grupa: liczby zaczynające się dziewiątką, 50 liczb. Druga grupa: dziewiątka na drugim miejscu, 40 liczb. Trzecia grupa: dziewiątka na trzecim miejscu, 72 liczby. Łącznie 162 liczby. Komentarz: uwagi dotyczące błędów rachunkowych. Schemat oceniania: postęp niewielki 1 pkt, istotny postęp 2 pkt, pokonanie trudności 4 pkt, rozwiązanie pełne 5 pkt.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 27: Opis sposobu III rozwiązania zadania dotyczącego liczby dziewiątek. Wyjaśnienie obliczeń dla liczb z jedną, dwiema i trzema cyframi 9. Wymienione przypadki dla różnych pozycji dziewiątek oraz sumowanie wyników: 140 liczb z jedną dziewiątką, 21 liczb z dwiema dziewiątkami, 1 liczba z trzema dziewiątkami. Łącznie 162 liczby. Schemat oceniania: istotny postęp i pokonanie zasadniczych trudności z punktacją.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 28: Rozwiązanie pełne: zadanie dotyczące obliczenia liczby trzycyfrowych liczb nieparzystych, z uwzględnieniem błędów w obliczeniach. Sposób IV (uzupełnianie): opis metody obliczania liczby trzycyfrowych liczb nieparzystych z wykluczeniem cyfr 9. Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania: postęp niewielki, istotny postęp, pokonanie zasadniczych trudności, rozwiązanie pełne, z punktacją od 1 do 5 punktów za różne etapy poprawności rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 29: Opisuje zasadę włączeń i wyłączeń dla zbiorów A, B, C. Dane: |A|=50, |B|=45, |C|=90, |A∩B|=5, |A∩C|=10, |B∩C|=9, |A∩B∩C|=1. Obliczenia: |A∪B∪C|=162. Schemat oceniania: postęp niewielki (1 pkt) za zdefiniowanie zbiorów i zauważenie potrzeby obliczenia |A∪B∪C|, postęp większy (2 pkt) za obliczenie |A|, |B|, |C|, istotny postęp (3 pkt) za obliczenie przecięć zbiorów, pokonanie trudności (4 pkt) za poprawne zapisanie wzoru i danych.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 30: Sposób VI (wypisywanie liczb w kolejności rosnącej). Opisuje metodę wypisywania liczb trzycyfrowych w kolejności rosnącej, wykluczając liczby parzyste oraz te zawierające cyfrę 9. Wymieniono liczby od 109 do 999, spełniające te kryteria. W pierwszych 16 wierszach po 9 liczb, w jednym 5 liczb, a w kolejnych 10 wierszach po 5 liczb. Łącznie 162 liczby.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 31: Strona zawiera opis metody rozwiązywania zadania dotyczącego wypisywania liczb zaczynających się od cyfr różnej od 9. Opisano regułę, według której dla każdej cyfry c = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 można wypisać 14 liczb, co daje łącznie 112 liczb. Następnie liczby zaczynające się od dziewiątki, z możliwością wyboru dowolnej cyfry na drugim miejscu i jednej z pięciu cyfr nieparzystych na trzecim miejscu, co daje 50 liczb, łącznie 162 liczby. Zawarto komentarz dotyczący strategii zdających i schemat oceniania.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 32: Strona zawiera omówienie błędów w rozwiązywaniu zadania dotyczącego liczb zaczynających się od cyfry 1 oraz 9. Przykład błędów: pominięcie liczby 199, błędne obliczenie ilości liczb zaczynających się od cyfry 9. Podano błędne wyniki obliczeń: 8·15+50=170, 8·14+100=192, 8·15+100=220. Opisano zasady przyznawania punktów za różne poziomy poprawności rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 33: Zadanie III (0–3): Wykazać, że jeżeli x > 0, to x² + 16/x ≥ 12. Rozwiązanie: Omówienie 4 sposobów rozwiązania. Sposób I (pierwsza pochodna): Definiowanie funkcji f(x) = x² + 16/x dla x ∈ (0, +∞), obliczanie pochodnej f'(x) = 2x - 16/x². Analiza funkcji: malejąca w (0, 2), rosnąca w (2, +∞). Obliczenie f(2) = 12, co dowodzi, że f(x) ≥ 12. Schemat oceniania: Rozwiązanie z istotnym postępem, określenie funkcji i obliczenie pochodnej.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 34: Zadanie: Obliczenie miejsc zerowych pochodnej i wyznaczenie przedziałów, w których pochodna ma stały znak. f'(x)=0 dla x=2, f'(x)<0 dla x∈(0,2), f'(x)>0 dla x∈(2,+∞). Stwierdzenie: funkcja f jest malejąca w (0,2) i rosnąca w (2,+∞), x=2 ma wartość najmniejszą. Obliczenie f(2)=12, zapisanie wniosku: f(x)≥12. Uwagi dotyczące obliczeń i przykłady błędów w obliczaniu pochodnej.

$Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 35: Sposób II (przekształcenia równoważne) przedstawia przekształcenie nierówności $x^2 + \frac{16}{x} \geq 12$ do postaci $(x-2)^2 \left(1 + \frac{4}{x}\right) \geq 0$. Wyjaśniono, że dla $x > 0$ lewa strona nierówności jest nieujemna. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania: za zapisanie nierówności w postaci $(x-2)^2 + \frac{4}{x}(x-2)^2 \geq 0$ przyznawane są punkty za istotny postęp, pokonanie trudności i pełne rozwiązanie.$

$Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 36: Sposób III (funkcja wymierna) przedstawia rozwiązanie nierówności $x^2 + \frac{16}{x} \geq 12$ w postaci równoważnej $\frac{x^3 - 12x + 16}{x} \geq 0$. Przy założeniu $x > 0$, nierówność jest równoważna nierówności $x^3 - 12x + 16 \geq 0$. Określono wielomian $W(x) = x^3 - 12x + 16$ i zapisano go jako iloczyn $(x - 2)^2(x + 4)$. Stwierdzono, że $W(x) \geq 0$ dla $x > 0$, co kończy dowód. Schemat oceniania III sposobu rozwiązania zawiera kryteria przyznawania punktów za istotny postęp, pokonanie trudności i pełne rozwiązanie.$

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 37: Sposób IV: zastosowanie nierówności dla średniej arytmetycznej i geometrycznej. Rozumowanie: zapisanie nierówności w postaci x² + 8/x + 8/x, zastosowanie nierówności dla średnich, podstawienie a = x², b = 8/x, c = 8/x, uzyskanie x² + 8/x + 8/x ≥ 12. Schemat oceniania: rozwiązanie z niewielkim postępem, zapisanie nierówności, pokonanie trudności, pełne rozwiązanie z dowodem.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 38: Zadanie IV (0–7): Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek). Następnie zagięto karton, tworząc prostopadłościenne pudełko. Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość pudełka jest największa. Oblicz objętość. Rozwiązanie: Podstawa pudełka ma wymiary (80-2x)×(50-2x). Objętość V=(80-2x)×(50-2x)×x. Rozważamy funkcję f(x)=x³-65x²+1000x. Obliczamy pochodną f'(x)=3x²-130x+1000. Miejsca zerowe pochodnej: x₁=10, x₂=33⅓. Funkcja f rośnie na przedziałach (-∞,10) oraz (100/3,+∞), maleje w przedziale (10,100/3).

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 39: Kontynuacja zadania dotyczącego obliczania objętości prostopadłościanu. Wyjaśnienie, że funkcja V(x) ma ekstremum w punkcie x=10, gdzie przyjmuje wartość największą. Obliczenia prowadzą do objętości V=18000 cm³. Schemat oceniania: trzy etapy, w tym wybór zmiennej, wyznaczenie pochodnej funkcji f'(x)=3x²-130x+1000, obliczenie miejsc zerowych x₁=10, x₂=33⅓, uzasadnienie wartości największej. Komentarz dotyczący możliwych błędów w rozumowaniu.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 40: Zadanie 5: błędne określenie monotoniczności funkcji oraz jej ekstremów. Zadanie 6: brak uzasadnienia, błędne lub niepełne uzasadnienie, że funkcja V w punkcie x=10 przyjmuje maksimum lokalne. Zadanie 7: nieobliczenie lub błędne obliczenie największej objętości pudełka. Schemat oceniania pokazuje, jak w poszczególnych sytuacjach ocenić rozwiązanie zadania.

$Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 41: Zadanie 1: liczba $ \frac{8}{3^3} \cdot \sqrt[3]{9^2} $ jest równa; A) $ 3^3 $, B) $ \frac{32}{3^9} $, C) $ 3^4 $, D) $ 3^5 $. Rozwiązanie: C. Zadanie 2: liczba $ \log 24 $ jest równa; A) $ 2\log 2 + \log 20 $, B) $ \log 6 + 2\log 2 $, C) $ 2\log 6 - \log 12 $, D) $ \log 30 - \log 6 $. Rozwiązanie: B. Zadanie 3: rozwiązaniem równania $ \frac{x-3}{2-x} = \frac{1}{2} $ jest liczba; A) $ \frac{4}{3} $, B) $ -\frac{3}{4} $, C) $ \frac{3}{8} $, D) $ \frac{8}{3} $. Rozwiązanie: B.$

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 42: Zadanie 4: Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie x²-5x+6=0 jest A) -6, B) -3, C) -2, D) -1. Zadanie 5: Zbiorem rozwiązań nierówności x²≥5 jest A) (-∞,-√5)∪(√5,+∞), B) (-∞,-√5)∪(√5,+∞), C) (√5,+∞), D) (5,+∞). Zadanie 6: Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=(2-m)x+1. Wynika stąd, że A) m=0, B) m=1, C) m=2, D) m=3.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 43: Zadanie 7: Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x+1). Do wyboru są cztery wykresy oznaczone literami A, B, C, D. Każdy wykres znajduje się w układzie współrzędnych z zaznaczonymi osiami x i y oraz punktami charakterystycznymi.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 44: Zadanie 8: wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y = x² - 4x + 1. Opcje: A) x = -4, B) x = -2, C) x = 2, D) x = 4. Zadanie 9: prosta o równaniu y = a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej f(x) = x² - 2x - 1. Wynika stąd, że a = ? Opcje: A) a = 3, B) a = 0, C) a = -1, D) a = -3.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 45: Zadanie 10: Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f(x)=x²-4x+3 w przedziale ⟨0,3⟩? Odpowiedzi: A) -7, B) -4, C) -3, D) -2. Rozwiązanie: C. Zadanie 11: Które z równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu y=4x+5? Odpowiedzi: A) y=-4x+3, B) y=-1/4x+3, C) y=1/4x+3, D) y=4x+3. Rozwiązanie: B. Zadanie 12: Punkty A=(-1,3) i C=(7,9) są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta ABCD. Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy: A) 10, B) 6√2, C) 5, D) 3√2. Rozwiązanie: B.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 46: Strona zawiera jedynie napis "Rozwiązanie C" bez dodatkowych zadań, treści czy elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 47: Zadanie 13: Dane są długości boków |BC|=5 i |AC|=3 trójkąta prostokątnego ABC o kącie ostrym β. Oblicz wartość sin β, wybierz odpowiedź: A) 3/5, B) 4/5, C) 3/√34, D) 5/√34. Zadanie 14: Kąt α jest ostry i sin α=1/4. Oblicz wartość cos α, wybierz odpowiedź: A) <3/4, B) =3/4, C) =√13/4, D) =√13/4.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 48: Zadanie 15: Kąt α jest ostry i tg α = 1/2. Jaki warunek spełnia kąt α? A) α < 30°, B) α = 30°, C) α = 60°, D) α > 60°. Rozwiązanie A. Zadanie 16: Kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar to 180°. Jaka jest miara kąta środkowego? A) 60°, B) 90°, C) 120°, D) 135°. Rozwiązanie C. Zadanie 17: Ciąg (an) określony wzorem an = (-3)^n * (9 - n^2) dla n ≥ 1. Wynika, że A) a3 = -81, B) a3 = -27, C) a3 = 0, D) a3 > 0. Rozwiązanie C.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 49: Zadanie 18: Liczby x-1, 4 i 8 są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa A) 3, B) 1, C) -1, D) -7. Rozwiązanie B. Zadanie 19: Liczby 8, 4 i x+1 są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba x jest równa A) -3, B) -1,5, C) 1, D) 15. Rozwiązanie A. Zadanie 20: Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub 10, jest A) 25, B) 24, C) 21, D) 20. Rozwiązanie C.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 50: Zadanie 21: Liczba wszystkich sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa: A) 25, B) 20, C) 15, D) 12. Rozwiązanie B. Zadanie 22: Rozwiąż równanie (2-3x)/(1-2x) = 1/2. Lewa strona równania jest określona dla x ≠ 1/2. Przenosimy wszystko na lewą stronę i sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, otrzymując 5-8x = 0, czyli x = 5/8.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 51: Zadanie 23: Rozwiąż nierówność x² + 6x - 7 < 0. Wymagania szczegółowe: rozwiązywanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą. Rozwiązanie: pierwiastki x₁ = -7, x₂ = 1, przedział rozwiązania ⟨-7, 1⟩. Zadanie 24: Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f(x) = x² - 6x + 1 w przedziale (0,1). Wymagania szczegółowe: wyznaczanie wartości najmniejszej i największej funkcji kwadratowej. Rozwiązanie: najmniejsza wartość y = -4 dla x = 1.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 52: Zadanie 25: O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2 oraz że do wykresu tej funkcji należy punkt P=(-2,3). Wyznacz wzór funkcji f. Rozwiązanie: f(x)=-1/3x+7/3. Zadanie 26: Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y=2x-11 i przechodzącej przez punkt P=(1,2). Rozwiązanie: y=2x.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 53: Zadanie 27: wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty A=(-2,-1), B=(6,1), C=(7,10). Zadanie 28: w trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę α. Oblicz sinα·cosα.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 54: Zadanie 29: Kąt α jest ostry i sin α = 1/4. Oblicz 3 + 2tg²α. Zadanie 30: Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (an) określony wzorem an = n² - 2n - 24 dla n ≥ 1?

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 55: Zadanie 31: Liczby 2, x-3, 8 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x. Rozwiązanie: a₁=2, a₂=x-3, różnica r=x-5, 8=a₄=2+3(x-5), skąd x=7. Zadanie 32: Wyrazami ciągu arytmetycznego (aₙ) są liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Ponadto a₃=12. Oblicz a₁₅. Rozwiązanie: a₁=2, r=5, a₁₅=2+14·5=72.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 56: Zadanie 33: Dany prostokąt o bokach a i b. Zmniejszamy długość boku a o 10% i zwiększamy długość boku b o 20%. Wyznacz stosunek a/b, jeśli nowy prostokąt ma taki sam obwód jak wyjściowy. Zadanie 34: Udowodnij, że jeśli x, y są liczbami rzeczywistymi, to x² + y² ≥ 2xy.

$Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 57: Zadanie 35: Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu liczby oczek równego 5. Zadanie 36: W ciągu arytmetycznym $a_n$ dane są wyrazy: $a_3 = 4$, $a_6 = 19$. Ile wyrazów tego ciągu należy do przedziału (0, 200)?$

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 58: Zadanie 37: Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, gdzie kąt ACB=90°, |AC|=5, |BC|=12, zbudowano kwadrat ACDE. Punkt H leży na prostej AB, kąt EHA=90°. Oblicz pole trójkąta HAE. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z kwadratem ACDE i punktem H na prostej AB. Obliczenia wykorzystują podobieństwo trójkątów i wzory geometryczne.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 59: Zadanie 38: Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, gdzie |AC|=|BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne tak, że |AD|=|CD| oraz |AB|=|BD|. Udowodnij, że ∠ADC=5∠ACD. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z punktami D na boku BC i oznaczeniami kątów α i β. Rozwiązanie I i II zawierają dowód z użyciem równań kątowych i właściwości trójkątów równoramiennych.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 60: Zadanie 39: oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy. Rysunek przedstawia sześcian z zaznaczoną przekątną i kątem. Zadanie 40: w graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości d jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α, takim że sin α = 0,2. Wyznacz objętość tego graniastosłupa.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 61: Rozwiązanie I: Trójkąt BDH jest prostokątny, sin α = h/d, h = 1/5 d. Z twierdzenia Pitagorasa |BD|² = d² - h² = 24/25 d². Pole podstawy graniastosłupa P_ABCD = 12/25 d², objętość V = 12/125 d³. Rozwiązanie II: sin α = h/d, h = 0,2 d, cos α = a√2/d, V = 0,096d³. Zadanie 41: Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych z jedną cyfrą nieparzystą i trzema parzystymi. Wymagania: użycie strategii i reguł kombinatorycznych.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 62: Rozwiązanie zadania dotyczącego wyboru cyfr parzystych i nieparzystych do tworzenia liczb, z analizą dwóch przypadków: gdy pierwsza cyfra jest nieparzysta i gdy jest parzysta. Zadanie 42: z pojemnika z pięcioma losami, w tym dwoma wygrywającymi, losujemy dwa razy bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy co najmniej jeden los wygrywający, wynik w postaci ułamka nieskracalnego.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 63: Zadanie: Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu dwóch losów, wśród których co najmniej jeden jest wygrywający. Tabela przedstawia zdarzenia elementarne z zaznaczeniem sprzyjających zdarzeniu A. Prawdopodobieństwo obliczono jako |A|/|Ω| = 14/20 = 7/10. Rozwiązanie II: metoda drzewa, ilustrująca losowanie z pojemnika bez zwracania, z gałęziami oznaczającymi losy wygrywające i puste oraz odpowiednimi prawdopodobieństwami.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 64: Zadanie 43: Wykazać, że prawdziwa jest nierówność √(2^50+1) + √(2^50-1) < 2^26. Wymagania ogólne: Rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe: Użycie wzorów skróconego mnożenia. Rozwiązanie I: Przekształcenie nierówności przez podniesienie do kwadratu i uzasadnienie prawdziwości. Rozwiązanie II: Oznaczenie a=√(2^50+1), b=√(2^50-1) i wykazanie nierówności a+b < √(2^52) = 2^26.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 65: Zadanie 44: W roku 2015 na uroczystości urodzinowej ktoś zapytał jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: jeżeli swój wiek sprzed 27 lat pomnożę przez swój wiek za 15 lat, to otrzymam rok swojego urodzenia. Oblicz, ile lat ma ten jubilat. Rozwiązanie: Oznaczamy przez x obecny wiek jubilata. Równanie: (x-27)(x+15)=2015-x. Po uporządkowaniu: x²-11x-2420=0. Rozwiązania: x=55, x=-44. Jubilat w 2015 roku obchodzi 55. urodziny.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 66: Zadanie 1: Funkcja określona wzorem f(x)=|x-3|-4 dla wszystkich liczb rzeczywistych. Pytanie: ile miejsc zerowych ma funkcja? A) nie ma miejsc zerowych, B) jedno miejsce zerowe, C) dwa miejsca zerowe, D) więcej niż dwa miejsca zerowe. Rozwiązanie: C. Zadanie 2: Niech m=log₂₁7. Wykazać, że log₇27=3(1-m)/m. Wymagania: rozumowanie i argumentacja, użycie definicji logarytmu, wzory na logarytm iloczynu, ilorazu, potęgi.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 67: Rozwiązanie (I sposób) pokazuje dowód dla logarytmu log₂₁ 7 = 1/m. Rozwiązanie (II sposób) przedstawia alternatywny dowód dla tego samego wyrażenia. Zadanie 3: Oblicz najmniejszą liczbę naturalną n spełniającą nierówność (2n-10)/(3n+1) ≤ 2/3 < 1/30. Wymagania ogólne i szczegółowe dotyczą interpretacji pojęć matematycznych oraz rozwiązywania nierówności wymiernych.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 68: Zadanie 4: równanie x²+48x+2=0 ma dwa rozwiązania x₁, x₂. Liczba 1/x₁² + 1/x₂² jest liczbą całkowitą dodatnią. Znajdź tę liczbę i zakoduj cyfry setek, dziesiątek i jedności wyniku. Zadanie 5: wielomian W(x)=x⁴+2x³−5x²−6px+9 jest podzielny przez dwumian x−1. Oblicz p i zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego wyniku.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 69: Zadanie 6: Wykazać, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k(k+1)(k+9)(k²+1) jest podzielna przez 5. Rozwiązanie: Iloczyn podzielny przez 5, jeśli co najmniej jeden czynnik podzielny przez 5. Przykłady: dla k=5l, k=5l+1, k=5l+2, k=5l+3, k=5l+4, pokazano, że każdy przypadek spełnia warunek podzielności przez 5.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 70: Zadanie 7: Udowodnij, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 1, to ab ≤ 1/4. Wymagania ogólne: Rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe: Użycie wzorów skróconego mnożenia. Rozwiązanie (I sposób): Nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną. Rozwiązanie (II sposób): Przekształcenie nierówności z b = 1 - a. Rozwiązanie (III sposób): Podstawienie a = 1/2 + x, b = 1/2 - x.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 71: Zadanie 8: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f określona wzorem f(x) = (m²-1)x² - 2(1-m)x + 2 przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej. Rozważ dwa przypadki: gdy m²-1=0, funkcja jest liniowa; gdy m²-1≠0, funkcja jest kwadratowa. Podano warunki dla funkcji kwadratowej: m²-1>0 i Δ<0. Obliczenia obejmują nierówności i warunki dla parametru m.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 72: Zadanie 9: Granica lim x→−3− −5x/(x+3) jest równa. A) −∞ B) 0 C) 6 D) +∞. Rozwiązanie: A. Zadanie 10: Oblicz lim n→∞ (−2n³+3n)/(1−4n)³. Zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 73: Rozwiązanie przykładowego zadania dotyczącego granicy ciągu: obliczanie granicy lim n→∞ (-2n³+3n)/(1-4n)³ = 1/32 = 0,03125, zakodowanie cyfr 0, 3, 1. Zadanie 11: Dany nieskończony ciąg geometryczny (aₙ) o wyrazach dodatnich, a₁ = 3/4, a₃ = 1/3. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu. Rozwiązanie: q = 2/3, S = 9/4. Wymagania ogólne i szczegółowe dotyczące rozpoznawania szeregów geometrycznych zbieżnych i obliczania ich sum.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 74: Zadanie 12: dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=(2x⁴+15)/(6-x²) dla wszystkich x, takich że x≠±√6. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x=1. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku wyniku. Rozwiązanie zawiera obliczenia pochodnej i wynik 2,96. Zadanie 13: dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=4x³-2x+1. Uzasadnij, że prosta l o równaniu 10x-y+9=0 jest styczna do wykresu funkcji f.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 75: Rozwiązanie zadania dotyczącego równania prostej w postaci kierunkowej y=10x+9, wyznaczenia pochodnej funkcji f: f'(x)=12x²-2, oraz dowodu styczności prostej do wykresu funkcji. Zadanie 14: rozpatrujemy ostrosłupy prawidłowe trójkątne, gdzie suma promienia okręgu opisanego i wysokości wynosi 24. Wyznacz promień okręgu opisanego i oblicz objętość ostrosłupa. Rysunek przedstawia ostrosłup z oznaczeniami x, h, AO, BO, CO, SO.

$Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 76: Zadanie: Wyznacz wysokość AD w trójkącie ABC, gdzie |AD| = $\frac{|AB| \cdot \sqrt{3}}{2}$. Oblicz promień x okręgu opisanego na trójkącie ABC, gdzie x = $\frac{2 \cdot |AB| \cdot \sqrt{3}}{3}$. Wyznacz pole podstawy ostrosłupa P = $\frac{3x^2 \cdot \sqrt{3}}{4}$. Oblicz objętość ostrosłupa V = $\frac{\sqrt{3}}{4}(-x^3 + 24x^2)$. Znajdź x, dla którego funkcja V(x) przyjmuje wartość największą. Rozważ funkcję f(x) = $-x^3 + 24x^2$, znajdź pochodną f'(x) = $-3x^2 + 48x$ i miejsca zerowe x1 = 16, x2 = 0. Oblicz objętość ostrosłupa dla x = 16, V = 512$\sqrt{3}$.$

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 77: Zadanie 15: Rozważamy prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku AB, gdzie A=(-1,4) i B=(1,4), a pozostałe dwa na paraboli y=2x²+2. Wyznacz wymiary prostokąta o największym polu i oblicz to pole. Rysunek przedstawia parabolę y=2x²+2 oraz odcinek AB w układzie współrzędnych.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 78: Zadanie: Na wykresie przedstawiono funkcję kwadratową y=2x²+2 w układzie współrzędnych. Punkty A, B, C, D, E, F tworzą prostokąt CDEF. Oblicz długości boków CD i DE. Podano wzór na pole prostokąta: P(x)=2x(2-2x²). Rozważ funkcję f(x)=-4x³+4x i wyznacz jej pochodną f'(x)=-12x²+4. Oblicz miejsca zerowe pochodnej: x₁=√3/3, x₂=-√3/3. Podano przedziały, w których f'(x)<0 i f'(x)>0.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 79: Zadanie 16: Rozpatrujemy trapezy równoramienne, gdzie krótsza podstawa i ramiona mają długość 5. Oblicz długość dłuższej podstawy trapezu o największym polu. Pole trapezu wyraża wzór P = (2.5 + 2x)/2 * h, gdzie h = √(25 - x²). Rysunek trapezu z podstawami 5 i 2x+5, wysokość h. Wymagania: modelowanie matematyczne, stosowanie pochodnych do zagadnień optymalizacyjnych.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 80: Zadanie: Pole trapezu określone wzorem P(x) = (5+x)√(25-x²) = √((5+x)²(25-x²)) = √((5+x)³(5-x)) = √(-x⁴-10x³+250x+625), gdzie 0<x<5. Oblicz, dla jakiego x funkcja P przyjmuje wartość największą. Funkcja pierwiastkowa y=√t jest rosnąca, więc badaj f(x)=-x⁴-10x³+250x+625. Pochodna f'(x)=-4x³-30x²+250. Miejsca zerowe: x₁=-5, x₂=5/2. Funkcja malejąca na (5/2,+∞) i rosnąca na (-∞,-5) oraz (-5,5/2). Największe pole trapezu dla x=5/2 wynosi 75√3/4.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 81: Zadanie 17: Dany jest trójkąt ABC i prosta k styczna w punkcie A do okręgu opisanego na tym trójkącie. Prosta BC przecina prostą k w punkcie P. Długości odcinków AC, BC i PB wynoszą odpowiednio 9, 12 i 17. Oblicz długość odcinka AB. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Na rysunku przedstawiono trójkąt i okrąg z oznaczeniami punktów A, B, C, P.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 82: Zadanie dotyczy podobieństwa trójkątów APB i CPA. Oznaczono |AB|=x oraz |PA|=y. Trójkąty są podobne, gdyż ∠PAB=∠PCA i mają wspólny kąt przy wierzchołku P. Wyrażono proporcje: |PA|/|PC| = |PB|/|PA| oraz y/26 = 17/y, co prowadzi do równania y²=17·26. Obliczono y=√(17·26) i x=12y/26=12√17/√26≈9,7032. Kodowanie cyfr: 9, 7, 0. Rysunek przedstawia trójkąty i okrąg opisany na trójkącie ABC.

$Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 83: Rozwiązanie zadania dotyczącego podobieństwa trójkątów APB i CPA. Rysunek przedstawia okrąg z punktami A, B, C, P oraz styczną AP. Dane: |AC|=12, |BC|=9, |BP|=17. Wyprowadzenie równań z podobieństwa trójkątów: $|PA|/|PC| = |PB|/|PA|$ i $|AB|/|PA| = |CA|/|PC|$. Obliczenia prowadzą do wyznaczenia $x = 9,7032$. Kodowanie cyfr: 9, 7, 0.$

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 84: Zadanie 18: Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C i obwodzie równym 2p. Na prostej AB obrano punkty D i E leżące na zewnątrz odcinka AB, takie że |AD|=|AC| i |BE|=|BC|. Wykazać, że promień okręgu opisanego na trójkącie ECD jest równy p√2. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z punktami D i E oraz kąty α i β.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 85: Zadanie 19: Ramię AD trapezu ABCD (w którym AB||CD) przedłużono do punktu E takiego, że |AE|=3⋅|AD|. Punkt M leży na podstawie AB oraz |MB|=4⋅|AM|. Odcinek ME przecina przekątną BD w punkcie P. Udowodnij, że |BP|=6⋅|PD|. Rysunek przedstawia trapez z punktami E, D, C, A, M, B oraz P.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 86: Zadanie: Rozpoznawanie i wykorzystanie cech podobieństwa trójkątów. Rysunek przedstawia trójkąty AME, DNE, MBP i NDP, z zaznaczonymi punktami A, B, C, D, E, M, N, P. Trójkąt AME jest podobny do trójkąta DNE, a trójkąt MBP do trójkąta NDP. Podano proporcje boków: |AM|/|AE| = |DN|/|DE| i |BP|/|BM| = |DP|/|DN|. Obliczenia dotyczące długości boków w oparciu o podobieństwo trójkątów.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 87: Zadanie 20: Okrąg jest styczny do osi Ox w punkcie A=(2,0). Punkt B=(-1,9) leży na tym okręgu. Wyznacz równanie tego okręgu. Rozwiązanie: Środek okręgu S=(2,b), równanie okręgu (x-2)²+(y-5)²=25. Zadanie 21: Okrąg o środku S=(3,2) leży wewnątrz okręgu o równaniu (x-6)²+(y-8)²=100 i jest do niego styczny. Wyznacz równanie prostej stycznej do obu tych okręgów.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 88: Rozwiązanie zadania dotyczącego stycznej do okręgu o równaniu (x−6)²+(y−8)²=100 z punktem S₁=(6,8) i promieniem 10. Obliczenia dotyczące prostych y=−½x+b, odległości środka od stycznej, oraz równań prostych y=−½x+11−5√5 i y=−½x+11+5√5. Zadanie 22: Równanie sin²x=sinx w przedziale ⟨0,π⟩ z opcjami odpowiedzi dotyczącymi liczby rozwiązań: A) 1 rozwiązanie, B) 2 rozwiązania, C) 3 rozwiązania, D) brak rozwiązań.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 89: Zadanie 23: Rozwiąż równanie sin 5x - cos 2x + sin x = 0. Wymagania szczegółowe: 6.5.R Zdający stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. 6.6.R Zdający rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu sin 2x = 1/2, sin²x + cos x = 1, sin x + cos x = 1, cos 2x < 1/2. Rozwiązanie: Przekształcamy równanie, korzystając ze wzoru na sumę sinusów: 2sin3xcos2x - cos2x = 0. Stąd cos 2x = 0 lub 2sin3x - 1 = 0. Rozwiązaniami równania są liczby: x = π/4 + kπ/2, x = π/18 + 2kπ/3, x = 5π/18 + 2kπ/3, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 90: Zadanie 24: Wykazać, że dla każdego kąta α prawdziwa jest równość: 4(sin⁶α + cos⁶α) = 1 + 3cos²2α. Zadanie 25: Rozwiązać nierówność cos5x > 1/2 dla -π ≤ x ≤ π.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 91: Rozwiązanie nierówności cos 5x > 1/2. Rozwiązaniami są przedziały: -13π/15 < x < -11π/15, -7π/15 < x < -5π/15, -π/15 < x < π/15, 5π/15 < x < 7π/15, 11π/15 < x < 13π/15. Zadanie 26: Dany ostrosłup prawidłowy czworokątny, kąt α między ścianami bocznymi, kąt β przy podstawie ściany bocznej. Wykazać, że cos α · tg² β = -1. Rysunek ostrosłupa z oznaczeniami kątów α i β.

$Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 92: Wymagania szczegółowe dotyczące rozpoznawania kątów w graniastosłupach i ostrosłupach. Rozwiązanie z rysunkiem ostrosłupa, gdzie a to długość krawędzi podstawy, h to wysokość ściany bocznej, c to długość odcinka łączącego wierzchołek podstawy ze spodkiem wysokości. Wzory: twierdzenie cosinusów $(a\sqrt{2})^2 = h^2 + h^2 - 2h \cdot h \cdot \cos \alpha$, $\cos \alpha = \frac{h^2 - a^2}{h^2}$, twierdzenie Pitagorasa $c^2 = a^2 - h^2$, $\tan \beta = \frac{h}{c}$.$

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 93: Zadanie 27: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Płaszczyzna przechodząca przez krawędź podstawy i środek wysokości ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa. Rysunek przedstawia ostrosłup z oznaczeniami punktów i odcinków, w tym trójkąt równoboczny ABC z krawędzią |AB|=a, oraz wyprowadzone wzory na długości odcinków i kąty.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 94: Zadanie 28: Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi równej 1. Punkt S jest środkiem krawędzi DH. Odcinek DW jest wysokością ostrosłupa ACSD opuszczoną z wierzchołka D na ścianę ACS. Oblicz długości odcinków AW, CW i SW. Rysunek przedstawia sześcian z zaznaczonymi wierzchołkami. Wymagania: użycie strategii, określenie przekroju graniastosłupa, zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 95: Rysunek przedstawia sześcian z zaznaczonymi punktami A, B, C, D, E, F, G, H oraz punktami S, T, W wewnątrz. Opis dotyczy połączenia punktów A i S, A i C oraz C i S. Punkt T to przecięcie przekątnych AC i BD podstawy sześcianu. Trójkąt ACS jest równoramienny, a odcinek ST jego wysokością. Obliczenia wykorzystują twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta TSD, gdzie |ST|=√3/2, oraz dla trójkąta TDS, gdzie |DW|=√6/6.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 96: Zadanie 29: Kwadrat ABCD o boku długości 1 jest podstawą ostrosłupa ABCDS. Odcinek HS jest wysokością ostrosłupa, punkt H dzieli przekątną AC w stosunku 2:1. Krawędzie boczne BS i DS mają długość 1. Oblicz objętość ostrosłupa oraz długości krawędzi AS i CS. Rysunek przedstawia ostrosłup z oznaczeniami wierzchołków i wysokości.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 97: Rozwiązanie zadania dotyczącego ostrosłupa z podstawą ABCD, gdzie T to punkt przecięcia przekątnych AC i BD. Wykorzystano twierdzenie Pitagorasa do obliczeń w trójkątach prostokątnych BSD, SHT, AHS i CHS. Obliczono długości krawędzi: |AC|=√2, |CH|=√2/3, |HT|=√2/6, |ST|=√2/2, |HS|=2/3. Objętość ostrosłupa V=2/9. Długości krawędzi bocznych: |AS|=2√3/3, |CS|=√6/3. Diagram przedstawia ostrosłup z oznaczeniami punktów.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 98: Zadanie 30: Dany jest sześcian ABCDEFGH z krawędzią długości 15. Punkty Q i R dzielą krawędzie HG i FG w stosunku 2:1, |HQ|=|FR|=10. Płaszczyzna AQR przecina krawędzie DH i BF w punktach P i S. Oblicz długości odcinków DP i BS. Rysunek przedstawia sześcian z zaznaczonymi punktami i płaszczyzną. Wymagania: użycie strategii, rozpoznanie przekrojów, obliczanie miar kątów i rozpoznawanie figur podobnych.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 99: Rozwiązanie zadania dotyczącego kwadratu EFGH. Punkt T to przecięcie przedłużeń odcinków QR i EF. Trójkąty prostokątne RFT i RGQ są podobne, co prowadzi do wniosku, że |FT|=10. Następnie analizowany jest kwadrat ABFE. Trójkąty prostokątne ABS i TFS są podobne, co pozwala zapisać równanie x/10 = (15-x)/15. Rozwiązanie równania daje x=6, co oznacza, że |BS|=9.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 100: Rozwiązanie (II sposób) zadania dotyczącego rysowania przekątnych AC, BD, EG oraz łączenia punktów P i S w przestrzennym czworokącie. Oznaczenia: W - środek odcinka PS, Wi - punkt przecięcia przekątnych AC i BD, T - środek odcinka QR. Opisano symetrię względem płaszczyzny ACGE i wyprowadzono równania dla długości odcinków, w tym |WWi|=9. Zawiera rysunek geometryczny z oznaczeniami punktów i odcinków.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 101: Zadanie 31: oblicz, ile jest wszystkich liczb siedmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero i na dokładnie dwóch miejscach stoją cyfry parzyste. Wymagania: użycie strategii, wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami. Rozwiązanie składa się z trzech kroków, w tym obliczenia liczby dwuelementowych kombinacji z siedmiu, wyrażonej jako (7 nad 2) = 21, z wykorzystaniem wzoru na współczynnik dwumianowy.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 102: Zadanie 1-21: przedstawiono ciąg kropek i pustych kółek, które mogą reprezentować różne kombinacje lub permutacje elementów. Dodatkowo, tekst opisuje sposób liczenia możliwości ustawienia cyfr parzystych na różnych miejscach, podając wzór 6+5+4+3+2+1=21 sposobów wyboru dwóch miejsc dla cyfr parzystych.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 103: Zadanie 32: Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2 i 3, wiedząc, że cyfry mogą się powtarzać. Wymagania ogólne: użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe: wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami. Rozwiązanie: istnieje 27 liczb trzycyfrowych, np. 111, 112, 113, aż do 333. Sumy: 1998 dla cyfr zaczynających się od 1 i 2, oraz 2898 dla cyfr zaczynających się od 3.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 104: Zadanie polega na obliczeniu sumy wszystkich liczb, które wynosi 5994. Podano szczegółowe obliczenia sumy liczb w trzech wierszach: 1098, 1998, 2898. Opisano metodę dodawania bez kalkulatora, wykorzystując sumy setek, dziesiątek i jedności. Każda cyfra występuje 9 razy na różnych pozycjach, co prowadzi do obliczeń: 5400, 540, 54. Suma wszystkich liczb wynosi 5994.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 105: Zadanie 33: oblicz, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 24. Rozwiązanie: rozkład liczby 24 na czynniki pierwsze 24=3·2·2·2. Opisano pięć możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy 24, m.in. z trzema dwójkami, jedną trójką i czterema jedynkami. Wykorzystano wzory na permutacje i kombinacje, np. 8!/(3!4!)=280 dla liczby 32221111.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 106: Zadanie 3: wśród cyfr tej liczby są trójka, ósemka i sześć jedynek (24=3·8·1·1·1·1·1·1). Liczbę takich liczb można obliczyć na przykład tak: 8·7=56 — wybieramy miejsce dla trójki i z pozostałych dla ósemki; 8 nad 2 = 56 — wybieramy dwa miejsca z ośmiu dla trójki i ósemki, następnie wybieramy miejsce dla każdej z nich; 8! nad 6! = 56 — ustawiamy na wszystkie możliwe sposoby cyfry liczby 38111111. Zadanie 4: wśród cyfr tej liczby są szóstka, czwórka i sześć jedynek (24=6·4·1·1·1·1·1·1). Liczbę takich liczb można obliczyć na przykład tak: 8·7=56 — wybieramy miejsce dla szóstki i czwórki; 8 nad 2 = 56 — wybieramy dwa miejsca z ośmiu dla szóstki i czwórki, następnie wybieramy miejsce dla każdej z nich; 8! nad 6! = 56 — ustawiamy na wszystkie możliwe sposoby cyfry liczby 64111111. Zadanie 5: wśród cyfr tej liczby są dwie dwójki, jedna szóstka i pięć jedynek (24=6·2·2·1·1·1·1·1). Liczbę takich liczb można obliczyć na przykład tak: 8·(7 nad 2) = 168 — wybieramy miejsce dla szóstki, następnie dwa miejsca z siedmiu dla dwójek; 8 nad 3 · 3 = 168 — wybieramy trzy miejsca z ośmiu dla szóstki i dwóch dwójek, następnie spośród nich wybieramy miejsce dla szóstki; 8! nad 2!·5! = 168 — ustawiamy na wszystkie możliwe sposoby cyfry liczby 62211111. Zatem wszystkich liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 24, jest 280+336+56+56+168=896.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 107: Zadanie 34: Oblicz, ile jest wszystkich liczb stucyfrowych o sumie cyfr równej 5, w zapisie których występują tylko cyfry 0, 1, 3, 5. Rozwiązanie: 1. Liczba 5000...000, gdzie po cyfrze 5 następuje 99 zer. Jest jedna taka liczba. 2. Liczby 3000...1...000...1...000, gdzie po cyfrze 3 występuje 97 zer i dwie cyfry 1. Jest 4851 takich liczb. 3. Liczby 1000...3...000...1...000 lub 1000...1...000...3...000, gdzie po cyfrze 1 występuje 97 zer i cyfry 1 i 3. Jest 9702 takich liczb. 4. Liczby 1000...1...000...1...000...1...000...1...000, gdzie po cyfrze 1 występuje 95 zer i cztery cyfry 1. Jest 3 764 376 takich liczb. Suma: 3 778 930.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 108: Zadanie 35: Doświadczenie losowe polega na losowaniu dwóch liczb ze zbioru {1,2,3,...,12,13}. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że wśród wylosowanych liczb będzie liczba 8, pod warunkiem, że suma liczb będzie nieparzysta. Zadanie 36: Niech A, B będą zdarzeniami losowymi w Ω. Wykaż, że jeżeli P(A)=0,7 i P(B)=0,8, to P(A|B)≥0,625. P(A|B) oznacza prawdopodobieństwo warunkowe.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 109: Zadanie 36: oblicz prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B) przy danych P(A)=0,7 i P(B)=0,8, wykaż, że P(A∩B)≥0,5 i oblicz P(A|B)≥0,625. Zadanie 37: losujemy liczbę ze zbioru {1,2,3}, rzucamy n razy monetą, oblicz prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednego orła, wynik jako ułamek zwykły nieskracalny.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 110: Zadanie 38: Niech A, B będą zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω. Wykazać, że jeżeli P(A∩B) = P(A)P(B), to P(A∩B') = P(A)P(B'). B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B. Wymagania ogólne: Rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe: Obliczanie prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach. Rozwiązanie: P(A∩B') = P(A) - P(A∩B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1-P(B)) = P(A)P(B').

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 111: Strona pusta, brak zadań do opisania.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 112: Informacje dotyczące egzaminu maturalnego z matematyki dla absolwentów niesłyszących. Opis dostosowań formy i warunków przeprowadzania egzaminu, w tym zmiany w formułowaniu zadań, schemacie punktowania, przedłużenie czasu oraz możliwość korzystania ze słowników językowych. Szczegółowe informacje o dostosowaniach dostępne na stronie internetowej CKE.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 113: Informacje dotyczące zasad oceniania rozwiązań zadań otwartych. Opisano kryteria przyznawania punktów za pokonanie zasadniczych trudności zadania. Wymieniono kategorie rozwiązań: brak istotnego postępu (0 pkt), istotny postęp bez pokonania trudności (1 pkt), pokonanie trudności bez błędów (2 pkt), rozwiązanie błędne (3 pkt).

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 114: Strona zawiera opis systemu punktacji dla zadań otwartych. Przykłady punktacji dla zadań za 4 punkty: 0 pkt za brak istotnego postępu, 1 pkt za istotny postęp bez pokonania trudności, 2 pkt za pokonanie trudności z błędami, 3 pkt za pokonanie trudności z błędami, 4 pkt za bezbłędne rozwiązanie. Dla zadań za 5 punktów: podobna struktura z dodatkowymi kryteriami.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 115: Strona zawiera informacje o sposobie przydziału punktów za rozwiązanie zadań. Opisuje kryteria oceniania od 0 do 6 punktów, w tym brak postępu, niewielki postęp, istotny postęp, pokonanie trudności z błędami, błędne kontynuowanie, błędy rachunkowe, oraz poprawne rozwiązanie. Na dole strony znajduje się informacja o przykładach zadań z rozwiązaniami i uwagami dotyczącymi oceniania na poziomie rozszerzonym.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 116: Zadanie I (0–3): Dany jest ostrokątny trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Na bokach, na zewnątrz trójkąta ABC, zbudowano kwadraty ABDE, BCFG i ACHJ. Udowodnij, że pola trójkątów AHE i BEG są równe. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z kwadratami i oznaczeniami: |AB|=|AE|=a, |AC|=|BC|=|BG|=b, kąty BAC i ABC=α. Rozwiązanie trygonometryczne: P_HE=1/2|AE||AH|sinEAH, P_BEG=1/2|BE||BG|sinEBG, |AH|=b√2, |BE|=a√2.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 117: Rozwiązanie zadania dotyczącego trójkąta ABC równoramiennego i ostrokątnego, gdzie α > 45°. Wyznaczenie kątów EAH i EBG jako 225° - α. Obliczenie pól trójkątów P_AHE i P_BEG za pomocą wzoru: P = 1/2 * a * b√2 * sin(225° - α). Dowód równości P_AHE = P_BEG. Komentarz dotyczący obliczeń, błędów i poprawności rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 118: Schemat oceniania rozwiązania zadania dotyczącego obliczenia długości boków AH i BE za pomocą boków AB i AC oraz udowodnienia równości kątów EAH i EBG. Uwagi dotyczące obliczeń w trójkącie AHE: długość boku AH, miara kąta EAH, pole trójkąta AHE wyrażone wzorem P_AHE = 1/2 * a * b * √2 * sin(225° - α). Wskazówki dotyczące przyznawania punktów za różne etapy rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 119: Opis sposobu II (stosunek pól) w dowodzeniu własności trójkątów. Dane są trójkąty ABC i DEF, gdzie kąt A równa się kątowi D. Proporcja pól trójkątów P_ABC/P_DEF wyrażona jest przez |AB|*|AC|/|DE|*|DF|. Wzory na pola trójkątów: P_ABC = 1/2*|AB|*|AC|*sin A oraz P_DEF = 1/2*|DE|*|DF|*sin D. Rysunek przedstawia trójkąty i zależności między nimi, w tym |AE|*|AH|/|BE|*|BG| = 1, co dowodzi, że P_AHE = P_BEG.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 120: Kontynuacja zadania dotyczącego dowodu równości kątów i stosunku pól trójkątów. Wzory: |EB|=a√2, P_AHE/P_BEG=|AE|·|AH|/|BE|·|BG|=a·b√2/a·b√2=1. Komentarz dotyczący sposobu rozwiązania, schemat oceniania II sposobu rozwiązania z punktacją: istotny postęp (1 pkt), pokonanie zasadniczych trudności (2 pkt), rozwiązanie pełne (3 pkt). Uwagi dotyczące obliczeń w trójkątach.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 121: Sposób III (geometria analityczna) opisuje kroki rozwiązania zadania poprzez wybór układu współrzędnych, obliczenie współrzędnych wierzchołków trójkątów AHE i BEG oraz obliczenie pól tych trójkątów. Przedstawiono układ współrzędnych z trójkątem ABC, gdzie A=(-a,0), B=(a,0), C=(0,h) i a<h. Rysunek zawiera trójkąty i punkty: A, B, C, E, G, H, z wyznaczonymi współrzędnymi punktu E=(-a,-2a).

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 122: Opisuje obrót wektora [x, y] o 90° zgodnie z ruchem wskazówek zegara, co daje wektor [y, -x]. W zadaniu mamy CĀ=[-a, -h], stąd CH̅=[-h, a]. Obliczamy współrzędne punktów G=(a+b, a) i H=(-h, a+h). Wyznaczamy równanie prostej AC: y=(h/a)x+h i prostej prostopadłej przez C: y=(-a/h)x+h. Obliczamy pola trójkątów AHE i BEG, używając wzoru na pole trójkąta z współrzędnymi wierzchołków.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 123: Kontynuacja zadania dotyczącego obliczania pól trójkątów AHE i BEG. Podano uwagi dotyczące sposobu obliczania pola trójkąta AHE z wykorzystaniem podstawy AE o długości 2a i wysokości h-a. Zawarto schemat oceniania III sposobu rozwiązania, w tym istotne kroki jak umieszczenie trójkąta ABC w układzie współrzędnych oraz obliczenie współrzędnych punktów E, G i H. Uwagi dotyczące potencjalnych błędów przy rozwiązywaniu zadania.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 124: Sposób IV (bezpośrednie obliczenie pól) w trójkącie ABC. Wysokość CK, punkty L i P jako rzuty punktów H i G na proste KC i AB. Trójkąty CLH i BPG przystające do AKC i BKC. Oznaczenia: a = |AK| = |BK|, h = |CK|. Obliczenia pól trójkątów EAH i EAO, podobieństwo trójkątów EAO i GPO, wyprowadzenie wzorów na długości odcinków |AO| i |BO|. Diagram geometryczny z oznaczeniami punktów i odcinków.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 125: Wzór na pole P_EBG trójkąta, obliczenia z użyciem długości odcinków BO, AE, GP oraz wyrażenia a(h-a). Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania: Istotny postęp - dorysowanie trójkątów CLH i GPB, zauważenie przystawania do trójkąta AKC. Pokonanie zasadniczych trudności - obliczenie pola trójkątów AHE i BEG. Rozwiązanie pełne - obliczenie pól obu trójkątów i stwierdzenie równości. Uwagi dotyczące oceniania niekompletnych rozwiązań.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 126: Zadanie II (0–5): Ile jest nieparzystych liczb naturalnych trzycyfrowych, w których co najmniej jedna cyfra jest dziewiątką? Rozwiązanie: Omówiono 6 sposobów rozwiązania. Sposób I: Analiza umieszczenia dziewiątki w różnych miejscach liczby trzycyfrowej. Obliczenia pokazują, że liczby z dziewiątką na pierwszym, drugim lub trzecim miejscu dają odpowiednio 50, 45 i 90 liczb, co łącznie daje 185 liczb. Rozważono także przypadki z wielokrotnym liczeniem tych samych liczb.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 127: Strona zawiera opis rozwiązania zadania dotyczącego liczb z dwiema dziewiątkami. Przedstawiono schemat oceniania i sposoby rozwiązania. Wskazano postęp niewielki, istotny oraz pokonanie zasadniczych trudności z odpowiednimi punktami. Podano pełne rozwiązanie z obliczeniem 50+45+90−21−2=162. Opisano sposób II, gdzie liczby dzielone są na trzy grupy według pozycji dziewiątki.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 128: Zadanie dotyczące podziału liczb na trzy grupy. Pierwsza grupa zawiera 50 liczb, gdzie pierwsza cyfra to 9, druga dowolna z 10 cyfr, trzecia z 5 cyfr nieparzystych. Druga grupa ma 40 liczb, z pierwszą cyfrą od 2 do 8, drugą cyfrą 9, trzecią z 5 cyfr nieparzystych. Trzecia grupa zawiera 72 liczby, z pierwszą cyfrą od 2 do 8, drugą od 1 do 9 (bez 9), trzecią cyfrą 9. Łącznie 162 liczby. Schemat oceniania dla różnych etapów rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 129: Opis sposobu III obliczania liczby dziewiątek w liczbach. Wyjaśnienie metody umieszczania cyfry 9 na różnych pozycjach w liczbach trzycyfrowych, z podziałem na przypadki: jedna, dwie lub trzy dziewiątki. Podano wyniki dla każdej konfiguracji: 140 liczb z jedną dziewiątką, 21 liczb z dwiema dziewiątkami, 1 liczba z trzema dziewiątkami. Łącznie 162 liczby. Schemat oceniania dla tego rozwiązania, z punktacją za istotny postęp i pokonanie zasadniczych trudności.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 130: Rozwiązanie pełne: zadanie polega na obliczeniu liczby trzycyfrowych liczb nieparzystych, które nie zawierają cyfry 9. Sposób IV (uzupełnianie) opisuje metodę obliczania liczby takich liczb. Podano, że istnieje 450 liczb trzycyfrowych nieparzystych, z czego 288 nie zawiera cyfry 9. Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania: postęp niewielki (1 pkt) za obliczenie liczby liczb trzycyfrowych: 900, istotny postęp (2 pkt) za obliczenie liczby nieparzystych liczb trzycyfrowych: 450, pokonanie zasadniczych trudności (4 pkt) za obliczenie liczby nieparzystych liczb trzycyfrowych niezawierających cyfry 9: 288, rozwiązanie pełne (5 pkt) za prawidłowy wynik: 162 liczby.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 131: Sposób V (zasada włączeń i wyłączeń) opisuje zastosowanie zasady włączeń i wyłączeń do obliczenia liczności zbioru A∪B∪C, gdzie |A|=50, |B|=45, |C|=90, |A∩B|=5, |A∩C|=10, |B∩C|=9, |A∩B∩C|=1. Zasada włączeń i wyłączeń daje wynik 162. Schemat oceniania: postęp niewielki (1 pkt), postęp większy (2 pkt), istotny postęp (3 pkt), pokonanie zasadniczych trudności (4 pkt), rozwiązanie pełne (5 pkt).

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 132: Zadanie polega na wypisaniu liczb trzycyfrowych w kolejności rosnącej, z pominięciem liczb parzystych oraz zawierających cyfrę 9. Wypisano liczby od 109 do 999, z podziałem na wiersze po 9 i 5 liczb. Łącznie powinno być 162 liczby, co jest obliczone jako 8*(9+5)+10*5=162.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 133: Strona zawiera opis metody rozwiązywania zadania polegającego na wypisywaniu liczb zaczynających się od określonych cyfr. Opisano regułę, według której liczby zaczynają się od cyfr różnej od 9, co daje 14 liczb, oraz od cyfry 9, co daje 50 liczb. Podano przykład liczby c09, c19, c29, itd. oraz c91, c93, itd. Zawarto komentarz dotyczący strategii wypisywania i schemat oceny rozwiązania, gdzie za istotny postęp przyznaje się 2 punkty.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 134: Zadanie dotyczące pokonania zasadniczych trudności i pełnego rozwiązania. Przykład obliczeń: 8·14+50=162. Uwaga o możliwych błędach, np. liczba 199 pojawia się dwukrotnie. Przykłady błędnych odpowiedzi: 8·15+50=170, 8·14+100=192, 8·15+100=220. Zasady punktacji za różne błędy.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 135: Zadanie III (0-3): Wykaż, że jeżeli x>0, to x² + 16/x ≥ 12. I sposób rozwiązania: Definiujemy funkcję f(x) = x² + 16/x dla x ∈ (0, +∞). Obliczamy pochodną f'(x) = 2x - 16/x² = (2(x-2)(x²+2x+4))/x². Funkcja f jest malejąca w przedziale (0, 2) i rosnąca w (2, +∞). Obliczamy f(2) = 12, co należało udowodnić. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania: Określenie funkcji i obliczenie pochodnej, miejsca zerowe pochodnej i przedziały stałego znaku.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 136: Rozwiązanie pełne zadania dotyczącego funkcji f, która jest malejąca w przedziale (0,2) i rosnąca w przedziale ⟨2,+∞). Obliczenie f(2) = 12 i zapisanie wniosku: f(x) ≥ 12. Uwagi dotyczące obliczeń pochodnej f'(x) = 0 dla x = 2. Komentarz o błędach w obliczaniu pochodnej, które nie zmieniają miejsc zerowych, z przykładowymi błędami: f'(x) = (2x³ - 16)/x, f'(x) = (2(x-2)(x²+x+4))/x², f'(x) = (2(x-2)(x²+2x+2))/x².

$Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 137: II sposób rozwiązania: przekształcenie nierówności $x^2 + \frac{16}{x} \geq 12$ do postaci $x^2 - 4x + 4 + \frac{16}{x} + 4x - 16 \geq 0$, następnie $(x-2)^2 + \frac{4}{x}(x-2)^2 \geq 0$. Dowód nieujemności lewej strony dla $x > 0$. Schemat oceniania: zapisanie nierówności, pokonanie trudności, rozwiązanie pełne. III sposób: funkcja wymierna, przekształcenie do $\frac{x^3 - 12x + 16}{x} \geq 0$.$

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 138: Zadanie: Przy założeniu x>0, nierówność jest równoważna nierówności x³-12x+16≥0 dla x>0. Określamy wielomian W(x)=x³-12x+16. Stwierdzamy, że jednym z miejsc zerowych wielomianu W jest liczba 2. Po podzieleniu wielomianu W przez dwumian x-2 otrzymujemy iloraz x²+2x-8, który zapisujemy w postaci iloczynowej (x-2)(x+4). Stąd W(x)=(x-2)²(x+4). Stwierdzamy, że jeżeli x>0, to W(x)≥0 jako iloczyn czynników nieujemnych, co kończy dowód.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 139: Ciąg dalszy zadania dotyczącego nierówności. Rozwiązanie pełne: dla x > 0 zastosowanie nierówności dla średniej arytmetycznej i geometrycznej, otrzymujemy x² + 8/x + 8/x ≥ 3√(x² * 8/x * 8/x) = 12, co kończy dowód. Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania: zapisanie lewej strony nierówności w postaci x² + 8/x + 8/x, zastosowanie nierówności dla średniej arytmetycznej i geometrycznej, zapisanie dla a = x², b = 8/x, c = 8/x.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 140: Zadanie IV (0–7): Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach wycięto kwadratowe naroża. Następnie zagięto karton, tworząc pudełko bez przykrywki. Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość pudełka jest największa. Oblicz objętość. Wzory: V=(80−2x)(50−2x)x, f(x)=x³−65x²+1000x, f'(x)=3x²−130x+1000. Miejsca zerowe: x₁=10, x₂=33⅓.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 141: Zadanie: funkcja V(x) jest rosnąca w przedziałach (-∞,10) oraz (100/3,∞) i malejąca w przedziale (10,100/3). V(x)=4f(x) dla x∈(0,25), funkcja V ma ekstremum w punkcie x=10, V=18000 cm². Schemat oceniania: a) wybór zmiennej, wyrażenie objętości V=(80-2x)(50-2x)x, dziedzina 0<x<25. b) wyznaczenie pochodnej f'(x)=3x²-130x+1000, miejsca zerowe x₁=10, x₂=33 1/3, uzasadnienie wartości maksymalnej w x=10. c) obliczenie V=18000 cm².

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 142: Komentarz dotyczący błędów w rozwiązywaniu zadań. Wymieniono błędy takie jak: błędne określenie dziedziny funkcji, błędne zapisanie wzoru na objętość, niewłaściwe wyznaczenie pochodnej, nieprawidłowe obliczenie miejsc zerowych, błędne określenie monotoniczności, brak uzasadnienia maksymalnej wartości funkcji, nieobliczenie największej objętości pudełka. Schemat oceniania rozwiązań.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 143: Zadanie 16: Kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg są oparte na tym samym łuku. Suma miar tych kątów jest równa 180°. Jaka jest miara kąta środkowego? A) 60° B) 90° C) 120° D) 135°. Rozwiązanie C. Zadanie 21: W kinie jest 5 wolnych miejsc. Liczba wszystkich sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch miejscach, jest równa A) 25 B) 20 C) 15 D) 12. Rozwiązanie B.

$Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 144: Zadanie 23: Rozwiąż nierówność $x^2 + 6x - 7 \leq 0$. Zadanie 24: Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej $f(x) = x^2 - 6x + 1$ w przedziale $\langle 0, 1 \rangle$.$

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 145: Zadanie 26: Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y=2x-11 i przechodzącej przez punkt P=(1,2). Zadanie 27: Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty: A=(-2,-1), B=(6,1), C=(7,10).

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 146: Zadanie 28: W trójkącie prostokątnym, gdzie przyprostokątne mają długości 2 i 4, oblicz sin α · cos α. Rozwiązanie zawiera definicje funkcji trygonometrycznych i obliczenia prowadzące do wyniku 2/5. Zadanie 29: Kąt α jest ostry i sin α = 1/4, oblicz 3 + 2tg²α. Rozwiązanie wykorzystuje zależności między funkcjami trygonometrycznymi, prowadząc do wyniku 47/15.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 147: Zadanie 30: Ile wyrazów ujemnych ma ciąg określony wzorem an = n² - 2n - 24 dla n ≥ 1? Rozwiązanie: Szukamy liczb naturalnych n spełniających nierówność n² - 2n - 24 < 0, co prowadzi do n < 6, więc ciąg ma pięć wyrazów ujemnych. Zadanie 32: Wyrazami ciągu arytmetycznego są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2. Ponadto a3 = 12. Oblicz a15. Rozwiązanie: a1 = 2, różnica r = 5, a15 = 72.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 148: Zadanie 33: Dany jest prostokąt o bokach a i b. Zmniejszamy długość boku a o 10% oraz zwiększamy długość boku b o 20%. Wyznacz stosunek a/b, jeśli wiadomo, że otrzymany prostokąt ma taki sam obwód jak prostokąt o bokach a i b. Zadanie 34: Udowodnij, że jeśli x, y są liczbami rzeczywistymi, to x² + y² ≥ 2xy.

$Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 149: Zadanie 35: Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu liczby oczek równego 5. Zadanie 36: W ciągu arytmetycznym $a_n$ dane są wyrazy: $a_3 = 4$, $a_6 = 19$. Ile wyrazów tego ciągu należy do przedziału (0, 200)?$

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 150: Zadanie 37: Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym kąt ACB=90°, AC=5, BC=12, zbudowano kwadrat ACDE. Punkt H leży na prostej AB i kąt EHA=90°. Oblicz pole trójkąta HAE. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z kwadratem ACDE i punktem H na przedłużeniu AB. Rozwiązanie zawiera wzory na pole trójkąta EAH oraz obliczenia skali podobieństwa s=5/13.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 151: Zadanie 38: Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, gdzie |AC|=|BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne, takie że |AB|=|BD| i |AD|=|CD|. Udowodnij, że ∠ADC = 5⋅∠ACD. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z zaznaczonymi punktami D i kątami α i β. Rozwiązanie I i II zawierają dowody z wykorzystaniem miar kątów i własności trójkątów równoramiennych.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 152: Zadanie 39: oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy. Zadanie 40: w graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości d jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że sin α = 0,2. Podaj objętość tego graniastosłupa w zależności od d. Na rysunku przedstawiono trójkąt prostokątny ABC w sześcianie z przekątną i kątem α.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 153: Rozwiązanie I: Trójkąt BDH jest prostokątny, sin α = h/d, h = 1/5 d. Pole podstawy graniastosłupa P_ABCD = 12/25 d², objętość V = 12/125 d³. Rozwiązanie II: h = 0,2 d, cos α = √2/d, V = 0,096 d³. Zadanie 41: Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych z jedną cyfrą nieparzystą i trzema cyframi parzystymi.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 154: Rozwiązanie dotyczące liczby sposobów tworzenia liczb z cyfr parzystych i nieparzystych. Zadanie 42: Z pojemnika z pięcioma losami, w tym dwoma wygrywającymi, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy jeden lub dwa losy wygrywające. Wynik zapisz jako ułamek nieskracalny. Wymagania dotyczą modelowania matematycznego i obliczania prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach. Rozwiązanie zawiera opis modelu klasycznego i tabelę z zaznaczeniem zdarzeń elementarnych.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 155: Zadanie: Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A. Tabela przedstawia zdarzenia elementarne z 20 możliwości, gdzie 14 sprzyja zdarzeniu A. Prawdopodobieństwo P(A) = 14/20 = 7/10. Rozwiązanie II: metoda drzewa, ilustruje losowanie dwóch losów bez oddawania. Drzewo pokazuje zdarzenia z prawdopodobieństwami na gałęziach: w (wygrywający) i p (pusty). Prawdopodobieństwo P(A) = 7/10.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 156: Zadanie 43: Udowodnij, że prawdziwa jest nierówność √(2^50+√(2^50-1)) < 2^26. Wymagania ogólne: Rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe: Używanie wzorów skróconego mnożenia. Rozwiązanie I: Przekształcenie nierówności poprzez podniesienie do kwadratu. Rozwiązanie II: Oznaczenie a=√(2^50+1), b=√(2^50-1), zastosowanie wzorów skróconego mnożenia i dowód nierówności a+b<√(2^52)=2^26.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 157: Zadanie 44: W roku 2015 na urodzinach Marka ktoś pyta o jego wiek. Marek odpowiada, że jeśli pomnoży swój wiek sprzed 27 lat przez wiek, który będzie miał za 15 lat, to otrzyma rok urodzenia. Oblicz, ile lat ma Marek. Rozwiązanie: Oznaczamy wiek Marka jako x. Równanie: (x-27)(x+15)=2015-x. Po uporządkowaniu: x²-11x-2420=0. Rozwiązania: x=55, x=-44. Marek ma 55 lat.

$Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 158: Zadanie 11: Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $ (a_n) $ o wyrazach dodatnich taki, że $ a_1 = \frac{3}{4} $, $ a_3 = \frac{1}{3} $. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozwiązanie zawiera obliczenia wartości ilorazu $ q = \frac{2}{3} $ oraz sumy $ S = \frac{9}{4} $.$

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 159: Zadanie 13: Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=4x³-2x+1 dla wszystkich liczb rzeczywistych. Uzasadnij, że prosta l o równaniu 10x-y+9=0 jest styczna do wykresu funkcji f. Wymagania ogólne: Rozumowanie i argumentacja. Wymagania szczegółowe: Zdający korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej. Rozwiązanie zawiera wyznaczenie pochodnej f'(x)=12x²-2, obliczenia wartości funkcji w punktach x=-1 i x=1 oraz analizę położenia punktów względem prostej l.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 160: Zadanie 28: Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi 1. Punkt S jest środkiem krawędzi DH. Odcinek DW jest wysokością ostrosłupa ACSD. Oblicz długości odcinków AW, CW i SW. Rysunek przedstawia sześcian z zaznaczonymi punktami i odcinkami. Wymagania: określenie figury przekroju i zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 161: Rysunek przedstawia ostrosłup ACSD z podstawą trójkąta równoramiennego ACS. Punkt S leży na krawędzi DH, co czyni AS=CS. Długość odcinka ST obliczana jest za pomocą twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego TSD: |ST|²=|SD|²+|DT|². Obliczenia pokazują, że |ST|=√3/2. Odcinek DW jest wysokością trójkąta TDS, a jego długość oblicza się jako |DW|=√6/6. Długość |SW| obliczana z twierdzenia Pitagorasa wynosi √3/6.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 162: Zadanie 30: Dany jest sześcian ABCDEFGH z krawędzią długości 15. Punkty Q i R dzielą krawędzie HG i FG w stosunku 2:1, czyli |HQ|=|FR|=10. Płaszczyzna AQR przecina krawędź DH w punkcie P, a krawędź BF w punkcie S. Oblicz długości odcinków DP i BS. Na rysunku przedstawiono sześcian z zaznaczonymi punktami i płaszczyznami.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 163: Wymagania szczegółowe dotyczące rozpoznawania figur w graniastosłupach i ostrosłupach, obliczania miar kątów oraz rozpoznawania figur podobnych i jednokładnych. Rozwiązanie (I sposób): Rozważamy kwadrat EFGH, gdzie T to punkt przecięcia przedłużeń odcinków QR i EF. Rysunek przedstawia kwadrat z oznaczeniami: |QG|=5, |RF|=10, |FT|=10. Trójkąty prostokątne RFT i RGQ są podobne. Rozważamy także kwadrat ABFE.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 164: Zadanie: Na rysunku przedstawiono prostokąt EFAB z przekątną ET. Długości boków EF=10, AB=15. Punkt S dzieli ET na odcinki x i 15-x. Trójkąty prostokątne ABS i TFS są podobne. Równanie proporcji: SF/FT = BS/AB, co prowadzi do równania x/10 = (15-x)/15. Rozwiązanie daje x=6, więc BS=9. Rozwiązanie alternatywne: Rysujemy przekątne AC, BD, EG, łączymy punkty P i S. Oznaczenia: W - środek PS, Wi - punkt przecięcia przekątnych AC i BD, T - środek QR.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 165: Ilustracja przedstawia sześcian z oznaczonymi wierzchołkami A, B, C, D, E, F, G, H, Q, P, R, S, T, T₁, W, W₁. Opis dotyczy symetrii względem płaszczyzny ACGE i czworokąta BSPD, który jest prostokątem. Wskazano, że prosta przez punkty W i W₁ jest prostopadła do płaszczyzny ABCD, a prosta przez T i T₁ do tej samej płaszczyzny. Obliczenia dotyczą długości odcinków |TT₁|=15, |AW₁|=15√2/2, |AT₁|=15√2, oraz wyznaczenia |WW₁|=9.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 166: Zadanie 31: Oblicz, ile jest wszystkich liczb siedmiocyfrowych, w zapisie których nie ma zera i na dokładnie dwóch miejscach są cyfry parzyste. Wymagania ogólne: użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe: zastosowanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami. Rozwiązanie: opis kroków obliczeń, wykorzystanie wzoru na liczbę dwuelementowych kombinacji ze zbioru siedmioelementowego, obliczenia z trójkąta Pascala.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 167: Strona zawiera listę 21 możliwości ustawienia cyfr parzystych w ciągu, przedstawionych jako sekwencje kółek i kropek. Dodatkowo, poniżej znajduje się opis sposobu liczenia tych możliwości, w tym wzór 6+5+4+3+2+1=21, który przedstawia liczbę sposobów wyboru dwóch miejsc dla cyfr parzystych. Tekst wyjaśnia metodę rozumowania i podaje przykład ustawienia.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 168: Zadanie 32: oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2 i 3. Cyfry mogą się powtarzać. Rozwiązanie: istnieje 27 liczb trzycyfrowych, których cyfry są wybrane spośród cyfr 1, 2 i 3. Przykładowe liczby to 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133, 211, 212, 213, 221, 222, 223, 231, 232, 233, 311, 312, 313, 321, 322, 323, 331, 332, 333. Suma tych liczb wynosi 1098 + 1998 + 2898 = 5994.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 169: Suma wszystkich liczb jest równa 1098 + 1998 + 2898 = 5994. Liczby można dodać bez kalkulatora, zauważając, że sumy liczb w trzech wierszach są równe: 9·100 + (11 + 12 + 13 + 21 + 22 + 23 + 31 + 32 + 33) = 1098, 9·200 + (11 + 12 + 13 + 21 + 22 + 23 + 31 + 32 + 33) = 1998, 9·300 + (11 + 12 + 13 + 21 + 22 + 23 + 31 + 32 + 33) = 2898. Obliczając sumę 27 liczb, każdą zapisujemy jako a·100+b·10+c. Suma cyfr jednostek wynosi 54. Suma wszystkich liczb wynosi 5994.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 170: Zadanie 33: Oblicz, ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 24. Rozwiązanie: Rozkład liczby 24 na czynniki pierwsze: 24 = 3·2·2·2. Pięć możliwości: 1) trzy dwójki, jedna trójka, cztery jedynki (24 = 3·2·2·2·1·1·1·1), 2) trójka, czwórka, dwójka, pięć jedynek (24 = 3·4·2·1·1·1·1·1). Obliczenia permutacji i kombinacji dla każdej możliwości.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 171: Zadanie 3: wśród cyfr liczby są trójka, ósemka i sześć jedynek (24=3·8·1·1·1·1·1·1), oblicz liczbę takich liczb, przykłady: 8!÷7=56, wybieramy miejsce dla trójki i ósemki; (8 nad 2)·2=56, wybieramy dwa miejsca dla trójki i ósemki; 8!÷6!=56, wszystkie sposoby dla 38111111. Zadanie 4: wśród cyfr liczby są szóstka, czwórka i sześć jedynek (24=6·4·1·1·1·1·1·1), oblicz liczbę takich liczb, przykłady: 8!÷7=56, wybieramy miejsce dla szóstki i czwórki; (8 nad 2)·2=56, wybieramy dwa miejsca dla szóstki i czwórki; 8!÷6!=56, wszystkie sposoby dla 64111111. Zadanie 5: wśród cyfr liczby są dwie dwójki, jedna szóstka i pięć jedynek (24=6·2·2·1·1·1·1·1), oblicz liczbę takich liczb, przykłady: 8!÷(7 nad 2)=168, wybieramy miejsce dla szóstki, dwa miejsca dla dwójek; (8 nad 3)·3=168, wybieramy trzy miejsca dla szóstki i dwójek; 8!÷2!5!=168, wszystkie sposoby dla 62211111.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 172: Zadanie 35: Losujemy jednocześnie dwie liczby ze zbioru {1,2,3,...,12,13}. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że wśród wylosowanych liczb będzie liczba 8, pod warunkiem, że suma wylosowanych liczb będzie nieparzysta. Wymagania ogólne: IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe: 10.2.R Zdający oblicza prawdopodobieństwo warunkowe. Rozwiązanie: zdarzenia elementarne to wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru {1,2,3,...,12,13}. Obliczenia prowadzą do wyniku 1/6.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 173: Strona pusta, brak zadań do opisania.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 174: Strona zawiera tekst dotyczący opinii Konferencji Rektorów Akademickich Szkół Polskich o informatorach maturalnych od 2015 roku. Opisuje działania mające na celu poprawę jakości kształcenia oraz zmiany w egzaminach maturalnych. Wymienione są obszary takie jak język polski, historia i wiedza o społeczeństwie, z naciskiem na umiejętności komunikacyjne, analizę historyczną i interpretację informacji. Brak zadań matematycznych.

Matematyka, matura rozszerzona, wrzesień 2013, CKE - strona 175: Strona zawiera tekst opinii KRASP o informatorach maturalnych od 2015 roku. Opisuje zwiększenie wymagań w zakresie matematyki, biologii, chemii, fizyki i geografii. Wspomina o wprowadzeniu skali centylowej na świadectwach maturalnych. Tekst kończy się datą 5 lipca 2013 r. i podpisem przewodniczącego KRASP, prof. zw. dr hab. Wiesława Banysia. Strona nie zawiera zadań matematycznych.

175

Informator matury rozszerzonej z matematyki, wrzesień 2013

Arkusz