Matura rozszerzona z matematyki | Lipiec 2020 | Interaktywny Arkusz + PDF

Zadanie 1

Wielomian \(W(x) = x^3 - x^2 - x - 2\) jest podzielny bez reszty przez wielomian

Wybierz odpowiedź:

A. \(x + 2\)

B. \(x + 1\)

C. \(x - 1\)

D. \(x - 2\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Granica \(\lim\limits_{x \to \infty} \Big(\frac{x^3 + 8}{x^2 - 4} - x\Big)\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(-\infty\)

B. \(+\infty\)

C. \(0\)

D. \(-2\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \frac{3x + 1}{x^2 + 1}\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\).

Pochodna \(f'\) tej funkcji jest określona wzorem

Wybierz odpowiedź:

A. \(f'(x) = \frac{3}{2x}\)

B. \(f'(x) = \frac{-3x^2 - 2x + 3}{2x}\)

C. \(f'(x) = \frac{-3x^2 - 2x + 3}{(x^2 + 1)^2}\)

D. \(f'(x) = \frac{9x^2 + 2x + 3}{(x^2 + 1)^2}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Wyrażenie \(\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2} + 1}\) jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1\)

B. \(\frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\)

C. \(\frac{1}{4}\)

D. \(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1}{6}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \ge 1\), jest równa \(2\), a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(3\). Oblicz iloraz ciągu \((a_n)\).

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę jedności, części dziesiętnych i setnych otrzymanego wyniku.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Pierwszy wyraz ciągu \((a_n)\), określonego dla \(n \geq 1\), jest równy \(2\). Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(a_n = 3 \cdot a_{n + 1} + n^2\). Oblicz sumę \(a_1 + a_2 + a_3\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\).

Wykaż, że jeżeli \(|\sphericalangle ADB| = |\sphericalangle ACB|\), to \(|\sphericalangle BAC| = |\sphericalangle BDC|\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej \(n\) wyrażenie \(n^5 - 3n^4 - n + 3\) jest podzielne przez \(16\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Rozwiąż równanie \(4 \sin^3 x + \sin 2x = 2\sin^2 x \cdot (2 \cos x + 1)\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Dla pewnych liczb rzeczywistych \(a > 1\), \(b > 1\) i \(N > 1\) jest spełniona równość

\(\log_{a^2 b} N = \frac{3}{20} \cdot (\log_a N + log_b N)\).

Wyznacz wszystkie wartości wyrażenia \(\log_a b\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których nierówność

\(\big(m^2 + 4m - 5\big) \cdot x^2 + 2x > 2mx - 2\)

jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Punkt \(A = (-2, 6)\) jest wierzchołkiem rombu \(ABCD\) o polu równym \(82.5\). Przekątna \(BD\) tego rombu zawiera się w prostej \(l\) o równaniu \(2x - y - 5 = 0\). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że w zapisie dziesiętnym iloczyn wszystkich cyfr każdej z tych liczb jest równy \(28\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Dany jest romb \(ABCD\). Przez wierzchołki \(B\) i \(D\) poprowadzono dwie proste równoległe przecinające boki \(CD\) i \(AB\) - odpowiednio - w punktach \(M\) i \(N\), tak, że podzieliły one ten romb na trzy figury \(AND\), \(NBMD\), \(BCM\) o równych polach. Ponadto wiadomo, że \(|MB| = |ND| = |BD|\) (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.

Kliknij, aby powiększyć

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa \(d\). Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę największą objętość.