Matura rozszerzona matematyka listopad 2025 arkusz + PDF

Próbny • Operon • listopad 2025 • formuła 2023

Arkusz matury rozszerzonej z matematyki. Pobierz materiały egzaminacyjne w formacie PDF.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

🎁 Bezpłatne szkolenie z matematyki do matury rozszerzonej

Zapisz się za darmo

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 1: Strona tytułowa arkusza egzaminacyjnego z matematyki na poziomie rozszerzonym, data egzaminu: 19 listopada 2025, czas trwania: 180 minut, liczba punktów do uzyskania: 50. Instrukcja dla zdającego zawiera 8 punktów dotyczących zasad wypełniania arkusza, m.in. sprawdzenie liczby stron, wpisanie numeru PESEL i kodu, oraz korzystanie z przyborów matematycznych. Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 2: Zadanie 1: Oblicz wartość wyrażenia a^b, jeżeli a = log₅ 5 · log₅₂ 2, a b = (log₆ 3)² + log₆ 2 · log₆ 1/2.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 3: Zadanie 2: Temperaturę F bochenka chleba w stopniach Celsjusza opisuje wzór F(t) = a(1,76)^t + 18, gdzie a jest stałą, a t czasem od wyjęcia chleba z pieca. a) Oblicz wartość współczynnika a, wiedząc, że początkowa temperatura chleba wynosi 220°C. b) Po ilu minutach temperatura chleba spadnie poniżej 30°C?

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 4: Zadanie 3: W trójkącie ABC na bokach AC i BC wybrano punkty M i N, takie że |AM|=1/3|AC| oraz |BN|=1/3|BC|. Przez wierzchołek C poprowadzono prostą k równoległą do boku AB. Prosta AN przecina prostą k w punkcie P, a prosta BM przecina prostą k w punkcie Q. Bok AB ma długość a. Oblicz długość odcinka PQ. Rysunek przedstawia trójkąt ABC.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 5: Zadanie 4: Rozwiąż nierówność x³ + 5x² - 6|x| ≥ 0.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 6: Strona zawiera pustą siatkę do rysunków i obliczeń, brak zadań do opisania.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 7: Zadanie 5: Trzeci wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego jest równy 1. Suma kwadratów wyrazów tego ciągu jest 8 razy większa od sumy jego wyrazów o numerach parzystych. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 8: Pusta strona z siatką do rysunków lub obliczeń. Brak zadań do opisania.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 9: Zadanie 6: Podaj wszystkie rozwiązania równania sin 2x + 1 = 3 sin x + 3 cos x należące do przedziału [-2π, 2π].

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 10: Zadanie 7: Obwód trapezu ABCD wynosi 48 cm, przekątna AC ma długość 4√14 cm. W trapez można wpisać okrąg i można na nim opisać okrąg. Oblicz: a) pole trapezu, b) cosinusy kątów ostrych tego trapezu. Rysunek przedstawia trapez ABCD.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 11: Strona zawiera puste pole z siatką do rysunków lub obliczeń, bez widocznych zadań lub treści egzaminacyjnych.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 12: Zadanie 8: Oblicz, ile jest liczb pięciocyfrowych, w których iloczyn cyfr jest równy 36 i które są podzielne przez 4. Strona zawiera siatkę do notatek lub obliczeń.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 13: Strona zawiera pustą siatkę do rysunków i obliczeń, brak treści zadań.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 14: Zadanie 9: Środek okręgu przechodzącego przez punkty A=(0,3) i B=(-4,1) leży na prostej o równaniu x+y-2=0. a) Wyznacz równanie tego okręgu. b) Wyznacz na okręgu taki punkt C, aby kąt BAC był kątem prostym. c) Wykaż, że punkt przecięcia wysokości trójkąta ABC, środek okręgu opisanego na tym trójkącie oraz jego środek ciężkości leżą na jednej prostej.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 15: Strona zawiera pustą siatkę złożoną z kwadratów, przeznaczoną do rysunków lub obliczeń pomocniczych. Brak widocznych zadań lub treści matematycznych.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 16: Zadanie 10: Dane jest równanie kwadratowe: mx² - 3(m + 4)x + 6m + 12 = 0, gdzie m ≠ 0. Dla jakich wartości parametru m to równanie ma dwa różne rozwiązania i co najmniej jedno z nich jest liczbą dodatnią?

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 17: Pusta strona z siatką do rysunków lub obliczeń. Brak zadań do opisania.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 18: Zadanie 11: Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość √6 dm. Z wierzchołka tego ostrosłupa poprowadzono wysokości dwóch sąsiednich ścian bocznych. Kąt między tymi wysokościami ma miarę 60°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Rysunek przedstawia ostrosłup z zaznaczonymi wysokościami.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 19: Pusta strona z siatką do rysunków lub obliczeń, brak widocznych zadań lub treści do analizy.

$Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 20: Zadanie 12: Funkcja określona wzorem $ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 $ osiąga dla argumentu $ x = -2 $ maksimum równe 5. Wyznacz wartości współczynników $ a $ i $ b $. Oblicz, dla jakiego argumentu $ x $ funkcja $ f $ osiąga minimum, oraz podaj jego wartość.$

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 21: Strona zawiera pustą siatkę do rysunków lub obliczeń, brak widocznych zadań.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 22: Brudnopis (nie podlega ocenie). Strona zawiera siatkę do notatek, bez zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 23: Brudnopis (nie podlega ocenie), zawiera kratkowaną stronę do notatek i obliczeń pomocniczych.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 24: Strona pusta, brak zadań do opisania.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 1: Strona tytułowa arkusza odpowiedzi, zawiera informacje o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym, data egzaminu: 19 listopada 2025, czas trwania: 180 minut, liczba punktów do uzyskania: 50. Instrukcje dla zdającego dotyczące wypełniania arkusza, używania czarnego tuszu, oraz korzystania z przyborów matematycznych.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 2: Zadanie 1 (0-3 pkt): obliczanie wartości wyrażenia aᵇ, gdzie a=log₅5·log₂5, a b=(log₆3)²+log₆2·log₆½. Rozwiązanie obejmuje przekształcenia logarytmiczne, uproszczenie wyrażeń logarytmicznych, końcowy wynik aᵇ=2⁻¹·(1/3)=1/3. Brak elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 3: Zadanie 2 (0–2 pkt): a) Obliczenie wartości współczynnika a dla t=0, równanie F(0)=a*(1,76)^0+18=220, wynik a=202. b) Obliczenie czasu, po którym temperatura spadnie poniżej 30°C, równanie 202*(1,76)^-t+18<30, przekształcenie do (1,76)^-t<12/202, wynik t≈5 minut. Obliczenia z użyciem kalkulatora.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 4: Zadanie 3 (0-3 pkt): w trójkącie ABC na bokach AC i BC wybrano punkty M i N. Przez C poprowadzono prostą k równoległą do AB. Prosta AN przecina k w P, BM przecina k w Q. Oblicz długość PQ. Rozwiązanie: 1) Z własności równoległości wynika proporcja długości odcinków. 2) Kąty wierzchołkowe. 3) Podobieństwo trójkątów ABM~CQM i ABN~PCN w skali 1/2. 4) Z podobieństwa wynika QC=2a, PC=2a. 5) PQ=PC+CQ=4a. Szkic trójkąta z zaznaczonymi punktami.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 5: Zadanie 4 (0-5 pkt): rozwiązanie nierówności x³ + 5x² - 6|x| ≥ 0. Dla x ≥ 0: rozkład na czynniki, Δ=49, x₁=1, x₂=-6, szkic wykresu z zaznaczonymi miejscami zerowymi, wynik: x ∈ {0} ∪ [4; +∞). Dla x < 0: rozkład na czynniki, Δ=4, x₁=-3, x₂=-2, szkic wykresu, wynik: x ∈ [-3; -2] ∪ {0} ∪ [4; +∞).

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 6: Pusta strona z siatką do notatek lub obliczeń. Brak widocznych zadań, rozwiązań, wykresów czy punktacji.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 7: Zadanie 5 (0-4 pkt): Wyznaczenie pierwszego wyrazu i ilorazu nieskończonego ciągu geometrycznego. Dany trzeci wyraz a₃=1. Obliczenia: a₁q²=1, 8a₁q(1+q²+q⁴+...)>8a₁q³(1+q²+q⁴+...), a₁=8q, 8q³=1, q=½, a₁=4. Rozwiązanie zawiera równania i przekształcenia algebraiczne, brak elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 8: Pusta strona z siatką kratkowaną, przeznaczona na notatki lub obliczenia. Brak widocznych zadań, rozwiązań, wykresów czy punktacji.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 9: Zadanie 6 (0-4 pkt): rozwiązanie równania sin 2x + 1 = 3 sin x + 3 cos x. Rozpisanie na 2 sin x cos x + 4 - 3 sin x - 3 cos x = 0, przekształcenie do (sin x + cos x)(sin x + cos x - 3) = 0. Kluczowe kroki: sin x + cos x = 0 lub sin x + cos x = 3. Szkic wykresów funkcji sinus i cosinus z zaznaczonymi miejscami zerowymi. Odpowiedź: x ∈ {-5π/4, -π/4, 3π/4, 7π/4}.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 10: Zadanie 7 (0–4 pkt): Oblicz pole trapezu i cosinusy kątów ostrych. Szkic trapezu ABCD z przekątną AC, obwód 48 cm, AC=4√14 cm. Rozwiązanie: 1) Trapez równoramienny, 2) Obwód: 48=a+b+2c, c=12, a+b=24, 3) Wzory na podstawy, 4) Twierdzenie Pitagorasa: h²=80, h=4√5, 5) Pole: P=(a+c)/2·h=48√5 cm².

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 11: Zadanie 6: rozwiązanie dotyczące trójkąta równoramiennego z kątem ostrym. 1) Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie CEB: (4√5)² + |EB|² = 12², 80 + |EB|² = 144, |EB|² = 64, |EB| = 8. 2) Obliczenie cos β = 8/12 = 2/3. Szkic trójkąta z zaznaczonymi bokami i kątem.

$Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 12: Zadanie 8 (0–4): Obliczanie liczby pięciocyfrowych liczb, gdzie iloczyn cyfr wynosi 36 i są podzielne przez 4. Rozpoczęto od rozkładu 36 na czynniki: $2^2 \cdot 3^2 \cdot 1^1$. Rozważono różne końcówki liczb podzielnych przez 4: 12, 32, 92, 16, 36. Obliczono łącznie 39 liczb spełniających warunki.$

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 13: Pusta strona z siatką do notatek lub obliczeń. Brak widocznych zadań, rozwiązań, obliczeń, wykresów czy punktacji. Strona przeznaczona do uzupełniania przez zdającego.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 14: Zadanie 9 (0-6 pkt): a) Wyznaczono równanie okręgu przechodzącego przez punkty A(0,3) i B(-4,1), środek S(-4,6) leży na prostej y=-x+2, promień r=5, równanie okręgu (x+4)²+(x-6)²=25. b) Obliczenia dla punktu C na okręgu, aby kąt BAC był prosty. c) Wykazano, że punkt przecięcia wysokości trójkąta ABC, środek okręgu i środek ciężkości leżą na jednej prostej. Szkic prostych i okręgu na układzie współrzędnych.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 15: Zadanie 1: równanie prostej BS, x=-4. Zadanie 2: punkt C jako przecięcie prostej BS z okręgiem, x=-4, y=1. Zadanie 3: środek ciężkości trójkąta, S₀=(-8/3, 5), środek okręgu opisanego S₁=(-4, 6), równanie prostej S₁S₂, y=-4x+3. Szkice: okrąg z trójkątem prostokątnym, wykresy punktów i prostych.

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 16: Zadanie 10 (0-5 pkt): rozwiązanie równania kwadratowego mx² - 3(m+4)x + 6m + 12 = 0. Obliczenia delty: Δ=(3(m+4))² - 4m(6m+12), Δ=1024, √Δ=32. Rozwiązania m₁=2,4, m₂=4. Szkice paraboli z zaznaczonymi przedziałami dla różnych wartości m. Analiza warunków x₁·x₂<0 i x₁+x₂>0. Ostateczny przedział dla m: m∈(-2,4).

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 17: Zadanie I: analiza nierówności z parametrem m, wykresy funkcji kwadratowych z zaznaczonymi przedziałami rozwiązań, m ∈ (-2, 0) ∪ (0, ∞). Zadanie II: wykres osi liczbowej z zaznaczonymi przedziałami m ∈ (-∞, -4) ∪ (0, ∞). Odpowiedź: m ∈ (-2, 0) ∪ (0, 4).

Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 18: Zadanie 11 (0–5 pkt): obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej ostrosłupa. Rozwiązanie obejmuje oznaczenia na rysunku, zastosowanie tw. cosinusów w ΔKLE, tw. Pitagorasa w ΔELC, układ równań. Kluczowe kroki: wyznaczenie |KL|, h², a², rozwiązanie układu: a²=8, a=2√2, h=2. Rysunek ostrosłupa z kątami i wysokościami.

$Matematyka, matura rozszerzona, listopad 2025, Operon - strona 19: Zadanie 5: obliczenie pola powierzchni bocznej walca, $P_c = P_p + 4P_s$, wynik $8 + 8\sqrt{2}$ dm². Zadanie 6: zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, $H = \sqrt{2}$. Zadanie 7: obliczenie objętości ostrosłupa, $V = \frac{8\sqrt{2}}{3}$ dm³. Odpowiedzi: $V = \frac{8\sqrt{2}}{3}$ dm³, $P_c = 8 + 8\sqrt{2}$ dm².$