Matura rozszerzona matematyka maj 2011 arkusz + PDF

CKE • maj 2011 • formuła 2002

Arkusz matura rozszerzona z matematyki. Pobierz oficjalne materiały egzaminacyjne w formacie PDF.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza egzaminacyjnego. Zawiera informacje organizacyjne dotyczące egzaminu: liczba stron arkusza (19), czas pracy (180 minut), liczba punktów do uzyskania (50). Instrukcje dla zdających obejmują m.in. sprawdzenie kompletności arkusza, sposób wypełniania odpowiedzi, użycie długopisu lub pióra, zakaz używania korektora, możliwość korzystania z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla, linijki oraz kalkulatora. Miejsce na wpisanie kodu i PESEL.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 2: Zadanie 1: (4 pkt) Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k^6 - 2k^4 + k^2 jest podzielna przez 36.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 3: Zadanie 2: Uzasadnij, że jeżeli a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c i a + b = 2c, to $\frac{a}{a-c} + \frac{b}{b-c} = 2$. Strona zawiera siatkę do rozwiązań oraz tabelę do wypełnienia przez egzaminatora z numerem zadania, maksymalną liczbą punktów i uzyskaną liczbą punktów.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 4: Zadanie 3: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² - 4mx - m³ + 6m² + m - 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂ takie, że (x₁ - x₂)² < 8(m + 1).

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 5: Strona zawiera siatkę do rysowania oraz miejsce na odpowiedź do zadania 3. W dolnej części tabelka do wypełnienia przez egzaminatora z numerem zadania 3, maksymalną liczbą punktów 6 oraz miejscem na uzyskaną liczbę punktów.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 6: Zadanie 4: Rozwiąż równanie $2 \sin^2 x - 2 \sin^2 x \cos x = 1 - \cos x$ w przedziale $ \langle 0, 2\pi \rangle $.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 7: Zadanie 5: O ciągu (xₙ) dla n ≥ 1 wiadomo, że: a) ciąg (aₙ) określony wzorem aₙ = 3ⁿ dla n ≥ 1 jest geometryczny o ilorazie q = 27. b) x₁ + x₂ + ... + x₁₀ = 145. Oblicz x₁. Poniżej znajduje się pusta siatka do rysowania oraz tabela do wypełnienia przez egzaminatora z numerem zadania, maksymalną liczbą punktów i uzyskaną liczbą punktów.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 8: Zadanie 6: Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz kąt BAC wynosi 30°. Oblicz długość środkowej AD tego trójkąta.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 9: Strona zawiera puste pole z siatką do rysowania oraz tabelę do wypełnienia przez egzaminatora z numerem zadania 6, maksymalną liczbą punktów 4 i miejscem na uzyskaną liczbę punktów. Brak treści zadań.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 10: Zadanie 7: Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x² + y² + 2x - 2y - 3 = 0 poprowadzonymi przez punkt A = (2,0).

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 11: Pusta strona z kratką przeznaczona na rozwiązanie zadania. Na dole tabelka do wypełnienia przez egzaminatora z numerem zadania 7, maksymalna liczba punktów 4, oraz miejsce na wpisanie uzyskanej liczby punktów.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 12: Zadanie 8: Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi wynosi 24, znajdź ten, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 13: Strona zawiera kratkowaną przestrzeń przeznaczoną na odpowiedź do Zadania 8, bez treści zadania. Na dole strony znajduje się tabela do wypełnienia przez egzaminatora z numerem zadania 8, maksymalną liczbą punktów 4 oraz miejscem na wpisanie uzyskanej liczby punktów.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 14: Zadanie 9: Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 15: Zadanie 10: Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M, N są odpowiednio środkami boków AB i CD. Punkty P, Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD. Uzasadnij, że MQ || PN.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 16: Zadanie 11: Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie równoramiennym ASC stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy |AC|:|AS|=6:5. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 17: Strona zawiera puste pole z siatką do rysowania, przeznaczone na odpowiedź do zadania 11. Na dole strony znajduje się tabela do wypełnienia przez egzaminatora z numerem zadania 11, maksymalną liczbą punktów 6 oraz miejscem na uzyskaną liczbę punktów.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 18: Zadanie 12: A i B są zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω. Wykazać, że jeżeli P(A) = 0,9 i P(B) = 0,7, to P(A ∩ B') ≤ 0,3 (B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B).

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 19: Brudnopis. Strona przeznaczona na notatki i obliczenia pomocnicze, bez zadań do rozwiązania.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 20: Zadanie 10: wyznacz wartość wyrażenia $ \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} $ dla $ x = 2 $. Zadanie 11: na rysunku przedstawiono trójkąt równoramienny o podstawie 8 cm i wysokości 6 cm, oblicz jego pole. Zadanie 12: rozwiąż równanie kwadratowe $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ i podaj miejsca zerowe funkcji. Zadanie 13: na wykresie przedstawiono funkcję liniową, określ jej współczynnik kierunkowy.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 21: Strona zawiera tabelę do wypełnienia przez egzaminatora z numerami zadań od 1 do 12 oraz miejscem na wpisanie punktów od 0 do 6 dla każdego zadania. Na dole strony znajduje się pole na sumę punktów z możliwością wpisania wartości od 0 do 9 dla części D i J. Strona nie zawiera treści zadań, a jedynie miejsce na wpisanie wyników oceny.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 22: Strona zawiera pola do wpisania kodu egzaminatora oraz kodu zdającego, a także miejsce na czytelny podpis egzaminatora. Brak zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza odpowiedzi z logiem CKE i napisem "Egzamin maturalny 2011, matematyka, poziom rozszerzony". Widoczny tekst: "Kryteria oceniania odpowiedzi, maj 2011". Brak szczegółowych rozwiązań zadań lub obliczeń.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0-4): Użycie i tworzenie strategii, wykorzystanie cech podzielności liczb całkowitych. Rozwiązanie: Przekształcenie wyrażenia $k^6 - 2k^4 + k^2$ do postaci iloczynowej $(k-1)k(k+1)$ i wykazanie podzielności przez 6. Trzy sposoby: I - liczby podzielne przez 3, II - podzielność przez 2 i 3, III - podzielność przez 6. Końcowy wynik: liczba podzielna przez 36.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 3: Zadanie 1: Wyjaśnienie podzielności liczby $ n^2 = k^6 - 2k^4 + k^2 $ przez 36, pokazano różne formy iloczynowe, wykazano podzielność przez 2 i 3, łącznie 10 pkt. Zadanie 2: Przekształcenie równoważne wyrażenia wymiernego, mnożenie obu stron równania, uproszczenie do $ 2c^2 - ac - bc = 0 $, końcowy wniosek o prawdziwości tezy, 4 pkt.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 4: Schemat oceniania dla różnych sposobów rozwiązania równania. I sposób: przekształcenie równania do postaci $ \frac{a}{a-c} + \frac{b}{b-c} = 2 $, uzasadnienie prawdziwości równania, 4 pkt. II sposób: wyznaczenie z $ a+b=2c $, przekształcenie do postaci $ \frac{a}{a-c} + \frac{b}{b-c} = 2 $, 4 pkt. III sposób: ciąg arytmetyczny, wstawienie do wyrażenia, 2 pkt.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 5: Uwagi dotyczące przekształceń wyrażeń algebraicznych, schemat oceniania rozwiązań z punktacją. Zadanie 3 (0–6 pkt): Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, zastosowanie wzorów Viète’a, dyskusja warunków dla dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych. Rozwiązanie nierówności Δ>0 oraz (x₁-x₂)²<8(m+1). Wyznaczenie przedziałów dla m, przekształcenie nierówności do postaci 4m³-8m²-12m<0.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 6: Zadanie 1: Rozwiązanie nierówności 4m(m-3)(m+1)<0, wynik m∈(-∞,-1)∪(0,3). Wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności: Δ>0 i (x₁-x₂)²<8(m+1), wynik m∈(0,1)∪(2,3). Schemat oceniania: 1 pkt za Δ>0, 4 pkt za (x₁-x₂)²<8(m+1), 1 pkt za część wspólną. II sposób: równanie x²-4mx-m³+6m²+m-2=0, Δ=16m²-4(m³-2m²-m+2). Rozwiązanie nierówności Δ>0, wynik (m+1)(m-1)(m-2)>0.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 7: Zadanie 4: rozwiązanie nierówności Δ>0, m=(-1,1)∪(2,+∞), 1 pkt. Wyznaczenie pierwiastków x₁, x₂, 1 pkt. Obliczenie (x₁-x₂)²=4(m³-2m²-m+2), nierówność (x₁-x₂)²<8(m+1), m∈(0,1)∪(2,3), 4 pkt. Wyznaczenie części wspólnej rozwiązań, 1 pkt. Schemat oceniania: 1 pkt za wyznaczenie x₁, x₂, 2 pkt za zapisanie x₁-x₂=-2√(m³-2m²-m+2).

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 8: Zadanie 4 (0–4 pkt): Rozwiązanie równania trygonometrycznego 2sin²x - 2sin²x·cosx = 1 - cosx. Wyłączenie czynnika przed nawias, przekształcenie do postaci iloczynowej, uzyskanie równań sinx = -√2/2, sinx = √2/2, cosx = 1. Wyniki: x = 5/4π, 7/4π, 1/4π, 3/4π, 0, 2π, 225°, 315°, 45°, 135°, 0°, 360°. Pełne rozwiązanie z uwzględnieniem wszystkich przypadków.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 9: Zadanie 1 (1 pkt): zapisanie równania 2sin²x - 2sin²xcosx = 1 - cosx. Zadanie 2 (2 pkt): zapisanie równania w postaci alternatywnej, sin²x = 1/2, sinx = √2/2, cos2x = 0. Zadanie 3 (3 pkt): rozwiązanie równania z przedziału (0, 2π), x = 0, x = π/4, x = 3π/4, x = 5π/4, x = 7π/4, x = 2π. Zadanie 4 (4 pkt): pełne rozwiązanie równania. Uwagi dotyczące punktacji za różne sposoby rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 10: Zadanie dotyczące rozwiązania równania trygonometrycznego 2sin²x - 2sin²xcosx = 1 - cosx. Rozwiązanie obejmuje zapisanie równania w postaci iloczynowej, kluczowe kroki to przekształcenia i wyznaczenie wartości x: 0, π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4, 2π lub 0°, 45°, 135°, 225°, 315°, 360°. Schemat oceniania uwzględnia różne poziomy szczegółowości rozwiązania z punktacją od 1 do 4 punktów.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 11: Zadanie 5 (0–4 pkt): zastosowanie własności ciągu geometrycznego i arytmetycznego. Rozwiązanie: q = 3^(xₙ₊₁−xₙ), xₙ₊₁−xₙ = 3, ciąg arytmetyczny o różnicy r = 3. Układ równań: x₁ + (x₁ + r) + ... + (x₁ + 9r) = 145, r = 3. Obliczenia: 10x₁ + 135 = 145, x₁ = 1. Schemat oceniania: 1 pkt za równanie, 2 pkt za zależność, 3 pkt za układ równań, 4 pkt za pełne rozwiązanie. Uwaga: pomyłka w własnościach ciągów skutkuje 0 pkt.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 12: Zadanie 5 (4 pkt): rozwiązanie równania 3^x₁₊x₂₊...₊xₖ = 3¹⁴⁵, wykorzystanie ciągu geometrycznego o ilorazie q=27, przekształcenie do 10x₁+135=145, wynik x₁=1. Zadanie 6 (0-4): użycie trygonometrii w trójkącie, szkic trójkąta ABC z kątem 30° i odcinkiem BE=4, obliczenia z wykorzystaniem związków miarowych w figurach płaskich.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 13: Zadanie: obliczenie długości odcinka AD w trójkącie ABD przy użyciu twierdzenia cosinusów. Kluczowe kroki: wyznaczenie długości BC i BD, zastosowanie twierdzenia cosinusów, obliczenie AD²=64+16/3-32=16·7/3, wynik AD=4√21/3. Elementy wizualne: brak. Punktacja: 1 pkt za wprowadzenie oznaczeń, 2 pkt za istotny postęp, 3 pkt za pokonanie trudności, 4 pkt za pełne rozwiązanie. Uwagi: błędne wyznaczenie cos 30° skutkuje 3 pkt.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 14: Zadanie: obliczenia w trójkącie ABC z kątem 120°. Wprowadzenie oznaczeń: x - długość ramienia, y - długość środkowej AD. Zastosowanie twierdzenia cosinusów, przekształcenie równania 64 = 2x² + x², obliczenie x = 8/√3, y = 4√21/3. Szkic trójkąta z oznaczeniami. Punktacja: 1 pkt za wprowadzenie oznaczeń, 2 pkt za obliczenie x, 3 pkt za twierdzenie cosinusów, 4 pkt za pełne rozwiązanie.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 15: Zadanie dotyczące trójkąta ABC z kątem 30°. Rozwiązanie z użyciem twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC: $x^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos 30^\circ$, przekształcone do $64 = 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Obliczenia dla $x = \frac{8}{\sqrt{3}}$, $x^2 = \frac{64}{3}$. Dalsze obliczenia dla $|AD|$ i $y$, wynik $y = \frac{4\sqrt{21}}{3}$. Szkic trójkąta z oznaczeniami. Punktacja: 1-4 pkt za różne etapy rozwiązania.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 16: Zadanie 4: obliczenie długości odcinka FB, FB=2. Obliczenie długości odcinka DF, DF=2/√3. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADF, obliczenie długości środkowej AD, AD=√(112/3)=4√7/3=4√21/3. Szkic trójkąta równobocznego z zaznaczonymi odcinkami. Punktacja: 1 pkt za obliczenie FB, 2 pkt za obliczenie DF, 3 pkt za zapisanie równości Pitagorasa, 4 pkt za wyznaczenie AD.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 17: Zadanie 5: rozwiązanie zadania z geometrii dotyczącego trójkąta CEB. Obliczenie długości odcinka CE: |CE|=4/√3. Z twierdzenia o środku ciężkości trójkąta: |AS|=2/3|AD| i |SE|=1/3|CE|. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ASE: |AD|=4√7/3=4√21/3. Szkic trójkąta z oznaczeniami. Punktacja: 1 pkt za obliczenie |CE|, 2 pkt za zapisanie |AS| i |SE|, 3 pkt za zapisanie równości z twierdzenia Pitagorasa, 4 pkt za pełne rozwiązanie.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 18: Zadanie 7 (0-4 pkt): Rozwiązanie zadania dotyczącego wzajemnego położenia prostej i okręgu. I sposób rozwiązania (parametryczny): szkic przedstawia okrąg i prostą, punkt A(2,0), równanie kierunkowe prostej y=ax-2a. Układ równań: x²+y²+2x-2y-3=0 i y=ax-2a, przekształcenie do równania kwadratowego. Warunek styczności: Δ=0, przekształcenia algebraiczne, końcowy wynik: 2a²+3a-2=0.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 19: Zadanie 2: rozwiązanie równania kwadratowego $2a^2 + 3a - 2 = 0$ metodą delty, Δ=25, $a_1 = -2$ lub $a_2 = \frac{1}{2}$. Wykorzystanie wzorów Viete’a, $a_1 \cdot a_2 = -1$, stwierdzenie o prostopadłości prostych stycznych. Schemat oceniania: istotny postęp (1 pkt), pokonanie trudności (2 pkt), rozwiązanie z usterkami (3 pkt), pełne rozwiązanie (4 pkt). II sposób: przekształcenie równania okręgu, wyznaczenie środka i promienia.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 20: Zadanie 1: wyznaczenie odległości środka S okręgu od prostej, równanie kwadratowe, przekształcenie równania, końcowy wynik: $2a^2 + 3a - 2 = 0$. Schemat oceniania: zapisanie równania prostej przez punkt A=(2,0), pokonanie trudności zadania, zapisanie równania okręgu, obliczenie wartości parametru a. Punktacja: 1-4 pkt za różne etapy rozwiązania.$

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 21: Zadanie 3: Przekształcenie równania okręgu $x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 = 0$ do postaci $(x+1)^2 + (y-1)^2 = 5$. Wyznaczenie środka $S=(-1,1)$ i promienia $r=\sqrt{5}$. Rysunek z okręgiem o środku $S$ i promieniu $r$, punkt $A=(2,0)$. Obliczenie długości odcinka $|SA|=\sqrt{10}$. Wyznaczenie punktów styczności $B=(1,2)$ i $C=(0,-1)$.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 22: Zadanie 1: Przekształcanie układu równań do postaci y w zależności od x, rozwiązanie równania kwadratowego, końcowy wynik y=3x-1. Zadanie 2: Podstawienie y=3x-1 do równania okręgu, przekształcenie do postaci kwadratowej, rozwiązanie x=0 lub x=1, y=-1 lub y=2. Zadanie 3: Wyznaczenie punktów styczności B i C, zapisanie równań stycznych do okręgu, współczynniki kierunkowe a₁=-2, a₂=1/2. Punktacja: 1-4 pkt za różne etapy rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 23: Zadanie 4: Wyznaczanie środka S i promienia r okręgu, S=(-1,1), r=√5. Rysunek z okręgiem o środku S i promieniu r=√5, punkt A=(2,0). Obliczenia: |SB|=√5, |SA|=√10, sin∠SAB=√2/2, ∠SAB=45°, ∠BAC=90°. Schemat oceniania: 1 pkt za obliczenie promienia, 2 pkt za pokonanie trudności, 4 pkt za pełne rozwiązanie z ∠BAC=90°.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 24: Zadanie 8 (0–4 pkt): Modelowanie matematyczne, znalezienie związków miarowych w graniastosłupie, wyznaczenie największej wartości funkcji. Rozwiązanie: wprowadzenie oznaczeń a i h, równanie 12a + 6h = 24, wyznaczenie h=4-2a lub a=2-h/2. Pole P=6ah, funkcje P(a)=-12a²+24a i P(h)=-3h²+12h, maksymalne dla a=1 i h=2. Szkic graniastosłupa. Punktacja: 1 pkt za wprowadzenie oznaczeń, 2 pkt za zapisanie pola P i wyznaczenie zmiennych.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 25: Zadanie 9 (0–4 pkt): Wykorzystanie wzorów na permutacje, kombinacje i wariacje. Rozwiązanie: wybór miejsc dla dwójek $\binom{8}{2} = 28$, dla trójek $\binom{6}{3} = 20$. Na pozostałych miejscach ciągi z cyfr 1-9, $7^3$ ciągów. Wynik: $28 \cdot 20 \cdot 7^3 = 192080$ liczb spełniających warunki. Schemat oceniania: pełne rozwiązanie 4 pkt, pokonanie trudności 3 pkt, częściowe 1 pkt.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 26: Uwagi dotyczące obliczania liczby miejsc dla dwójek i trójek, różne sposoby obliczeń i punktacja za poprawne rozwiązania. Zadanie 10 (0–3 pkt): Rozumowanie i argumentacja, znalezienie związków miarowych w figurach płaskich, rysunek trapezu z punktami N, P, M, Q jako środkami boków, wniosek o równoległości NP || MQ. Schemat oceniania: 1 pkt za zapisanie NP || AD lub MQ || AD, 2 pkt za uzasadnienie, 3 pkt za pełne rozwiązanie.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 27: Zadanie 11 (0-6 pkt): Znalezienie związków miarowych w ostrosłupie. Szkic ostrosłupa z oznaczeniami punktów A, B, C, D, S, H, M. Wprowadzenie oznaczeń, obliczenia z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów CHS i MCS. Obliczenia długości odcinków |SH|, |BC|, |CM|, |SM|. Wyznaczenie sin α jako stosunek |SH| do |SM|. Wynik: sin α = 4√2/√41.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 28: Zadanie 1 (6 pkt): Wyznaczenie długości odcinków w ostrosłupie, obliczenia z użyciem wzorów na długości boków i sinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy. Kluczowe kroki: wyznaczenie |AH|=3x, |SH|=4x, |AC|=6x, |AS|=5x, |BC|=3x√2, |CM|=3x√2/2, |SM|=√41/2·x, sinα=4√82/41. Elementy wizualne: szkic ostrosłupa z oznaczeniami punktów i odcinków.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 29: Zadanie 4: rozwiązanie z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych ASH i SHM, obliczenia długości odcinków |SH| i |SM|, wyznaczenie sin α jako 4√82/41. Schemat oceniania: różne etapy rozwiązania z punktacją od 1 do 6 punktów, uwagi dotyczące błędów w obliczeniach i ich wpływu na punktację.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 30: Zadanie 3: Rozwiązanie geometryczne z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BMS. Wprowadzenie oznaczeń: α = ∠HMS, |AC| = 6x, |HC| = 3x, |SC| = 5x. Obliczenia: |AH| = 3x, |BC| = 6x/√2, |BM| = 3x/√2, |HM| = 3x/√2, |SM| = √(41/2)x. Obliczenia cos α = 3/√41 i sin α = 4√82/41. Szkic piramidy z zaznaczonymi punktami A, B, C, D, S, H, M.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 31: Zadanie 11 (6 pkt): Wyznaczenie długości odcinków BC i SM, obliczenie cos α i sin α, wyrażenia algebraiczne z pierwiastkami. Zadanie 12 (0-3 pkt): Użycie strategii prawdopodobieństwa, zapisanie związków między zdarzeniami, wnioski dotyczące P(A∩B').

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 32: II sposób rozwiązania: Zadanie dotyczące prawdopodobieństwa z wykorzystaniem wzoru na sumę zdarzeń. Obliczenia: P(A∩B)≥0,6, P(A∩B')=0,3. Schemat oceniania: 1 pkt za zapisanie P(A∩B')=P(A)-P(A∩B), 2 pkt za uzasadnienie P(A∩B)≥0,6, 3 pkt za wykazanie P(A∩B')≤0,3. III sposób rozwiązania: Z faktu A∩B'⊆B' wynika P(A∩B')≤P(B'). Obliczenia: P(B')=0,3. Schemat oceniania: 1 pkt za obliczenie P(B'), 2 pkt za zapisanie A∩B'⊆B', 3 pkt za zapisanie wniosku P(A∩B')≤0,3.

Ładowanie arkusza egzaminacyjnego...

Matura rozszerzona matematyka maj 2011 arkusz + PDF

CKE • maj 2011 • formuła 2002

Arkusz matura rozszerzona z matematyki. Pobierz oficjalne materiały egzaminacyjne w formacie PDF.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2011, CKE - strona 6: Zadanie 4: Rozwiąż równanie $2 \sin^2 x - 2 \sin^2 x \cos x = 1 - \cos x$ w przedziale $ \langle 0, 2\pi \rangle $.$

Matura rozszerzona matematyka maj 2011 arkusz + PDF

Arkusz

Odpowiedzi

Matura rozszerzona matematyka maj 2011 arkusz + PDF

Arkusz

Odpowiedzi