Matura rozszerzona matematyka czerwiec 2011 arkusz + PDF

Dodatkowy • CKE • czerwiec 2011 • formuła 2002

Arkusz matury rozszerzonej z matematyki. Pobierz materiały egzaminacyjne w formacie PDF.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się, gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Sprawdzam kurs

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

🎁 Bezpłatne szkolenie z matematyki do matury rozszerzonej

Zapisz się za darmo

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza egzaminacyjnego. Zawiera instrukcje dla zdających, takie jak sprawdzenie liczby stron (16 stron, zadania 1–12), wpisanie rozwiązań w odpowiednich miejscach, używanie tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem, zakaz używania korektora, możliwość korzystania z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla, linijki oraz kalkulatora. Miejsce na wpisanie kodu i numeru PESEL. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 2: Zadanie 1: Rozwiąż nierówność |2x−4|+|x−5|≥12.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 3: Zadanie 2: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie $2x^2 - (m-2)x - 3m = 0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1, x_2$, spełniające warunek $x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2 \leq 25$.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 4: Zadanie 3: Ciąg (a, b, c) jest geometryczny. Ciąg (3a + 3, 2b, c − 12) jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz a, b, c.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 5: Zadanie 4: Rozwiąż równanie $6\sin^2x + 7\cos x - 1 = 0$ dla $x \in (0, 2\pi)$.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 6: Zadanie 5: Dany jest trójkąt ostrokątny ABC o bokach długości a, b, c i kątach α, β, γ. Wykazać, że (b² + c² - a²) / (a² + c² - b²) = tgβ / tgα. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z oznaczeniami boków i kątów.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 7: Strona zawiera pustą siatkę w kratkę, brak zadań do opisania.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 8: Zadanie 6: Wykazać, że nie istnieje wielomian $ W(x) $ stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, który spełnia warunki: $ W(2) = 3 $ i $ W(-2) = 2 $. Strona zawiera siatkę do rozwiązania zadania.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 9: Zadanie 7: Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym |AC| = 5 i |AB| = 8. Pole tego trójkąta jest równe 10√3. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 10: Zadanie 8: Punkty A=(-5, 5) i C=(8, 6) są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, w którym AB równoległe do CD. Prosta o równaniu y=2x jest osią symetrii tego trapezu. Oblicz współrzędne wierzchołków B i D oraz pole tego trapezu.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 11: Pusta strona z siatką w kratkę, brak widocznych zadań lub treści do rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 12: Zadanie 9: Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie P. Prosta równoległa do podstaw trapezu, przechodząca przez punkt P, przecina ramiona AD i BC odpowiednio w punktach M i N. Wykaż, że |MP|=|NP|.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 13: Zadanie 10: Dany jest kwadrat ABCD o boku równym 2. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F, różne od wierzchołków kwadratu, takie że |CE|=|DF|=x. Oblicz wartość x, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze i oblicz to pole.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 14: Zadanie 11: Spośród wszystkich liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru {1, 2, 3} losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wszystkich cyfr wylosowanej liczby jest równa 7.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 15: Zadanie 12: W ostrosłupie trójkątnym ABCS o podstawie ABC i wierzchołku S dane są: |AB|=|AC|=|SB|=|SC|=9 i |AS|=|BC|=8. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 16: Brudnopis, strona pusta przeznaczona na notatki i obliczenia.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 17: Strona zawiera tabelę do wypełnienia przez egzaminatora z sumą punktów od 0 do 50. Każda wartość punktowa ma przypisane pole do zaznaczenia. Na górze strony znajduje się miejsce na naklejkę z numerem PESEL oraz kod zdającego. Na dole strony jest miejsce na kod egzaminatora i jego czytelny podpis.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza odpowiedzi, zawiera informacje o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym, czerwiec 2011, schemat oceniania do zadań otwartych. Brak szczegółowych rozwiązań zadań lub elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 2: Zadanie 1 (4 pkt): Rozwiązywanie nierówności |2x-4|+|x-5|≥12. I sposób: wyznaczenie przedziałów na osi liczbowej, analiza w przedziałach (-∞,2), (2,5), (5,∞), wyniki x∈(-∞,-1)∪(7,∞). II sposób: zapisanie czterech przypadków, rozwiązanie nierówności dla każdego przypadku, końcowy wynik x∈(-∞,-1)∪(7,∞).

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 3: Zadanie: rozwiązanie nierówności z podziałem na przedziały liczbowe, przedstawienie czterech przypadków nierówności. Kluczowe kroki: zapisanie nierówności dla przedziałów $(-∞, 2)$, $\langle 2, 5 \rangle$, $\langle 5, ∞)$. Wynik końcowy: $x \leq -1$ lub $x \geq 7$. Elementy wizualne: brak. Punktacja: 1 pkt za istotny postęp, 2 pkt za pokonanie trudności, 3 pkt za rozwiązanie z usterkami, 4 pkt za pełne rozwiązanie.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 4: Zadanie 2 (5 pkt): Wyznaczenie wartości parametru m dla równania 2x²-(m-2)x-3m=0 z warunkiem x₁²+x₂²-2x₁x₂≤25. Rozwiązanie: układ warunków Δ>0, x₁²+x₂²-2x₁x₂≤25. Rozwiązanie nierówności Δ>0: m²+20m+4>0, m∈(-∞,-10-4√6)∪(-10+4√6,+∞). Rozwiązanie nierówności x₁²+x₂²-2x₁x₂≤25: m∈(-24,4). Suma przedziałów: (-24,-10-4√6)∪(-10+4√6,4). Schemat oceniania: 3 części, 1+3+1 pkt.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 5: Zadanie (2 pkt): Doprowadzenie nierówności do postaci $m^2 + 20m - 96 \leq 0$. Zadanie (3 pkt): Rozwiązanie nierówności $m \in \langle -24, 4 \rangle$. Zadanie (5 pkt): Wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności, odpowiedź $m \in \langle -24, -10 - 4\sqrt{6} \rangle \cup \langle -10 + 4\sqrt{6}, 4 \rangle$. Uwagi dotyczące punktacji za błędy rachunkowe.$

Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 6: Zadanie 3 (5 pkt): Ciąg (a, b, c) jest geometryczny. Rozwiązanie układu równań z własności ciągu geometrycznego i arytmetycznego. I sposób: b²=a·c, 2(2b)=(3a+3)+(c−12), rozwiązanie: a=3, b=12, c=48. II sposób: q²−7q+12=0, rozwiązanie: q=3 lub q=4, a=3, b=12, c=48. Schemat oceniania: wykorzystanie własności ciągu geometrycznego (arytmetycznego) i zapisanie odpowiedniego równania.

$Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2011, CKE - strona 7: Zadanie 1: Zapisanie układu równań z trzema lub dwiema niewiadomymi, np. $ b^2 = ac $, $ 4b = 3a + 3 + c - 12 $. Pokonanie trudności: doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą, np. $ (3a+3)^2 = a(9a+21) $. Rozwiązanie do końca z usterkami: $ a=3, b=12, c=48 $. Rozwiązanie błędne: układ z niewiadomymi $ a, q $, nieodrzucenie $ q=3 $. Punktacja: 2 pkt, 3 pkt, 4 pkt, 5 pkt.$