Dołącz do 59 253 kursantów. 98% z nich poleca nas znajomym.

Ładowanie arkusza egzaminacyjnego...

Ładowanie strony...

Matura rozszerzona matematyka maj 2026 - interaktywny arkusz + PDF

CKE • maj 2026 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury rozszerzonej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Oblicz granicę

$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{\binom{n+2}{n-1}}{\frac{1}{2} n^{3}-4 n+7}$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Ze zbioru ośmiu liczb $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez $3$. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Punkty $K$ i $L$ są środkami - odpowiednio - boków $AB$ i $BC$ kwadratu $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $M$ jest takim punktem na boku $BC$, że odcinki $DK$ i $KM$ są prostopadłe. Odcinek $AL$ przecina odcinki $DK$ oraz $DM$ w punktach - odpowiednio - $P$ oraz $Q$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że $|PQ| = \frac{\sqrt{5}}{5}a$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność

$\left|2x - 6\right| - \left|x^{2} - 9\right|<0$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od $6$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $1$, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy $(-2025)$. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż równanie

$\sin(6x) - 2\sin(2x) = 0$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie $ABC$ jest równa $6\sqrt{2}\pi$, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi $SB$ i $SC$ jest równy $\frac{5}{9}$.

Oblicz długość krawędzi podstawy $ABC$ oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi $SAC$ i $SBC$ tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (1, -1)$ oraz $B = (4, 0)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, w którym $|CA| = |CB|$. Jedno z ramion trójkąta $ABC$ zawiera się w prostej o równaniu$x + 2y - 4 = 0$. Na boku $AC$ tego trójkąta obrano taki punkt $M$, że $|AM| : |MC| = 1 : 4$.

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$, gdzie $m \ne 0$, dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem

$f(x) = m^{2} \cdot x^{2} - 2mx - m + 1$

ma dwa różne miejsca zerowe $x_{1}$ oraz $x_{2}$ należące do przedziału $(-2, 2)$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

W czworokącie $ABCD$ są dane: $|AB| = 9$, $|AD| = 10$ oraz $|\measuredangle BAD| = 60\degree$. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej $10$ metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy $4$ metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że pole $P$ (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P(x) = \dfrac{2x^{3}}{x^{2} - 16}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Kliknij, aby powiększyć

Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P(x) = \dfrac{2x^{3}}{x^{2} - 16}$

dla każdego $x \in (4, 10]$.

Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza egzaminacyjnego z matematyki na poziomie rozszerzonym, formuła 2023. Zawiera informacje o dacie egzaminu (11 maja 2026), godzinie rozpoczęcia (9:00), czasie trwania (180 minut) oraz liczbie punktów do uzyskania (50). Widoczny jest symbol arkusza MMAP-R0-100-2605. Instrukcje dla zdającego dotyczące sprawdzenia poprawności otrzymanego arkusza.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 2: Instrukcje dla zdającego dotyczące sprawdzenia liczby stron arkusza, wpisania numeru PESEL, unikania błędów w obliczeniach, używania czarnego tuszu, nieużywania korektora, oraz korzystania z wybranych wzorów matematycznych. Na dole strony widoczna jest okładka broszury z wzorami matematycznymi.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 3: Strona zawiera informację, że zadania egzaminacyjne są wydrukowane na następnych stronach. Brak widocznych zadań, rozwiązań, obliczeń czy elementów graficznych.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 4: Zadanie 1 (0-2 pkt): Oblicz granicę. Rozwiązanie polega na obliczeniu granicy wyrażenia $\lim_{n \to +\infty} \frac{(n+2)/(n-1)}{\frac{1}{2}n^3 - 4n + 7}$. Kluczowe kroki: rozkład liczników i mianowników, uproszczenie wyrażenia, zastosowanie granic, końcowy wynik $\frac{1}{3}$. Wykorzystano oznaczenia i obliczenia pomocnicze, brak elementów graficznych.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 5: Zadanie 2 (0-3 pkt): obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A, gdzie iloczyn trzech kolejnych liczb jest podzielny przez 3. Rozwiązanie: |Ω|=40320, x={3,6}, y={1,2,4,5,7,8}, układ ciągu: YYXYYXYY, |A|=1440. P(A)=|A|/|Ω|=1/28. Elementy wizualne: ręczne obliczenia na kratkowanej kartce, oznaczenia zbiorów x i y, wyliczenia prawdopodobieństwa.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 6: Zadanie 3 (0-3 pkt): udowodnienie nierówności dla dodatnich x i y. Rozwiązanie: przekształcenie wyrażenia 1/x + 1/y ≤ x/y² + y/x², poprzez mnożenie i redukcję do postaci (x-y)³(x+y) ≥ 0. Kluczowe kroki: przekształcenie wyrażenia, faktoryzacja, analiza znaków. Końcowy wynik: nierówność spełniona. Brak elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 7: pusta strona z siatką kwadratową, brak widocznych zadań, rozwiązań, obliczeń czy elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 8: Zadanie 4 (0–3 pkt): dowód geometryczny, wykazanie, że |PQ| = √5/5 a. Szkic kwadratu ABCD z punktami K, L, M, P, Q. Obliczenia: współrzędne punktów A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a), K(a/2,0), L(a,a/2), M=(a,yₘ). Wektory KD i KM, warunek prostopadłości KD·KM=0, równanie -a²/2 + a·yₘ = 0, yₘ=a/4. Punkt M=(a,a/4).

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 9: Zadanie 3: Wyznaczanie równań prostych zawierających odcinki AL, DK, DM, współczynniki kierunkowe, równania prostych. Zadanie 4: Wyznaczanie punktu P przecięcia AL i DK, obliczenia x=2/5a, y=1/5a, punkt P(2/5a, 1/5a). Zadanie 5: Wyznaczanie punktu Q przecięcia DK i DM, punkt Q(4/5a, 2/5a). Zadanie 6: Obliczanie długości odcinka PQ, wynik |PQ|=√5/5a.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 10: Zadanie 5 (0-4 pkt): rozwiązanie nierówności |2x−6|−|x²−9|<0. Rozpisanie nierówności na |x−3| i (2−|x+3|)<0. Kluczowe kroki: rozpisanie na przedziały, analiza znaków, rozwiązanie nierówności |x+3|>2 prowadzi do x∈(-∞,-5)∪(-1,3)∪(3,+∞). Wynik końcowy: x należy do zbioru (-∞,-5)∪(-1,3)∪(3,+∞). Brak elementów wizualnych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 11: Pusta strona z siatką do rysunków i obliczeń, brak widocznych zadań, rozwiązań, obliczeń, wykresów czy punktacji.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 12: Zadanie 6 (0-4): Obliczanie sumy wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego. Dany ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem a₁=1 i ostatnim aₙ=-2025. Drugi, trzeci i szósty wyraz tworzą ciąg geometryczny. Rozwiązanie obejmuje równanie kwadratowe dla r, r=-2. Obliczenia prowadzą do n=1014, S₁₀₁₄=-1026168. Elementy wizualne: schemat ciągu geometrycznego, równania obliczeniowe.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 13: Pusta strona z siatką kwadratową, brak widocznych zadań, rozwiązań, obliczeń czy elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 14: Zadanie 7 (0-4 pkt): rozwiązanie równania trygonometrycznego sin(6x) - 2sin(2x) = 0. Rozwiązanie obejmuje przekształcenie równania do postaci 2cos(4x)sin(2x) - sin(2x) = 0, zastosowanie tożsamości trygonometrycznych, wyznaczenie wartości x jako zbioru rozwiązań x = kπ/2, π/12 + kπ/2, -π/12 + kπ/2, gdzie k ∈ Z.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 15: Pusta strona z siatką kwadratową, brak widocznych zadań, rozwiązań, obliczeń czy elementów graficznych. Strona przeznaczona prawdopodobnie do wykonywania szkiców lub notatek.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 16: Zadanie 8 (0-4 pkt): Obliczenie długości krawędzi podstawy ABC oraz cosinusa kąta między ścianami bocznymi SAC i SBC ostrosłupa. Rozwiązanie obejmuje szkice trójkąta i okręgu opisanego, zastosowanie twierdzenia cosinusów, obliczenia z wartościami L=6√2π, a=3√6, oraz końcowy wynik x=9√3/2.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 17: Zadanie 3: kąt między ścianami β, szkic trójkąta z wysokościami hₐ i hₛ, wzór na pole trójkąta Pₛ₆₈ = ½a·hₐ = ½hₛ|SC|, obliczenia: hₐ² + (3√6/2)² = (9√3/2)², hₐ = 3√21/2, hₛ = √42, twierdzenie cosinusów a² = hₛ² + hₛ² - 2hₛ·hₛ·cosβ, cosβ = 5/14, wynik: krawędź podstawy 3√6, cosinus kąta 5/14.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 18: Zadanie 9 (0-5 pkt): Wyznaczenie równania okręgu z środkiem w punkcie M i przechodzącego przez punkt C. Rozwiązanie obejmuje: sprawdzenie przynależności punktów A i B do prostej x+2y-4=0, wyznaczenie punktu C jako (4-2y, y), równanie |AC|=|BC|, obliczenia prowadzą do y=1, zatem C=(2,1). Szkic trójkąta ABC z zaznaczonymi punktami A(1,-1), B(4,0), C(2,1) i środkiem M na boku AC.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 19: Zadanie 5: wyznaczanie współrzędnych wektora AC, obliczenia prowadzą do punktu (4, 2). Zadanie 6: punkt M jako środek okręgu, równania prowadzą do r²=16/5, r=4√15/5. Zadanie 7: równanie okręgu (x-6/5)²+(y+3/5)²=16/5.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 20: Zadanie 10 (0-5 pkt): Wyznacz wartości parametru m dla funkcji kwadratowej f(x)=m²x²-2mx-m+1 z miejscami zerowymi x₁, x₂ w przedziale (-2, 2). Rozwiązanie: 1) Δ>0 dla różnych miejsc zerowych, m>0. 2) Wierzchołek p=-b/2a w przedziale (-2, 2), m>½. 3) Ramiona paraboli skierowane do góry, f(-2)>0, f(2)>0. Wynik: m∈(½, ∞). Szkic: przedział wartości m.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 21: Zadanie 4: analiza nierówności kwadratowej f(-2)>0, przekształcenia algebraiczne, wyznaczenie delty Δ=-7, szkic paraboli, rozwiązanie m∈(-∞, 1/4)∪(1,∞). Zadanie 4: analiza nierówności f(2)>0, obliczenia: Δ=9, m₁=1/4, m₂=1, szkic paraboli. Część wspólna warunków: m>0, m>1/4, m∈(-∞, 1/4)∪(1,∞), odpowiedź: m∈(1,∞).

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 22: Pusta strona z siatką do rysunków i obliczeń, brak widocznych zadań, rozwiązań lub elementów graficznych. Strona przeznaczona na notatki lub dodatkowe obliczenia.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 23: Pusta strona z siatką kwadratową, brak widocznych zadań, rozwiązań, obliczeń, wykresów czy punktacji.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 24: Zadanie 11 (0-6 pkt): W czworokącie ABCD dane: |AB|=9, |AD|=10, ∠BAD=60°. Oblicz długości boków BC i CD oraz pole czworokąta ABCD. Rozwiązanie: 1) Warunek wpisywalności okręgu: równania 9+y=x+10, x-y=-1, y=x+1. 2) Twierdzenie cosinusów w ΔABD: |BD|²=100+81-2·10·9·cos60°, |BD|²=94. 3) Twierdzenie cosinusów w ΔBCD: 94=x²+(x+1)²+2xy·½, podstawiamy y=x+1, rozwiązanie: x=5, y=6. Szkic czworokąta z okręgiem wpisanym.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 25: Zadanie 4: obliczenie pola czworokąta ABCD z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych. Obliczenia: sin 60° = √3/2, sin 120° = sin 60°, P_ABCD = P_ABD + P_BCD, P_ABD = 1/2 * 9 * 10 * (√3/2) = 45√3/2, P_BCD = 1/2 * 5 * 6 * (√3/2) = 15√3/2, P_ABCD = 60√3/2 = 30√3.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 26: Pusta strona z siatką kwadratową, brak widocznych zadań, rozwiązań, obliczeń czy elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 27: Pusta strona z siatką kratkowaną, brak widocznych zadań, rozwiązań, obliczeń czy elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 28: Zadanie 12: kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego z fontanną w kształcie koła. Zadanie 12.1 (0-3): wykazanie wzoru na pole P(x) trójkątnego kwietnika, P(x) = 2x³/(x²-16). Obliczenia: 1) r=2, P=½·x·h, P=p·r, p=½·(x+2b), P=x+2b. 2) Twierdzenie Pitagorasa dla podstawy trójkąta, b=√(¼x²+h²). Szkic trójkąta z wpisanym kołem.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 29: Zadanie 3: rozwiązanie równania z pierwiastkami, przekształcenia algebraiczne, końcowy wynik $ h = \frac{ux^2}{x^2-16} $. Zadanie 4: analiza funkcji $ P(x) = \frac{1}{2}x \cdot \frac{-4x^2}{x^2-16} $, określenie dziedziny $ x > 4 $ i $ x < -4 $, wynik przedziałowy $ D = (4, \infty) $.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 30: Zadanie 12.2 (0-4 pkt): obliczenie najmniejszego pola trójkątnego kwietnika. Rozwiązanie obejmuje pochodną funkcji P(x)=2x³/(x²-16), równanie P'(x)=0, kluczowe kroki: 2x⁴-96x²=0, x=4√3, szkic wykresu funkcji z zaznaczonym minimum lokalnym. Pole minimalne dla x=4√3 wynosi 12√3.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 31: Pusta strona z siatką kwadratową, brak widocznych zadań, rozwiązań, obliczeń czy elementów graficznych. Strona przeznaczona prawdopodobnie na notatki lub dodatkowe obliczenia.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 32: Brudnopis (nie podlega ocenie), pusta strona z siatką kwadratową, bez widocznych zadań, rozwiązań ani punktacji.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 33: Pusta strona z siatką kwadratową, bez widocznych zadań, rozwiązań, obliczeń ani elementów graficznych. Strona przeznaczona prawdopodobnie do notatek lub rysunków pomocniczych. Brak punktacji i treści związanych z odpowiedziami do zadań.

Przepraszam, ale nie mogę zobaczyć obrazu. Jeśli potrzebujesz pomocy w innym zakresie, daj mi znać!

Przykro mi, nie mogę zobaczyć obrazu. Jeśli możesz opisać jego zawartość, chętnie pomogę stworzyć odpowiedni alt text.

Przepraszam, ale nie mogę pomóc w analizie tej strony.

Ładowanie arkusza egzaminacyjnego...

Matura rozszerzona matematyka maj 2026 - interaktywny arkusz + PDF

CKE • maj 2026 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury rozszerzonej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Oblicz granicę

$\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \dfrac{\binom{n+2}{n-1}}{\frac{1}{2} n^{3}-4 n+7}$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Ze zbioru ośmiu liczb $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że $|PQ| = \frac{\sqrt{5}}{5}a$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność

$\left|2x - 6\right| - \left|x^{2} - 9\right|<0$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$. Zapisz obliczenia.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Rozwiąż równanie

$\sin(6x) - 2\sin(2x) = 0$

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Oblicz długość krawędzi podstawy $ABC$ oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi $SAC$ i $SBC$ tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$, gdzie $m \ne 0$, dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem

$f(x) = m^{2} \cdot x^{2} - 2mx - m + 1$

ma dwa różne miejsca zerowe $x_{1}$ oraz $x_{2}$ należące do przedziału $(-2, 2)$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

W czworokącie $ABCD$ są dane: $|AB| = 9$, $|AD| = 10$ oraz $|\measuredangle BAD| = 60\degree$. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że pole $P$ (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P(x) = \dfrac{2x^{3}}{x^{2} - 16}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Kliknij, aby powiększyć

Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P(x) = \dfrac{2x^{3}}{x^{2} - 16}$

dla każdego $x \in (4, 10]$.

Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matura rozszerzona matematyka maj 2026 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

odpowiedzi

Matura rozszerzona matematyka maj 2026 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie