Matura rozszerzona matematyka styczeń 2018 arkusz + PDF

Próbny • Nowa Era • styczeń 2018 • formuła 2015

Arkusz matura rozszerzona z matematyki. Pobierz materiały egzaminacyjne w formacie PDF.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 1: Strona tytułowa arkusza egzaminacyjnego z miejscem na wpisanie kodu i imienia oraz nazwiska zdającego. Zawiera instrukcje dla zdającego dotyczące sprawdzenia liczby stron, sposobu zapisywania odpowiedzi, używania przyborów oraz zakazu używania korektora. Czas pracy: 180 minut, liczba punktów do uzyskania: 50.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 2: Zadanie 1: równanie |(x+2)²-3|=2a+1 z niewiadomą x ma dokładnie trzy rozwiązania, gdy a=? Zadanie 2: wskaż przedział, w którym wielomian f(x)=x³-6x²+9x jest funkcją malejącą. Zadanie 3: nieskończony ciąg liczbowy określony wzorem an=(3n(n²-1))/(2n+1)³, znajdź granicę ciągu. Zadanie 4: funkcja f(x)=x+2+4/x+8/x²+... dla x∈(2,∞), wartość dla argumentu 8=? Zadanie 5: wskaż równanie okręgu przesuniętego o wektor u=[3,-2] z równania x²+y²-2x+2y-2=0. Zadanie 6: w trójkącie ABC sin∠BAC=4/5, sin∠ABC=2√2/3, oblicz cos∠ACB, wpisz trzy cyfry po przecinku.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 3: Brudnopis (nie podlega ocenie) z siatką kwadratową do wykonywania obliczeń i notatek. Na dole strony tabela do wypełnienia przez sprawdzającego z numerami zadań od 1 do 6, maksymalną liczbą punktów za każde zadanie oraz miejscem na wpisanie uzyskanej liczby punktów.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 4: Zadanie 7: W czworokącie ABCD dane są: |AC| = 5, kąty |∠BAD| = |∠BCD| = 90°, sin ∠ABC = √5/3. Oblicz długość przekątnej BD tego czworokąta. Poniżej znajduje się siatka do rysunków pomocniczych.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 5: Zadanie 8: Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność: x⁴ - 4x³ - 2x² + 12x + 9 ≥ 0. Strona zawiera siatkę do rysunków oraz tabelę do wypełnienia przez sprawdzającego z numerem zadania, maksymalną liczbą punktów i uzyskaną liczbą punktów.

$Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 6: Zadanie 9: Ciąg $ (a_n) $ jest określony wzorem: $ a_n = \frac{1}{\log_2(n+1)} + \frac{1}{\log_3(n+1)} + \frac{1}{\log_4(n+1)} + \ldots + \frac{1}{\log_{2018}(n+1)} $ dla $ n \geq 1 $. Uzasadnij, że wzór ciągu $ (a_n) $ można zapisać w postaci $ a_n = \log_{2018}(n+1) $ i oblicz wartość wyrażenia $ a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{2017} $.$

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 7: Zadanie 10: Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równanie: 2sin²x - cos2x = 1. Oblicz sumę wszystkich rozwiązań tego równania należących do przedziału ⟨0, 32π⟩. Strona zawiera siatkę do wykresów oraz tabelę na wyniki z numerem zadania 9 i 10, maksymalną liczbą punktów 3 i 5.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 8: Zadanie 11: Urna zawiera 5 kul ponumerowanych od 1 do 5. Losowano z niej osiem razy ze zwracaniem po jednej kuli i zapisywano wylosowane numery kolejno, od strony lewej do prawej. Zapisane cyfry utworzyły liczbę ośmiocyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w doświadczeniu otrzymamy liczbę parzystą, w której zapisie dziesiętnym znajdą się dokładnie trzy trójki i co najmniej jedna piątka. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Poniżej znajduje się pusta siatka do obliczeń.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 9: Strona zawiera siatkę do rysowania oraz tabelę do wypełnienia przez sprawdzającego. Tabela zawiera kolumny: "Nr zadania" z wartością 11, "Maks. liczba pkt" z wartością 5, oraz "Uzyskana liczba pkt". Brak treści zadania, strona przeznaczona na odpowiedź do zadania 11.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 10: Zadanie 12: W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równoramiennym o ramionach AC i BC długości 4 i kącie między nimi 30°. Punkt E to środek krawędzi AB. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przez krawędź AB i przeciwną krawędź boczną CS, wspólny punkt D. Oblicz pole przekroju, wiedząc, że z podstawą ostrosłupa tworzy kąt 75°. Podaj dokładny wynik. Rysunek przedstawia ostrosłup z zaznaczonym przekrojem.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 11: Strona zawiera siatkę do rysunków matematycznych oraz tabelę do wypełnienia przez sprawdzającego. Numer zadania: 12, maksymalna liczba punktów: 5. Brak treści zadań do opisania.

$Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 12: Zadanie 13: Funkcja kwadratowa $ f(x) = (2m - 1)x^2 - 2(m + 1)x + m - 1 $ ma dwa różne miejsca zerowe $ x_1, x_2 $. Wyznacz wszystkie wartości parametru $ m $, dla których odległość między miejscami zerowymi wynosi nie więcej niż 4. Strona zawiera siatkę do wykresu.$

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 13: Strona zawiera siatkę do rysowania oraz tabelę do wypełnienia przez sprawdzającego. Tabela obejmuje numer zadania 13, maksymalną liczbę punktów 6 oraz pole na uzyskaną liczbę punktów. Brak treści zadań do opisania.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 14: Zadanie 14: Wyznacz równania wszystkich wspólnych stycznych do paraboli o równaniu y = 1/2 x² i okręgu o równaniu x² + (y + 5/2)² = 2. Strona zawiera siatkę do rysowania.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 15: Strona zawiera kratkowany arkusz odpowiedzi do zadania 14. Brak treści zadania, jedynie miejsce na odpowiedź. Tabela na dole strony z informacjami: numer zadania 14, maksymalna liczba punktów 6, uzyskana liczba punktów do wypełnienia przez sprawdzającego.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 16: Zadanie 15: Prosta o równaniu y = ax + 3a przecina hiperbolę o równaniu y = 4/x w dwóch punktach, A i B. Wyraź długość odcinka AB w zależności od wartości parametru a < 0. Wyznacz równanie prostej, która przecina opisaną w zadaniu hiperbolę tak, aby długość odcinka AB była najmniejsza. Strona zawiera siatkę do wykresu.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 17: Strona zawiera siatkę do rysowania oraz tabelę do wypełnienia przez sprawdzającego. Tabela zawiera informacje: Nr zadania 15, Maks. liczba pkt 7, Uzyskana liczba pkt. Brak treści zadania.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 18: Brudnopis, nie zawiera zadań do rozwiązania. Strona przeznaczona do notatek, wypełniona siatką kwadratów.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 1: Strona tytułowa arkusza odpowiedzi z próbnym egzaminem maturalnym z matematyki na poziomie rozszerzonym, organizowanym przez Nową Erę na rok szkolny 2017/2018. Zawiera tytuł "Próbny egzamin maturalny z Nową Erą 2017/2018", "Matematyka poziom rozszerzony" oraz "Zasady oceniania rozwiązań zadań". Brak zadań i rozwiązań na tej stronie.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 2: Zadanie 1: szkicowanie wykresów funkcji, poprawna odpowiedź C. Zadanie 2: wykorzystanie pochodnej do wyznaczania przedziałów monotoniczności, poprawna odpowiedź A. Zadanie 3: obliczanie granic ciągów, poprawna odpowiedź D. Zadanie 4: rozpoznawanie szeregów geometrycznych, poprawna odpowiedź B. Zadanie 5: równanie okręgu i opis koła, poprawna odpowiedź D. Zadanie 6: zastosowanie wzorów trygonometrycznych, poprawna odpowiedź 554.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 3: Zadanie 7 (0–3 pkt): obliczanie długości przekątnej BD w czworokącie ABCD. Sposób I: wykorzystanie twierdzenia sinusów w trójkącie ABC, obliczenia prowadzą do |BD|=3√5. Sposób II: wprowadzenie oznaczeń na rysunku, analiza kątów w czworokącie wpisanym w okrąg. Elementy wizualne: rysunki czworokąta wpisanego w okrąg z oznaczeniami kątów i boków.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 4: Zadanie 7: zastosowanie twierdzenia sinusów w trójkątach ABC i ACD, obliczenia długości odcinków BC i CD, użycie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BCD, wynik BD=3√5. Schemat oceniania: 1 pkt za poprawny rysunek, 2 pkt za zauważenie opisu okręgu lub zależności długości od kąta β, 3 pkt za obliczenie BD. Zadanie 8: dowód nierówności x⁴-4x³-2x²+12x+9≥0, użycie wzorów skróconego mnożenia, dzielenie wielomianu.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 5: Zadanie 4: Rozwiązanie nierówności (x+1)²(x-3)³≥0. Sposób II: Przekształcenie nierówności przez wzory skróconego mnożenia i grupowanie, końcowy wynik (x+1)²(x-3)³. Sposób III: Analiza funkcji f(x)=x⁴-4x³-2x²+12x+9, obliczenie pochodnej f'(x)=4x³-12x²-4x+12, miejsca zerowe x=-1, 1, 3, szkic wykresu pochodnej, funkcja f malejąca na (-∞,-1) i (1,3), rosnąca na (-1,1) i (3,∞), wartość najmniejsza f(x)=0.

$Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 6: Schemat oceniania dla wielomianów i nierówności. Zadanie 9 (0-3 pkt): Ciąg $a_n$ określony wzorem z logarytmami, uzasadnienie wzoru $a_n = \log_{2018}(n+1)$, obliczenie sumy $a_1 + a_2 + \ldots + a_{2017}$. Wymagania dotyczące logarytmów i ciągów. Przykładowe rozwiązanie: zmiana podstawy logarytmu, zapis ciągu w uproszczonej formie.$

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 7: Zadanie 9: obliczenie sumy logarytmów, zastosowanie wzoru na sumę logarytmów, wynik a₁ + a₂ + ... + a₂₀₁₇ = 1. Schemat oceniania: istotny postęp (1 pkt), pokonanie trudności (2 pkt), pełne rozwiązanie (3 pkt). Zadanie 10: równanie trygonometryczne 2sin²x - cos2x = 1, rozwiązanie w dwóch etapach, pierwszy etap: przekształcenie równania, sinx = √2/2 lub sinx = -√2/2.

$Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 8: Zadanie: Szkic wykresu funkcji sinus z oznaczeniami miejsc zerowych i wartości maksymalnych. Rozwiązanie równania trygonometrycznego metodą cosinusa podwójnego kąta. Kluczowe kroki: przekształcenie równania do postaci $x = \frac{\pi}{4} + k \cdot \frac{\pi}{2}$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Obliczenie liczby wyrazów ciągu arytmetycznego w przedziale $\langle 0, 32\pi \rangle$ i ich sumy $S_{64} = 1024\pi$. Punktacja: 1 pkt za przekształcenie równania.$

$Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 9: Zadanie 11: obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia z urną zawierającą 5 kul, losowanie 8 razy z powtórzeniami, tworzenie liczby ośmiocyfrowej. Kluczowe kroki: wyznaczenie liczby wszystkich możliwych wyników $ |\Omega| = 5^8 $, obliczenie liczby parzystych wyników z dokładnie trzema trójkami i co najmniej jedną piątką. Wynik jako nieskracalny ułamek zwykły. Wymagania: modelowanie matematyczne, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka.$

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 10: Zadanie dotyczące tworzenia ośmiocyfrowej liczby parzystej z dokładnie trzema trójkami i co najmniej jedną piątką. Sposób I: obliczenia liczby takich liczb z użyciem reguły mnożenia, wynik 12 250. Sposób II: podział na zdarzenia wykluczające z różną liczbą piątek, wynik 12 250. Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A, wynik 98/3125. Schemat oceniania: 1 punkt za etap pierwszy.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 11: Zadanie 12 (0–5 pkt): opis ostrosłupa ABCS z podstawą ABC jako trójkątem równoramiennym, rysunek przedstawia ostrosłup z zaznaczonymi kątami i punktami E oraz D. Wymagania szczegółowe obejmują rozpoznawanie kątów w ostrosłupach i stosowanie twierdzeń sinusów i cosinusów. Obliczenia dotyczą kątów i przekrojów, z podaniem dokładnego wyniku.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 12: Przykładowe rozwiązanie: Zadanie z obliczaniem długości krawędzi AB w trójkącie ABC za pomocą twierdzenia cosinusów, wynik |AB|=4√2−√3. Obliczanie wysokości EC w trójkącie EBC za pomocą twierdzenia Pitagorasa, wynik |EC|=2√2+√3. Długość odcinka ED za pomocą twierdzenia sinusów, wynik |ED|=√2+√3√6. Pole przekroju ABD, wynik P_ABD=2√6. Szkic ostrosłupa z zaznaczonymi kątami i bokami. Punktacja: 1 pkt za miarę kąta, 2 pkt za długość |AB| lub wysokość EC.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 13: Zadanie 13 (0-6 pkt): funkcja kwadratowa f(x)=(2m-1)x²-(2m+1)x+m-1, dwa różne miejsca zerowe x₁, x₂. Wyznacz wartości parametru m, dla których odległość między miejscami zerowymi ≤ 4. Wymagania: modelowanie matematyczne, liczby rzeczywiste, równania i nierówności. Przykładowe rozwiązania: 3 etapy, wyznaczenie wartości m dla dwóch miejsc zerowych, odległość między miejscami zerowymi ≤ 4.

Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 14: Zadanie dotyczące funkcji kwadratowej. Rozwiązanie obejmuje analizę trójmianu kwadratowego z wyznaczeniem miejsc zerowych. Metoda delty i nierówności kwadratowe. Kluczowe kroki: wyznaczenie Δ, analiza wartości m, nierówności związane z pierwiastkami. Szkic paraboli z zaznaczonymi miejscami zerowymi. Rozwiązanie obejmuje dwa sposoby, z wykorzystaniem wzoru na pierwiastki i nierówności.

$Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 15: Zadanie: zastosowanie wzorów Viète'a do rozwiązania nierówności kwadratowej. Rozwiązanie obejmuje uproszczenie nierówności i określenie przedziału dla parametru m: \( m \in \left( -\infty, \frac{4}{17} \right) \cup \langle 1, \infty \right). Wizualizacja: oś liczbową z zaznaczonymi przedziałami. Schemat oceniania: 6 punktów za pełne rozwiązanie, podział na etapy z punktacją.$

$Matematyka, matura rozszerzona, styczeń 2018, Nowa Era - strona 16: Zadanie 14 (0-6): wyznaczenie równań stycznych do paraboli $ y = \frac{1}{2}x^2 $ i okręgu $ (x + \frac{5}{2})^2 = 2 $. Rozwiązanie: obliczenie pochodnej $ f'(x) = x $, równanie stycznej $ y = px - \frac{1}{2}p^2 $. Przekształcenie równania do postaci ogólnej, zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej, równanie kwadratowe $ p^4 - 18p^2 + 17 = 0 $, rozwiązania $ p \in \{-1, 1, -\sqrt{17}, \sqrt{17}\} $.$