Zbiór zadań do matury rozszerzonej z matematyki, marzec 2008

CKE • formuła 2002

Zbiór zadań do matury rozszerzonej z matematyki. Przećwicz różne typy zadań i sprawdź swoje umiejętności.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się, gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Sprawdzam kurs

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

🎁 Bezpłatne szkolenie z matematyki do matury rozszerzonej

Zapisz się za darmo

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza egzaminacyjnego z matematyki na poziomie rozszerzonym, zawierająca instrukcje dla zdającego, takie jak sprawdzenie liczby stron, sposób rozwiązywania zadań, użycie czarnego tuszu, zakaz używania korektora oraz możliwość korzystania z zestawu wzorów matematycznych i kalkulatora. Czas pracy wynosi 150 minut, a za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie 50 punktów.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 2: Zadanie 1: Suma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa 13. Druga liczba jest trzy razy większa od pierwszej. Wyznacz trzy liczby spełniające podane warunki tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

$Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 3: Zadanie 2: Na rysunku przedstawiono wykres funkcji wykładniczej $ f(x) = a^x $ dla $ x \in \mathbb{R} $. a) Narysuj wykres funkcji $ g $, będącej obrazem wykresu funkcji $ f $ w przesunięciu o wektor $ \vec{u} = [2, -1] $. b) Wyznacz $ a $ i zapisz wzór funkcji $ g $ otrzymanej w wyniku tego przesunięcia. c) Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których $ g(x) > 0 $.$

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 4: Zadanie 3: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania x³ + mx² - mx - 1 = 0 jest liczba 1.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 5: Zadanie 4: Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu y = 2x - 3 w punkcie A = (2,1) i styczny do prostej o równaniu y = 1/2x + 9 w punkcie B = (-4,7). Oblicz promień tego okręgu.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 6: Zadanie 5: Narysuj wykres funkcji f(x) = |x - 1| + 3 określonej dla x ∈ R, a następnie na jego podstawie podaj liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od parametru m ∈ R. Strona zawiera siatkę do rysowania wykresu.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 7: Zadanie 6: Właściciel sklepu z odzieżą kupił w hurtowni koszulki za 720 zł. Gdyby każda koszulka kosztowała o 2 zł mniej, mógłby kupić o 5 koszulek więcej. Oblicz, ile koszulek kupił właściciel i podaj cenę jednej koszulki.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 8: Zadanie 7: W czworokącie wypukłym ABCD dane są: |AB|=2, |BC|=√3, |CD|=3, |DA|=4 i kąt ∠DAB=60°. Oblicz pole tego czworokąta.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 9: Zadanie 8: W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna ABC zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy pod kątem α = 60°. Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną wynosi 8√3. Zaznacz na rysunku kąt α. Oblicz objętość graniastosłupa. Rysunek przedstawia graniastosłup sześciokątny z zaznaczoną płaszczyzną ABC.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 10: Zadanie 9: W trójkącie równoramiennym ABC, gdzie |AC|=|BC|, wysokość CE jest dwa razy dłuższa od wysokości AD. Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC. Na rysunku przedstawiono trójkąt z wysokościami CE i AD.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 11: Pusta strona z siatką do rysunków lub obliczeń. Brak zadań do opisania.

$Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 12: Zadanie 10: Ciąg geometryczny $a_n$ jest określony wzorem $a_n = 3^{1-n}$ dla $n \geq 1$. a) Oblicz iloraz tego ciągu. b) Oblicz $\log_3 a_1 + \log_3 a_2 + \log_3 a_3 + \ldots + \log_3 a_{100}$, czyli sumę logarytmów, o podstawie 3, stu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.$

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 13: Zadanie 11: Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: A – na każdej kostce wypadnie nieparzysta liczba oczek, B – suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 14: Brudnopis, strona przeznaczona na notatki i obliczenia pomocnicze, bez zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 1: Zadanie 1 (6 pkt): 1.1 Wprowadzenie zmiennych x, 3x, y i zapisanie równań 4x+y=13, 13-4x. 1.2 Zapisanie sumy kwadratów S=x²+(3x)²+y² lub (13-4x)². 1.3 Zapisanie S(x)=2x²-52x+169, x∈(0,13/4). 1.4 Obliczenie x, dla którego S jest najmniejsze: x=2, S=25. 1.5 Poszukiwane liczby to 2, 6, 5. Każdy etap oceniany na 1 punkt.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 2: Zadanie 2.1 (1 pkt): wykres funkcji g(x) z zaznaczonymi punktami przecięcia z osiami, szkic krzywej. Zadanie 2.2 (1 pkt): zapisanie postaci wykładniczej funkcji f(x) = (1/2)^x. Zadanie 2.3 (1 pkt): zapisanie wzoru funkcji g(x) = (1/2)^(x-2) - 1. Zadanie 2.4 (1 pkt): podanie przedziału argumentów, dla których g(x) > 0, x ∈ (-∞, 2).

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 3: Zadanie 3.1 (1 pkt): Wykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wielomianu, obliczenie reszty i wartości m. Zadanie 3.2 (1 pkt): Zastosowanie równości wielomianów do układu warunków, rozwiązanie równania m³+1=m²+1. Zadanie 3.3 (1 pkt): Uzasadnienie liczby rozwiązań równania. Zadanie 3.4 (1 pkt): Uzasadnienie liczby rozwiązań dla m=1. Każde zadanie zawiera szczegółowe obliczenia i uzasadnienia.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 4: Zadanie 4.1 (1 pkt): analiza zadania, promień okręgu prostopadły do stycznej. Zadanie 4.2 (1 pkt): wyznaczenie prostej przez punkt B, równanie y=-2x-1. Zadanie 4.3 (1 pkt): wyznaczenie prostej przez punkt A, równanie y=-½x+2. Zadanie 4.4 (1 pkt): punkt przecięcia prostych S=(-2,3). Zadanie 4.5 (1 pkt): obliczenie promienia okręgu r=2√5.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 5: Zadanie 4.1: wyznaczenie punktu przecięcia prostych W=(8,13), szkic wykresu z prostymi i punktami A, B, P. Zadanie 4.2: równanie prostej przez W i P, y=-2x+5, 1 pkt. Zadanie 4.3: równanie prostej przez B, y=-1/2x+2, 1 pkt. Zadanie 4.4: środek okręgu S=(-2,3), 1 pkt. Zadanie 4.5: promień okręgu r=√5, 1 pkt.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 6: Zadanie 4.1: Obliczenie współrzędnych punktu W=(8,13), szkic wykresu z punktami A, B, W. Zadanie 4.2: Obliczenie długości odcinków AW i BW, |BW|=6√5, trójkąt AWB równoramienny. Zadanie 4.3: Stwierdzenie podobieństwa trójkątów BWP i BSP. Zadanie 4.4: Zapisanie proporcji |BS|/|BP|=|BW|/|PW|. Zadanie 4.5: Obliczenie promienia okręgu r=|AS|=|BS|=2√5. Punktacja: każde zadanie po 1 pkt.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 7: Zadanie 5.1 (1 pkt): zapisanie funkcji f w postaci f(x) = {x+2 dla x≥1, -x+4 dla x<1}. Zadanie 5.2 (1 pkt): sporządzenie wykresu funkcji f, szkic przedstawia łamaną z punktami (1,3) i (0,4). Zadanie 5.3 (1 pkt): podanie liczby rozwiązań równania f(x)=m: zero dla m<3, jedno dla m=3, dwa dla m>3. Zadanie 6.1-6.5 (5 pkt): równania x·y=720, (x+5)(y-2)=720, rozwiązanie x=40, y=18, zapisanie równań kwadratowych, wybór właściwego rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 8: Zadanie 7.1 (1 pkt): obliczenie przekątnej BD, |BD|=2√3. Zadanie 7.2 (1 pkt): obliczenie miary kąta C, ∠BCD=90°. Zadanie 7.3 (1 pkt): zapisanie pola równoległoboku ABCD jako sumy pól dwóch trójkątów. Zadanie 7.4 (1 pkt): obliczenie pola równoległoboku ABCD, P=7√3/2. Zadanie 8.1 (1 pkt): szkic graniastosłupa z zaznaczonym kątem nachylenia α=60° i oznaczeniami a, w, h.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 9: Zadanie 8.2 (1 pkt): wyznaczenie długości w z trójkąta prostokątnego CDE, |DE|=a/2, w=a. Zadanie 8.3 (1 pkt): obliczenie krawędzi podstawy graniastosłupa, |AB|=a√3, a=4. Zadanie 8.4 (1 pkt): obliczenie wysokości h graniastosłupa, h=2√3. Zadanie 8.5 (1 pkt): obliczenie objętości graniastosłupa, V=144. Zadanie 9.1 (1 pkt): przyjęcie miary prowadzącej do wyznaczenia zależności między bokami AB i BC. Zadanie 9.2 (1 pkt): wyznaczenie długości między bokami AB i BC, |AC|=|BC|=2|AB|. Zadanie 9.3 (1 pkt): obliczenie kąta ABC, cos∠ABC=1/4. Zadanie 9.4 (1 pkt): wyznaczenie długości |CD|=7/4|AB|, |BD|=1/4|AB|. Zadanie 9.5 (1 pkt): obliczenie kąta BCA, cos∠BCA=7/8. Zadanie 9.4 (1 pkt): II sposób rozwiązania, obliczenie |AD|=1/2|CE|=a√15/2.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 10: Zadanie 9.5 (1 pkt): obliczenie sin kąta DCA z trójkąta ADC, sin|∠DCA|=|AD|/|AC|=√15/8. Zadanie 9.4 (1 pkt): obliczenie cos|∠DCA|=7/8. Zadanie 10.1 (1 pkt): wyznaczenie ciągu aₙ₊₁, aₙ₊₁=3⁻ⁿ. Zadanie 10.2 (1 pkt): obliczenie ilorazu ciągu (aₙ), q=3⁻¹ lub q=1/3. Zadanie 10.3 (1 pkt): zapisanie sumy logarytmów. Zadanie 10.4 (1 pkt): zapisanie sumy logarytmów. Zadanie 10.5 (1 pkt): obliczenie sumy początkowych wyrazów ciągu, S₁₀₀=−4950.

Matematyka, matura rozszerzona, marzec 2008, CKE - strona 11: Zadanie 11.1: Obliczenie liczby zdarzeń elementarnych, Ω=6³. Zadanie 11.2: Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A, |A|=3³, 1 pkt. Zadanie 11.3: Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A, P(A)=1/8, 1 pkt. Zadanie 11.4: Stwierdzenie dotyczące podzielności przez trzy, 1 pkt. Zadanie 11.5: Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B, |B|=2³+4³, P(B)=1/3, 1 pkt. Akceptacja wyniku w postaci ułamka skracalnego.

Spis zadań na stronach arkusza

Krótki opis zadań ze stron arkusza, w kolejności stron.

Strona 2: Zadanie 1: Suma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa 13. Druga liczba jest trzy razy większa od pierwszej. Wyznacz trzy liczby spełniające podane warunki tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.
Strona 3: Zadanie 2: Na rysunku przedstawiono wykres funkcji wykładniczej $ f(x) = a^x $ dla $ x \in \mathbb{R} $. a) Narysuj wykres funkcji $ g $, będącej obrazem wykresu funkcji $ f $ w przesunięciu o wektor $ \vec{u} = [2, -1] $. b) Wyznacz $ a $ i zapisz wzór funkcji $ g $ otrzymanej w wyniku tego przesunięcia. c) Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których $ g(x) > 0 $.
Strona 4: Zadanie 3: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania x³ + mx² - mx - 1 = 0 jest liczba 1.
Strona 5: Zadanie 4: Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu y = 2x - 3 w punkcie A = (2,1) i styczny do prostej o równaniu y = 1/2x + 9 w punkcie B = (-4,7). Oblicz promień tego okręgu.
Strona 6: Zadanie 5: Narysuj wykres funkcji f(x) = |x - 1| + 3 określonej dla x ∈ R, a następnie na jego podstawie podaj liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od parametru m ∈ R. Strona zawiera siatkę do rysowania wykresu.
Strona 7: Zadanie 6: Właściciel sklepu z odzieżą kupił w hurtowni koszulki za 720 zł. Gdyby każda koszulka kosztowała o 2 zł mniej, mógłby kupić o 5 koszulek więcej. Oblicz, ile koszulek kupił właściciel i podaj cenę jednej koszulki.
Strona 8: Zadanie 7: W czworokącie wypukłym ABCD dane są: |AB|=2, |BC|=√3, |CD|=3, |DA|=4 i kąt ∠DAB=60°. Oblicz pole tego czworokąta.
Strona 9: Zadanie 8: W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna ABC zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy pod kątem α = 60°. Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną wynosi 8√3. Zaznacz na rysunku kąt α. Oblicz objętość graniastosłupa. Rysunek przedstawia graniastosłup sześciokątny z zaznaczoną płaszczyzną ABC.
Strona 10: Zadanie 9: W trójkącie równoramiennym ABC, gdzie |AC|=|BC|, wysokość CE jest dwa razy dłuższa od wysokości AD. Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC. Na rysunku przedstawiono trójkąt z wysokościami CE i AD.
Strona 12: Zadanie 10: Ciąg geometryczny $a_n$ jest określony wzorem $a_n = 3^{1-n}$ dla $n \geq 1$. a) Oblicz iloraz tego ciągu. b) Oblicz $\log_3 a_1 + \log_3 a_2 + \log_3 a_3 + \ldots + \log_3 a_{100}$, czyli sumę logarytmów, o podstawie 3, stu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.
Strona 13: Zadanie 11: Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: A – na każdej kostce wypadnie nieparzysta liczba oczek, B – suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3.

Ładowanie arkusza egzaminacyjnego...

Zbiór zadań do matury rozszerzonej z matematyki, marzec 2008

CKE • formuła 2002

Zbiór zadań do matury rozszerzonej z matematyki. Przećwicz różne typy zadań i sprawdź swoje umiejętności.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się, gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Sprawdzam kurs

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

🎁 Bezpłatne szkolenie z matematyki do matury rozszerzonej

Zapisz się za darmo

Spis zadań na stronach arkusza

Krótki opis zadań ze stron arkusza, w kolejności stron.

Strona 2: Zadanie 1: Suma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa 13. Druga liczba jest trzy razy większa od pierwszej. Wyznacz trzy liczby spełniające podane warunki tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.
Strona 3: Zadanie 2: Na rysunku przedstawiono wykres funkcji wykładniczej $ f(x) = a^x $ dla $ x \in \mathbb{R} $. a) Narysuj wykres funkcji $ g $, będącej obrazem wykresu funkcji $ f $ w przesunięciu o wektor $ \vec{u} = [2, -1] $. b) Wyznacz $ a $ i zapisz wzór funkcji $ g $ otrzymanej w wyniku tego przesunięcia. c) Odczytaj z wykresu zbiór wszystkich argumentów, dla których $ g(x) > 0 $.
Strona 4: Zadanie 3: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania x³ + mx² - mx - 1 = 0 jest liczba 1.
Strona 5: Zadanie 4: Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu y = 2x - 3 w punkcie A = (2,1) i styczny do prostej o równaniu y = 1/2x + 9 w punkcie B = (-4,7). Oblicz promień tego okręgu.
Strona 6: Zadanie 5: Narysuj wykres funkcji f(x) = |x - 1| + 3 określonej dla x ∈ R, a następnie na jego podstawie podaj liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od parametru m ∈ R. Strona zawiera siatkę do rysowania wykresu.
Strona 7: Zadanie 6: Właściciel sklepu z odzieżą kupił w hurtowni koszulki za 720 zł. Gdyby każda koszulka kosztowała o 2 zł mniej, mógłby kupić o 5 koszulek więcej. Oblicz, ile koszulek kupił właściciel i podaj cenę jednej koszulki.
Strona 8: Zadanie 7: W czworokącie wypukłym ABCD dane są: |AB|=2, |BC|=√3, |CD|=3, |DA|=4 i kąt ∠DAB=60°. Oblicz pole tego czworokąta.
Strona 9: Zadanie 8: W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna ABC zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy pod kątem α = 60°. Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną wynosi 8√3. Zaznacz na rysunku kąt α. Oblicz objętość graniastosłupa. Rysunek przedstawia graniastosłup sześciokątny z zaznaczoną płaszczyzną ABC.
Strona 10: Zadanie 9: W trójkącie równoramiennym ABC, gdzie |AC|=|BC|, wysokość CE jest dwa razy dłuższa od wysokości AD. Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC. Na rysunku przedstawiono trójkąt z wysokościami CE i AD.
Strona 12: Zadanie 10: Ciąg geometryczny $a_n$ jest określony wzorem $a_n = 3^{1-n}$ dla $n \geq 1$. a) Oblicz iloraz tego ciągu. b) Oblicz $\log_3 a_1 + \log_3 a_2 + \log_3 a_3 + \ldots + \log_3 a_{100}$, czyli sumę logarytmów, o podstawie 3, stu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.
Strona 13: Zadanie 11: Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: A – na każdej kostce wypadnie nieparzysta liczba oczek, B – suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3.

Zbiór zadań do matury rozszerzonej z matematyki, marzec 2008

Arkusz

Odpowiedzi

Zbiór zadań do matury rozszerzonej z matematyki, marzec 2008

Arkusz

Odpowiedzi