Zbiór zadań do matury rozszerzonej z matematyki, październik 2022
CKE • formuła 2023Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury rozszerzonej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem, asystentem nauki AI:
Gryzikiem, asystentem nauki AI:- Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
- Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
- Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
- Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
- Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
- Oryginalne arkusze PDF do pobrania
Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi, gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże, co można poprawić.
Gryzik, asystent nauki, sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.
🎁 Bezpłatne szkolenie z matematyki do matury rozszerzonej
Zapisz się za darmoZadania interaktywne do rozwiązania online
Zadanie 1
Oblicz wartość wyrażenia
\(\log_8 3^{3\log_3 2 - \log_{27} 8 - \log_9 4}\)
Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 2
Liczby \(a\), \(b\), \(c\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy równej \(7\). Jedna z tych liczb jest wielokrotnością liczby \(7\).
Wykaż, że iloczyn \(a \cdot b \cdot c\) jest podzielny przez \(294\).
Obejrzyj rozwiązanie
@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!
Zadanie 3
Niech \(a, b\) będą liczbami całkowitymi, dla których zachodzi równość \(2a^2 + a = 3b^2 + b\).
Wykaż, że jeśli \(5\) jest dzielnikiem liczby \(a - b\), to \(25\) również jest dzielnikiem liczby \(a - b\).
Obejrzyj rozwiązanie
Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się, gdzie chcesz i kiedy chcesz!Zadanie 4
Rozpatrzmy liczby naturalne większe od \(1000\), w których zapisie występuje tylko cyfra \(1\):
\(a = \underbrace{11...111}_n\)
Wykaż, że jeśli liczba \(a\) zapisana za pomocą \(n\) jedynek jest liczbą pierwszą, to liczba \(n\) również jest liczbą pierwszą.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 5
Suma liczb całkowitych \(x\) i \(y\) jest podzielna przez \(3\).
Wykaż, że suma sześcianów liczb \(x\) i \(y\) jest podzielna przez \(9\).
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 6
W rozwinięciu wyrażenia \((a + b)^n\) dla pewnego \(n \in N\) suma współczynników przy wyrazach \(a^{n - 2} b^2\) oraz \(a^{n - 1} b\) jest równa \(66\).
Oblicz \(n\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 7
Niech \(a\), \(b\), \(c\) będą takimi liczbami całkowitymi, że \(a \sqrt{2} + b \sqrt{3} + c \sqrt{6} = 0\).
Wykaż, że \(a = b = c = 0\).
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 8
Wykaż, że liczba \(a = (\sqrt{5} + 2)^{2022} + (\sqrt{5} - 2)^{2022}\) jest wymierna.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 9
Rozwiąż nierówność \(2x^2 + x|2x - 1| \leq 3\).
Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 10
Rozwiąż nierówność
\(x + 4 + \frac{8}{x - 4} \geq \frac{-2x - 8}{x^2 - 16}\)
Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 11
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\(2x^2 - (2m + 7)x + m^2 - 3m + 21 = 0\)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\) , spełniające warunek \(x_1 = 2x_2\).
Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 12
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) prawdziwe są nierówności
\(2(\sqrt{n + 2} - \sqrt{n + 1}) < \frac{1}{\sqrt{n + 1}}\) i \(\frac{1}{\sqrt{n + 1}} < 2(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})\)
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 13
Rozwiąż układ równań
\(x^2 - 2x + y^2 = 24 \\ x^2 - 10x + y^2 - 8y + 40 = 0\)
Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 14
Dane są funkcje \(k\) oraz \(p\). Funkcja \(k\) jest określona wzorem \(k(x) = 5 - x^2\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Funkcja \(p\) jest określona wzorem \(p(x) = \sqrt{1 - x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) nie większej od \(1\). Funkcje \(f\) oraz \(g\) są określone następująco:
\(f = k \circ p\) oraz \(g = p \circ k\)
Wyznacz wzory i dziedziny funkcji \(f\) oraz \(g\).
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 15
Narysuj wykres funkcji \(f(x) = \frac{|x^2 - 9|}{3 - x}\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(f(x) = m\) nie ma rozwiązania. Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 16
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\). Ciąg \((a_1 \cdot a_2, a_2 \cdot a_3, a_3 \cdot a_1)\) jest geometryczny i ma wyrazy różne od zera.
Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 17
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dane są dwie proste \(l_1\) oraz \(l_2\). Kąt między tymi prostymi ma miarę \(45 \degree\). Współczynnik kierunkowy w równaniu prostej \(l_1\) jest równy \(\frac{2}{3}\).
Oblicz współczynnik kierunkowy w równaniu prostej \(l_2\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 18
Rozwiąż równanie
\(\cos^2 x - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin x \cos x - \sin^2 x = 0\)
w przedziale \([-\pi, \pi]\).
Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 19
Na szczycie wieży o wysokości \(h\) umieszczono pionowo antenę radiową stacji nadawczej o długości \(l\) \((l > h)\). Punkt \(O\) leży na płaszczyźnie poziomej przechodzącej przez podnóże wieży, a punkt \(A\) znajduje się na końcu anteny. Koniec anteny \(A\) widać z punktu \(O\) pod dwukrotnie większym kątem niż wieżę (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz odległość \(x\) podnóża wieży od punktu \(O\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 20
W pewien okrąg wpisano czworokąt \(ABCD\) taki, że \(|AB| = 10\), \(|CD| = 6\) oraz \(|BC| = |BD|\). Styczna do tego okręgu w punkcie \(C\) tworzy z bokiem \(CD\) kąt \(\alpha\) o mierze \(30 \degree\) (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz pole czworokąta \(ABCD\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 21
W trapezie \(ABCD\) przekątna \(BD\) jest dwusieczną kąta \(CBA\) i przecina przekątną \(AC\) w punkcie \(K\), takim, że \(|CK| : |KA| = 1 : 3\). Pole tego trapezu jest równe \(100(\sqrt{6} - \sqrt{2})\), \(\sin \angle BAD = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\), \(|AD| = 10\) oraz kąt \(BAD\) jest ostry.
Oblicz długości pozostałych boków trapezu \(ABCD\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 22
Punkt \(D\) leży wewnątrz trójkąta \(ABC\). Prosta przechodząca przez punkt \(D\) i równoległa do boku \(AC\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(K\), a bok \(BC\) w punkcie \(L\). Prosta przechodząca przez punkt \(D\) i równoległa do boku \(BC\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(M\), a bok \(AC\) w punkcie \(N\) (zobacz rysunek). Stosunek obwodu trójkąta \(KMD\) do obwodu trójkąta \(KBL\) jest równy \(5 : 7\), a stosunek obwodu trójkąta \(KMD\) do obwodu trójkąta \(AMN\) jest równy \(5 : 8\). Pole czworokąta \(DLCN\) jest równe \(15\).
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz pole trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 23
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\(f(x) = \frac{\sqrt{2x}}{5 + x^2} - 3^{-x - 1}\)
dla każdej nieujemnej liczby rzeczywistej \(x\).
Wykaż, że funkcja \(f\) ma co najmniej jedno miejsce zerowe dodatnie mniejsze od \(3\).
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 24
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \sqrt{1 + 4x}\) dla \(x \in [-\frac{1}{4}, +\infty)\).
Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(x_0 = 2\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 25
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \in [-1, 3]\).
Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f\).
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 26
Trójkąt \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\), jest wpisany w okrąg o promieniu \(R\). Środek tego okręgu leży wewnątrz trójkąta \(ABC\). Niech \(x\) oznacza odległość środka okręgu od podstawy \(AB\).
Wykaż, że pole trójkąta \(ABC\) jako funkcja zmiennej \(x\) jest określone wzorem \(P(x) = (R + x) \sqrt{R^2 - x^2}\). Określ dziedzinę tej funkcji.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 27
Dany jest okrąg o promieniu \(R\). Rozważamy wszystkie trójkąty spełniające warunki:
są wpisane w ten okrąg
mają obwody równe \(3R\)
mają jeden z boków dwukrotnie dłuższy od drugiego.
Znajdź trójkąt o możliwie największym polu przy zadanych warunkach. Oblicz jego pole. Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 28
Grażyna planuje zrobienie pudełka (bez wieczka) w kształcie prostopadłościanu. W tym celu zamierza wykorzystać prostokątny kawałek tektury o wymiarach \(10 \textrm{ cm} \times 16 \textrm{ cm}\), odcinając z każdego rogu kwadrat o boku \(x\) cm (zobacz rysunek)
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz wartość \(x\), dla której objętość otrzymanego pudełka będzie największa. Oblicz tę największą objętość pudełka. Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 29
Dom \(D\) stoi w odległości \(5\) km od prostoliniowego odcinka drogi. W chwili początkowej Janusz znajduje się na tej drodze w punkcie \(A\) oddalonym od domu \(D\) o \(13\) km (zobacz rysunek). Janusz może iść drogą z maksymalną prędkością \(5\) km/h, zaś poza nią może poruszać się z maksymalną prędkością \(3\) km/h.
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz najkrótszy czas potrzebny Januszowi na dojście do domu \(D\). Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 30
Ciężarówka ma do pokonania trasę długości \(S\) km, poruszając się po autostradzie ze stałą prędkością \(v\) km/h. Minimalna prędkość dla ciężarówek na autostradzie wynosi \(40\) km/h, maksymalna - \(80\) km/h. Wiemy, że litr paliwa kosztuje \(8\) złotych, a kierowca otrzymuje \(42\) złote za godzinę swej pracy. Zużycie paliwa w ciągu jednej godziny jazdy autostradą w zależności od prędkości \(v\) wyrażone w litrach można opisać funkcją \(f(x) = 7 + \frac{v^2}{400}\).
Oblicz, przy jakiej prędkości koszt przejazdu będzie najmniejszy. Zapisz obliczenia.
Wskazówka: przyjmij, że koszt przejazdu jest sumą kosztu paliwa oraz wynagrodzenia kierowcy.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 31
Dana jest kula o promieniu \(1\). Rozpatrujemy wszystkie stożki zawierające środek kuli i wpisane w tę kulę, to znaczy takie, w których:
wierzchołek leży na powierzchni kuli
okrąg, będący krawędzią podstawy stożka, leży na powierzchni kuli (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz promień podstawy tego stożka, który ma największą objętość.
Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 32.1
Dana jest kula o promieniu \(1\). Rozpatrujemy wszystkie stożki opisane na tej kuli, to znaczy takie, których:
podstawa ma dokładnie jeden punkt wspólny z kulą
każda tworząca ma dokładnie jeden punkt wspólny z kulą (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Wykaż, że objętość \(V\) stożka o wysokości \(h\) wyraża się wzorem
\(V(h) = \frac{h^2 \pi}{3(h - 2)}\)
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 32.2
Dana jest kula o promieniu \(1\). Rozpatrujemy wszystkie stożki opisane na tej kuli, to znaczy takie, których:
podstawa ma dokładnie jeden punkt wspólny z kulą
każda tworząca ma dokładnie jeden punkt wspólny z kulą (zobacz rysunek).
Kliknij, aby powiększyć
Oblicz wysokość tego stożka, który ma najmniejszą objętość. Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.
Wskazówka: skorzystaj z informacji, że objętość stożka o wysokości \(h\) wyraża się wzorem
\(V(h) = \frac{h^2 \pi}{3(h - 2)}\)