Równania kwadratowe z parametrem: schemat krok po kroku

Opublikowano:30.10.2026

9 wyświetleń

Równanie kwadratowe z parametrem rozwiązujesz zawsze tym samym schematem. Najpierw sprawdzasz, czy przy $x^2$ stoi parametr. Potem zamieniasz treść zadania na warunki z deltą i wzorami Viète'a, rozwiązujesz każdy warunek osobno i bierzesz część wspólną.

Zadania z parametrem do druku (PDF)

Kartki z 3 zadaniami z filmu, z kratką na rozwiązanie. Wydrukuj je i rozwiązuj razem ze mną.

Administratorem danych jest Edubite Sp. z o.o. Adres e-mail wykorzystamy, żeby wysłać Ci to, o co prosisz, a newsletter tylko po zaznaczeniu zgody. Masz prawo dostępu do danych, ich poprawienia, usunięcia i sprzeciwu. Szczegóły w polityce prywatności.

Poniżej znajdziesz te 4 kroki, tabelę warunków, 3 przykłady od łatwego do maturalnego i 3 zadania do samodzielnego rozwiązania.

Wszystkie 3 przykłady rozwiązuję krok po kroku w filmie:

Jak rozwiązać równanie kwadratowe z parametrem w 4 krokach

Parametr to litera, najczęściej $m$ , która zastępuje liczbę. Zadanie pyta, dla jakich wartości $m$ równanie ma rozwiązania o pewnej własności.

Sprawdź współczynnik przy $x^2$ . Jeśli zależy od $m$ , rozpatrz osobno przypadek $a = 0$ . Wtedy równanie jest liniowe i ma najwyżej jedno rozwiązanie.
Przetłumacz treść na warunki. „Dwa różne rozwiązania” to $\Delta > 0$ . Znaki rozwiązań, ich suma albo suma kwadratów to wzory Viète'a.
Rozwiąż każdy warunek osobno. Każdy daje zbiór wartości $m$ .
Weź część wspólną wszystkich zbiorów na jednej osi. Na koniec sprawdź wynik, podstawiając jedną liczbę z odpowiedzi.

Kiedy równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania

Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania, gdy $a \neq 0$ i $\Delta > 0$ . Gdy $\Delta = 0$ , ma jedno rozwiązanie. Gdy $\Delta < 0$ , nie ma rozwiązań.

Zadanie 1

otwarte · 2 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2 + mx + 4 = 0$ ma dwa różne rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie

Przy $x^2$ stoi 1, więc przypadek $a = 0$ nie występuje. Od razu liczysz deltę: $a = 1$ , $b = m$ , $c = 4$ .

$\Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4$

$\Delta = m^2 - 16$

Warunek $\Delta > 0$ :

$m^2 - 16 > 0$

$(m - 4)(m + 4) > 0$

Miejsca zerowe to $-4$ i $4$ . Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc nierówność jest spełniona poza przedziałem między miejscami zerowymi.

Sprawdzenie dla $m = 5$ : równanie $x^2 + 5x + 4 = 0$ ma rozwiązania $-1$ i $-4$ .

Odpowiedź: $m \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$

Jak zapisać warunki ze wzorów Viète'a

Gdy zadanie pyta o znaki rozwiązań, ich sumę albo iloczyn, każde sformułowanie z treści zamieniasz na warunek z tabeli.

Treść zadania	Warunki
dwa różne rozwiązania	$\Delta > 0$
dwa różne rozwiązania dodatnie	$\Delta > 0$ , $x_1 + x_2 > 0$ , $x_1 x_2 > 0$
dwa różne rozwiązania ujemne	$\Delta > 0$ , $x_1 + x_2 < 0$ , $x_1 x_2 > 0$
dwa rozwiązania różnych znaków	$x_1 x_2 < 0$
warunek z $x_1^2 + x_2^2$	$\Delta > 0$ i $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

Zadanie 2

otwarte · 4 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Pokaż rozwiązanie

Przy $x^2$ stoi 1, więc przypadek $a = 0$ nie występuje. Warunki: $\Delta > 0$ , $x_1 + x_2 > 0$ , $x_1 x_2 > 0$ .

Warunek 1.

$\Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 2)$

$\Delta = 4m^2 - 4m - 8$

$4m^2 - 4m - 8 > 0$

$m^2 - m - 2 > 0$

Delta tej nierówności to $1 + 8 = 9$ , a jej pierwiastek to 3. Miejsca zerowe: $m = -1$ i $m = 2$ . Stąd $m \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$ .

Warunek 2.

$x_1 + x_2 = 2m > 0$

Stąd $m > 0$ .

Warunek 3.

$x_1 x_2 = m + 2 > 0$

Stąd $m > -2$ .

Część wspólna trzech warunków to $m > 2$ . Sprawdzenie dla $m = 3$ : równanie $x^2 - 6x + 5 = 0$ ma rozwiązania 1 i 5, oba dodatnie.

Odpowiedź: $m \in (2, +\infty)$

Bezpłatne szkolenie online

Chcesz więcej takich zadań?

Na szkoleniu „Jak zdać rozszerzenie z matmy na 80–100% dzięki metodzie schematów” rozwiążemy je razem, krok po kroku.

Prowadzi Kamila Kwapień, twórczyni Matematyki Gryzie

Zapisz się bezpłatnie

albo zobacz kurs Matematyka matura rozszerzona

Co zrobić, gdy parametr stoi przy x²

Gdy współczynnik przy $x^2$ zależy od $m$ , zaczynasz od sprawdzenia, kiedy jest równy zero. Dla tej wartości równanie przestaje być kwadratowe, więc nie może mieć dwóch rozwiązań.

Zadanie 3

otwarte · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $(m + 1)x^2 - 2x + m - 1 = 0$ ma dwa różne rozwiązania $x_1, x_2$ spełniające warunek $x_1^2 + x_2^2 > 2$ .

Pokaż rozwiązanie

Przypadek $a = 0$ . Dla $m = -1$ równanie ma postać $-2x - 2 = 0$ , czyli jedno rozwiązanie. Odrzucasz tę wartość: $m \neq -1$ .

Warunek $\Delta > 0$ .

$\Delta = (-2)^2 - 4(m + 1)(m - 1)$

$\Delta = 4 - 4m^2 + 4$

$\Delta = 8 - 4m^2$

$8 - 4m^2 > 0$

$m^2 < 2$

Stąd $m \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ .

Warunek z sumą kwadratów. Ze wzorów Viète'a:

$x_1 + x_2 = \frac{2}{m + 1}$

$x_1 x_2 = \frac{m - 1}{m + 1}$

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

$x_1^2 + x_2^2 = \frac{4}{(m + 1)^2} - \frac{2(m - 1)}{m + 1}$

$x_1^2 + x_2^2 = \frac{6 - 2m^2}{(m + 1)^2}$

Mianownik $(m + 1)^2$ jest dodatni dla $m \neq -1$ , więc możesz przez niego pomnożyć bez zmiany znaku nierówności:

$6 - 2m^2 > 2(m + 1)^2$

$6 - 2m^2 > 2m^2 + 4m + 2$

$-4m^2 - 4m + 4 > 0$

$m^2 + m - 1 < 0$

Delta tej nierówności to 5. Miejsca zerowe:

$m_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1{,}62$

$m_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0{,}62$

Stąd $m \in \left( \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right)$ .

Część wspólna. Zbiór z delty, $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ , czyli około $(-1{,}41;\ 1{,}41)$ , przecinasz ze zbiorem z sumy kwadratów i wyrzucasz $m = -1$ .

Sprawdzenie dla $m = 0$ : równanie $x^2 - 2x - 1 = 0$ ma $x_1^2 + x_2^2 = 6$ , a 6 jest większe od 2.

Odpowiedź: $m \in (-\sqrt{2}, -1) \cup \left( -1, \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right)$

Najczęstsze błędy w zadaniach z parametrem

Na moich lekcjach uczniowie tracą punkty w tych zadaniach głównie na trzech rzeczach. Żadna z nich nie wymaga trudnych rachunków.

Pomijają przypadek $a = 0$ . Gdy przy $x^2$ stoi parametr, trzeba go sprawdzić osobno. Bez tego odpowiedź zawiera wartość, dla której równanie wcale nie jest kwadratowe.
Piszą $\Delta \geq 0$ zamiast $\Delta > 0$ . Przy $\Delta = 0$ równanie ma jedno rozwiązanie, a zadanie pyta o dwa różne.
Nie biorą części wspólnej. Każdy warunek daje osobny zbiór. Odpowiedzią jest tylko to, co spełnia wszystkie warunki naraz, a nie suma zbiorów.

Zadania z parametrem do samodzielnego rozwiązania

Rozwiąż każde zadanie sam, a dopiero potem otwórz rozwiązanie.

Zadanie 4

otwarte · 2 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2 - 6x + m = 0$ ma dwa różne rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie

Przy $x^2$ stoi 1, więc wystarczy warunek $\Delta > 0$ .

$\Delta = 36 - 4m$

$36 - 4m > 0$

$m < 9$

Odpowiedź: $m \in (-\infty, 9)$

Zadanie 5

otwarte · 4 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2 + 2mx + 4m - 3 = 0$ ma dwa różne rozwiązania ujemne.

Pokaż rozwiązanie

Warunki: $\Delta > 0$ , $x_1 + x_2 < 0$ , $x_1 x_2 > 0$ .

Warunek 1.

$\Delta = 4m^2 - 4(4m - 3)$

$\Delta = 4(m^2 - 4m + 3)$

$\Delta = 4(m - 1)(m - 3)$

$\Delta > 0$ dla $m \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$ .

Warunek 2.

$x_1 + x_2 = -2m < 0$

Stąd $m > 0$ .

Warunek 3.

$x_1 x_2 = 4m - 3 > 0$

Stąd $m > \frac{3}{4}$ .

Część wspólna trzech warunków to $\left( \frac{3}{4}, 1 \right) \cup (3, +\infty)$ .

Odpowiedź: $m \in \left( \frac{3}{4}, 1 \right) \cup (3, +\infty)$

Zadanie 6

otwarte · 3 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $(m - 2)x^2 + 3x + m + 1 = 0$ ma dwa rozwiązania różnych znaków.

Pokaż rozwiązanie

Przypadek $a = 0$ . Dla $m = 2$ równanie ma postać $3x + 3 = 0$ , czyli jedno rozwiązanie. Odrzucasz tę wartość: $m \neq 2$ .

Warunek różnych znaków.

$x_1 x_2 = \frac{m + 1}{m - 2} < 0$

Iloraz jest ujemny, gdy licznik i mianownik mają różne znaki, czyli dla $m \in (-1, 2)$ . Delty nie trzeba liczyć: gdy $\frac{c}{a} < 0$ , jest ona zawsze dodatnia.

Odpowiedź: $m \in (-1, 2)$

Podsumowanie

Zaczynasz od współczynnika przy $x^2$ . Gdy zależy od $m$ , sprawdzasz osobno przypadek $a = 0$ .
„Dwa różne rozwiązania” zawsze oznacza $\Delta > 0$ .
Znaki rozwiązań, ich suma i suma kwadratów to wzory Viète'a. Warunki znajdziesz w tabeli wyżej w artykule.
Odpowiedzią jest część wspólna wszystkich warunków.
Wynik sprawdzasz, podstawiając jedną liczbę z odpowiedzi.

Parametr w równaniach liniowych przećwiczysz w artykule o równaniach liniowych z parametrem, a w nierównościach w artykule o nierównościach liniowych z parametrem. Cały dział funkcji kwadratowej, z filmami do każdego typu zadania, jest w kursie do matury rozszerzonej z matematyki.

Bezpłatne szkolenie online

Chcesz więcej takich zadań?

Na szkoleniu „Jak zdać rozszerzenie z matmy na 80–100% dzięki metodzie schematów” rozwiążemy je razem, krok po kroku.

Prowadzi Kamila Kwapień, twórczyni Matematyki Gryzie

Zapisz się bezpłatnie

albo zobacz kurs Matematyka matura rozszerzona

Udostępnij artykuł:

Równania kwadratowe z parametrem: schemat krok po kroku

Opublikowano:30.10.2026

Kamila, Matematyka Gryzie

9 wyświetleń

Zadania z parametrem do druku (PDF)

Kartki z 3 zadaniami z filmu, z kratką na rozwiązanie. Wydrukuj je i rozwiązuj razem ze mną.

Poniżej znajdziesz te 4 kroki, tabelę warunków, 3 przykłady od łatwego do maturalnego i 3 zadania do samodzielnego rozwiązania.

Wszystkie 3 przykłady rozwiązuję krok po kroku w filmie:

Jak rozwiązać równanie kwadratowe z parametrem w 4 krokach

Parametr to litera, najczęściej $m$ , która zastępuje liczbę. Zadanie pyta, dla jakich wartości $m$ równanie ma rozwiązania o pewnej własności.

Sprawdź współczynnik przy $x^2$ . Jeśli zależy od $m$ , rozpatrz osobno przypadek $a = 0$ . Wtedy równanie jest liniowe i ma najwyżej jedno rozwiązanie.
Przetłumacz treść na warunki. „Dwa różne rozwiązania” to $\Delta > 0$ . Znaki rozwiązań, ich suma albo suma kwadratów to wzory Viète'a.
Rozwiąż każdy warunek osobno. Każdy daje zbiór wartości $m$ .
Weź część wspólną wszystkich zbiorów na jednej osi. Na koniec sprawdź wynik, podstawiając jedną liczbę z odpowiedzi.

Kiedy równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania

Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania, gdy $a \neq 0$ i $\Delta > 0$ . Gdy $\Delta = 0$ , ma jedno rozwiązanie. Gdy $\Delta < 0$ , nie ma rozwiązań.

Zadanie 1

otwarte · 2 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2 + mx + 4 = 0$ ma dwa różne rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie

Przy $x^2$ stoi 1, więc przypadek $a = 0$ nie występuje. Od razu liczysz deltę: $a = 1$ , $b = m$ , $c = 4$ .

$\Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4$

$\Delta = m^2 - 16$

Warunek $\Delta > 0$ :

$m^2 - 16 > 0$

$(m - 4)(m + 4) > 0$

Miejsca zerowe to $-4$ i $4$ . Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc nierówność jest spełniona poza przedziałem między miejscami zerowymi.

Sprawdzenie dla $m = 5$ : równanie $x^2 + 5x + 4 = 0$ ma rozwiązania $-1$ i $-4$ .

Odpowiedź: $m \in (-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$

Jak zapisać warunki ze wzorów Viète'a

Gdy zadanie pyta o znaki rozwiązań, ich sumę albo iloczyn, każde sformułowanie z treści zamieniasz na warunek z tabeli.

Treść zadania	Warunki
dwa różne rozwiązania	$\Delta > 0$
dwa różne rozwiązania dodatnie	$\Delta > 0$ , $x_1 + x_2 > 0$ , $x_1 x_2 > 0$
dwa różne rozwiązania ujemne	$\Delta > 0$ , $x_1 + x_2 < 0$ , $x_1 x_2 > 0$
dwa rozwiązania różnych znaków	$x_1 x_2 < 0$
warunek z $x_1^2 + x_2^2$	$\Delta > 0$ i $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

Zadanie 2

otwarte · 4 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Pokaż rozwiązanie

Przy $x^2$ stoi 1, więc przypadek $a = 0$ nie występuje. Warunki: $\Delta > 0$ , $x_1 + x_2 > 0$ , $x_1 x_2 > 0$ .

Warunek 1.

$\Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 2)$

$\Delta = 4m^2 - 4m - 8$

$4m^2 - 4m - 8 > 0$

$m^2 - m - 2 > 0$

Delta tej nierówności to $1 + 8 = 9$ , a jej pierwiastek to 3. Miejsca zerowe: $m = -1$ i $m = 2$ . Stąd $m \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$ .

Warunek 2.

$x_1 + x_2 = 2m > 0$

Stąd $m > 0$ .

Warunek 3.

$x_1 x_2 = m + 2 > 0$

Stąd $m > -2$ .

Część wspólna trzech warunków to $m > 2$ . Sprawdzenie dla $m = 3$ : równanie $x^2 - 6x + 5 = 0$ ma rozwiązania 1 i 5, oba dodatnie.

Odpowiedź: $m \in (2, +\infty)$

Bezpłatne szkolenie online

Chcesz więcej takich zadań?

Na szkoleniu „Jak zdać rozszerzenie z matmy na 80–100% dzięki metodzie schematów” rozwiążemy je razem, krok po kroku.

Prowadzi Kamila Kwapień, twórczyni Matematyki Gryzie

Zapisz się bezpłatnie

albo zobacz kurs Matematyka matura rozszerzona

Co zrobić, gdy parametr stoi przy x²

Gdy współczynnik przy $x^2$ zależy od $m$ , zaczynasz od sprawdzenia, kiedy jest równy zero. Dla tej wartości równanie przestaje być kwadratowe, więc nie może mieć dwóch rozwiązań.

Zadanie 3

otwarte · 5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $(m + 1)x^2 - 2x + m - 1 = 0$ ma dwa różne rozwiązania $x_1, x_2$ spełniające warunek $x_1^2 + x_2^2 > 2$ .

Pokaż rozwiązanie

Przypadek $a = 0$ . Dla $m = -1$ równanie ma postać $-2x - 2 = 0$ , czyli jedno rozwiązanie. Odrzucasz tę wartość: $m \neq -1$ .

Warunek $\Delta > 0$ .

$\Delta = (-2)^2 - 4(m + 1)(m - 1)$

$\Delta = 4 - 4m^2 + 4$

$\Delta = 8 - 4m^2$

$8 - 4m^2 > 0$

$m^2 < 2$

Stąd $m \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ .

Warunek z sumą kwadratów. Ze wzorów Viète'a:

$x_1 + x_2 = \frac{2}{m + 1}$

$x_1 x_2 = \frac{m - 1}{m + 1}$

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

$x_1^2 + x_2^2 = \frac{4}{(m + 1)^2} - \frac{2(m - 1)}{m + 1}$

$x_1^2 + x_2^2 = \frac{6 - 2m^2}{(m + 1)^2}$

Mianownik $(m + 1)^2$ jest dodatni dla $m \neq -1$ , więc możesz przez niego pomnożyć bez zmiany znaku nierówności:

$6 - 2m^2 > 2(m + 1)^2$

$6 - 2m^2 > 2m^2 + 4m + 2$

$-4m^2 - 4m + 4 > 0$

$m^2 + m - 1 < 0$

Delta tej nierówności to 5. Miejsca zerowe:

$m_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1{,}62$

$m_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0{,}62$

Stąd $m \in \left( \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right)$ .

Część wspólna. Zbiór z delty, $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ , czyli około $(-1{,}41;\ 1{,}41)$ , przecinasz ze zbiorem z sumy kwadratów i wyrzucasz $m = -1$ .

Sprawdzenie dla $m = 0$ : równanie $x^2 - 2x - 1 = 0$ ma $x_1^2 + x_2^2 = 6$ , a 6 jest większe od 2.

Odpowiedź: $m \in (-\sqrt{2}, -1) \cup \left( -1, \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right)$

Najczęstsze błędy w zadaniach z parametrem

Na moich lekcjach uczniowie tracą punkty w tych zadaniach głównie na trzech rzeczach. Żadna z nich nie wymaga trudnych rachunków.

Pomijają przypadek $a = 0$ . Gdy przy $x^2$ stoi parametr, trzeba go sprawdzić osobno. Bez tego odpowiedź zawiera wartość, dla której równanie wcale nie jest kwadratowe.
Piszą $\Delta \geq 0$ zamiast $\Delta > 0$ . Przy $\Delta = 0$ równanie ma jedno rozwiązanie, a zadanie pyta o dwa różne.
Nie biorą części wspólnej. Każdy warunek daje osobny zbiór. Odpowiedzią jest tylko to, co spełnia wszystkie warunki naraz, a nie suma zbiorów.

Zadania z parametrem do samodzielnego rozwiązania

Rozwiąż każde zadanie sam, a dopiero potem otwórz rozwiązanie.

Zadanie 4

otwarte · 2 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2 - 6x + m = 0$ ma dwa różne rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie

Przy $x^2$ stoi 1, więc wystarczy warunek $\Delta > 0$ .

$\Delta = 36 - 4m$

$36 - 4m > 0$

$m < 9$

Odpowiedź: $m \in (-\infty, 9)$

Zadanie 5

otwarte · 4 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2 + 2mx + 4m - 3 = 0$ ma dwa różne rozwiązania ujemne.

Pokaż rozwiązanie

Warunki: $\Delta > 0$ , $x_1 + x_2 < 0$ , $x_1 x_2 > 0$ .

Warunek 1.

$\Delta = 4m^2 - 4(4m - 3)$

$\Delta = 4(m^2 - 4m + 3)$

$\Delta = 4(m - 1)(m - 3)$

$\Delta > 0$ dla $m \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$ .

Warunek 2.

$x_1 + x_2 = -2m < 0$

Stąd $m > 0$ .

Warunek 3.

$x_1 x_2 = 4m - 3 > 0$

Stąd $m > \frac{3}{4}$ .

Część wspólna trzech warunków to $\left( \frac{3}{4}, 1 \right) \cup (3, +\infty)$ .

Odpowiedź: $m \in \left( \frac{3}{4}, 1 \right) \cup (3, +\infty)$

Zadanie 6

otwarte · 3 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $(m - 2)x^2 + 3x + m + 1 = 0$ ma dwa rozwiązania różnych znaków.

Pokaż rozwiązanie

Przypadek $a = 0$ . Dla $m = 2$ równanie ma postać $3x + 3 = 0$ , czyli jedno rozwiązanie. Odrzucasz tę wartość: $m \neq 2$ .

Warunek różnych znaków.

$x_1 x_2 = \frac{m + 1}{m - 2} < 0$

Iloraz jest ujemny, gdy licznik i mianownik mają różne znaki, czyli dla $m \in (-1, 2)$ . Delty nie trzeba liczyć: gdy $\frac{c}{a} < 0$ , jest ona zawsze dodatnia.

Odpowiedź: $m \in (-1, 2)$

Podsumowanie

Zaczynasz od współczynnika przy $x^2$ . Gdy zależy od $m$ , sprawdzasz osobno przypadek $a = 0$ .
„Dwa różne rozwiązania” zawsze oznacza $\Delta > 0$ .
Znaki rozwiązań, ich suma i suma kwadratów to wzory Viète'a. Warunki znajdziesz w tabeli wyżej w artykule.
Odpowiedzią jest część wspólna wszystkich warunków.
Wynik sprawdzasz, podstawiając jedną liczbę z odpowiedzi.

Bezpłatne szkolenie online

Chcesz więcej takich zadań?

Na szkoleniu „Jak zdać rozszerzenie z matmy na 80–100% dzięki metodzie schematów” rozwiążemy je razem, krok po kroku.

Prowadzi Kamila Kwapień, twórczyni Matematyki Gryzie

Zapisz się bezpłatnie

albo zobacz kurs Matematyka matura rozszerzona

Udostępnij artykuł:

Równania kwadratowe z parametrem: schemat krok po kroku

Zadania z parametrem do druku (PDF)

Jak rozwiązać równanie kwadratowe z parametrem w 4 krokach

Kiedy równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania

Zadanie 1

Jak zapisać warunki ze wzorów Viète'a

Zadanie 2

Co zrobić, gdy parametr stoi przy x²

Zadanie 3

Najczęstsze błędy w zadaniach z parametrem

Zadania z parametrem do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Podsumowanie

Jak zacząć naukę do matury z matematyki od zera? Plan działania dla opornych

Dowód algebraiczny - notatka z matematyki szkoła średnia

Czy matura z matematyki jest trudna?

Równania kwadratowe z parametrem: schemat krok po kroku

Zadania z parametrem do druku (PDF)

Jak rozwiązać równanie kwadratowe z parametrem w 4 krokach

Kiedy równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania

Zadanie 1

Jak zapisać warunki ze wzorów Viète'a

Zadanie 2

Co zrobić, gdy parametr stoi przy x²

Zadanie 3

Najczęstsze błędy w zadaniach z parametrem

Zadania z parametrem do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Podsumowanie

Jak zacząć naukę do matury z matematyki od zera? Plan działania dla opornych

Dowód algebraiczny - notatka z matematyki szkoła średnia

Czy matura z matematyki jest trudna?