Sprawdzian: Figury na płaszczyźnie, klasa 6 (grupa A i B, z odpowiedziami)

Podpowiedzi

• Oba kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe, a suma kątów trójkąta to $180^{\circ}$.
• Policz $180^{\circ} - 2 \cdot 36^{\circ}$.

Rozwiązanie

W trójkącie równoramiennym oba kąty przy podstawie są równe, więc każdy ma $36^{\circ}$.

Kąty przy podstawie mają razem $2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ}$.

Suma kątów trójkąta to $180^{\circ}$, więc kąt między ramionami: $180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$.

Podpowiedzi

• Pełny obrót to $360^{\circ}$ w ciągu $12$ godzin, czyli $30^{\circ}$ na godzinę.
• Pomnóż: $4 \cdot 30^{\circ}$.

Rozwiązanie

Wskazówka godzinowa robi pełny obrót, czyli $360^{\circ}$, w ciągu $12$ godzin.

W ciągu jednej godziny obraca się więc o $360^{\circ} : 12 = 30^{\circ}$.

W ciągu 4 godzin obróci się o $4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ}$.

Podpowiedzi

• Pełny obrót to $360^{\circ}$, a liczby dzielą tarczę na $12$ równych odstępów. Jeden odstęp ma więc $360^{\circ} : 12 = 30^{\circ}$. O pełnej godzinie wskazówka minutowa wskazuje $12$.
• Licząc od $12$ do $10$ zgodnie z ruchem wskazówek zegara, wskazówka godzinowa jest oddalona o $10$ odstępów po $30^{\circ}$. Policz miarę tego kąta; mniejszy kąt to ta miara albo jej dopełnienie do $360^{\circ}$, zależnie od tego, która jest mniejsza.

Rozwiązanie

Liczby na tarczy dzielą pełny obrót $360^{\circ}$ na $12$ równych odstępów, więc jeden odstęp ma $360^{\circ} : 12 = 30^{\circ}$.

O godzinie $10{:}00$ wskazówka minutowa wskazuje $12$, a godzinowa $10$. Między nimi, licząc zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jest 10 odstępów, czyli $10 \cdot 30^{\circ} = 300^{\circ}$.

Drugi kąt między wskazówkami dopełnia ten kąt do pełnego obrotu: $360^{\circ} - 300^{\circ} = 60^{\circ}$.

Wybierz mniejszy z kątów $300^{\circ}$ i $60^{\circ}$. Mniejszy kąt $= 60^{\circ}$.

Podpowiedzi

• Bok kwadratu: $16 : 4 = 4$ cm. Średnica okręgu jest równa bokowi.
• Promień to połowa średnicy.

Rozwiązanie

Kwadrat ma cztery równe boki, więc jego bok ma $16 : 4 = 4$ cm.

Okrąg wpisany styka się z dwoma przeciwległymi bokami kwadratu, więc jego średnica jest równa bokowi kwadratu, czyli ma $4$ cm.

Promień to połowa średnicy: $4 : 2 = 2$ cm.

Podpowiedzi

• Od obwodu odejmij obie podstawy: $27 - 10 - 9 = 8$ cm. To dwa równe ramiona.
• Podziel przez $2$.

Rozwiązanie

Obwód trapezu to suma dwóch podstaw i dwóch ramion, a w trapezie równoramiennym oba ramiona są równe.

Od obwodu odejmij podstawy: $27 - 10 - 9 = 8$ cm. Tyle mają oba ramiona razem.

Jedno ramię: $8 : 2 = 4$ cm.

Podpowiedzi

• Wskazówka minutowa przesuwa się o $6^{\circ}$ na minutę: jest $120^{\circ}$ od $12$.
• Godzinowa przesuwa się o $30^{\circ}$ na godzinę i o pół stopnia na minutę: jest $330^{\circ} + 10^{\circ} = 340^{\circ}$ od $12$.
• Odejmij te kąty; gdy wynik przekracza $180^{\circ}$, odejmij go od $360^{\circ}$.

Rozwiązanie

Wskazówka minutowa robi pełny obrót w $60$ minut, czyli przesuwa się o $360^{\circ} : 60 = 6^{\circ}$ na minutę. Po 20 minutach jest $20 \cdot 6^{\circ} = 120^{\circ}$ od $12$.

Wskazówka godzinowa przesuwa się o $30^{\circ}$ na godzinę, czyli o pół stopnia na minutę. O godzinie $11{:}00$ była $330^{\circ}$ od $12$, a przez 20 minut przesunęła się o $10^{\circ}$: razem $330^{\circ} + 10^{\circ} = 340^{\circ}$.

Kąt między wskazówkami to różnica: $340^{\circ} - 120^{\circ} = 220^{\circ}$.

Wskazówki tworzą dwa kąty: $220^{\circ}$ i $360^{\circ} - 220^{\circ} = 140^{\circ}$. Kąt rozwarty jest mniejszy od $180^{\circ}$, więc jego miara $= 140^{\circ}$.

Podpowiedzi

• Bok kwadratu: $76 : 4 = 19$ cm.
• Połowa obwodu prostokąta to $76 : 2 = 38$ cm, a dłuższy bok ma $20$ cm.
• Krótszy bok: $38 - 20$.

Rozwiązanie

Kwadrat ma cztery równe boki, więc bok kwadratu ma $76 : 4 = 19$ cm.

Dłuższy bok prostokąta jest o $1$ cm dłuższy od boku kwadratu: $19 + 1 = 20$ cm.

Drugi drut ma tę samą długość, więc obwód prostokąta też wynosi $76$ cm, a suma dwóch sąsiednich boków to $76 : 2 = 38$ cm.

Krótszy bok: $38 - 20 = 18$ cm.

Podpowiedzi

• Gdy dwa okręgi stykają się z zewnątrz, odległość ich środków to suma promieni.
• Boki trójkąta: $7$, $7{,}5$ i $10{,}5$ cm.
• Dodaj długości boków.

Rozwiązanie

Gdy dwa okręgi stykają się z zewnątrz, odcinek łączący ich środki przechodzi przez punkt styku, więc ma długość równą sumie promieni.

Boki trójkąta mają $2 + 5 = 7$ cm, $2 + 5{,}5 = 7{,}5$ cm i $5 + 5{,}5 = 10{,}5$ cm.

Obwód to suma boków: $7 + 7{,}5 + 10{,}5 = 25$ cm.