Funkcja kwadratowa: 18 zadań maturalnych z rozwiązaniami do pobrania

Tutaj pobierzesz za darmo 18 zadań z funkcji kwadratowej, które rozwiązujemy razem na transmisji na YouTube. Zadania są ułożone od najprostszych do zadania otwartego za 4 punkty, tak jak na maturze podstawowej.

Funkcja kwadratowa: 18 zadań w PDF

Podaj e-mail, a wyślemy Ci PDF z zadaniami z transmisji.

Pobierz zadania

Co jest w zestawie

1. Postać ogólna i wykres: kierunek ramion paraboli i punkt przecięcia z osią OY.
2. Postać kanoniczna: wierzchołek paraboli i oś symetrii.
3. Postać iloczynowa: delta i miejsca zerowe.
4. Zamiana postaci: z kanonicznej na ogólną i iloczynową, i odwrotnie.
5. Własności funkcji: zbiór wartości, monotoniczność, największa i najmniejsza wartość w przedziale, nierówność kwadratowa.
6. Zadanie optymalizacyjne za 4 punkty.

Każda część zaczyna się od planszy z najważniejszymi wzorami, a każde zadanie ma osobną stronę z kratką, więc możesz rozwiązywać je razem ze mną.

Rozwiązania krok po kroku

1. Postać ogólna funkcji kwadratowej i jej wykres

Postać ogólna to wzór, który najczęściej widzisz w zadaniach. Ze współczynnika $a$ odczytasz kierunek ramion paraboli, a ze współczynnika $c$ punkt przecięcia z osią OY.

$$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$$

• $a > 0$: ramiona paraboli są skierowane w górę.
• $a < 0$: ramiona paraboli są skierowane w dół.
• Wykres przecina oś OY w punkcie $(0, c)$.
• Punkt należy do wykresu, gdy po podstawieniu jego współrzędnych do wzoru otrzymasz równość.

Zadanie 1.1 (zamknięte)

Wykres funkcji $f(x) = -2x^2 + 3x + 5$:

• A. ma ramiona skierowane w górę i przecina oś OY w punkcie $(0, 5)$
• B. ma ramiona skierowane w dół i przecina oś OY w punkcie $(0, 5)$
• C. ma ramiona skierowane w dół i przecina oś OY w punkcie $(0, 3)$
• D. ma ramiona skierowane w górę i przecina oś OY w punkcie $(0, -2)$

Rozwiązanie: $a = -2 < 0$, więc ramiona są skierowane w dół. Wykres przecina oś OY w punkcie $(0, c) = (0, 5)$. Odpowiedź: B.

Zadanie 1.2 (zamknięte)

Wykres funkcji $f(x) = ax^2 + bx + c$ ma ramiona skierowane w górę i przecina oś OY poniżej osi OX. Wtedy:

• A. $a > 0$ i $c > 0$
• B. $a > 0$ i $c < 0$
• C. $a < 0$ i $c > 0$
• D. $a < 0$ i $c < 0$

Rozwiązanie: ramiona w górę oznaczają $a > 0$. Punkt $(0, c)$ leży pod osią OX, więc $c < 0$. Odpowiedź: B.

Zadanie 1.3 (krótkie otwarte)

Punkt $P = (2, m)$ należy do wykresu funkcji $f(x) = x^2 - 3x + 1$. Oblicz $m$.

Rozwiązanie: podstawiamy $x = 2$ do wzoru funkcji.

$$m = f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1 = -1$$

Odpowiedź: $m = -1$.

2. Postać kanoniczna i wierzchołek paraboli

Z postaci kanonicznej odczytasz wierzchołek paraboli bez liczenia. Uważaj na znak: w nawiasie stoi $x - p$, więc przy $(x + 2)^2$ mamy $p = -2$.

$$f(x) = a(x - p)^2 + q, \qquad W = (p, q)$$

$$p = \frac{-b}{2a}, \qquad q = \frac{-\Delta}{4a} = f(p)$$

Oś symetrii paraboli to prosta $x = p$.

Zadanie 2.1 (zamknięte)

Wierzchołkiem paraboli $f(x) = -3(x + 2)^2 + 7$ jest punkt:

• A. $(2, 7)$
• B. $(-2, 7)$
• C. $(-2, -7)$
• D. $(2, -7)$

Rozwiązanie: $x + 2 = x - (-2)$, więc $p = -2$ i $q = 7$. Odpowiedź: B.

Zadanie 2.2 (krótkie otwarte)

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$.

Rozwiązanie: $a = 2$, $b = -8$.

$$p = \frac{-(-8)}{2 \cdot 2} = 2, \qquad q = f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$$

Drugiej współrzędnej nie musisz liczyć z delty: wystarczy podstawić $p$ do wzoru funkcji. Odpowiedź: $W = (2, -5)$.

Zadanie 2.3 (zamknięte)

Osią symetrii wykresu funkcji $f(x) = x^2 + 6x - 1$ jest prosta:

• A. $x = 6$
• B. $x = 3$
• C. $x = -3$
• D. $y = -1$

Rozwiązanie: oś symetrii przechodzi przez wierzchołek, czyli ma równanie $x = p$, a $p = \frac{-6}{2} = -3$. Odpowiedź: C.

Zadanie 2.4 (otwarte, 2 pkt)

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ to $W = (1, -4)$, a do wykresu należy punkt $A = (3, 4)$. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie: wstawiamy wierzchołek do postaci kanonicznej, a potem punkt $A$, żeby obliczyć $a$.

$$f(x) = a(x - 1)^2 - 4$$

$$4 = a(3 - 1)^2 - 4 \Rightarrow 4a = 8 \Rightarrow a = 2$$

Odpowiedź: $f(x) = 2(x - 1)^2 - 4$.

3. Postać iloczynowa i miejsca zerowe

Z postaci iloczynowej od razu odczytasz miejsca zerowe. Ta postać istnieje tylko wtedy, gdy $\Delta \ge 0$.

$$\Delta = b^2 - 4ac, \qquad x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

• $\Delta > 0$: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$
• $\Delta = 0$: $f(x) = a(x - x_0)^2$, gdzie $x_0 = \frac{-b}{2a}$
• $\Delta < 0$: funkcja nie ma miejsc zerowych i nie ma postaci iloczynowej.

Zadanie 3.1 (zamknięte)

Miejscami zerowymi funkcji $f(x) = -2(x - 3)(x + 5)$ są liczby:

• A. $-3$ i $5$
• B. $3$ i $-5$
• C. $-2$, $3$ i $-5$
• D. $2$ i $-5$

Rozwiązanie: iloczyn jest równy zero, gdy $x - 3 = 0$ albo $x + 5 = 0$. Liczba $-2$ to współczynnik, nie miejsce zerowe. Odpowiedź: B.

Zadanie 3.2 (krótkie otwarte)

Zapisz funkcję $f(x) = x^2 - x - 6$ w postaci iloczynowej.

Rozwiązanie:

$$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25, \qquad \sqrt{\Delta} = 5$$

$$x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2, \qquad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$$

Odpowiedź: $f(x) = (x + 2)(x - 3)$.

Zadanie 3.3 (otwarte, 3 pkt)

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$ są liczby $-1$ i $5$, a wykres tej funkcji przecina oś OY w punkcie $(0, 10)$. Wyznacz wzór funkcji $f$ oraz współrzędne wierzchołka paraboli.

Rozwiązanie: zapisujemy postać iloczynową i obliczamy $a$ z punktu $(0, 10)$.

$$f(x) = a(x + 1)(x - 5), \qquad f(0) = -5a = 10 \Rightarrow a = -2$$

Wierzchołek leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi.

$$p = \frac{-1 + 5}{2} = 2, \qquad q = f(2) = -2 \cdot 3 \cdot (-3) = 18$$

Odpowiedź: $f(x) = -2(x + 1)(x - 5)$, $W = (2, 18)$.

4. Zamiana postaci funkcji kwadratowej

Na maturze często trzeba przejść z jednej postaci do drugiej. Tak to zrobisz:

• Kanoniczna na ogólną: rozwiń kwadrat, $(x - p)^2 = x^2 - 2px + p^2$.
• Ogólna na kanoniczną: policz $p = \frac{-b}{2a}$ i $q = f(p)$.
• Iloczynowa na kanoniczną: $p = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $q = f(p)$.
• Ogólna na iloczynową: policz $\Delta$ i miejsca zerowe, gdy $\Delta \ge 0$.

Zadanie 4.1 (otwarte, 2 pkt)

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = 2(x - 1)^2 - 8$. Zapisz ją w postaci ogólnej i iloczynowej.

Rozwiązanie: rozwijamy kwadrat, a potem rozkładamy trójmian.

$$f(x) = 2(x^2 - 2x + 1) - 8 = 2x^2 - 4x - 6$$

$$f(x) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2(x - 3)(x + 1)$$

Odpowiedź: $f(x) = 2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 3)(x + 1)$.

Zadanie 4.2 (otwarte, 2 pkt)

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = -(x + 4)(x - 2)$. Zapisz ją w postaci kanonicznej i ogólnej.

Rozwiązanie: miejsca zerowe to $-4$ i $2$, więc wierzchołek leży w połowie między nimi.

$$p = \frac{-4 + 2}{2} = -1, \qquad q = f(-1) = -(3)(-3) = 9$$

$$f(x) = -(x + 1)^2 + 9 = -x^2 - 2x + 8$$

Odpowiedź: $f(x) = -(x + 1)^2 + 9 = -x^2 - 2x + 8$.

Zadanie 4.3 (pułapka)

Zapisz funkcję $f(x) = x^2 + 2x + 5$ w postaci kanonicznej i iloczynowej.

Rozwiązanie:

$$p = -1, \qquad q = f(-1) = 1 - 2 + 5 = 4 \Rightarrow f(x) = (x + 1)^2 + 4$$

$$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$$

Odpowiedź: postać kanoniczna to $f(x) = (x + 1)^2 + 4$. Postaci iloczynowej nie ma, bo $\Delta < 0$ i funkcja nie ma miejsc zerowych.

5. Własności funkcji kwadratowej i nierówność kwadratowa

Wszystkie własności odczytasz z wierzchołka i kierunku ramion.

• Zbiór wartości: dla $a > 0$ to $[q, +\infty)$, dla $a < 0$ to $(-\infty, q]$.
• Monotoniczność zmienia się w $x = p$.
• Największa i najmniejsza wartość w przedziale: sprawdź, czy $p$ leży w przedziale, policz $f(p)$ i wartości na końcach przedziału.
• Nierówność kwadratowa: policz miejsca zerowe, naszkicuj parabolę i odczytaj, gdzie wykres jest nad osią OX, a gdzie pod nią.

Zadanie 5.1 (zamknięte)

Zbiorem wartości funkcji $f(x) = -2(x - 3)^2 + 4$ jest przedział:

• A. $[3, +\infty)$
• B. $(-\infty, 3]$
• C. $[4, +\infty)$
• D. $(-\infty, 4]$

Rozwiązanie: $a = -2 < 0$, więc ramiona są skierowane w dół, a najwyższa wartość to $q = 4$. Odpowiedź: D.

Zadanie 5.2 (zamknięte)

Funkcja $f(x) = x^2 - 6x + 2$ jest rosnąca w przedziale:

• A. $[3, +\infty)$
• B. $(-\infty, 3]$
• C. $[-3, +\infty)$
• D. $(-\infty, -7]$

Rozwiązanie: $p = \frac{6}{2} = 3$. Ramiona są skierowane w górę, więc funkcja rośnie na prawo od wierzchołka. Odpowiedź: A.

Zadanie 5.3 (otwarte, 2 pkt)

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x) = x^2 - 4x + 1$ w przedziale $[0, 3]$.

Rozwiązanie: najpierw sprawdzamy, czy wierzchołek leży w przedziale: $p = \frac{4}{2} = 2 \in [0, 3]$. Potem liczymy wartości w wierzchołku i na końcach przedziału.

$$f(2) = 4 - 8 + 1 = -3, \qquad f(0) = 1, \qquad f(3) = 9 - 12 + 1 = -2$$

Odpowiedź: największa wartość to $1$ (dla $x = 0$), najmniejsza to $-3$ (dla $x = 2$).

Zadanie 5.4 (otwarte, 2 pkt)

Rozwiąż nierówność $x^2 - 2x - 8 \le 0$.

Rozwiązanie:

$$\Delta = 4 + 32 = 36, \qquad x_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2, \qquad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4$$

Ramiona są skierowane w górę, więc wykres leży pod osią OX między miejscami zerowymi. Znak „mniejsze lub równe” oznacza, że końce należą do rozwiązania.

Odpowiedź: $x \in [-2, 4]$.

6. Zadanie optymalizacyjne za 4 punkty

Zadanie optymalizacyjne pokazuje, po co uczysz się wierzchołka paraboli. Rozwiązujesz je zawsze w czterech krokach:

1. Oznacz niewiadomą i zapisz drugi wymiar przez $x$.
2. Zapisz szukaną wielkość jako funkcję kwadratową, np. pole $P(x)$.
3. Wyznacz dziedzinę.
4. Policz $p$, sprawdź, czy należy do dziedziny, i odpowiedz na pytanie z zadania.

Zadanie 6.1 (otwarte, 4 pkt)

Pan Adam ma 60 m siatki. Chce ogrodzić prostokątny wybieg dla psa przy ścianie domu: ściana tworzy jeden bok, a siatka trzy pozostałe. Oblicz wymiary wybiegu o największym polu i to pole.

Rozwiązanie: oznaczamy przez $x$ długość boku prostopadłego do ściany (w metrach). Takie boki są dwa, więc na bok równoległy do ściany zostaje $60 - 2x$.

$$P(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x$$

Oba boki muszą być dodatnie: $x > 0$ i $60 - 2x > 0$, więc $x \in (0, 30)$. Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc największa wartość jest w wierzchołku.

$$p = \frac{-60}{2 \cdot (-2)} = 15 \in (0, 30), \qquad P(15) = 15 \cdot 30 = 450$$

Odpowiedź: wybieg ma wymiary 15 m × 30 m (dłuższy bok przy ścianie), a jego pole to 450 m².