Zadania tekstowe z równaniami, klasa ósma: 10 zadań z rozwiązaniami

$x$ — najmniejsza liczba. Kolejne liczby nieparzyste różnią się o 2, więc to $x$, $x + 2$, $x + 4$.

$$x + (x + 2) + (x + 4) = 147$$

$$3x + 6 = 147$$

$$3x = 141$$

$$x = 47$$

Sprawdzenie: $47 + 49 + 51 = 147$.

Odpowiedź: to liczby 47, 49 i 51.

$x$ — wiek córki teraz, mama ma $4x$ lat.

Za 6 lat córka będzie mieć $x + 6$ lat, a mama $4x + 6$ lat.

$$4x + 6 = 3(x + 6)$$

$$4x + 6 = 3x + 18$$

$$x = 12$$

Mama: $4 \cdot 12 = 48$.

Sprawdzenie: za 6 lat mama będzie mieć 54 lata, córka 18, a $54 = 3 \cdot 18$.

Odpowiedź: córka ma 12 lat, mama 48 lat.

$x$ — licznik, mianownik to $x + 7$.

Po dodaniu 3: licznik $x + 3$, mianownik $x + 10$.

$$\frac{x + 3}{x + 10} = \frac{3}{4}$$

$$4(x + 3) = 3(x + 10)$$

$$4x + 12 = 3x + 30$$

$$x = 18$$

Mianownik: $18 + 7 = 25$.

Sprawdzenie: $\frac{21}{28} = \frac{3}{4}$.

Odpowiedź: to ułamek $\frac{18}{25}$.

$x$ — cena przed obniżkami. Po obniżce o 20% zostaje 80% ceny, czyli $0{,}8x$.

$$0{,}8x - 30 = 210$$

$$0{,}8x = 240$$

$$x = 300$$

Sprawdzenie: $0{,}8 \cdot 300 = 240$ zł, a $240 - 30 = 210$ zł.

Odpowiedź: kurtka kosztowała 300 zł.

$x$ — liczba biletów ulgowych, normalnych było $120 - x$.

$$18x + 25(120 - x) = 2720$$

$$18x + 3000 - 25x = 2720$$

$$-7x = -280$$

$$x = 40$$

Normalnych: $120 - 40 = 80$.

Sprawdzenie: $40 \cdot 18 + 80 \cdot 25 = 720 + 2000 = 2720$ zł.

Odpowiedź: sprzedano 40 biletów ulgowych i 80 normalnych.

Soli jest $0{,}1 \cdot 3 = 0{,}3$ kg. Dolewanie wody nie zmienia masy soli.

$x$ — ile kilogramów wody dolewamy. Nowa solanka waży $3 + x$ kg.

$$0{,}06(3 + x) = 0{,}3$$

$$3 + x = 5$$

$$x = 2$$

Sprawdzenie: $0{,}3 : 5 = 0{,}06$, czyli 6%.

Odpowiedź: trzeba dolać 2 kg wody.

$x$ — podstawa, ramię ma $x + 3$. Trójkąt równoramienny ma dwa ramiona.

$$x + 2(x + 3) = 36$$

$$3x + 6 = 36$$

$$x = 10$$

Ramię: $10 + 3 = 13$ cm.

Wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na pół, po 5 cm. Z twierdzenia Pitagorasa:

$$h^2 + 5^2 = 13^2$$

$$h^2 = 169 - 25$$

$$h^2 = 144$$

$$h = 12$$

$$P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12$$

$$P = 60$$

Odpowiedź: boki mają 10 cm, 13 cm i 13 cm, a pole wynosi 60 cm².

$x$ — krótszy bok, dłuższy to $x + 4$. Pole: $x(x + 4)$.

Nowe boki: $x + 2$ i $x + 4 - 1 = x + 3$.

$$(x + 2)(x + 3) = x(x + 4) + 10$$

$$x^2 + 5x + 6 = x^2 + 4x + 10$$

$$x = 4$$

Dłuższy bok: $4 + 4 = 8$ cm.

Sprawdzenie: pole przed zmianą $4 \cdot 8 = 32$ cm², po zmianie $6 \cdot 7 = 42$ cm², czyli o 10 cm² więcej.

Odpowiedź: boki mają 4 cm i 8 cm.

$x$ — prędkość wolniejszego samochodu, szybszy jechał $x + 10$ km/h. Gdy jadą naprzeciw siebie, ich drogi do spotkania dodają się do 210 km.

$$1{,}5x + 1{,}5(x + 10) = 210$$

$$3x + 15 = 210$$

$$3x = 195$$

$$x = 65$$

Szybszy: $65 + 10 = 75$ km/h.

Sprawdzenie: $1{,}5 \cdot 65 + 1{,}5 \cdot 75 = 97{,}5 + 112{,}5 = 210$ km.

Odpowiedź: samochody jechały z prędkościami 65 km/h i 75 km/h.

$x$ — długość szlaku.

Pierwszy dzień: $0{,}4x$. Zostaje $0{,}6x$.

Drugi dzień to $\frac{3}{5}$ z tego, co zostało, a nie z całej trasy:

$$\frac{3}{5} \cdot 0{,}6x = 0{,}36x$$

Trzeci dzień to reszta trasy:

$$x - 0{,}4x - 0{,}36x = 0{,}24x$$

$$0{,}24x = 12$$

$$x = 50$$

Drugi dzień: $0{,}36 \cdot 50 = 18$ km.

Sprawdzenie: $20 + 18 + 12 = 50$ km.

Odpowiedź: szlak ma 50 km, a drugiego dnia turysta przeszedł 18 km.