Matura podstawowa matematyka czerwiec 2026 - interaktywny arkusz + PDF

Dodatkowy • CKE • czerwiec 2026 • formuła 2023

Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury podstawowej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:

Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
Oryginalne arkusze PDF do pobrania

Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.

Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.

Zadanie 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\dfrac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $(-2)$

B. $\left(-\frac{1}{2}\right)$

C. $\frac{1}{2}$

D. $2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\dfrac{9^{4}}{3^{-20}}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $9^{-24}$

B. $9^{-6}$

C. $9^{14}$

D. $9^{56}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_{5} \sqrt[3]{25}$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $6$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $x^{3} - 2x^{2} + x$ jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

A. $x(x - 1)^{2}$

B. $x(x - 1)(x + 1)$

C. $(x - 1)(x^{2} + 1)$

D. $(x + 1)(x - 1)^{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n \geq 0$ liczba $7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2}$ jest podzielna przez 19.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Dane są wielomiany $W$, $V$ oraz $H$ określone wzorami:

$W(x) = x^{4}$ $V(x) = x^{3} + 1$ $H(x) = x - 2$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wielomian $W(x) - V(x) \cdot H(x)$ jest określony wzorem

Wybierz odpowiedź:

A. $2x^{3} - x + 2$

B. $2x^{3} + x - 2$

C. $x^{4} - x^{3} + x - 2$

D. $x^{4} - x^{3} - x + 2$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

$-2(x + 3)(x - 2) > 0$

jest przedział

Wybierz odpowiedź:

A. $[-3, 2]$

B. $(-3, 2)$

C. $[-2, 3]$

D. $(-2, 3)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Dane jest równanie

$\dfrac{3x + 4}{x - 1} = \dfrac{x + 3}{3x}$, $\ $ gdzie $\ x \ne 0\ $ i $\ x \ne 1$.

Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału $\left(-\infty, -\frac{2}{3}\right)$.

Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest $198$. Gdyby w tym parku rosło o $18$ drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam $3$ razy więcej niż drzew iglastych.

Przyjmijmy następujące oznaczenia: $x$ - liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim, $y$ - liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby $x$ drzew iglastych oraz liczby $y$ drzew liściastych, jest

Wybierz odpowiedź:

A. $\begin{cases} x + y = 198 \\ x + 18 = 3y \end{cases}$

B. $\begin{cases} x + y = 198 \\ 3x + 18 = y \end{cases}$

C. $\begin{cases} x + y = 198 \\ \frac{1}{3}x + 18 = y \end{cases}$

D. $\begin{cases} x + y = 198 \\ 3(x + 18) = y \end{cases}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = 3x - 4$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja $f$ jest rosnąca.

Prawda

Fałsz

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 4)$.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x) = 2x^2 - kx + 6$, gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $k$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $(-11)$

B. $(-7)$

C. $7$

D. $11$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$f(x)= \begin{cases}\frac{4}{3} x+\frac{14}{3} & \text{ dla }\ x \in[-5,-2) \\ \frac{3}{4} x+\frac{3}{2} & \text{ dla }\ x \in[-2,2] \\ -3 x+9 & \text{ dla }\ x \in(2,4)\end{cases}$

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

$\bold{1}$. $\ $ Funkcja $f$ ma dokładnie $...............$ miejsca zerowe. $\bold{2}$. $\ $ Funkcja $f$ osiąga największą wartość dla argumentu $...............$ .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$f(x)= \begin{cases}\frac{4}{3} x+\frac{14}{3} & \text{ dla } x \in[-5,-2) \\ \frac{3}{4} x+\frac{3}{2} & \text{ dla } x \in[-2,2] \\ -3 x+9 & \text{ dla } x \in(2,4)\end{cases}$

Wykres funkcji $y = f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

$\bold{1}$. $\ $ Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $...............$ . $\bold{2}$. $\ $ Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział $...............$ .

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W = (-3, 7)$.

Liczba $t$ spełnia warunki: $f(t) = f(-9)$ oraz $t \ne -9$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $t$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $3$

B. $9$

C. $15$

D. $21$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W = (-3, 7)$.

Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g(x) = f(x - 5)$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne

Wybierz odpowiedź:

A. $(-8, 7) $

B. $(-3, 2)$

C. $(-3, 12)$

D. $(2, 7)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Ciąg $(a_{n})$ jest określony następująco:

$\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n + 1} = a_n - 6 \end{cases}\ $ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Piąty wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $(-4)$

B. $(-16)$

C. $(-22)$

D. $(-28)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Ciąg $(a_{n})$ jest określony następująco:

$\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n + 1} = a_n - 6 \end{cases}\ $ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny.

Prawda

Fałsz

Ciąg $(a_n)$ jest malejący.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Czterowyrazowy ciąg $\left(7, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)$ jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $54$.

Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Pięciowyrazowy ciąg $(a_1 , a_2 , 2 , a_4 , a_5)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn $a_1 \cdot a_2 \cdot 2 \cdot a_4 \cdot a_5$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $2$

B. $16$

C. $32$

D. $64$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie $\alpha$, że $\sin \alpha=\frac{1}{4}$. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość $8$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

Wybierz odpowiedź:

A. $1$

B. $2$

C. $4$

D. $2\sqrt{15}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Odcinek $BD$ jest średnicą tego okręgu oraz $|\measuredangle ABD| = 18\degree$. Punkt $D$ leży na krótszym łuku $CA$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $BCA$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $36\degree$

B. $60\degree$

C. $72\degree$

D. $81\degree$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie $A$ przecięto dwiema prostymi równoległymi $k$ oraz $l$. Prosta $k$ przecina ramiona tego kąta w punktach $B$ oraz $C$. Prosta $l$ przecina ramiona tego kąta w punktach $D$ oraz $E$. Punkty $B$ oraz $D$ leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty $C$ oraz $E$ leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto $|AB|=6$, $|BC|=4$ oraz $|BD|=2$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $DE$ ma długość

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{8}{3}$

B. $\frac{16}{3}$

C. $6$

D. $8$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $AB$, a punkt $E$ leży na boku $AC$. Odcinek $BE$ jest środkową trójkąta $ABC$, a odcinek $CD$ jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki $DB$ oraz $DE$ mają równe długości (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że $|\measuredangle CAB| = 2 \cdot |\measuredangle ABE|$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin \alpha = \frac{3}{5}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze $\alpha$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $\left(-\frac{4}{5}\right)$

B. $\left(-\frac{3}{4}\right)$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{4}{5}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $D = (6, 19)$. Bok $AB$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y = \frac{1}{2}x + 9$, a bok $AD$ zawiera się w prostej o równaniu $y = 4x - 5$. Punkt $K = (10, 14)$ jest środkiem odcinka $AB$. Przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $S$.

Oblicz współrzędne punktu $S$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (-3, 1)$ oraz $B = (1, -3)$ są kolejnymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód kwadratu $ABCD$ jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $4\sqrt{2}$

B. $16\sqrt{2}$

C. $16$

D. $32$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ odcinek o końcach $A = (1, 1)$ oraz $B = (3, -1)$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

Wybierz odpowiedź:

A. $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 8$

B. $x^2 + (y - 2)^2 = 2$

C. $(x - 2)^2 + y^2 = 2$

D. $(x - 2)^2 + y^2 = 8$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $12$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $2\sqrt{3}$

B. $3\sqrt{2}$

C. $2\sqrt{6}$

D. $6\sqrt{2}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Tworząca stożka o promieniu podstawy $3$ ma długość $6$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.

Prawda

Fałsz

Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60\degree$.

Prawda

Fałsz

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Odcinek $AD$ jest wysokością walca, a odcinek $AB$ jest średnicą podstawy walca. Odcinek $BD$ ma długość $4\sqrt{3}$. Miara kąta $ABD$ jest równa $30\degree$.

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

Wybierz odpowiedź:

A. $400$

B. $500$

C. $900$

D. $1600$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to $9$ lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to $13$ lat.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $10$

B. $10{,}5$

C. $11$

D. $11{,}5$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $3$

B. $3{,}5$

C. $4$

D. $5$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

Dany jest sześcioelementowy zbiór $K=\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Ze zbioru $K$ losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od $16$. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 35

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $4$.

Rozważamy wszystkie trójkąty $DEF$ spełniające jednocześnie następujące warunki: $\ \ \ \ \scriptstyle\bullet$ punkt $E$ leży na boku $AB$ kwadratu $ABCD$ $\ \ \ \ \scriptstyle\bullet$ punkt $F$ leży na boku $BC$ kwadratu $ABCD$ $\ \ \ \ \scriptstyle\bullet$ $|CF| = \frac{1}{2} \cdot |EB| = x$, gdzie $x \in (0, 2)$ (zobacz rysunek).

Niech $P(x)$ oznacza pole trójkąta $DEF$ w zależności od długości $x$ odcinka $CF$.

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz wzór funkcji $P$ zmiennej $x$, gdzie $x \in (0, 2)$. Oblicz długość $x$ odcinka $CF$, dla której pole trójkąta $DEF$ jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 1: Zasady oceniania rozwiązań zadań, egzamin maturalny, przedmiot: matematyka, poziom podstawowy. Formy arkusza: MMAP-P0-100, MMAP-P0-200, MMAP-P0-300, MMAP-P0-700, MMAP-P0-Q00. Termin egzaminu: 2 czerwca 2026 r. Brak szczegółowych rozwiązań zadań na tej stronie.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 2: Zadanie 1 (0–1 pkt): Wymagania określone w podstawie programowej dotyczące sprawności rachunkowej i stosowania własności pierwiastków dowolnego stopnia. Rozwiązanie: C. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 3: Zadanie 2 (0-1 pkt): Wymaganie ogólne: wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, stosowanie obiektów matematycznych. Rozwiązanie: C. Zadanie 3 (0-1 pkt): Wymaganie ogólne: wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, działania na logarytmach. Rozwiązanie: B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi.

$Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 4: Zadanie 4 (0-1 pkt): odpowiedź A, wymagania dotyczące wyłączania poza nawias i stosowania wzorów skróconego mnożenia. Zadanie 5 (0-2 pkt): przekształcenie wyrażenia $7^n + 7^{n+1} + 7^{n+2}$ do postaci $7^n \cdot (1 + 7 + 7^2)$, wyłączenie wspólnego czynnika, dowód podzielności przez 19, pełne rozumowanie z użyciem własności działań na potęgach.$

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 5: Zadanie 6 (0-1 pkt): Wymaganie ogólne: sprawność rachunkowa, obliczenia na liczbach rzeczywistych. Wymaganie szczegółowe: dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów. Rozwiązanie: A. Zadanie 7 (0-1 pkt): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, rozwiązywanie nierówności kwadratowych. Rozwiązanie: B. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 6: Zadanie 8 (0-3 pkt): przekształcenie równania 3x + 4/x - 1 = x + 3/3x do równania kwadratowego, poprawne rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych, x = -3/4 oraz x = -1/2, wskazanie przedziału (-∞, -2/3); elementy wizualne: brak. Zasady oceniania: 3 pkt za poprawną metodę, 2 pkt za rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych, 1 pkt za przekształcenie do równania kwadratowego, 0 pkt za niepoprawną metodę. Uwagi dotyczące błędów rachunkowych.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 7: Zadanie 8: rozwiązanie równania kwadratowego 8x² + 10x + 3 = 0 metodą delty, Δ=4, x₁=-¾, x₂=-½, jedynym rozwiązaniem w zbiorze (-∞, -⅔) jest x₁=-¾. Zadanie 9 (0-1 pkt): wymaganie ogólne III, szczegółowe IV.2, odpowiedź D, 1 pkt za odpowiedź poprawną.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 8: Zadanie 10 (0–1 pkt): interpretacja współczynników we wzorze funkcji liniowej, rozwiązanie: PF. Zadanie 11 (0–1 pkt): obliczanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym, rozwiązanie: C. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepełną lub błędną.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 9: Zadanie 12.1 (0-2 pkt): interpretacja informacji z wykresów i diagramów, poprawne uzupełnienie dwóch zdań, odpowiedzi: 1. 3, 2. 2. Zadanie 12.2 (0-2 pkt): odczytywanie wartości funkcji z tabel i wykresów, uzupełnienie dwóch zdań, zasady oceniania, brak szczegółowych obliczeń lub rysunków.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 10: Zadanie 13.1 (0–1 pkt): Wykorzystanie własności funkcji kwadratowej, rozwiązanie: A. Zadanie 13.2 (0–1 pkt): Szkicowanie wykresów funkcji na podstawie y=f(x), rozwiązanie: D. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki, poprawne przedziały: 1. [-5, 4], 2. [-7/2, 3].

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 11: Zadanie 14.1 (0–1 pkt): Wymaganie ogólne: Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zadanie: Oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie. Rozwiązanie: C. Zadanie 14.2 (0–1 pkt): Sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny, bada, czy ciąg jest rosnący lub malejący. Rozwiązanie: PP. Punktacja: 1 pkt za odpowiedź poprawną.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 12: Zadanie 15 (0-2 pkt): rozwiązanie równania dla ciągu arytmetycznego, zapis równań z niewiadomą r i a₂, obliczenie a₃=47/3, a₄=20. Przykładowe rozwiązanie: suma 7+a₂+a₃+a₄=54, równanie 28+6r=54, r=13/3, a₂=34/3. Punktacja: 2 pkt za poprawną metodę i wynik, 1 pkt za zapis równań, 0 pkt za niepoprawną metodę.

$Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 13: Zadanie dotyczące ciągu arytmetycznego. Sposób I: wyznaczenie $a_2$ poprzez równanie $7 + a_2 + a_3 + a_4 = 54$, obliczenia prowadzą do $a_2 = \frac{34}{3}$. Sposób II: wyznaczenie $a_3$ i $a_2$ z własności ciągu, $a_3 = \frac{47}{3}$, $a_2 = \frac{34}{3}$. Obliczenia obejmują przekształcenia równań i zastosowanie wzorów na wyrazy ciągu.$

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 14: Zadanie 16 (0-1 pkt): rozwiązanie zadania dotyczącego ciągu arytmetycznego. Obliczenia: suma wyrazów 7 + a₂ + a₃ + a₄ = 54, wzór na sumę n początkowych wyrazów, a₄ = 20, r = 13/3, a₂ = 34/3. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za niepoprawną. Rozwiązanie: C.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 15: Zadanie 17 (0–1): Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich, odpowiedź B, 1 pkt za poprawną odpowiedź. Zadanie 18 (0–1): Stosowanie własności kątów wpisanych i środkowych, odpowiedź C, 1 pkt za poprawną odpowiedź. Zadanie 19 (0–1): Korzystanie z cech podobieństwa trójkątów, odpowiedź B, 1 pkt za poprawną odpowiedź.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 16: Zadanie 20 (0-2 pkt): dowód geometryczny, wymaganie VIII.11. Przykładowe pełne rozwiązanie: oznaczenie kątów α i β w trójkącie. Z równości |DB|=|DE| wynika, że trójkąt DBE jest równoramienny, stąd kąty |∠BED|=|∠DBE|=β. Z twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta: |∠EDB|=180°−2β. Szkic trójkąta z zaznaczonymi kątami α i β.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 17: Zadanie 21 (0–1 pkt): Wykorzystanie wzorów trygonometrycznych, sin²α + cos²α = 1, tgα = sinα/cosα. Rozwiązanie: A. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi. Dowód geometryczny: trójkąt ADC prostokątny, E środek przeciwprostokątnej, trójkąt ADE równoramienny, kąty ADE i EDB przyległe, α = 2β.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 18: Zadanie 22 (0–3 pkt): rozpoznanie wzajemnego położenia prostych na płaszczyźnie, obliczenie współrzędnych punktu B: B=(16,17) lub środka M_DC boku DC: M_DC=(12,22), wyznaczenie równań prostych przecinających się w punkcie S, np. y=4x−26, zapisanie układu równań dla punktu S=(11,18), obliczenie współrzędnych punktu A: A=(4,11).

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 19: Zadanie 1: rozwiązanie układu równań dla punktu A jako wspólnego prostych AB i AD, równania: y=½x+9 i y=4x-5, wynik: x=4, y=11, punkt A=(4,11). Zadanie 2: obliczenie współrzędnych środka odcinka AB, równania: (4+xB)/2=10 i (11+yB)/2=14, wynik: xB=16, yB=17. Elementy wizualne: brak. Punktacja: brak informacji o punktach.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 20: Zadanie 1: Obliczanie środka odcinka BD, xₛ=11, yₛ=18. Zadanie 2: Rozwiązanie układu równań dla punktu A, x=4, y=11. Zadanie 3: Wyznaczanie równania prostej SK równoległej do AD, y=4x-26. Zadanie 4: Obliczanie środka odcinka AD, M_AD=(5,15). Zadanie 5: Wyznaczanie równania prostej S_MAD równoległej do AB, y=½x+25/2.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 21: Zadanie 1: rozwiązanie układu równań liniowych, wyznaczenie punktu S jako przecięcia prostych SK i SMAD, obliczenia prowadzą do x=11, y=18, punkt S=(11,18). Zadanie 2: wyznaczenie równania prostej SK równoległej do AD, współczynnik kierunkowy 4, równanie y=4x-26. Zadanie 3: obliczenie współrzędnych punktu S jako środka odcinka BD, xS=11. Obliczenia algebraiczne i przekształcenia równań.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 22: Zadanie 7 (4 pkt): wyznaczenie punktu S jako przecięcia prostych, metoda układu równań, rozwiązanie: x=11, y=18. Zadanie 8 (3 pkt): wyznaczenie punktu A jako przecięcia prostych, metoda układu równań, rozwiązanie: x=4, y=11. Zadanie 9 (3 pkt): obliczenie współrzędnych wektorów, rozwiązanie: xₛ=11, yₛ=18. Zadanie 10 (2 pkt): wyznaczenie równania prostej SK, równanie: y=4x-26. Zadanie 11 (2 pkt): obliczenie środka odcinka KD, rozwiązanie: MₖD=(8, 33/2).

$Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 23: Zadanie 7: wyznaczanie równania prostej $ SM_{KD} $ równoległej do $ AB $, współczynnik kierunkowy $ \frac{1}{2} $, równanie $ y = \frac{1}{2}x + \frac{25}{2} $. Punkt $ S $ jako punkt wspólny prostych $ SK $ i $ SM_{KD} $, rozwiązanie układu równań: $ y = 4x - 26 $ oraz $ y = \frac{1}{2}x + \frac{25}{2} $, obliczenia prowadzą do $ x = 11 $, $ y = 18 $, punkt $ S = (11, 18) $.$

$Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 24: Zadanie 23 (1 pkt): obliczanie odległości dwóch punktów w układzie współrzędnych, odpowiedź B. Zadanie 24 (1 pkt): posługiwanie się równaniem okręgu $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, odpowiedź C.$

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 25: Zadanie 25 (1 pkt): Rozumowanie i argumentacja, obliczanie kątów trójkąta prostokątnego i długości boków z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych, rozwiązanie D. Zadanie 26 (1 pkt): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, obliczanie pola powierzchni stożka i rozpoznawanie kątów w stożkach, rozwiązanie PP.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 26: Zadanie 27 (0-4 pkt): obliczenie objętości walca V=18π√3 i pola powierzchni całkowitej Pc=18π+12π√3. Opisano etapy: zapisanie promienia r=3, wysokości H=2√3, użycie równań trygonometrycznych. Zasady oceniania: 4 pkt za poprawne wyniki, 3 pkt za obliczenie V lub Pc, 2 pkt za zapisanie r i H, 1 pkt za zapisanie r lub H. Uwagi dotyczą błędów w definicjach trygonometrycznych i twierdzeniu Pitagorasa.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 27: Zadanie 7 (2 pkt): obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej walca. Rozwiązanie z wykorzystaniem trójkąta prostokątnego ABD, sin 30° = H/(4√3), H = 2√3, cos 30° = r/(2√3), r = 3. Objętość V = 18π√3, pole Pc = 18π + 12π√3. Szkic walca z zaznaczonymi elementami geometrycznymi.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 28: Zadanie 28 (1 pkt): wykorzystanie reguł mnożenia i dodawania, odpowiedź A. Zadanie 29 (1 pkt): obliczanie średniej ważonej, odpowiedź A. Oba zadania oceniane są na 1 punkt za odpowiedź poprawną, 0 punktów za niepoprawną lub brak odpowiedzi.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 29: Zadanie 30 (0–1 pkt): Wymaganie ogólne: interpretowanie i operowanie informacjami w formie wykresów, diagramów, tabel. Wymaganie szczegółowe: znajdowanie mediany. Zasady oceniania: 1 pkt za odpowiedź poprawną, 0 pkt za odpowiedź niepoprawną lub brak odpowiedzi. Rozwiązanie: C.

$Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 30: Zadanie 31 (0–2 pkt): obliczenie prawdopodobieństwa w modelu klasycznym. Kluczowe kroki: wypisanie zdarzeń elementarnych lub obliczenie ich liczby, sporządzenie tabeli lub drzewa stochastycznego, podanie liczby zdarzeń sprzyjających, obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia elementarnego. Końcowy wynik: $ P(A) = \frac{7}{30} $. Punktacja: 2 pkt za poprawną metodę i wynik, 1 pkt za częściowe rozwiązanie, 0 pkt za błędne rozwiązanie.$

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 31: Zadanie 1: obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia A przy użyciu dwóch sposobów. Sposób I: zdarzenia elementarne jako uporządkowane pary liczb, obliczenie liczby zdarzeń elementarnych |Ω|=30, zdarzenia sprzyjające |A|=7, prawdopodobieństwo 7/30. Sposób II: tabela z zaznaczonymi zdarzeniami sprzyjającymi, liczba zdarzeń elementarnych 30, sprzyjających 7, prawdopodobieństwo 7/30.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 32: Zadanie 32 (0–3 pkt): wymagania ogólne i szczegółowe dotyczące rozwiązywania zadań optymalizacyjnych z funkcją kwadratową. Przykładowe rozwiązanie: P(x)=x²-2x+8, x=1. Wyznaczenie wzoru na pole trójkąta DEF w zależności od x, np. P(x)=16-½·2x·(4-x)-½·4·x-½·4·(4-2x). Uwagi dotyczące punktacji za poprawne uzasadnienie i zastosowanie metod różniczkowych.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 33: Zadanie 4 (3 pkt): analiza pola trójkątów w kwadracie. Dane: |AD|=|DC|=4, |CF|=x, |EB|=2x, |AE|=4-2x, |BF|=4-x. Szkic trójkąta DEF w kwadracie ABCD. Obliczenia pól trójkątów EBF, FCD, DAE w zależności od x: P_EBF=4x-x², P_FCD=2x, P_DAE=8-4x. Pole P(x)=x²-2x+8, wykres paraboli, wierzchołek p=1.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 34: Zadanie 12: analiza funkcji P, minimalna wartość dla argumentu 1. Zadanie 13: pole trójkąta DEF najmniejsze, gdy |CF|=1. Brak elementów wizualnych.

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 35: Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych, uwzględniające błędy w przepisywaniu, przestawienia cyfr, zmiany znaku liczby. Opis przyznawania punktów za poprawne metody rozwiązań, nawet przy nieprecyzyjnych zapisach. Uwagi dotyczące zadań z pierwiastkami trójmianu kwadratowego i nierówności kwadratowych. Brak konkretnych zadań i obliczeń.

$Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 36: Zadanie 5 (1 pkt): przekształcenie wyrażenia $7^n + 7^{n+1} + 7^{n+2}$ do postaci $7^n + 7^n \cdot 7 + 7^n \cdot 7^2$. Zadanie 8: uwaga dotycząca przekształcenia równania $ \frac{3x + 4}{x - 1} = \frac{x + 3}{3x} $ do postaci równania kwadratowego, możliwość uzyskania 1 punktu za poprawne obliczenie pierwiastków. Zadania 12.1 i 12.2: stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.$

Matematyka, matura podstawowa, czerwiec 2026, CKE - strona 37: Zadanie 15 (1 pkt): zapisanie związku a₂=7+r lub równania z jedną niewiadomą a₄, np. (7+a₄)/2·4=54. Zadanie 20: stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego. Zadanie 22 (1 pkt): zapisanie równania z niewiadomą jako pierwszą współrzędną wierzchołka A, np. 1/2x+9=4x-5. Zadanie 27 (1 pkt): zastosowanie funkcji trygonometrycznej, np. H/4√3=sin 30°, 2r/4√3=√3/2. Zadanie 31 (1 pkt): zapisanie liczby 30. Zadanie 32 (1 pkt): zapisanie pola trójkątów lub kwadratu ABCD w zależności od x, np. P_ABCD=16, |AE|=4-2x, |BF|=4-x.

Matura podstawowa matematyka czerwiec 2026 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie