Matura rozszerzona z matematyki | Czerwiec 2026 | Interaktywny Arkusz + PDF

Zadanie 1

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \(\left(\frac{\sqrt{3}+1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}-1}{2}, 2-\sqrt{3}, ...\right)\).

Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{5+3\sqrt{3}}{4}\)

B. \(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)

C. \(\frac{\sqrt{3}+1}{4\cdot(\sqrt{3}-1)}\)

D. \(\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{4\cdot(\sqrt{3}+3)}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x^{4}-4x^{3}-7\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Funkcja \(f\) ma dokładnie

Wybierz odpowiedź:

A. jedno ekstremum lokalne – dla \(x=-1\).

B. jedno ekstremum lokalne – dla \(x=0\).

C. jedno ekstremum lokalne – dla \(x=1\).

D. dwa ekstrema lokalne – dla \(x=0\) oraz dla \(x=1\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Wartość wyrażenia \(\sqrt{25^{a}+49^{b}}\) dla \(a=\frac{1}{\log_{6} 5}\) oraz \(b=\frac{1}{\log_{8} 7}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(9\)

B. \(10\)

C. \(12\)

D. \(15\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(0\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Oblicz granicę

\(\lim\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{x^{5}-2 x^{4}+x^{2}-3 x+2}{x^{3}-2 x^{2}+3 x-6}\)

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą i trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

\(\square\square\square\)

Wpisz odpowiedź liczbową:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki:

\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra \(2\) \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) cyfra \(4\) występuje w kodzie dokładnie trzy razy \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) cyfra \(8\) występuje dokładnie dwa razy \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.

Oblicz liczbę wszystkich takich kodów.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{ax^{2}+x}{x-1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 1\).

Wyznacz wszystkie wartości \(a\), dla których pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x=a\) jest równa \(\left(-\frac{1}{2}a\right)\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\(xy+x+y \le x^{2}+y^{2}+1\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Odcinek \(CD\) jest wysokością trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Prosta \(p\) jest prostopadła do boku \(BC\) i przecina ten bok w punkcie \(L\). Ta prosta przecina wysokość \(CD\) w punkcie \(K\) oraz przecina bok \(AC\) w punkcie różnym od \(A\).

Wykaż, że \(|\measuredangle CAK| = |\measuredangle KDL|\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: \(\mathcal{P}_1\), \(\mathcal{P}_2\), \(\mathcal{P}_3\). Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie \(\mathcal{P}_1\), \(\mathcal{P}_2\) oraz \(\mathcal{P}_3\) do tego supermarketu jest – odpowiednio – równy \(2:3:4\). Liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do tego supermarketu z piekarni:

\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) \(\mathcal{P}_1\) stanowi \(10\%\) liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) \(\mathcal{P}_2\) stanowi \(12\%\) liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) \(\mathcal{P}_3\) stanowi \(15\%\) liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo wybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni \(\mathcal{P}_1\), jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Trzywyrazowy ciąg \((x, y, z)\) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o \(4\), a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o \(1\), to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.

Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Pole czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg jest równe \(18\). Boki \(AB\) i \(BC\) są prostopadłe, a ponadto \(|AB| = 4\) oraz \(|BC| = 7\).

Oblicz obwód tego czworokąta.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Rozwiąż równanie

\(\sin x+\sin (2 x) - \cos x = \dfrac{1}{2}\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie

\(x^{2}+mx+m=0\)

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) spełniające warunek

\(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+4 \cdot x_{1}^{3} \cdot x_{2}^{3} \ge 3\)

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) ma objętość równą \(36\sqrt{3}\). Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną \(\gamma\), która:

\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) jest prostopadła do ściany bocznej \(CDS\) ostrosłupa \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) przechodzi przez środek \(K\) krawędzi \(AD\) oraz środek \(L\) krawędzi \(BC\) \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) przecina krawędź boczną \(CS\) w punkcie \(M\) oraz krawędź boczną \(DS\) w punkcie \(N\) \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) tworzy z płaszczyzną podstawy \(ABCD\) kąt o mierze \(30\degree\).

Kliknij, aby powiększyć

Przekrój \(KLMN\) wyznaczony przez płaszczyznę \(\gamma\) jest trapezem równoramiennym.

Oblicz pole trapezu \(KLMN\).

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

W układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatniej półosi \(Oy\), wierzchołek \(A\) leży na dodatniej półosi \(Ox\), natomiast bok \(AB\) jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt \(K = (1, 2)\).

a) Wykaż, że pole \(P\) trójkąta \(ABC\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\) jest określone wzorem

\(P(a) = \dfrac{-a^2 + 4a - 4}{2a}\)

b) Pole \(P\) trójkąta \(ABC\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\) jest określone wzorem

\(P(a) = \dfrac{-a^2 + 4a - 4}{2a}\)

dla \(a < 0\).

Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną \(AB\) tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole.