Matura rozszerzona z matematyki | Czerwiec 2026 | Interaktywny Arkusz + PDF

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \(\left(\frac{\sqrt{3}+1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}-1}{2}, 2-\sqrt{3}, ...\right)\).

Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{5+3\sqrt{3}}{4}\)

B. \(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)

C. \(\frac{\sqrt{3}+1}{4\cdot(\sqrt{3}-1)}\)

D. \(\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{4\cdot(\sqrt{3}+3)}\)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x^{4}-4x^{3}-7\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Funkcja \(f\) ma dokładnie

Wybierz odpowiedź:

A. jedno ekstremum lokalne – dla \(x=-1\).

B. jedno ekstremum lokalne – dla \(x=0\).

C. jedno ekstremum lokalne – dla \(x=1\).

D. dwa ekstrema lokalne – dla \(x=0\) oraz dla \(x=1\).

Wartość wyrażenia \(\sqrt{25^{a}+49^{b}}\) dla \(a=\frac{1}{\log_{6} 5}\) oraz \(b=\frac{1}{\log_{8} 7}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(9\)

B. \(10\)

C. \(12\)

D. \(15\)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(0\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Oblicz granicę

\(\lim\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{x^{5}-2 x^{4}+x^{2}-3 x+2}{x^{3}-2 x^{2}+3 x-6}\)

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą i trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

\(\square\square\square\)

Wpisz odpowiedź liczbową:

Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki:

\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra \(2\) \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) cyfra \(4\) występuje w kodzie dokładnie trzy razy \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) cyfra \(8\) występuje dokładnie dwa razy \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.

Oblicz liczbę wszystkich takich kodów.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{ax^{2}+x}{x-1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 1\).

Wyznacz wszystkie wartości \(a\), dla których pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x=a\) jest równa \(\left(-\frac{1}{2}a\right)\).

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\(xy+x+y \le x^{2}+y^{2}+1\)

Odcinek \(CD\) jest wysokością trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Prosta \(p\) jest prostopadła do boku \(BC\) i przecina ten bok w punkcie \(L\). Ta prosta przecina wysokość \(CD\) w punkcie \(K\) oraz przecina bok \(AC\) w punkcie różnym od \(A\).

Wykaż, że \(|\measuredangle CAK| = |\measuredangle KDL|\).

Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: \(\mathcal{P}_1\), \(\mathcal{P}_2\), \(\mathcal{P}_3\). Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie \(\mathcal{P}_1\), \(\mathcal{P}_2\) oraz \(\mathcal{P}_3\) do tego supermarketu jest – odpowiednio – równy \(2:3:4\). Liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do tego supermarketu z piekarni:

\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) \(\mathcal{P}_1\) stanowi \(10\%\) liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) \(\mathcal{P}_2\) stanowi \(12\%\) liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) \(\mathcal{P}_3\) stanowi \(15\%\) liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo wybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni \(\mathcal{P}_1\), jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy.

Trzywyrazowy ciąg \((x, y, z)\) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o \(4\), a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o \(1\), to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.

Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).

Pole czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg jest równe \(18\). Boki \(AB\) i \(BC\) są prostopadłe, a ponadto \(|AB| = 4\) oraz \(|BC| = 7\).

Oblicz obwód tego czworokąta.

Rozwiąż równanie

\(\sin x+\sin (2 x) - \cos x = \dfrac{1}{2}\)

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie

\(x^{2}+mx+m=0\)

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) spełniające warunek

\(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+4 \cdot x_{1}^{3} \cdot x_{2}^{3} \ge 3\)

Ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) ma objętość równą \(36\sqrt{3}\). Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną \(\gamma\), która:

\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) jest prostopadła do ściany bocznej \(CDS\) ostrosłupa \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) przechodzi przez środek \(K\) krawędzi \(AD\) oraz środek \(L\) krawędzi \(BC\) \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) przecina krawędź boczną \(CS\) w punkcie \(M\) oraz krawędź boczną \(DS\) w punkcie \(N\) \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) tworzy z płaszczyzną podstawy \(ABCD\) kąt o mierze \(30\degree\).

Kliknij, aby powiększyć

Przekrój \(KLMN\) wyznaczony przez płaszczyznę \(\gamma\) jest trapezem równoramiennym.

Oblicz pole trapezu \(KLMN\).

W układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatniej półosi \(Oy\), wierzchołek \(A\) leży na dodatniej półosi \(Ox\), natomiast bok \(AB\) jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt \(K = (1, 2)\).

a) Wykaż, że pole \(P\) trójkąta \(ABC\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\) jest określone wzorem

\(P(a) = \dfrac{-a^2 + 4a - 4}{2a}\)

b) Pole \(P\) trójkąta \(ABC\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\) jest określone wzorem

\(P(a) = \dfrac{-a^2 + 4a - 4}{2a}\)

dla \(a < 0\).

Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną \(AB\) tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \(\left(\frac{\sqrt{3}+1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}-1}{2}, 2-\sqrt{3}, ...\right)\).

Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{5+3\sqrt{3}}{4}\)

B. \(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)

C. \(\frac{\sqrt{3}+1}{4\cdot(\sqrt{3}-1)}\)

D. \(\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{4\cdot(\sqrt{3}+3)}\)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x^{4}-4x^{3}-7\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Funkcja \(f\) ma dokładnie

Wybierz odpowiedź:

A. jedno ekstremum lokalne – dla \(x=-1\).

B. jedno ekstremum lokalne – dla \(x=0\).

C. jedno ekstremum lokalne – dla \(x=1\).

D. dwa ekstrema lokalne – dla \(x=0\) oraz dla \(x=1\).

Wartość wyrażenia \(\sqrt{25^{a}+49^{b}}\) dla \(a=\frac{1}{\log_{6} 5}\) oraz \(b=\frac{1}{\log_{8} 7}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(9\)

B. \(10\)

C. \(12\)

D. \(15\)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Największa wartość funkcji \(f\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(0\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Oblicz granicę

\(\lim\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{x^{5}-2 x^{4}+x^{2}-3 x+2}{x^{3}-2 x^{2}+3 x-6}\)

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą i trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

\(\square\square\square\)

Wpisz odpowiedź liczbową:

Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki:

Oblicz liczbę wszystkich takich kodów.

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{ax^{2}+x}{x-1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 1\).

Wyznacz wszystkie wartości \(a\), dla których pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x=a\) jest równa \(\left(-\frac{1}{2}a\right)\).

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\(xy+x+y \le x^{2}+y^{2}+1\)

Wykaż, że \(|\measuredangle CAK| = |\measuredangle KDL|\).

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo wybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni \(\mathcal{P}_1\), jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy.

Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).

Pole czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg jest równe \(18\). Boki \(AB\) i \(BC\) są prostopadłe, a ponadto \(|AB| = 4\) oraz \(|BC| = 7\).

Oblicz obwód tego czworokąta.

Rozwiąż równanie

\(\sin x+\sin (2 x) - \cos x = \dfrac{1}{2}\)

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie

\(x^{2}+mx+m=0\)

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) spełniające warunek

\(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+4 \cdot x_{1}^{3} \cdot x_{2}^{3} \ge 3\)

Ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) ma objętość równą \(36\sqrt{3}\). Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną \(\gamma\), która:

Kliknij, aby powiększyć

Przekrój \(KLMN\) wyznaczony przez płaszczyznę \(\gamma\) jest trapezem równoramiennym.

Oblicz pole trapezu \(KLMN\).

a) Wykaż, że pole \(P\) trójkąta \(ABC\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\) jest określone wzorem

\(P(a) = \dfrac{-a^2 + 4a - 4}{2a}\)

b) Pole \(P\) trójkąta \(ABC\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\) jest określone wzorem

\(P(a) = \dfrac{-a^2 + 4a - 4}{2a}\)

dla \(a < 0\).

Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną \(AB\) tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole.

Matura rozszerzona matematyka czerwiec 2026 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Odpowiedzi

Matura rozszerzona matematyka czerwiec 2026 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie