Matura rozszerzona matematyka czerwiec 2026 - interaktywny arkusz + PDF
Dodatkowy • CKE • czerwiec 2026 • formuła 2023Najlepsze narzędzie do przygotowania do matury rozszerzonej z matematyki. Rozwiąż oficjalny arkusz CKE online z Gryzikiem - asystentem nauki AI:
- Interaktywne zadania z natychmiastową weryfikacją AI
- Rozwiązania krok po kroku z wyjaśnieniami
- Filmiki z rozwiązaniami do obejrzenia
- Możliwość pisania rozwiązania odręcznie na ekranie (na tabletach)
- Wysyłanie zdjęć swojej pracy do sprawdzenia (na urządzeniach z kamerą)
- Oryginalne arkusze PDF do pobrania
Dzięki rozwiązaniom krok po kroku uczysz się efektywniej – na bieżąco sprawdzasz swoje odpowiedzi, otrzymujesz podpowiedzi gdy utkniesz, a Gryzik przeanalizuje Twoje rozwiązanie i wskaże co można poprawić.
Gryzik asystent nauki sprawdzi Twoją odpowiedź w kilka sekund.
Zadania interaktywne do rozwiązania online
Zadanie 1
Dane są liczby rzeczywiste \(a\) oraz \(b\):
\(a = 16^{\frac{1}{2} \cdot \log_436 - 2 \cdot \log_43}\)
\(b = \log_29 \cdot \log_35 \cdot \log_58\)
Oblicz wartość ilorazu \(\frac{a}{2b}\). Wynik zapisz w postaci \(3^k\), gdzie \(k \in \Z\). Zapisz obliczenia.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 2
Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki:
\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet \ \ \) na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra \(2\)
\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet \ \ \) cyfra \(4\) występuje w kodzie dokładnie trzy razy
\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet \ \ \) cyfra \(8\) występuje dokładnie dwa razy
\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet \ \ \) pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.
Oblicz liczbę wszystkich takich kodów. Zapisz obliczenia.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!
Zadanie 3
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \dfrac{ax^2 + x}{x - 1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 1\).
Wyznacz wszystkie wartości \(a\), dla których pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x = a\) jest równa \(\left(-\frac{1}{2}a\right)\). Zapisz obliczenia.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 4
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność
\(xy + x + y \le x^2 + y^2 + 1\)
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 5
Odcinek \(CD\) jest wysokością trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\).
Prosta \(p\) jest prostopadła do boku \(BC\) i przecina ten bok w punkcie \(L\). Ta prosta przecina wysokość \(CD\) w punkcie \(K\) oraz przecina bok \(AC\) w punkcie różnym od \(A\).
Wykaż, że \(|\measuredangle CAK| = |\measuredangle KDL|\).
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 6
Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: \(\mathcal{P}_1\), \(\mathcal{P}_2\), \(\mathcal{P}_3\).
Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie \(\mathcal{P}_1\), \(\mathcal{P}_2\) oraz \(\mathcal{P}_3\) do tego supermarketu jest - odpowiednio - równy \(2 : 3 : 4\).
Liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do tego supermarketu z piekarni:
\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet \ \ \) \(\mathcal{P}_1\) stanowi \(10\%\) liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni
\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet \ \ \) \(\mathcal{P}_2\) stanowi \(12\%\) liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni
\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet \ \ \) \(\mathcal{P}_3\) stanowi \(15\%\) liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo wybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni \(\mathcal{P}_1\), jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy. Zapisz obliczenia.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 7
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(14\). Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa \(392\).
Wyznacz wzór ogólny na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_n)\). Zapisz obliczenia.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 8
Trzywyrazowy ciąg \((x, y, z)\) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o \(4\), a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o \(1\), to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.
Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\). Zapisz obliczenia.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 9
Pole czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg jest równe \(18\). Boki \(AB\) i \(BC\) są prostopadłe, a ponadto \(|AB| = 4\) oraz \(|BC| = 7\).
Oblicz obwód tego czworokąta. Zapisz obliczenia.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 10
Rozwiąż równanie
\(\sin x + \sin(2x) - \cos x = \frac{1}{2}\)
Zapisz obliczenia.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 11
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\(x^2 + mx + m = 0\)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\) spełniające warunek
\(x_1^4 + x_2^4 + 4 \cdot x_1^3 \cdot x_2^3 \ge 3\)
Zapisz obliczenia.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 12
Ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) ma objętość równą \(36\sqrt{3}\). Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną \(\gamma\), która:
\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) jest prostopadła do ściany bocznej \(CDS\) ostrosłupa
\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) przechodzi przez środek \(K\) krawędzi \(AD\) oraz środek \(L\) krawędzi \(BC\)
\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) przecina krawędź boczną \(CS\) w punkcie \(M\) oraz krawędź boczną \(DS\) w punkcie \(N\)
\(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\ \ \) tworzy z płaszczyzną podstawy \(ABCD\) kąt o mierze \(30\degree\).
Kliknij, aby powiększyć
Przekrój \(KLMN\) wyznaczony przez płaszczyznę \(\gamma\) jest trapezem równoramiennym.
Oblicz pole trapezu \(KLMN\). Zapisz obliczenia.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 13
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatniej półosi \(Oy\), wierzchołek \(A\) leży na dodatniej półosi \(Ox\), natomiast bok \(AB\) jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt \(K = (1, 2)\).
Wykaż, że pole \(P\) trójkąta \(ABC\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\) jest określone wzorem
\(P(a) = \dfrac{-a^2 + 4a - 4}{2a}\)
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
Zadanie 14
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatniej półosi \(Oy\), wierzchołek \(A\) leży na dodatniej półosi \(Ox\), natomiast bok \(AB\) jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt \(K = (1, 2)\).
Pole \(P\) trójkąta \(ABC\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\) jest określone wzorem
\(P(a) = \dfrac{-a^2 + 4a - 4}{2a}\)
dla \(a < 0\).
Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną \(AB\) tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Sprawdź swoje rozwiązanie
📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.
Obejrzyj rozwiązanie
Obejrzyj rozwiązanie
odpowiedzi
![Matematyka, matura rozszerzona, czerwiec 2026, CKE - strona 26: Przykładowe pełne rozwiązanie równania kwadratowego x² + mx + m = 0 z warunkiem Δ > 0. Przekształcenie nierówności x₁⁴ + x₂⁴ + 4·x₁³·x₂³ ≥ 3 z zastosowaniem wzorów Viète'a. Obliczenia prowadzą do m ∈ (-∞, -1] ∪ (4, +∞). Zadanie 12 (0–5 pkt): Wymagania dotyczące rozumowania i argumentacji, w tym posługiwanie się pojęciem kąta i wyznaczanie przekrojów brył. Zasady oceniania: rozwiązanie składa się z trzech etapów.](/_next/image?url=https%3A%2F%2Ffirebasestorage.googleapis.com%2Fv0%2Fb%2Fmatematykagryzie-prod.appspot.com%2Fo%2FexamPapers%252Ffiles%252F1125-Matematyka%2520-%25202026-06%2520-%2520Matura%2520rozszerzona%2520-%2520Dodatkowy%2520-%2520Formu%25C5%2582a%25202023%2520-%2520CKE%2520-%2520Odpowiedzi-26.png%3Falt%3Dmedia&w=3840&q=85)
