Matura rozszerzona matematyka grudzień 2013 arkusz + PDF

Próbny • CKE • grudzień 2013 • formuła 2015

Arkusz matura rozszerzona z matematyki. Pobierz materiały egzaminacyjne w formacie PDF.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza egzaminacyjnego z matematyki na poziomie rozszerzonym, przygotowanego przez CKE. Zawiera informacje o egzaminie maturalnym od roku szkolnego 2014/2015, przykładowy zestaw zadań (A1), czas pracy 180 minut. Na stronie brak konkretnych zadań do rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 2: Zadanie 1: prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z dwóch urn, odpowiedzi: A) 1/15, B) 2/5, C) 7/15, D) 3/5. Zadanie 2: suma nieskończonego ciągu geometrycznego, odpowiedzi: A) 1/(√2-1), B) √2/(√2-1), C) 2/(√2-1), D) 3/(√2-1). Zadanie 3: wartość liczby 27^665 * (3^92/152^3), odpowiedzi: A) 3^725, B) 3^1995, C) 3^2015, D) 3^2045. Zadanie 4: wzajemne położenie okręgów o równaniach x²+(y-1)²=25 i (x-1)²+y²=9, odpowiedzi: A) przecinają się, B) styczne, C) o1 wewnątrz o2, D) o2 wewnątrz o1. Zadanie 5: suma sinα + sin3α, odpowiedzi: A) sin4α, B) 2sin4α, C) 2sin2αcosα, D) 2sinαcos2α.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 3: Brudnopis z kratkami, przeznaczony do notatek i obliczeń pomocniczych. Nie zawiera zadań ani poleceń do rozwiązania.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 4: Zadanie 6: Liczba n jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie 2|x+57|=|x−39|. Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby |n|. Zadanie 7: Oblicz granicę ciągu lim n→∞ (3n²−5n+2)/(8n+7)(n+4). Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 5: Zadanie 8: Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = (x-8)/(x²+6) dla każdej liczby rzeczywistej x. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x = 1/2. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Zadanie 9: Oblicz log₃(∛27) - log₃(log₃(∛∛3)). Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

$Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 6: Zadanie 10: Punkty $P_1, P_2, P_3, \ldots, P_{24}$ dzielą okrąg na 24 równe łuki. Punkt $A$ jest punktem przecięcia cięciw $P_{11}P_{22}$ i $P_4P_{16}$. Udowodnij, że $|\angle P_{16}AP_{11}| = 60^\circ$. Rysunek przedstawia okrąg z zaznaczonymi punktami i cięciwami.$

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 7: Pusta strona z siatką do rysunków pomocniczych, brak zadań do opisania.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 8: Zadanie 11: Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność 20x² - 24mx + 18m² ≥ 4x + 12m - 5.

$Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 9: Zadanie 12: Janek przeprowadza doświadczenie losowe, w którym wynik to jedna z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Prawdopodobieństwo $ p_k $ otrzymania liczby $ k $ jest dane wzorem: $ p_k = \frac{1}{64} \cdot \binom{6}{k} $. Rozważamy zdarzenia: A - liczba ze zbioru \{1, 3, 5\}, B - liczba ze zbioru \{2, 3, 4, 5, 6\}. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe $ P(A|B) $.$

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 10: Zadanie 13: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu y = mx + (2m + 3) ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie S = (0,0) i promieniu r = 3.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 11: Zadanie 14: Dana jest parabola o równaniu y = x² + 1 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej 3. Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie A. Poniżej znajduje się pusta siatka do rysowania.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 12: Zadanie 15: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy ma miarę α > 45° (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa. Rysunek przedstawia ostrosłup z oznaczoną krawędzią podstawy a i kątem α.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 13: Strona zawiera jedynie puste pole odpowiedzi w postaci siatki z małych kwadratów, przeznaczone do rozwiązywania zadań. Brak widocznych zadań lub treści do opisania.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 14: Zadanie 16: Punkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC, przy czym zachodzą równości |MB|=2⋅|AM| oraz |LC|=3⋅|AL|. Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL i CM. Punkt K jest punktem przecięcia półprostej AS z odcinkiem BC. Pole trójkąta ABC jest równe 660. Oblicz pola trójkątów: AMS, ALS, BMS i CLS. Rysunek przedstawia trójkąt ABC z zaznaczonymi punktami M, L, S, K.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 15: Strona zawiera pustą siatkę do rysowania odpowiedzi. Brak widocznych zadań lub treści do opisania.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 16: Zadanie 17: oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4. Na stronie znajduje się siatka do obliczeń oraz miejsce na odpowiedź.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 17: Zadanie 18: Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach wycięto kwadratowe naroża. Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc prostopadłościenne pudełko bez przykrywki. Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość pudełka jest maksymalna. Oblicz maksymalną objętość. Rysunek przedstawia arkusz z zaznaczonymi liniami cięcia.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 18: Strona zawiera pustą siatkę kartki w kratkę przeznaczoną na odpowiedzi do zadań egzaminacyjnych. Brak widocznych treści zadań lub poleceń.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 19: Brudnopis z kratkowaną stroną do notatek, bez widocznych zadań egzaminacyjnych.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza odpowiedzi, zawiera tytuł "Egzamin maturalny od roku szkolnego 2014/2015", przedmiot "Matematyka poziom rozszerzony", oraz informację o "Rozwiązaniach zadań i schematach punktowania (A1, A2, A3, A4, A6, A7)". Na dole strony znajduje się data "Grudzień 2013". Brak zadań i rozwiązań na tej stronie.

$Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 2: Zadanie 1 (1 pkt): Obliczanie prawdopodobieństwa wylosowania kuli białej z dwóch urn. Rozwiązanie (I sposób): metoda drzewa, prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej: $ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{7}{15} $. Odp.: C. Rozwiązanie (II sposób): zdarzenia $ U_1 $ i $ U_2 $, obliczenia prawdopodobieństw $ P(U_1) = \frac{1}{3} $, $ P(U_2) = \frac{2}{3} $.$

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 3: Zadanie 1 (1 pkt): obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia z urnami, wynik P(B)=7/15, odpowiedź C. Zadanie 2 (1 pkt): suma nieskończonego ciągu geometrycznego, pierwszy wyraz a₁=3/√2, iloraz q=1/√2, suma S=3/(√2-1), odpowiedź D. Zadanie 3 (1 pkt): obliczenie wartości wyrażenia potęgowego, wynik 3²⁰¹⁵, odpowiedź C.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 4: Zadanie 4 (1 pkt): analiza położenia dwóch okręgów o równaniach x²+(y-1)²=25 i (x-1)²+y²=9. Rozwiązanie: szkicowanie okręgów w jednym układzie współrzędnych, stwierdzenie, że okrąg o₂ leży wewnątrz okręgu o₁. Wizualizacja: szkic dwóch okręgów na siatce współrzędnych, mniejszy okrąg wewnątrz większego. Odpowiedź: C.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 5: Zadanie 4: Wyznaczanie środków i promieni okręgów, S₁=(0,1), R=5, S₂=(1,0), r=3, obliczenia |S₁S₂|=√2, |R-r|=2, stwierdzenie, że okręgi są rozłączne wewnętrznie, odpowiedź D. Zadanie 5 (1 pkt): suma sinα+sin3α, zastosowanie wzoru 2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2), wynik 2sin2αcosα, odpowiedź C, dwa sposoby rozwiązania, użycie wzorów na sumę i różnicę kątów.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 6: Zadanie 6 (2 pkt): rozwiązanie równania 2|x+57|=|x−39|. Rozwiązanie I: interpretacja geometryczna, punkty A=-57, B=39, szukana liczba n=-153, |n|=153, kodowanie cyfr: 1, 5, 3. Rozwiązanie II: analiza przedziałów (-∞,-57), (-57,39), (39,+∞), sprawdzanie przynależności do przedziału. Schemat oceniania: 2 pkt za zakodowanie cyfr 1, 5, 3.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 7: Zadanie 4: rozwiązanie równania 2|x+57|=|x−39|. Rozwiązanie w przedziałach: x∈(−∞,−57), x∈(−57,39), x∈(39,+∞). Dla x∈(−∞,−57): x=−153. Dla x∈(−57,39): x=−25. Dla x∈(39,+∞): brak rozwiązania. Najmniejsza liczba całkowita spełniająca równanie: n=−153, |n|=153. Kodowanie cyfr: 1, 5, 3. Schemat oceniania: 2 pkt za poprawne zakodowanie cyfr.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 8: Zadanie 7 (2 pkt): obliczenie granicy ciągu lim n→∞ (3n²-5n+2)/(8n+7)(n+4), przekształcenie do postaci 3/8=0,375, zakodowanie cyfr 3, 7, 5. Zadanie 8 (2 pkt): funkcja f(x)=(x-8)/(x²+6), obliczenie pochodnej w punkcie x=1/2, zakodowanie trzech pierwszych cyfr rozwinięcia dziesiętnego wyniku.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 9: Zadanie 8 (2 pkt): obliczenie pochodnej funkcji f'(x) z użyciem wzoru ilorazu, kluczowe kroki obejmują różniczkowanie i podstawienie x=1/2, wynik f'(1/2)=0,352. Zadanie 9 (2 pkt): obliczenie logarytmu log₃ ⁴√27 - log₃(log₃ ³√√3), zastosowanie wzoru na logarytm potęgi, wynik 2,75. Zadanie 10 (3 pkt): opis podziału okręgu na 24 łuki, punkt A jako przecięcie cięciw P₁₁P₂₂ i P₁P₁₆.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 10: Zadanie: udowodnij, że |∠P₁₆AP₁₁|=60°. Rozwiązanie (I sposób): narysowano cięciwę P₁P₁₁. Kąt wpisany P₁₁P₁P₁₆ oparty na łuku P₁₆P₁₁, który stanowi 5/24 okręgu, kąt środkowy 75°, kąt wpisany 37,5°. Kąt wpisany P₁₁P₁₁P₂₂ na łuku 3/24 okręgu, kąt 22,5°. Obliczenia: |∠P₁₁AP₁₆|=180°-(180°-22,5°-37,5°)=60°. Diagram okręgu z punktami P₁ do P₂₄, cięciwy i kąty.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 11: Schemat oceniania I sposobu rozwiązania, zadanie z geometrii dotyczące kątów wpisanych. Rozwiązanie: obliczenie miar kątów wpisanych opartych na łukach, np. |∢P₁₆P₁P₁₁|=37,5°, |∢P₁P₁₁P₂₂|=22,5°. Rozwiązanie pełne: obliczenie miary kąta P₁₁AP₁₆. Rysunek: okrąg z punktami A, B, C, D, ilustrujący równoległość prostych AB i CD. Punktacja: istotny postęp 1 pkt, trudności 2 pkt, pełne rozwiązanie 3 pkt.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 12: Zadanie 11 (3 pkt): udowodnij nierówność 20x²−24mx+18m²≥4x+12m−5. Rozwiązanie I sposób: przekształcenie nierówności do postaci 20x²−24mx+18m²−4x−12m+5≥0, z zastosowaniem grupowania: (2x−1)²+(3m−2)²+(4x−3m)². Elementy wizualne: okrąg z punktami P₁-P₂₄, opis kąta wpisanego ∠P₈P₁P₁₆=60°.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 13: Zadanie 11 (5 pkt): analiza nierówności kwadratowej, przekształcenie wyrażenia do postaci sumy kwadratów, wyznaczenie delty dla trójmianu kwadratowego, Δ=-96(3m-2)², wykazanie nieujemności dla dowolnych x i m. Zadanie 12 (3 pkt): doświadczenie losowe z wynikami 0-6, prawdopodobieństwo pk=1/64*(6 k), analiza dwóch zdarzeń.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 14: Zadanie: Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B). Rozwiązanie: Obliczenie prawdopodobieństw p₀=1/64, p₁=6/64, ..., p₆=1/64. Wzór P(A|B)=P(A∩B)/P(B), gdzie P(A∩B)=26/64, P(B)=57/64. Wynik: P(A|B)=26/57≈0,45614. Schemat oceniania: istotny postęp (1 pkt), pokonanie trudności (2 pkt), pełne rozwiązanie (3 pkt).

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 15: Zadanie 13 (3 pkt): wyznacz wartości parametru m, dla których prosta y=mx+(2m+3) ma dwa punkty wspólne z okręgiem o środku S=(0,0) i promieniu r=3. Rozwiązanie (I sposób): przekształcenie równania x²+(mx+(2m+3))²=9 do postaci kwadratowej, obliczenie wyróżnika Δ=4m(5m−12). Warunek Δ>0 spełniony dla m<0 lub m>12/5. Punktacja: 1 pkt za zapisanie równania.

$Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 16: Zadanie: obliczenie wyróżnika równania kwadratowego $ (m^2+1)x^2+2m(2m+3)x+4m^2+12m=0 $. Stwierdzenie, że wyróżnik ma być dodatni: $ \Delta=4m \cdot (5m-12) $, $ \Delta > 0 $. Rozwiązanie pełne: prosta $ y=mx+(2m+3) $ przecina okrąg w dwóch punktach dla $ m<0 $ lub $ m>\frac{12}{5} $. Rozwiązanie (II sposób): analiza odległości punktu od prostej, nierówności, $ m<-\frac{3}{2} $ lub $ m>\frac{3}{2} $.$

$Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 17: Zadanie 13 (3 pkt): rozwiązanie nierówności wymiernej $\frac{2m+3}{\sqrt{m^2+1}}<3$, przekształcenie do nierówności kwadratowej $-5m^2+12m<0$, rozwiązanie m<0 lub m>$\frac{12}{5}$. Zadanie 14 (3 pkt): wyznaczenie równania stycznej do paraboli $y=x^2+1$ w punkcie A(3,10), obliczenie współczynnika kierunkowego a=6, równanie stycznej y=6x-8.$

$Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 18: Zadanie 14 (3 pkt): wyznaczenie równania stycznej do paraboli $y=x^2+1$ w punkcie $A: y=6x-8$, rozwiązanie równania kwadratowego $x^2-ax+3a-9=0$, obliczenie wyróżnika $\Delta=a^2-12a+36$, $(a-6)^2=0$, $a=6$, równanie stycznej $y=6x-8$. Zadanie 15 (3 pkt): obliczenie objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, kąt między krawędzią boczną a podstawą $\alpha>45^\circ$.$

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 19: Zadanie dotyczące obliczania wysokości i objętości ostrosłupa. Rozwiązanie (I sposób): wysokość ściany bocznej h=a/2*tgα, wysokość H ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa, H=a/2*√(tg²α-1), objętość V=a³/6*√(tg²α-1). Ilustracja ostrosłupa z oznaczeniami a, h, H, α. Schemat oceniania: 1 pkt za wyznaczenie h.

Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 20: Zadanie: wyznaczanie wysokości H ostrosłupa H = a/2√(tg²α-1), objętości V = a³/6√(tg²α-1). Uwagi: alternatywne formy H i V z cosα. Rozwiązanie II sposób: szkic ostrosłupa z krawędzią boczną b = a/2cosα, wysokość H z twierdzenia Pitagorasa, H = a/2cosα√(-cos2α), objętość V = a³/6cosα√(-cos2α).

$Matematyka, matura rozszerzona, grudzień 2013, CKE - strona 21: Schemat oceniania II sposobu rozwiązania. Rozwiązanie obejmuje wyznaczenie długości b krawędzi bocznej ostrosłupa i wysokości H. Obliczenia prowadzą do objętości V ostrosłupa: $V = \frac{a^3}{6\cos\alpha}\sqrt{-\cos2\alpha}$. Zadanie 16 (6 pkt): Punkty M i L na bokach trójkąta ABC, proporcje odcinków |MB|=2·|AM| i |LC|=3·|AL|. Punkt S przecięcie BL i CM, punkt K przecięcie AS z BC. Szkic ostrosłupa z oznaczeniami.$