Matura rozszerzona z matematyki | Maj 2026 | Interaktywny Arkusz + PDF

Dołącz do 50 000 kursantów! 98% z nich poleca nas znajomym.

Zadanie 1

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^{2} + 4$. W układzie współrzędnych $(x, y)$ styczna do wykresu tej funkcji w punkcie $(2, 8)$ przecina oś $Ox$ w punkcie

Wybierz odpowiedź:

A. $(-1, 0)$

B. $(0, 0)$

C. $(1, 0)$

D. $(2, 0)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Iloraz tego ciągu jest równy $\frac{2}{3}$, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $\frac{9}{4}$.

Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{27}{4}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Najmniejszą liczbą naturalną $n$ spełniającą nierówność

$\left|\dfrac{2n - 5}{3n + 2} - \dfrac{2}{3}\right| < \dfrac{1}{20}$

jest

Wybierz odpowiedź:

A. $41$

B. $42$

C. $82$

D. $84$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Liczby $x$ oraz $y$ są takimi dodatnimi liczbami rzeczywistymi, że $x \cdot y \ne 1$ i $y \ne 1$ oraz $\log_{x \cdot y} x = 2026$.

Liczba $\log_y (x \cdot y)$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\left(-\frac{1}{2025}\right)$

B. $\left(-2025\right)$

C. $\frac{1}{2025}$

D. $2025$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem rekurencyjnym

$\begin{cases} a_1 = \sqrt{2} \\ a_{n + 1} = \frac{4}{a_n} \end{cases}\ $ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.

W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

$\square \square \square$

Wpisz odpowiedź liczbową:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Ze zbioru ośmiu liczb $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez $3$. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Punkty $K$ i $L$ są środkami - odpowiednio - boków $AB$ i $BC$ kwadratu $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $M$ jest takim punktem na boku $BC$, że odcinki $DK$ i $KM$ są prostopadłe. Odcinek $AL$ przecina odcinki $DK$ oraz $DM$ w punktach - odpowiednio - $P$ oraz $Q$ (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że $|PQ| = \frac{\sqrt{5}}{5}a$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od $6$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $1$, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy $(-2025)$. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Rozwiąż równanie

$\sin(6x) - 2\sin(2x) = 0$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie $ABC$ jest równa $6\sqrt{2}\pi$, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi $SB$ i $SC$ jest równy $\frac{5}{9}$.

Oblicz długość krawędzi podstawy $ABC$ oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi $SAC$ i $SBC$ tego ostrosłupa.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

W układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (1, -1)$ oraz $B = (4, 0)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, w którym $|CA| = |CB|$. Jedno z ramion trójkąta $ABC$ zawiera się w prostej o równaniu $x + 2y - 4 = 0$. Na boku $AC$ tego trójkąta obrano taki punkt $M$, że $|AM| : |MC| = 1 : 4$.

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$, gdzie $m \ne 0$, dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem

$f(x)=m^{2} \cdot x^{2}-2 m x-m+1$

ma dwa różne miejsca zerowe $x_{1}$ oraz $x_{2}$ należące do przedziału $(-2, 2)$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

W czworokącie $ABCD$ są dane: $|AB| = 9$, $|AD| = 10$ oraz $|\measuredangle BAD| = 60\degree$. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej $10$ metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy $4$ metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

Kliknij, aby powiększyć

a) $\ $ Wykaż, że pole $P$ (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P(x) = \dfrac{2x^3}{x^2 - 16}$

b) $\ $ Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P(x) = \dfrac{2x^3}{x^2 - 16}$

dla każdego $x \in (4, 10\rangle$.

Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 1: Zadanie 1 (0–1): funkcja kwadratowa f(x)=x²+4, styczna w punkcie (2,8) przecina oś Ox. Obliczenia: f'(x)=2x, f'(2)=4, równanie stycznej y-8=4(x-2), y=4x-8+8, y=4x. Styczna przecina oś Ox w (0,0). Wynik: B (0,0).

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 2: Zadanie 2 (0-1 pkt): ciąg geometryczny, iloraz q=2/3, suma S=9/4. Wzór na sumę szeregu geometrycznego S=a₁/(1-q). Obliczenia: 9/4=a₁/(1-2/3), 9/4=a₁/(1/3), 3a₁=9/4, a₁=3/4. Odpowiedź: A) 3/4.

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 3: Zadanie 3 (0-1 pkt): rozwiązanie nierówności $\frac{2n-5}{3n+2} < \frac{2}{3} < \frac{1}{20}$. Przekształcenie nierówności, mnożenie stron nierówności przez $3(3n+2)$, uproszczenie do $\frac{-19}{9n+6} < \frac{1}{20}$. Obliczenia prowadzą do $n > \frac{41 \frac{5}{9}}$, najmniejsza liczba naturalna $n=42$. Brak elementów graficznych.$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 4: Zadanie 4 (0-1 pkt): obliczenie logarytmu log_y(x·y) przy danych log_x x=2026. Rozwiązanie: wyrażenie log_y x = t, równanie t+1=2026, obliczenia prowadzą do t=-2026/2025. Kluczowe kroki: log_y(x·y)=log_y x + log_y y = t+1 = -1/2025. Końcowy wynik: -1/2025. Brak elementów graficznych.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 5: Zadanie 5 (0–2 pkt): ciąg określony wzorem rekurencyjnym, obliczenie dziesiątego wyrazu. Rozwiązanie: a₁=√2, aₙ₊₁=4/aₙ. Obliczenia: a₂=2√2, a₃=√2, a₄=2√2, a₁₀=2√2. Wartość przybliżona: 2,828. Kluczowe kroki: naprzemienne wartości √2 dla nieparzystych i 2√2 dla parzystych. Wynik: a₁₀=2√2. Brudnopis z obliczeniami i komentarzem.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 6: Zadanie 6 (0-3 pkt): Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia A, gdzie iloczyn trzech kolejnych liczb jest podzielny przez 3. Rozwiązanie: Ω=40320, liczby podzielne przez 3: {3, 6}, pozostałe: {1, 2, 4, 5, 7, 8}. Układ ciągu: YYYXXYXY. Obliczenia: |A|=1440, P(A)=|A|/|Ω|=1/28. Wynik: 1/28.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 7: Zadanie 7 (0-3 pkt): wykazanie nierówności dla dodatnich x i y. Rozwiązanie obejmuje przekształcenie wyrażenia 1/x + 1/y ≤ x/y² + y/x², z zastosowaniem przekształceń algebraicznych. Kluczowe kroki: sprowadzenie do wspólnego mianownika, przekształcenia nierówności, faktoryzacja do postaci (x-y)²(x+y) ≥ 0. Wnioski: pierwszy nawias jest nieujemny, drugi dodatni, co kończy dowód.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 8: Zadanie 8 (0–3 pkt): Wykaż, że |PQ| = √5/5 a. Rysunek przedstawia kwadrat ABCD z punktami K, L, M, P, Q. Krok 1: Definicje punktów A, B, C, D, K, L. Krok 2: Wektory KD i KM, obliczenia współrzędnych. Krok 3: Warunek prostopadłości KD ⊥ KM, równanie -a/λ² + a/λ yₘ = 0, yₘ = a/4. Rozwiązanie pokazuje obliczenia wektorowe i algebraiczne, końcowy wynik yₘ = a/4.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 9: Zadanie 3: wyznaczanie równań prostych zawierających odcinki AL, DK, DM, współczynniki kierunkowe, AL: y=½x, DK: y=-2x+a, DM: y=¾x+a. Zadanie 4: wyznaczanie punktu P przecięcia AL i DK, P(2/5a, 1/5a). Zadanie 5: wyznaczanie punktu Q przecięcia DK i DM, Q(1/5a, 2/5a). Zadanie 6: obliczanie długości odcinka PQ, |PQ|=√5/5a.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 10: Zadanie 9 (0-4 pkt): analiza ciągu arytmetycznego z podanymi warunkami. Rozwiązanie obejmuje ustalenie wzoru ciągu geometrycznego, równanie kwadratowe dla r, r=0 lub r=-2. Obliczenia prowadzą do n=1044. Suma ciągu S₁₀₄₄=-1026168. Elementy wizualne: schemat ciągu geometrycznego, równania i obliczenia na siatce.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 11: Zadanie 10 (0-4 pkt): rozwiązanie równania trygonometrycznego sin(6x) - 2sin(2x) = 0. Kluczowe kroki: przekształcenie równania do postaci 2cos(4x)sin(2x) - sin(2x) = 0, wyznaczenie sin(2x) = 0 oraz 2cos(4x) - 1 = 0, rozwiązania x = kπ/2, x = π/12 + kπ/2, x = -π/12 + kπ/2, gdzie k ∈ Z. Wynik końcowy: x = {kπ/2, π/12 + kπ/2, -π/12 + kπ/2}, k ∈ Z.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 12: Zadanie 11 (0-4 pkt): Obliczanie długości krawędzi podstawy trójkąta ABC i cosinusa kąta między ścianami bocznymi SAC i SBC ostrosłupa. Rozwiązanie obejmuje szkic trójkąta równobocznego i okręgu opisanego, obliczenia z twierdzenia cosinusów, kluczowe kroki: L=6√2π, r=3√2, a=3√6, oraz obliczenia algebraiczne prowadzące do x=9√3/2. Szkice trójkątów i okręgów.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 13: Zadanie 3: Obliczenie kąta między ścianami ostrosłupa. Rozwiązanie obejmuje wzór na pole trójkąta SBC, obliczenia wysokości ha, zastosowanie twierdzenia cosinusów. Kluczowe kroki: ha² + 54/4 = 243/4, ha = 3√21/2, cos β = 5/14. Elementy wizualne: rysunki trójkątów z oznaczeniami kątów i wysokości. Odpowiedź: krawędź podstawy wynosi 3√6, cosinus kąta między ścianami to 5/14.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 14: Zadanie 12 (0-5 pkt): Współrzędne punktów A=(1,-1) i B=(4,0), szukanie równania okręgu. Sprawdzenie przynależności punktów do prostej x+2y-4=0. Obliczenia: dla punktu A wynik "Nie", dla punktu B "Tak". Wyznaczenie punktu C=(4-2y,y). Równanie |AC|=|BC|, przekształcenia prowadzą do y=1, zatem C=(2,1). Szkic trójkąta ABC z zaznaczonymi punktami A, B, C oraz M na boku AC.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 15: Zadanie 5: wyznaczanie współrzędnych wektora AC=[1,2], obliczenia punktu M=(6/5, 3/5) jako środek odcinka. Zadanie 6: punkt M jako środek okręgu, równanie okręgu (x-6/5)²+(y+3/5)²=r², obliczenia r=4√5/5. Zadanie 7: równanie okręgu (x-6/5)²+(y+3/5)²=16/5.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 16: Zadanie 13 (0-5 pkt): wyznaczenie wartości parametru m dla funkcji kwadratowej f(x)=m²x²-2mx-m+1 z dwoma miejscami zerowymi x₁, x₂ w przedziale (-2, 2). Rozwiązanie: 1) Δ>0 dla dwóch miejsc zerowych, obliczenia: 4m²+4m>0, m>0. 2) Wartość p=-b/2a musi być w przedziale (-2, 2), obliczenia: m∈(1/2, ∞). 3) Ramiona paraboli skierowane do góry, f(-2)>0, f(2)>0. Szkic przedziału wartości m.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 17: Zadanie 4: analiza nierówności kwadratowej m²(-2)²-2m(-2)-m+1>0, obliczenia delty Δ=9-16=-7, wykres paraboli z zaznaczonymi przedziałami rozwiązań m∈(-∞,1/4)∪(1,∞). Zadanie 4.1: warunki m>0, m>1/4, m∈(-∞,1/4)∪(1,∞), odpowiedź: m∈(1,∞).

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 18: Zadanie 14 (0-6 pkt): obliczanie długości boków BC i CD oraz pola czworokąta ABCD. Rysunek przedstawia czworokąt wpisany i opisany na okręgu z danymi: |AB|=9, |AD|=10, ∠BAD=60°. Rozwiązanie: 1) warunek wpisywalności okręgu, 2) twierdzenie cosinusów w ΔABD, obliczenia: |BD|²=91, 3) twierdzenie cosinusów w ΔBCD, równanie kwadratowe, rozwiązania: x=5, y=6. Wynik: długości boków i pole czworokąta.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 19: Zadanie 4: obliczenie wartości sin 60° i sin 120° z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych, sin 60° = √3/2. Obliczenie pola P_ABCD jako suma pól P_ABD i P_BCD, z zastosowaniem wzorów na pole trójkąta. Kluczowe kroki: P_ABD = 45√3/2, P_BCD = 15√3/2, wynik końcowy P_ABCD = 30√3.

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 20: Zadanie 15 (0-7 pkt): a) Wykazanie wzoru na pole trójkąta równoramiennego o podstawie x, P(x) = 2x³/(x²-16). Wyprowadzenie wzoru z użyciem wzoru na pole i obwód. b) Wyznaczenie długości x dla minimalnego pola, analiza funkcji P(x) dla x ∈ (4, 10). Rysunek przedstawia trójkąt z wpisanym kołem. Obliczenia obejmują twierdzenie Pitagorasa i wyrażenie b = √(4/x + h).

$Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 21: Zadanie 3: rozwiązanie równania z ułamkami, przekształcenia algebraiczne, końcowy wynik h = $\frac{ux^2}{x^2-16}$. Zadanie 4: obliczenie pola P(x) = $\frac{1}{2} \cdot \frac{ux^2}{x^2-16} = \frac{2x^3}{x^2-16}$, analiza warunków x^2 > 16, x > 4 lub x < -4, dziedzina D = (4, ∞).$

Matematyka, matura rozszerzona, maj 2026, CKE - strona 22: Zadanie b: obliczenie pochodnej funkcji P'(x) = 2x⁴ - 96x², rozwiązanie równania kwadratowego x² - 48 = 0, x = ±4√3, analiza monotoniczności funkcji, szkic wykresu funkcji z zaznaczonym minimum lokalnym, obliczenie pola P(4√3) = 12√3.

Zadanie 1

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^{2} + 4$. W układzie współrzędnych $(x, y)$ styczna do wykresu tej funkcji w punkcie $(2, 8)$ przecina oś $Ox$ w punkcie

Wybierz odpowiedź:

A. $(-1, 0)$

B. $(0, 0)$

C. $(1, 0)$

D. $(2, 0)$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{27}{4}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Zadanie 3

Najmniejszą liczbą naturalną $n$ spełniającą nierówność

$\left|\dfrac{2n - 5}{3n + 2} - \dfrac{2}{3}\right| < \dfrac{1}{20}$

jest

Wybierz odpowiedź:

A. $41$

B. $42$

C. $82$

D. $84$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

Zadanie 4

Liczby $x$ oraz $y$ są takimi dodatnimi liczbami rzeczywistymi, że $x \cdot y \ne 1$ i $y \ne 1$ oraz $\log_{x \cdot y} x = 2026$.

Liczba $\log_y (x \cdot y)$ jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. $\left(-\frac{1}{2025}\right)$

B. $\left(-2025\right)$

C. $\frac{1}{2025}$

D. $2025$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem rekurencyjnym

$\begin{cases} a_1 = \sqrt{2} \\ a_{n + 1} = \frac{4}{a_n} \end{cases}\ $ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.

Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.

W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

$\square \square \square$

Wpisz odpowiedź liczbową:

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Ze zbioru ośmiu liczb $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}}$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że $|PQ| = \frac{\sqrt{5}}{5}a$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(a_n)$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Rozwiąż równanie

$\sin(6x) - 2\sin(2x) = 0$

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Oblicz długość krawędzi podstawy $ABC$ oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi $SAC$ i $SBC$ tego ostrosłupa.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$, gdzie $m \ne 0$, dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem

$f(x)=m^{2} \cdot x^{2}-2 m x-m+1$

ma dwa różne miejsca zerowe $x_{1}$ oraz $x_{2}$ należące do przedziału $(-2, 2)$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

W czworokącie $ABCD$ są dane: $|AB| = 9$, $|AD| = 10$ oraz $|\measuredangle BAD| = 60\degree$. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Kliknij, aby powiększyć

a) $\ $ Wykaż, że pole $P$ (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P(x) = \dfrac{2x^3}{x^2 - 16}$

b) $\ $ Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P(x) = \dfrac{2x^3}{x^2 - 16}$

dla każdego $x \in (4, 10\rangle$.

Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Sprawdź swoje rozwiązanie

📸 Zapisz swoje rozwiązanie. Sprawdzimy je i damy Ci wskazówki.

Obejrzyj rozwiązanie

Matura rozszerzona matematyka maj 2026 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

odpowiedzi

Matura rozszerzona matematyka maj 2026 - interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie