Pewniaki na egzamin ósmoklasisty z matematyki: 30 zadań CKE z rozwiązaniami krok po kroku

Procent zadań z arytmetyki to brakująca część koła: $$100\% - 20\% - 25\% - 15\% - 5\% = 35\%$$ Liczysz $35\%$ z 40 zadań: $$0{,}35 \cdot 40 = 14$$ Odpowiedź: A.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie zaznaczają D, bo widzą liczbę 35. To procent, a pytanie jest o liczbę zadań.

Z diagramu: styczeń 50 zł, luty 40 zł, marzec 60 zł. Styczeń i luty razem: $50 + 40 = 90$ zł. $$\frac{90}{180} = \frac{1}{2} = 50\%$$ Marzec to o $60 - 50 = 10$ zł więcej niż styczeń. Procent liczysz od stycznia, bo z nim porównujesz: $$\frac{10}{50} = \frac{1}{5} = 20\%$$ Odpowiedź: B i D.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie widzą różnicę 10 zł i zaznaczają 10%. Różnicę trzeba podzielić przez kwotę ze stycznia.

Zniżka 40% oznacza, że płacisz $100\% - 40\% = 60\%$ ceny, czyli $0{,}6x$. Zniżka 20% oznacza, że płacisz $80\%$ ceny, czyli $0{,}8y$. $$0{,}6x + 0{,}8y$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie zapisują samą zniżkę, $0{,}4x + 0{,}2y$. To kwota, którą Janek zaoszczędził, a nie zapłacił.

Najpierw policz, ile kilogramów poszło w każdym rodzaju opakowań. Duże: połowa z 120 kg, czyli 60 kg. Średnie: $10\%$ ze 120 kg: $$0{,}1 \cdot 120 = 12 \text{ kg}$$ Małe: reszta: $$120 - 60 - 12 = 48 \text{ kg}$$ Teraz liczba opakowań i kwota. Duże: 60 opakowań po 18 zł: $$60 \cdot 18 = 1080 \text{ zł}$$ Średnie: $12 : 0{,}5 = 24$ opakowania po 10 zł: $$24 \cdot 10 = 240 \text{ zł}$$ Małe: $48 : 0{,}25 = 192$ opakowania po 6 zł: $$192 \cdot 6 = 1152 \text{ zł}$$ Razem: $$1080 + 240 + 1152 = 2472 \text{ zł}$$ Odpowiedź: pan Jan otrzymał 2472 zł.

Tu najczęściej uciekają punkty: uczniowie mnożą kilogramy przez cenę opakowania. Średnie i małe opakowania mają mniej niż 1 kg, więc najpierw policz, ile ich było.

Zamień obie liczby na ułamki zwykłe: $2{,}4 = \frac{12}{5}$ i $5\frac{1}{3} = \frac{16}{3}$. Sprowadź do wspólnego mianownika 15: $$\frac{12}{5} - \frac{16}{3} = \frac{36}{15} - \frac{80}{15} = -\frac{44}{15}$$ Dzielenie przez $(-2)$: minus przez minus daje plus. $$-\frac{44}{15} : (-2) = \frac{22}{15} = 1\frac{7}{15}$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: zgubiony znak. Wynik w nawiasie jest ujemny, ale po podzieleniu przez liczbę ujemną robi się dodatni.

Policz obie liczby. $$x = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{16}{15}$$ $$y = \frac{12}{15} - \frac{20}{15} = -\frac{8}{15}$$ Liczba $y$ jest ujemna. Porównaj: $-\frac{16}{15}$ leży na osi dalej w lewo niż $-\frac{8}{15}$, więc $x$ jest mniejsza od $y$. Odpowiedź: A i C.

Tu najczęściej ucieka punkt: przy liczbach ujemnych większa „cyfra” oznacza mniejszą liczbę. $-16$ jest mniejsze od $-8$.

Zbierz potęgi o tej samej podstawie. Przy mnożeniu wykładniki się dodaje. $$2^5 \cdot 2^3 = 2^{8}$$ Pamiętaj, że samo $3$ to $3^1$: $$3^1 \cdot 3^4 = 3^{5}$$ Wynik: $2^8 \cdot 3^5$. Odpowiedź: A.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie mnożą wykładniki ($5 \cdot 3 = 15$) albo zapominają, że samotna trójka to $3^1$.

Zapisz obie liczby jako potęgi dwójki: $8 = 2^3$ i $4 = 2^2$. $$8^6 = (2^3)^6 = 2^{18} \qquad 4^3 = (2^2)^3 = 2^{6}$$ Przy dzieleniu wykładniki się odejmuje: $$2^{18} : 2^{6} = 2^{12}$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie dzielą od razu wykładniki, $6 : 3 = 2$. Najpierw sprowadź potęgi do tej samej podstawy.

Najpierw policz to, co jest pod pierwiastkiem, dopiero potem pierwiastek. $$w = \sqrt{36} - 2 = 6 - 2 = 4$$ $$x = 12 - \sqrt{100} = 12 - 10 = 2$$ $$y = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0$$ $$z = 7 - \sqrt{25} = 7 - 5 = 2$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie liczą $\sqrt{25} - \sqrt{16}$ zamiast $\sqrt{25 - 16}$. Pierwiastka z różnicy nie wolno rozbijać.

Policz $K$: $\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ i $\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$. $$K = \frac{1}{36} - \frac{1}{48} = \frac{4}{144} - \frac{3}{144} = \frac{1}{144}$$ $K$ jest dodatnie, więc pierwsze zdanie jest fałszywe. Policz $L$: $$L = 9 \cdot 4 - 16 \cdot 3 = 36 - 48 = -12$$ Liczba ujemna jest mniejsza od dodatniej, więc drugie zdanie też jest fałszywe. Odpowiedź: F, F.

Tu najczęściej ucieka punkt: wyrażenia wyglądają podobnie, więc uczniowie zgadują. Policz oba do końca, to tylko kilka linijek.

Fioletowe: $x$. Białe: 4 razy więcej, czyli $4x$. Białych jest o 3 mniej niż czarnych, więc czarnych jest o 3 więcej niż białych: $4x + 3$. $$x + 4x + (4x + 3) = 9x + 3$$ Odpowiedź: A.

Tu najczęściej ucieka punkt: „białych jest o 3 mniej niż czarnych” uczniowie zapisują jako $4x - 3$ dla czarnych. To czarnych jest więcej.

Wymnóż oba nawiasy. Uważaj na minus przed trójką: mnożysz przez $-3$. $$x(x + 4) = x^2 + 4x$$ $$-3(2x - 5) = -6x + 15$$ Zredukuj wyrazy podobne: $$x^2 + 4x - 6x + 15 = x^2 - 2x + 15$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: $-3 \cdot (-5)$ to $+15$, a nie $-15$. Minus razy minus daje plus.

W jednym koszu jest $400 : 10 = 40$ owoców. Pomarańczy w koszu jest $p$, jabłek $p + 6$. $$p + (p + 6) = 40$$ $$2p = 34$$ $$p = 17$$ Jabłek w koszu: $17 + 6 = 23$. W 10 koszach: $$10 \cdot 23 = 230$$ Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: różnica 6 dotyczy jednego kosza. W 10 koszach jabłek jest więcej o 60, a nie o 6.

Oznacz liczbę elementów jednego zestawu przez $x$. Ela ułożyła $\frac{2}{5}x$, Ania $\frac{1}{3}x$. $$\frac{2}{5}x + \frac{1}{3}x = 440$$ Sprowadź do wspólnego mianownika 15: $$\frac{6}{15}x + \frac{5}{15}x = 440$$ $$\frac{11}{15}x = 440$$ $$x = 440 \cdot \frac{15}{11} = 40 \cdot 15 = 600$$ Sprawdzenie: $\frac{2}{5} \cdot 600 = 240$, $\frac{1}{3} \cdot 600 = 200$, razem 440. Odpowiedź: jeden zestaw ma 600 elementów.

Tu najczęściej uciekają punkty: uczniowie dodają ułamki „na krzyż”, $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{8}$. Ułamki dodajesz po sprowadzeniu do wspólnego mianownika.

Ze średniej zawsze najpierw licz sumę: średnia razy liczba liczb. $$x + y = 2 \cdot 4 = 8$$ $$x + y + z = 3 \cdot 5 = 15$$ $$z = 15 - 8 = 7$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie liczą „średnia wzrosła o 1, więc $z = 5$”. Pracuj na sumach, a nie na średnich.

Sumy: $$a + b + c + d = 4 \cdot 9 = 36$$ $$e + f = 2 \cdot 6 = 12$$ Różnica sum: $36 - 12 = 24$. Średnia wszystkich sześciu liczb: $$\frac{36 + 12}{6} = \frac{48}{6} = 8$$ Odpowiedź: B i C.

Tu najczęściej ucieka punkt: średnia ze średnich, $\frac{9 + 6}{2} = 7{,}5$. Grupy mają różną liczbę liczb, więc licz przez sumy.

Policz losy wygrywające. Od 1 do 9 to 9 losów. Od 46 do 72 to $72 - 46 + 1 = 27$ losów. Wygrywających jest $9 + 27 = 36$, więc pustych $72 - 36 = 36$. $$P = \frac{36}{72}$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: od 46 do 72 jest 27 liczb, a nie 26. Przy liczeniu „od… do…” dodaj 1.

Wszystkich kul jest $18 + 12 = 30$. $$P(\text{biała}) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$$ Pierwsze zdanie jest prawdziwe. $$P(\text{czarna}) = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$$ Porównaj: $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$ i $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$, więc $\frac{2}{5}$ jest większe. Drugie zdanie jest fałszywe. Odpowiedź: P, F.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie dzielą 12 przez 18 (czarne przez białe). W mianowniku zawsze są wszystkie kule.

Czas to droga podzielona przez prędkość: $$t = \frac{s}{v} = \frac{100}{5} = 20 \text{ s}$$ Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: mnożenie zamiast dzielenia ($100 \cdot 5 = 500$). Sprawdź sens: 5 metrów na sekundę, więc 100 m to nie może być aż 500 s.

Policz prędkość pociągu: $$v = \frac{700 \text{ m}}{50 \text{ s}} = 14\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$$ W ciągu 15 sekund pociąg przejeżdża drogę równą swojej długości: $$s = 14 \cdot 15 = 210 \text{ m}$$ Odpowiedź: pociąg ma 210 m długości.

Tu najczęściej uciekają punkty: uczniowie szukają długości pociągu w drodze 700 m. Te 700 m służy tylko do policzenia prędkości.

Suma kątów czworokąta to $360^\circ$. $$\alpha + (\alpha + 70^\circ) + 2\alpha + 90^\circ = 360^\circ$$ $$4\alpha + 160^\circ = 360^\circ$$ $$\alpha = 50^\circ$$ $$\beta = 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie zaznaczają $50^\circ$, bo to pierwszy wynik. Pytanie jest o kąt $\beta$, a nie $\alpha$.

Kąty $ADC$ i $ADB$ leżą na prostej, więc razem mają $180^\circ$: $$|\angle ADB| = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$$ Trójkąt $ABD$ jest równoramienny ($|AD| = |BD|$), więc kąty przy podstawie $AB$ są równe: $$|\angle DAB| = \frac{180^\circ - 50^\circ}{2} = 65^\circ$$ W trójkącie $ADC$: $$|\angle DAC| = 180^\circ - 130^\circ - 35^\circ = 15^\circ$$ $$|\angle CAB| = 65^\circ + 15^\circ = 80^\circ$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie nie zauważają trójkąta równoramiennego. Równe odcinki w treści to zawsze podpowiedź o równych kątach.

Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnej 1 i przeciwprostokątnej 2. Z twierdzenia Pitagorasa: $$h^2 + 1^2 = 2^2$$ $$h^2 = 3$$ $$h = \sqrt{3} \text{ cm}$$ Pole: $$P = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ cm}^2$$ Możesz też użyć wzorów z tablic: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Odpowiedź: P, P.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie myślą, że wysokość i pole nie mogą być „takie same”. Mają różne jednostki (cm i cm²), a liczbowo mogą wyjść równe.

Romb ma 4 równe boki: $$a = 52 : 4 = 13 \text{ cm}$$ Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. Powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 13 cm i przyprostokątnej $24 : 2 = 12$ cm. Drugą przyprostokątną (połowę $BD$) oznacz przez $x$: $$x^2 + 12^2 = 13^2$$ $$x^2 = 169 - 144 = 25$$ $$x = 5 \text{ cm}$$ $$|BD| = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm}$$ Odpowiedź: przekątna $BD$ ma 10 cm.

Tu najczęściej uciekają punkty: uczniowie podają 5 cm. To tylko połowa przekątnej, na końcu pomnóż przez 2.

Ze wzoru na pole trójkąta policz podstawę $AD$: $$\frac{1}{2} \cdot |AD| \cdot 7 = 28$$ $$|AD| = 8$$ Bok $AD$ to też bok kwadratu: $$P = 8^2 = 64$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie zapominają o $\frac{1}{2}$ we wzorze na pole trójkąta, wychodzi im bok 4 i pole 16.

Najpierw policz $|AC|$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ADC$: $$|AC|^2 = 50^2 - 30^2 = 2500 - 900 = 1600$$ $$|AC| = 40 \text{ cm}$$ Odcinek $AC$ to wysokość obu małych trójkątów. $$P_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600 \text{ cm}^2$$ Pierwsze zdanie jest prawdziwe. Trójkąty $ADC$ i $DBC$ mają równe podstawy (po 30 cm) i tę samą wysokość, więc mają równe pola. Cały trójkąt $ABC$ ma więc pole dwa razy większe niż $ADC$. Odpowiedź: P, P.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie liczą pole z boku 50 cm. Odcinek $DC$ nie jest wysokością, wysokością jest $AC$.

Prostopadłościan ma wymiary $5 \times 5 \times 15$. Dwie ściany kwadratowe: $2 \cdot 25 = 50$. Cztery ściany prostokątne $5 \times 15$: $4 \cdot 75 = 300$. $$P_c = 50 + 300 = 350$$ Inny sposób: trzy sześciany mają $3 \cdot 6 \cdot 25 = 450$, ale 4 ściany sklejone znikają: $450 - 4 \cdot 25 = 350$. Odpowiedź: A.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie liczą pole trzech osobnych sześcianów (450). Ściany, którymi sześciany się stykają, nie są już na zewnątrz.

Prostopadłościan ma trzy pary takich samych ścian: $$5 \cdot 6 = 30 \qquad 5 \cdot 7 = 35 \qquad 6 \cdot 7 = 42$$ $$P_c = 2 \cdot (30 + 35 + 42) = 2 \cdot 107 = 214$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie liczą każdą ścianę raz i zaznaczają 107. Każda ściana ma swoją parę naprzeciwko, więc mnożysz przez 2. Odpowiedź 210 to objętość, a nie pole.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma 4 jednakowe ściany boczne: $$P_b = 4 \cdot \frac{2}{9}P = \frac{8}{9}P$$ Podstawa to reszta pola całkowitego: $$P_p = P - \frac{8}{9}P = \frac{1}{9}P$$ Jedna ściana boczna to $\frac{2}{9}P$, czyli dwa razy więcej niż podstawa. Podstawa jest więc dwa razy mniejsza. Odpowiedź: B i C.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie liczą 3 ściany boczne zamiast 4. Czworokątny oznacza kwadrat w podstawie i 4 trójkąty dookoła.

Klocek ma 5 ścian o równych polach (podstawa i 4 ściany boczne): $$80 : 5 = 16 \text{ cm}^2$$ Po sklejeniu podstawy znikają w środku. Na zewnątrz zostaje $2 \cdot 4 = 8$ ścian bocznych: $$8 \cdot 16 = 128 \text{ cm}^2$$ Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie odejmują od 160 tylko jedną podstawę (wychodzi 144). Sklejone są dwie podstawy, obie znikają.