Pewniaki matura 2027 z matematyki, poziom podstawowy, stara formuła 2015: rozwiązania krok po kroku

Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu: $$\log_9 27 + \log_9 3 = \log_9 (27 \cdot 3) = \log_9 81$$ Ponieważ $9^2 = 81$, wynik to 2.

Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie zaznaczają 81, czyli liczbę spod logarytmu, a nie wartość logarytmu.

Szukasz potęgi, do której trzeba podnieść $\sqrt{3}$, żeby dostać 9: $$\left(\sqrt{3}\right)^2 = 3$$ $$\left(\sqrt{3}\right)^4 = 9$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie traktują podstawę $\sqrt{3}$ jak 3 i wybierają 2.

Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia to pierwiastek iloczynu: $$\sqrt[3]{-\frac{27}{16} \cdot 2} = \sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\frac{3}{2}$$ Odpowiedź: A.

Tu najczęściej ucieka punkt: na minusie. Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny.

Zapisz wszystko jako potęgi dwójki: $\frac{1}{16} = 2^{-4}$, $8 = 2^3$. $$\left(2^{-4}\right)^8 \cdot \left(2^3\right)^{16} = 2^{-32} \cdot 2^{48} = 2^{16}$$ Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: przy potędze potęgi wykładniki się mnoży, a przy mnożeniu potęg dodaje.

$$(2a - 3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$$ $$(2a + 3)^2 = 4a^2 + 12a + 9$$ Minus przed drugim nawiasem zmienia wszystkie znaki: $$4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 - 12a - 9 = -24a$$ Odpowiedź: A.

Tu najczęściej ucieka punkt: na minusie przed nawiasem. Bez zmiany znaków wychodzi 0 albo 18.

$$(2a + b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$$ $$(2a - b)^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$$ $$4a^2 + 4ab + b^2 - 4a^2 + 4ab - b^2 = 8ab$$ Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie zapominają o podwojonym iloczynie $2 \cdot 2a \cdot b$.

Przenieś wszystko na lewą stronę: $$x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5 > 0$$ Rozbij 5 na 1 i 4, żeby zwinąć wzory skróconego mnożenia: $$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) > 0$$ $$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 > 0$$ Skoro $x$ ≠ $1$, to $(x - 1)^2 > 0$, a $(y - 2)^2 \geq 0$. Suma jest więc dodatnia, co kończy dowód.

Tu najczęściej ucieka punkt: brak zdania, dlaczego suma kwadratów jest dodatnia. Warunek $x$ ≠ $1$ jest w zadaniu właśnie po to.

Wymnóż nawiasy: $$3x^2 + 9xy + xy + 3y^2 > 16xy$$ $$3x^2 - 6xy + 3y^2 > 0$$ $$3(x - y)^2 > 0$$ Skoro $x$ ≠ $y$, to $(x - y)^2 > 0$, więc nierówność jest prawdziwa.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie kończą na $3x^2 - 6xy + 3y^2 > 0$ i nie zwijają tego do kwadratu.

Iloczyn jest równy 0, gdy któryś czynnik jest równy 0. $\sqrt{3}$ nie jest zerem, więc: $$x^2 - 2 = 0 \quad \text{lub} \quad x + 3 = 0$$ $$x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2}, \quad x = -3$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie wybierają $\sqrt{3}$, bo widzą ją w równaniu. To tylko liczba przed nawiasem, a nie rozwiązanie.

$$x = 0 \quad \text{lub} \quad x + 2 = 0 \quad \text{lub} \quad x^2 + 9 = 0$$ Równanie $x^2 = -9$ nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zostają $x = 0$ i $x = -2$, więc największe jest 0.

Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie piszą $x = 3$ z nawiasu $x^2 + 9$. Kwadrat liczby nigdy nie jest ujemny.

$$x^2 - 2x > 2x^2 - 3$$ $$-x^2 - 2x + 3 > 0$$ Pomnóż przez $-1$ i zmień znak nierówności: $$x^2 + 2x - 3 < 0$$ $$\Delta = 4 + 12 = 16$$ $$x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$ Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc wartości ujemne są między miejscami zerowymi: $$x \in (-3, 1)$$ Tu najczęściej ucieka punkt: przy mnożeniu przez liczbę ujemną trzeba odwrócić znak nierówności.

$$x^2 - 3x - 4 \leq 0$$ $$\Delta = 9 + 16 = 25$$ $$x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$ Ramiona w górę, a nierówność „mniejsze lub równe”, więc bierzesz przedział między miejscami zerowymi razem z końcami: $$x \in \langle -1, 4 \rangle$$ Tu najczęściej ucieka punkt: na nawiasach. Przy $\leq$ końce należą do rozwiązania.

Dziedzina to wszystkie $x$, nad którymi albo pod którymi jest wykres. Wykres zaczyna się w $x = -6$ (pełne kółko) i kończy w $x = 5$ (pełne kółko). W $x = -3$ jest puste kółko, ale pod nim jest pełne, więc $-3$ też należy do dziedziny.

Odpowiedź: A.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie patrzą tylko na jeden kawałek wykresu. Dziedzinę czytasz z całego wykresu na osi $Ox$.

Zbiór wartości to wszystkie $y$ wykresu. Najniżej wykres jest na wysokości 1 (poziomy odcinek do $x = 6$), najwyżej na wysokości 4. Wartość 4 jest osiągana, bo poziomy odcinek na tej wysokości ma pełny koniec przy $x = -1$.

Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie odczytują liczby z osi $Ox$ zamiast z osi $Oy$ i wybierają przedział od $-6$ do $6$.

Miejsce zerowe to $x$, dla którego $f(x) = 0$: $$(2p - 1)(-4) + p = 0$$ $$-8p + 4 + p = 0$$ $$-7p = -4$$ $$p = \frac{4}{7}$$ Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: na minusie przy mnożeniu $-4$ przez $-1$.

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik przy $x$ jest ujemny: $$-2k + 3 < 0$$ $$-2k < -3$$ $$k > \frac{3}{2}$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: przy dzieleniu przez $-2$ trzeba odwrócić znak nierówności.

Raty tworzą ciąg arytmetyczny: $n = 18$, $r = -30$, $S_{18} = 8910$. $$S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n$$ $$8910 = \frac{2a_1 - 510}{2} \cdot 18$$ $$8910 = 9(2a_1 - 510)$$ $$990 = 2a_1 - 510$$ $$a_1 = 750$$ Pierwsza rata wynosiła 750 zł.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie biorą $r = 30$ zamiast $r = -30$. Raty maleją, więc różnica jest ujemna.

W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy to średnia sąsiednich: $$a_5 = \frac{a_4 + a_6}{2} = \frac{-2 + 16}{2} = 7$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie liczą najpierw $a_1$ i $r$ i gubią się w rachunkach. Średnia sąsiadów daje wynik od razu.

Iloraz: $q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$. Trzeci wyraz: $$a - 1 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$$ $$a = 4$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie zaznaczają 3, czyli trzeci wyraz, a pytanie dotyczy liczby $a$.

Policz pierwsze wyrazy: $a_1 = 2^0 = 1$, $a_2 = 2^1 = 2$. $$q = \frac{a_2}{a_1} = 2$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie dzielą odwrotnie i wychodzi im $\frac{1}{2}$.

Dla punktu $P = (x, y)$ na ramieniu kąta: $$\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie dzielą $x$ przez $y$ i wybierają $-3$. Tangens to $y$ przez $x$.

Wyłącz $\sin 20^\circ$ przed nawias: $$\sin 20^\circ \left(\sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ\right)$$ Z jedynki trygonometrycznej nawias jest równy 1: $$\sin 20^\circ \cdot 1 = \sin 20^\circ$$ Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie nie widzą, że po wyłączeniu wspólnego czynnika zostaje jedynka trygonometryczna.

$OA$ i $OC$ to promienie, więc trójkąt $AOC$ jest równoramienny i $|\angle OAC| = 70^\circ$. $$|\angle AOC| = 180^\circ - 2 \cdot 70^\circ = 40^\circ$$ Kąt wpisany $ABC$ jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy $AOC$, więc jest 2 razy mniejszy: $$|\angle ABC| = 20^\circ$$ Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie zatrzymują się na kącie $40^\circ$ i wybierają D.

Kąt środkowy $ASB$ jest oparty na tym samym łuku co kąt wpisany $ACB$: $$|\angle ASB| = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ$$ $SA$ i $SB$ to promienie, więc trójkąt $ASB$ jest równoramienny: $$|\angle BAS| = \frac{180^\circ - 84^\circ}{2} = 48^\circ$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie nie dorysowują w myślach odcinka $SB$ i nie widzą trójkąta równoramiennego.

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy: $a = -\frac{1}{3}$. Wstaw punkt $P$: $$5 = -\frac{1}{3} \cdot 3 + b$$ $$5 = -1 + b$$ $$b = 6$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: mylenie warunku równoległości z prostopadłością. Odpowiedzi z $a = 3$ to pułapka.

Proste są prostopadłe, gdy iloczyn współczynników kierunkowych jest równy $-1$: $$(m + 1) \cdot (-2) = -1$$ $$m + 1 = \frac{1}{2}$$ $$m = -\frac{1}{2}$$ Odpowiedź: A.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie wyliczają $m + 1 = \frac{1}{2}$ i zaznaczają $\frac{1}{2}$ zamiast odjąć 1.

Podstawa to kwadrat o boku 15, więc jego przekątna to $15\sqrt{2}$. W trójkącie prostokątnym przekątna podstawy jest przyprostokątną przy kącie $\alpha$, a przekątna graniastosłupa $D$ przeciwprostokątną: $$\cos\alpha = \frac{15\sqrt{2}}{D} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$ $$D = 45$$ Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie wstawiają do cosinusa krawędź podstawy 15 zamiast przekątnej podstawy.

Sześciokąt foremny to 6 trójkątów równobocznych o boku $a$: $$6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 15\sqrt{3}$$ $$a^2 = 10$$ $$a = \sqrt{10}$$ Ściana boczna to prostokąt $a \times 6$: $$P = 6\sqrt{10}$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie liczą pole wszystkich ścian bocznych, a pytanie dotyczy jednej.

Wszystkich wyników jest $8 \cdot 8 = 64$.

Iloczyn jest podzielny przez 15, gdy jest podzielny przez 3 i przez 5. Jedyna liczba podzielna przez 5 to 5, a liczby podzielne przez 3 to 3, 6 i 9. Jedna z liczb musi więc być piątką, a druga liczbą 3, 6 albo 9: $$A = \{(5, 3), (5, 6), (5, 9), (3, 5), (6, 5), (9, 5)\}$$ $$P(A) = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$$ Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie liczą tylko pary z piątką na pierwszym miejscu. Kolejność losowania ma znaczenie.

Wszystkich wyników jest $5 \cdot 5 = 25$.

Suma jest parzysta, gdy obie liczby są nieparzyste albo obie parzyste. Nieparzyste: 5, 7, 9, czyli $3 \cdot 3 = 9$ par. Parzyste: 6, 8, czyli $2 \cdot 2 = 4$ pary. $$P(A) = \frac{9 + 4}{25} = \frac{13}{25}$$ Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie zapominają o parach z dwiema liczbami parzystymi.

$$x + y + z = 3 \cdot 4 = 12$$ $$\frac{1 + x + 2 + y + 3 + z + 14}{4} = \frac{20 + 12}{4} = 8$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie dzielą przez 3 zamiast przez 4. Nowych liczb są cztery.

$$a + b + c = 27$$ $$\frac{2a + 2b + 2c}{6} = \frac{2 \cdot 27}{6} = 9$$ Odpowiedź: A.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie podwajają średnią i wybierają 18. Liczby się podwoiły, ale ich liczba też.