Pewniaki matura 2027 z matematyki, poziom podstawowy, nowa formuła 2023: rozwiązania krok po kroku

Wyłącz z pierwiastka najbliższy kwadrat: $$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$ W nawiasie odejmujesz jak zwykłe „sztuki”: $$4\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$ Podnieś do kwadratu: $$\left(3\sqrt{2}\right)^2 = 9 \cdot 2 = 18$$ Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie odejmują liczby pod pierwiastkami, $32 - 2 = 30$, i zaznaczają C. Nawias do kwadratu to nie to samo co różnica kwadratów.

Zapisz pierwiastek jako potęgę: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$. $$5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$$ Pierwiastek kwadratowy to potęga $\frac{1}{2}$, więc wykładniki mnożysz: $$\sqrt{5^{\frac{3}{2}}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{4}}$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się dodaje, a przy potędze potęgi mnoży.

Liczbę przed logarytmem przenieś do potęgi: $$2\log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4$$ Różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu: $$\log_3 108 - \log_3 4 = \log_3 \frac{108}{4} = \log_3 27$$ Ponieważ $3^3 = 27$, to $\log_3 27 = 3$.

Odpowiedź: A.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie odejmują liczby pod logarytmem, $108 - 4 = 104$, i wybierają pułapkę C. Pod logarytmem dzielimy, a nie odejmujemy.

Różnica logarytmów to logarytm ilorazu: $$\log_8 4 - \log_8 32 = \log_8 \frac{4}{32} = \log_8 \frac{1}{8}$$ Ponieważ $8^{-1} = \frac{1}{8}$, wynik to $-1$.

Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: wynik ujemny wydaje się podejrzany, ale logarytm z liczby mniejszej od 1 (przy podstawie większej od 1) zawsze jest ujemny.

Pierwszy nawias ze wzoru $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$$ Drugi nawias ze wzoru $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$$ Minus przed drugim nawiasem zmienia wszystkie znaki: $$9x^2 + 12x + 4 - 4x^2 + 12x - 9$$ Zbierz wyrazy podobne: $$5x^2 + 24x - 5$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: na minusie przed nawiasem. To dziura z wyrażeń algebraicznych i liczb ujemnych, o której mówiłam na szkoleniu.

Zauważ wzór skróconego mnożenia: $$x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$$ Wstaw $x = \sqrt{2} - 5$: $$(\sqrt{2} - 5 + 5)^2 = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2$$ Odpowiedź: A.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie wstawiają liczbę do każdego wyrazu osobno i gubią się w rachunkach. Zawsze najpierw sprawdź, czy wyrażenie nie jest kwadratem nawiasu.

Liczbę nieparzystą zapisz jako $n = 2k + 1$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. $$3n^2 = 3(4k^2 + 4k + 1) = 12k^2 + 12k + 3$$ $$2n + 7 = 4k + 2 + 7 = 4k + 9$$ Dodaj: $$3n^2 + 2n + 7 = 12k^2 + 16k + 12$$ Wyłącz 4 przed nawias: $$12k^2 + 16k + 12 = 4(3k^2 + 4k + 3)$$ Liczba $3k^2 + 4k + 3$ jest całkowita, więc $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielna przez 4.

Tu najczęściej ucieka punkt: brakuje ostatniego zdania z wnioskiem. Bez niego za samo przekształcenie dostajesz 1 punkt z 2.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias: $$7n^2 + 21n = 7n(n + 3)$$ Liczby $n$ i $n + 3$ różnią się o 3, czyli o liczbę nieparzystą. Jedna z nich jest więc parzysta, a iloczyn $n(n + 3)$ jest parzysty: $n(n + 3) = 2m$, gdzie $m$ jest liczbą całkowitą. $$7n(n + 3) = 7 \cdot 2m = 14m$$ Liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez 14.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie wyłączają 7 i kończą. Trzeba jeszcze uzasadnić, skąd bierze się czynnik 2.

1. Dziedzina to wszystkie $x$ wykresu. W $-4$ jest pełne kółko, w $4$ puste: $[-4, 4)$.
2. Zbiór wartości to wszystkie $y$. Najwyżej 3 (osiągane), najniżej $-3$ (puste kółko): $(-3, 3]$.
3. Wartości dodatnie to wykres nad osią $Ox$. Miejsce zerowe: $-3x + 9 = 0$, czyli $x = 3$. Odpowiedź: $[-4, 3)$.
4. $f(x) = 3$ na całym poziomym odcinku, razem z końcami: $[-2, 2]$.

Tu najczęściej ucieka punkt: na nawiasach. Puste kółko to nawias okrągły, pełne kółko to nawias kwadratowy.

12.1. Równanie $f(x) = 3$: z pierwszego wzoru $x + 2 = 3$, czyli $x = 1$, i ta liczba należy do $[-4, 2]$. Z drugiego $-x + 5 = 3$, czyli $x = 2$, ale 2 nie należy do $(2, 5)$. Rozwiązanie: $x = 1$.

Na przedziale $[2, 3]$ największa wartość jest w punkcie $x = 2$: $f(2) = 4$. Dalej wykres spada poniżej 3. Odpowiedź: 4.

12.2. Pierwszy kawałek daje wartości od $-2$ do $4$, drugi od 0 do 3 (bez końców). Zbiór wartości: $[-2, 4]$.

$f(x) > 1$: z pierwszego wzoru $x + 2 > 1$, czyli $x > -1$, więc $(-1, 2]$. Z drugiego $-x + 5 > 1$, czyli $x < 4$, więc $(2, 4)$. Razem: $(-1, 4)$.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie wpisują jako rozwiązanie także $x = 2$, bo widzą tam na wykresie wartość 3. To puste kółko, więc ten punkt do wykresu nie należy.

12.1. Postać kanoniczna to $f(x) = a(x - p)^2 + q$, gdzie $(p, q)$ to wierzchołek: $$f(x) = a(x - 3)^2 + 6$$ Wstaw punkt $(0, 3)$: $$3 = 9a + 6$$ $$a = -\frac{1}{3}$$ Wzór: $f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6$.

12.2. Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek: $x = 3$. Odpowiedź A.

12.3. $g$ to ta sama parabola przesunięta o 3 w dół, z wierzchołkiem $(3, 3)$. Miejsca zerowe leżą symetrycznie względem prostej $x = 3$, więc $x_1 + x_2 = 6$. Sprawdzenie: $-\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 3 = 0$, stąd $x = 0$ albo $x = 6$.

Tu najczęściej ucieka punkt: na ułamku $-\frac{1}{3}$ i na minusach przy liczeniu $a$.

Z wierzchołka: $f(x) = a(x - 3)^2 - 2$.

Skoro $g(0) = 0$, to $f(0 + 1) = 0$, czyli $f(1) = 0$: $$a(1 - 3)^2 - 2 = 0$$ $$4a = 2$$ $$a = \frac{1}{2}$$ Postać ogólna: $$f(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - 2 = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{5}{2}$$ Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie wstawiają 0 do $f$ zamiast do $g$. Miejsce zerowe $g$ w punkcie 0 oznacza, że $f(1) = 0$.

Krawędzie z wierzchołka $B$: $x$, $4$ i wysokość $h$. $$x + 4 + h = 15$$ $$h = 11 - x$$ Pole powierzchni całkowitej: $$P = 2(4x + xh + 4h)$$ Wstaw $h = 11 - x$: $$4x + x(11 - x) + 4(11 - x) = -x^2 + 11x + 44$$ $$P(x) = -2x^2 + 22x + 88$$ Dziedzina: $x > 0$ oraz $h = 11 - x > 0$, czyli $x \in (0, 11)$.

Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc największa wartość jest w wierzchołku: $$x_w = \frac{-22}{-4} = 5{,}5$$ Ta liczba należy do dziedziny. Największe pole ma prostopadłościan z $x = 5{,}5$.

Tu najczęściej ucieka punkt: brak dziedziny albo zapomnienie, że $h$ też musi być dodatnie.

Piłeczka jest na ziemi, gdy $h(t) = 0$: $$t(-4{,}9t + 14{,}7) = 0$$ $t = 0$ to chwila wyrzutu, więc liczy się drugie rozwiązanie: $$t = \frac{14{,}7}{4{,}9} = 3$$ Odpowiedź: D.

Największa wysokość jest w wierzchołku paraboli, czyli w połowie między miejscami zerowymi 0 i 3: $$t_w = \frac{0 + 3}{2} = 1{,}5$$ Odpowiedź: A.

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz to średnia sąsiednich: $$2(m^2 + 3) = (2m + 11) + (5 - m)$$ $$2m^2 + 6 = m + 16$$ $$2m^2 - m - 10 = 0$$ $$\Delta = 1 + 80 = 81$$ $$m = \frac{1 - 9}{4} = -2 \quad \text{lub} \quad m = \frac{1 + 9}{4} = \frac{5}{2}$$ Sprawdź, który ciąg jest malejący. Dla $m = -2$ ciąg to $(7, 7, 7)$, czyli stały. Dla $m = \frac{5}{2}$ ciąg to $(16; \; 9{,}25; \; 2{,}5)$, czyli malejący.

Odpowiedź: $m = \frac{5}{2}$.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie kończą na delcie i podają oba wyniki. Warunek „malejący” trzeba sprawdzić.

$$a_5 = a_1 + 4r$$ $$17 = 1 + 4r$$ $$r = 4$$ $$a_9 = a_1 + 8r = 1 + 32 = 33$$ Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: zapis $a_5 = a_1 + 5r$. Od pierwszego do piątego wyrazu są tylko 4 kroki.

Iloraz: następny wyraz dzielisz przez poprzedni. $$q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$$ $$a_3 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$$ $$a_4 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$$ Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: dzielenie odwrotnie, $27 : 9 = 3$. Ciąg zaczyna wtedy rosnąć i kusi odpowiedź 729.

Zapisz wyrazy przez $a_1$ i $q$: $$a_3 \cdot a_6 = a_1q^2 \cdot a_1q^5 = a_1^2q^7$$ $$a_2 \cdot a_7 = a_1q \cdot a_1q^6 = a_1^2q^7$$ Oba iloczyny są równe, więc $a_2 \cdot a_7 = 18$.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie próbują wyliczyć $a_1$ i $q$ osobno, a tego się nie da. Wystarczy porównać wykładniki: $3 + 6 = 2 + 7$.

Wzór z tablic: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. $$\sqrt{3} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha$$ Kąt jest ostry, więc $\sin\alpha > 0$ i można podzielić obie strony przez $\sin\alpha$: $$\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha} = 2$$ $$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: brak zamiany tangensa na sinus przez cosinus.

Rozbij ułamek na dwa: $$\frac{3\sin\alpha}{4\cos\alpha} + \frac{4\cos\alpha}{4\cos\alpha} = 6$$ $$\frac{3}{4}\operatorname{tg}\alpha + 1 = 6$$ $$\frac{3}{4}\operatorname{tg}\alpha = 5$$ $$\operatorname{tg}\alpha = \frac{20}{3}$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie nie widzą, że $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ to tangens. Rozbicie ułamka na dwa od razu to pokazuje.

Kąt środkowy $AOB$ oparty na tym samym łuku co kąt wpisany $BCA$ jest 2 razy większy: $$|\angle AOB| = 100^\circ$$ $OA$ i $OB$ to promienie, więc trójkąt $AOB$ jest równoramienny: $$|\angle ABO| = \frac{180^\circ - 100^\circ}{2} = 40^\circ$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie nie zauważają, że $OA$ i $OB$ to promienie.

Kąt wpisany $CDA$ i kąt środkowy $COA$ są oparte na tym samym łuku $AC$: $$|\angle COA| = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$$ Punkt $B$ leży na tym łuku, więc kąt $COA$ dzieli się na $COB$ i $BOA$: $$|\angle BOA| = 100^\circ - 30^\circ = 70^\circ$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie wybierają 100°, czyli cały kąt środkowy, i zapominają odjąć $30^\circ$.

Równanie okręgu: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, gdzie $(a, b)$ to środek.

$r^2$ to kwadrat odległości środka od punktu $P$: $$r^2 = 2^2 + 4^2 = 20$$ $$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 20$$ Odpowiedź: B.

Tu najczęściej ucieka punkt: dwie pułapki. Samo $r$ zamiast $r^2$ po prawej (A) albo zmienione znaki przy środku (D).

Policz odległość punktu $A$ od środka $S$: $$|AS|^2 = (4 - 1)^2 + (-7 + 3)^2 = 9 + 16 = 25$$ $$|AS| = 5$$ Odległość jest równa promieniowi, więc punkt leży na okręgu. Prawda.

Tu najczęściej ucieka punkt: na minusach, $-7 - (-3) = -4$, a nie $-10$.

$$a^3 = 729$$ $$a = 9$$ Przekątna sześcianu: $$d = a\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$$ Odpowiedź: A.

Tu najczęściej ucieka punkt: pomylenie przekątnej sześcianu $a\sqrt{3}$ z przekątną ściany $a\sqrt{2}$.

Promień walca to $r$, promień stożka $2r$, wysokość $h$. $$V_s = \frac{1}{3}\pi(2r)^2h = \frac{4}{3}\pi r^2h$$ $$V_w = \pi r^2h$$ $$\frac{V_s}{V_w} = \frac{4}{3}$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie podnoszą do kwadratu tylko $r$, a nie całe $2r$.

Wszystkich wyników jest $6 \cdot 6 = 36$. Suma 11 wypada tylko dla $(5, 6)$ i $(6, 5)$. $$P(A) = \frac{2}{36}$$ Odpowiedź: D.

Tu najczęściej ucieka punkt: liczenie $(5, 6)$ i $(6, 5)$ jako jednego wyniku.

Wszystkich liczb jest $5 \cdot 5 = 25$.

Liczba jest podzielna przez 6, gdy jest podzielna przez 2 i przez 3. Cyfra jedności jest zawsze parzysta, więc wystarczy podzielność przez 3: suma cyfr musi dzielić się przez 3.

Takie liczby to: 12, 18, 30, 36, 54, 72, 78, 90, 96, czyli 9 liczb. $$P(A) = \frac{9}{25}$$ Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie sprawdzają tylko parzystość albo tylko sumę cyfr. Podzielność przez 6 wymaga obu warunków.

Suma wszystkich liczb to $7 \cdot 3 = 21$. Znane liczby dają $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$. $$x + y = 21 - 15 = 6$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: dzielenie przez 5 zamiast przez 7.

$$a + b + c = 3 \cdot 2 = 6$$ $$d + e + f + g = 4 \cdot 5{,}5 = 22$$ $$\frac{6 + 22}{7} = \frac{28}{7} = 4$$ Odpowiedź: C.

Tu najczęściej ucieka punkt: uczniowie liczą średnią ze średnich, $\frac{2 + 5{,}5}{2} = 3{,}75$. Grupy mają różną liczbę elementów, więc trzeba liczyć przez sumy.