Figury na płaszczyźnie - sprawdzian matematyka z kluczem - klasa 6 - powtórka

Pole trapezu to połowa sumy podstaw razy wysokość: $P = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$.

Suma podstaw: $10 + 6 = 16$ cm.

$P = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 3{,}5 = 8 \cdot 3{,}5 = 28$ cm².

Pole trójkąta to połowa iloczynu podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$.

Wysokość może leżeć poza trójkątem, liczy się tak samo.

$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$ cm².

Pole równoległoboku to bok razy wysokość opuszczona na ten bok: $P = a \cdot h$.

Wysokość $7$ cm jest opuszczona na bok $6$ cm, więc mnożysz właśnie te dwie liczby. Bok $8$ cm tu nie jest potrzebny.

$P = 6 \cdot 7 = 42$ cm².

Kąt $135^{\circ}$ przy prostej $k$ i kąt przy prostej $l$ po tej samej stronie to kąty odpowiadające, więc przy prostej $l$ też jest $135^{\circ}$.

Kąt $\alpha$ jest do niego przyległy, a kąty przyległe mają razem $180^{\circ}$.

$\alpha = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.

Kąt $45^{\circ}$ u góry i kąt trójkąta przy tym wierzchołku to kąty wierzchołkowe, więc kąt trójkąta też ma $45^{\circ}$.

Kąt $120^{\circ}$ i kąt trójkąta przy lewym wierzchołku są przyległe: $180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

Trzeci kąt trójkąta: $180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 75^{\circ}$.

Kąt $\beta$ jest przyległy do tego kąta: $\beta = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$.

W trapezie kąty przy tym samym ramieniu mają razem $180^{\circ}$.

Kąt $121^{\circ}$ i kąt $\gamma$ leżą przy tym samym ramieniu.

$\gamma = 180^{\circ} - 121^{\circ} = 59^{\circ}$.

Kwadrat ma cztery równe boki, więc jeden bok ma $16 : 4 = 4$ cm.

Pole kwadratu to bok razy bok: $4 \cdot 4 = 16$ cm².

W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok leży naprzeciw kąta prostego. Przyprostokątne mają więc $6$ cm i $8$ cm i są do siebie prostopadłe.

Jedna przyprostokątna jest podstawą, a druga wysokością: $P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ cm².

Najkrótsza wysokość opada na najdłuższy bok, czyli na bok $10$ cm.

Pole trójkąta jest to samo, niezależnie od tego, który bok weźmiesz za podstawę: $24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$.

$24 = 5 \cdot h$, więc $h = 24 : 5 = 4{,}8$ cm.

Dorysuj poziomy odcinek przez wierzchołek, w którym górny bok się załamuje. Figura rozpada się na prostokąt i dwa trójkąty.

Prostokąt ma $11$ cm na $6$ cm: $11 \cdot 6 = 66$ cm².

Lewy trójkąt ma podstawę $8$ cm i wysokość $1$ cm: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 1 = 4$ cm².

Prawy trójkąt ma podstawę $3$ cm i wysokość $1$ cm: $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1{,}5$ cm².

Razem: $66 + 4 + 1{,}5 = 71{,}5$ cm².

Średnica jednego słoika to dwa promienie: $2 \cdot 4 = 8$ cm.

W rzędzie stoją cztery słoiki, więc dłuższy bok ma $4 \cdot 8 = 32$ cm.

Są dwa rzędy, więc krótszy bok ma $2 \cdot 8 = 16$ cm.

Odpowiedź: podstawa pudełka musi mieć co najmniej $16$ cm na $32$ cm.

Podpowiedzi

• Prostokąt ma po dwa boki każdej długości.

Rozwiązanie

Suma dwóch sąsiednich boków: $12 + 7{,}5 = 19{,}5$ cm.

Obwód to dwa razy ta suma: $2 \cdot 19{,}5 = 39$ cm.

Podpowiedzi

• Promień jest dwa razy krótszy od średnicy.

Rozwiązanie

Średnica przechodzi przez środek okręgu i składa się z dwóch promieni.

Promień: $5 : 2 = 2{,}5$ cm.

Podpowiedzi

• Na dwa równe kąty przy podstawie zostaje $180^{\circ} - 124^{\circ}$.

Rozwiązanie

Suma kątów trójkąta wynosi $180^{\circ}$, a w trójkącie równoramiennym oba kąty przy podstawie są równe.

Na dwa kąty przy podstawie zostaje $180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}$.

Kąt przy podstawie: $56^{\circ} : 2 = 28^{\circ}$.

Podpowiedzi

• Suma kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ}$.

Rozwiązanie

Dwa znane kąty mają razem $45^{\circ} + 90^{\circ} = 135^{\circ}$.

Trzeci kąt: $180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.

Podpowiedzi

• Od obwodu odejmij obie podstawy. Zostaną dwa równe ramiona.

Rozwiązanie

Od obwodu odejmij podstawy: $23 - 8 - 5 = 10$ cm. Tyle mają oba ramiona razem.

Jedno ramię: $10 : 2 = 5$ cm.

Podpowiedzi

• Kąty przy tym samym ramieniu trapezu sumują się do $180^{\circ}$.

Rozwiązanie

Kąt przy krótszej podstawie to kąt przy dłuższej podstawie i jeszcze $46^{\circ}$.

Gdy odejmiesz $46^{\circ}$ od $180^{\circ}$, zostaną dwa kąty równe kątowi przy dłuższej podstawie: $180^{\circ} - 46^{\circ} = 134^{\circ}$.

Kąt przy dłuższej podstawie: $134^{\circ} : 2 = 67^{\circ}$.

Podpowiedzi

• Bok kwadratu: $52 : 4$.

Rozwiązanie

Bok kwadratu: $52 : 4 = 13$ cm, więc dłuższy bok prostokąta ma $13 + 1 = 14$ cm.

Obwód prostokąta też wynosi $52$ cm, więc suma dwóch sąsiednich boków to $52 : 2 = 26$ cm.

Krótszy bok: $26 - 14 = 12$ cm.

Podpowiedzi

• Kąty przyległe sumują się do $180^{\circ}$.

Rozwiązanie

Gdyby oba kąty były równe, każdy miałby $180^{\circ} : 2 = 90^{\circ}$.

Większy kąt ma o $106^{\circ}$ więcej niż mniejszy, więc od $90^{\circ}$ jest większy o połowę tej różnicy: $106^{\circ} : 2 = 53^{\circ}$.

Większy kąt: $90^{\circ} + 53^{\circ} = 143^{\circ}$.