Figury na płaszczyźnie kl. 6 - sprawdzian - powtórka

Narysuj jedną prostą wzdłuż linijki.

Przyłóż ekierkę jednym bokiem do tej prostej, a do drugiego boku ekierki przyłóż linijkę.

Przesuń ekierkę wzdłuż linijki i narysuj drugą prostą wzdłuż tego samego boku ekierki. Obie proste są równoległe: wszędzie są w tej samej odległości i nigdy się nie przetną.

Narysuj jedną prostą.

Przyłóż do niej ekierkę krótszym bokiem przy kącie prostym i narysuj prostą wzdłuż drugiego boku kąta prostego.

Przedłuż ją. Proste przecinają się pod kątem prostym, czyli $90^{\circ}$.

Narysuj odcinek, który będzie podstawą, np. $4$ cm.

Ustaw cyrkiel na długość ramienia, np. $2{,}5$ cm, i zakreśl łuk z jednego końca podstawy, a potem z drugiego.

Punkt przecięcia łuków to wierzchołek. Połącz go z końcami podstawy: oba ramiona mają tę samą długość.

Narysuj dowolny odcinek.

Ustaw cyrkiel na długość większą niż połowa odcinka. Z obu końców odcinka zakreśl łuki nad i pod odcinkiem.

Łuki przetną się w dwóch punktach. Prosta przez te dwa punkty to symetralna: przecina odcinek w połowie i pod kątem prostym.

Średnica przechodzi przez środek $S$ i łączy dwa punkty okręgu. Promień łączy środek $S$ z punktem okręgu. Cięciwa łączy dwa punkty okręgu, ale nie przechodzi przez środek.

Pierwszy okrąg: odcinek wychodzący z $S$ to promień (niebieski), drugi to cięciwa (żółty).

Drugi okrąg: odcinek przez $S$ to średnica (czerwony), drugi to cięciwa (żółty).

Trzeci okrąg: odcinek z $S$ to promień (niebieski), drugi to cięciwa (żółty).

Czwarty okrąg: odcinek przez $S$ to średnica (czerwony), odcinek z $S$ do okręgu to promień (niebieski), a ten, który omija $S$, to cięciwa (żółty).

Wysokość prostokąta to średnica dużego okręgu: $6$ cm.

Szerokość to średnica dużego okręgu i średnica małego: $6 + 2 \cdot 1{,}5 = 6 + 3 = 9$ cm.

Odpowiedź: $9$ cm na $6$ cm.

Szerokość prostokąta to średnica małego okręgu: $2 \cdot 1{,}5 = 3$ cm.

Wysokość to promień półokręgu u góry i średnica okręgu u dołu: $1{,}5 + 1{,}5 + 1{,}5 = 4{,}5$ cm.

Odpowiedź: $3$ cm na $4{,}5$ cm.

Trójkąt da się zbudować, gdy każdy odcinek jest krótszy niż suma dwóch pozostałych.

$4 + 6 = 10$, a $10 > 7$.

$4 + 7 = 11$, a $11 > 6$.

$6 + 7 = 13$, a $13 > 4$.

Wszystkie trzy warunki są spełnione, więc trójkąt da się zbudować.

Odpowiedź: A

Trójkąt da się zbudować, gdy każdy odcinek jest krótszy niż suma dwóch pozostałych.

$2 + 3 = 5$, a $5 < 7$.

Najdłuższy odcinek jest dłuższy niż suma dwóch krótszych, więc trójkąta nie da się zbudować.

Odpowiedź: B

Wystarczy sprawdzić najdłuższy odcinek: suma dwóch krótszych musi być od niego większa.

$7 + 7 = 14$, a $14 > 9$.

Trójkąt da się zbudować. Jest to trójkąt równoramienny.

Odpowiedź: A

Trójkąt równoboczny ma trzy boki tej samej długości.

Jeden bok: $48 : 3 = 16$ cm.

Drugi bok: $13 + 5 = 18$ cm.

Równoległobok ma dwie pary równych boków, więc obwód to $13 + 13 + 18 + 18$.

$13 + 13 + 18 + 18 = 62$ cm.

Od obwodu odejmij obie podstawy: $40 - 10 - 8 = 22$ cm.

Tyle mają razem dwa równe ramiona.

Jedno ramię: $22 : 2 = 11$ cm.

Romb ma cztery boki tej samej długości.

Jeden bok: $36 : 4 = 9$ dm.

Kąty $\alpha$ i $130^{\circ}$ są przyległe, więc mają razem $180^{\circ}$.

$\alpha = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.

Kąty $\alpha$ i $40^{\circ}$ są wierzchołkowe, a kąty wierzchołkowe są równe.

$\alpha = 40^{\circ}$.

Kąt pełny ma $360^{\circ}$, a $\alpha$ i $280^{\circ}$ razem tworzą kąt pełny.

$\alpha = 360^{\circ} - 280^{\circ} = 80^{\circ}$.

Kąty $\alpha$ i $140^{\circ}$ są przyległe: $\alpha = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$.

Kąty $\beta$ i $140^{\circ}$ są wierzchołkowe, więc są równe: $\beta = 140^{\circ}$.

Suma kątów trójkąta to $180^{\circ}$. Na dwa kąty $\alpha$ zostaje $180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$.

Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe: $\alpha = 140^{\circ} : 2 = 70^{\circ}$.

To trójkąt równoboczny, więc wszystkie jego kąty są równe.

$\beta = 180^{\circ} : 3 = 60^{\circ}$.

W równoległoboku kąty przy jednym boku mają razem $180^{\circ}$.

$\alpha = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

W równoległoboku kąty leżące naprzeciw siebie są równe, a $\beta$ leży naprzeciw kąta $120^{\circ}$.

$\beta = 120^{\circ}$.

Kąty $\alpha$ i $120^{\circ}$ są wierzchołkowe, więc są równe: $\alpha = 120^{\circ}$.

Kąty $\beta$ i $120^{\circ}$ są przyległe: $\beta = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

W trapezie równoramiennym kąty przy tej samej podstawie są równe.

$\alpha = 40^{\circ}$.

W trapezie kąty przy jednym ramieniu mają razem $180^{\circ}$.

$\beta = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$.

Suma kątów trójkąta to $180^{\circ}$, a jeden kąt jest prosty.

$\alpha = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Kąty $40^{\circ}$ i $\alpha$ są odpowiadające, a przy prostych równoległych kąty odpowiadające są równe.

$\alpha = 40^{\circ}$.

Kąty $\alpha$ i $50^{\circ}$ są przyległe: $\alpha = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$.

Kąt $\beta$ leży w górnym trójkącie razem z kątami $40^{\circ}$ i $\alpha = 130^{\circ}$.

Suma kątów trójkąta to $180^{\circ}$: $\beta = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 130^{\circ} = 10^{\circ}$.

Kąty $60^{\circ}$ i $\alpha$ są naprzemianległe wewnętrzne, a przy prostych równoległych takie kąty są równe.

$\alpha = 60^{\circ}$.

Kąty $\alpha$ i $150^{\circ}$ są przyległe: $\alpha = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.

W równoległoboku kąty leżące naprzeciw siebie są równe, a $\delta$ leży naprzeciw kąta $150^{\circ}$.

$\delta = 150^{\circ}$.

Kąt $150^{\circ}$ to kąt równoległoboku przy lewym dolnym wierzchołku. Kąt $\beta$ leży przy tym samym dolnym boku, w prawym dolnym wierzchołku.

W równoległoboku kąty przy jednym boku mają razem $180^{\circ}$: $\beta = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.

Kąty $\alpha$ i $45^{\circ}$ są przyległe: $\alpha = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.

Suma kątów czworokąta to $360^{\circ}$. Czworokąt ma dwa kąty proste i kąt $\alpha = 135^{\circ}$.

$\beta = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.

W trójkącie równoramiennym oba kąty przy podstawie są równe, więc każdy ma $36^{\circ}$.

Kąty przy podstawie mają razem $2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ}$.

Suma kątów trójkąta to $180^{\circ}$, więc kąt między ramionami: $180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$.

Wskazówka godzinowa robi pełny obrót, czyli $360^{\circ}$, w ciągu $12$ godzin.

W ciągu jednej godziny obraca się więc o $360^{\circ} : 12 = 30^{\circ}$.

W ciągu 4 godzin obróci się o $4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ}$.

Liczby na tarczy dzielą pełny obrót $360^{\circ}$ na $12$ równych odstępów, więc jeden odstęp ma $360^{\circ} : 12 = 30^{\circ}$.

O godzinie $10{:}00$ wskazówka minutowa wskazuje $12$, a godzinowa $10$. Między nimi są 2 odstępy, czyli $2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Drugi kąt ma $360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ}$, więc mniejszy kąt to $60^{\circ}$.

Kwadrat ma cztery równe boki, więc jego bok ma $16 : 4 = 4$ cm.

Okrąg wpisany styka się z dwoma przeciwległymi bokami kwadratu, więc jego średnica jest równa bokowi kwadratu, czyli ma $4$ cm.

Promień to połowa średnicy: $4 : 2 = 2$ cm.

Obwód trapezu to suma dwóch podstaw i dwóch ramion, a w trapezie równoramiennym oba ramiona są równe.

Od obwodu odejmij podstawy: $27 - 10 - 9 = 8$ cm. Tyle mają oba ramiona razem.

Jedno ramię: $8 : 2 = 4$ cm.

Wskazówka minutowa przesuwa się o $360^{\circ} : 60 = 6^{\circ}$ na minutę. Po 20 minutach jest $20 \cdot 6^{\circ} = 120^{\circ}$ od $12$.

Wskazówka godzinowa przesuwa się o pół stopnia na minutę. O $11{:}00$ była $330^{\circ}$ od $12$, a przez 20 minut przesunęła się o $10^{\circ}$: razem $340^{\circ}$.

Kąt między wskazówkami: $340^{\circ} - 120^{\circ} = 220^{\circ}$.

Drugi kąt ma $360^{\circ} - 220^{\circ} = 140^{\circ}$. Kąt rozwarty jest mniejszy od $180^{\circ}$, więc jego miara to $140^{\circ}$.

Bok kwadratu: $76 : 4 = 19$ cm.

Dłuższy bok prostokąta: $19 + 1 = 20$ cm.

Obwód prostokąta też wynosi $76$ cm, więc suma dwóch sąsiednich boków to $76 : 2 = 38$ cm.

Krótszy bok: $38 - 20 = 18$ cm.

Gdy dwa okręgi stykają się z zewnątrz, odległość ich środków to suma promieni.

Boki trójkąta: $2 + 5 = 7$ cm, $2 + 5{,}5 = 7{,}5$ cm i $5 + 5{,}5 = 10{,}5$ cm.

Obwód: $7 + 7{,}5 + 10{,}5 = 25$ cm.