Sprawdzian: Własności liczb naturalnych, klasa 5, Matematyka z plusem GWO (grupa A i B, z odpowiedziami)

Podpowiedzi

• Wielokrotność liczby $9$ to wynik mnożenia $9$ przez liczbę naturalną. Taka liczba dzieli się przez $9$ bez reszty.
• Podziel każdą z podanych liczb przez $9$ i wybierz tę, przy której nie ma reszty.

Rozwiązanie

Wielokrotność liczby $9$ dzieli się przez $9$ bez reszty. Sprawdzasz po kolei każdą liczbę.

$169 : 9 = 18$ reszty $7$. Liczba $169$ kończy się cyfrą $9$, ale nie jest wielokrotnością $9$.

$172 : 9 = 19$ reszty $1$, a $134 : 9 = 14$ reszty $8$. Te liczby też odpadają.

Bez reszty dzieli się tylko liczba $144$, bo $9 \cdot 16 = 144$.

Podpowiedzi

• Liczba, której rozkład jest podany, to iloczyn wszystkich czynników tego rozkładu.
• Pomnóż po kolei wszystkie czynniki z rozkładu, także te, które się powtarzają.

Rozwiązanie

Liczba jest iloczynem wszystkich czynników rozkładu, także powtarzających się.

Mnożysz po kolei wszystkie czynniki oprócz ostatniego: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$.

Mnożysz przez ostatni czynnik: $36 \cdot 11 = 396$.

Podpowiedzi

• Największy wspólny dzielnik to największa liczba, przez którą obie liczby dzielą się bez reszty.
• Wypisz dzielniki liczby $55$ i sprawdzaj od największego, który z nich dzieli też $77$.

Rozwiązanie

Rozkładasz obie liczby na czynniki pierwsze: $55 = 5 \cdot 11$ i $77 = 7 \cdot 11$.

Wspólny czynnik obu rozkładów to $11$, więc $\text{NWD}(55, 77) = 11$.

Podpowiedzi

• Wielokrotności liczby $12$ różne od zera to $12$, $24$, $36$ i tak dalej.
• Sprawdź, ile razy $12$ mieści się w $125$: oblicz $125 : 12$ z resztą.

Rozwiązanie

Wielokrotności liczby $12$ różne od zera to $12, 24, 36, \ldots$.

Największa z nich mniejsza od $125$ to $120$, bo następna, $132$, jest już większa od $125$.

Wielokrotności od $12$ do $120$ to $12$ pomnożone kolejno przez $1, 2, 3, \ldots$, więc jest ich tyle, ile razy $12$ mieści się w $120$: $120 : 12 = 10$.

Podpowiedzi

• Najmniejszy czynnik to najmniejsza liczba pierwsza, przez którą dzieli się $144$. Sprawdź po kolei $2$, $3$, $5$.
• Podziel $144$ przez ten czynnik, potem wynik znowu przez niego, aż zostanie liczba, która się przez niego nie dzieli. Policz wykonane dzielenia.

Rozwiązanie

Liczba $144$ jest parzysta, więc najmniejszy czynnik pierwszy to $2$.

Dzielisz kolejno przez $2$: $144 : 2 = 72$, $72 : 2 = 36$, $36 : 2 = 18$, $18 : 2 = 9$. Liczba $9$ nie dzieli się już przez $2$. Cały rozkład na czynniki pierwsze: $144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$.

W rozkładzie są tylko czynniki $2$ i $3$. Liczysz czynniki $2$: $1 + 1 + 1 + 1 = 4$.

Podpowiedzi

• Dzielniki łączą się w pary, których iloczyn jest równy $85$. Najmniejszy dzielnik większy od $1$ jest w parze z największym dzielnikiem mniejszym od $85$.
• Sprawdź po kolei, czy $85$ dzieli się przez $2$, $3$, $5$, $7$. Przez pierwszą taką liczbę podziel $85$.

Rozwiązanie

Dzielniki liczby $85$ łączą się w pary o iloczynie $85$. Szukasz najmniejszego dzielnika większego od $1$.

Liczba $85$ nie dzieli się ani przez $2$, ani przez $3$, a przez $5$ dzieli się: $85 = 5 \cdot 17$.

W parze z dzielnikiem $5$ jest szukany dzielnik: $85 : 5 = 17$.

Podpowiedzi

• Liczba dzieli się przez $9$, gdy suma jej cyfr dzieli się przez $9$.
• Suma znanych cyfr to $3 + 2 + 9 = 14$. Szukasz cyfry, która dopełni tę sumę do najbliższej większej wielokrotności $9$.

Rozwiązanie

Liczba dzieli się przez $9$, gdy suma jej cyfr dzieli się przez $9$.

Suma znanych cyfr: $3 + 2 + 9 = 14$.

Najbliższa wielokrotność $9$ większa od $14$ to $18$. Kolejna, $27$, wymagałaby cyfry większej niż $9$.

Brakująca cyfra: $18 - 14 = 4$.

Podpowiedzi

• Rozłóż obie liczby na czynniki pierwsze.
• Do rozkładu większej liczby dopisz czynniki z rozkładu mniejszej liczby, których w nim brakuje, i pomnóż wszystkie czynniki.

Rozwiązanie

Rozkładasz obie liczby na czynniki pierwsze: $21 = 3 \cdot 7$ i $49 = 7 \cdot 7$.

W rozkładzie liczby $49$ brakuje czynnika $3$ z rozkładu liczby $21$. Dopisujesz go do rozkładu liczby $49$: $\text{NWW}(21, 49) = 49 \cdot 3 = 147$.

Podpowiedzi

• Liczba pierwsza ma tylko dwa dzielniki: $1$ i samą siebie.
• Wszystkie liczby są nieparzyste i mniejsze od $121$. Wystarczy sprawdzić, czy dzielą się przez $3$, $5$ albo $7$.
• Policz liczby, które nie dzielą się przez żadną z liczb $3$, $5$, $7$.

Rozwiązanie

Liczba złożona mniejsza od $121$ jest iloczynem dwóch liczb większych od $1$, a mniejsza z nich jest najwyżej równa $10$, bo $11 \cdot 11 = 121$. Każda liczba od $2$ do $10$ włącznie dzieli się przez $2$, $3$, $5$ albo $7$, więc wystarczy sprawdzić dzielenie przez te cztery liczby.

Wszystkie liczby są nieparzyste i mniejsze od $121$, więc liczba jest pierwsza, gdy nie dzieli się przez $3$, $5$ ani $7$.

Sprawdzasz każdą liczbę: $33 = 3 \cdot 11$, więc jest złożona; $41$ nie dzieli się przez $3$, $5$ ani $7$, więc jest pierwsza; $69 = 3 \cdot 23$, więc jest złożona; $71$ nie dzieli się przez $3$, $5$ ani $7$, więc jest pierwsza; $97$ nie dzieli się przez $3$, $5$ ani $7$, więc jest pierwsza.

Liczb złożonych jest $2$, więc liczb pierwszych jest $5 - 2 = 3$.

Podpowiedzi

• Suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta, a liczba $75$ jest nieparzysta. Jedna z szukanych liczb musi więc być parzysta.
• Jaka jest jedyna parzysta liczba pierwsza? Odejmij ją od $75$, a potem pomnóż obie liczby.

Rozwiązanie

Liczba $75$ jest nieparzysta. Suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta, więc jedna z szukanych liczb jest parzysta.

Jedyna parzysta liczba pierwsza to $2$, bo każda inna liczba parzysta dzieli się przez $2$.

Druga liczba: $75 - 2 = 73$. Ta liczba jest pierwsza, więc pasuje.

Iloczyn: $2 \cdot 73 = 146$.